デジタルデータ標本化と量子化【音響信号；acoustic signals 】時間t上の粗密波の振幅を表す連続関数s(t) s 【写真；photograph 】 2次元空間(h,v)上の明るさを表す連続関数s(h,v) v t 【標本化；sampling】時空間上の連続関数を離散化する処理 s . . . . . . . . . . . . .. . . s n . .. . .. . . . ... . . .m . . . ... . . . . . . .. . . . . . ... . . . . . . ... . . . . .... . . . . . . . . . . . .. . . . . ....... 【量子化；quantization】状態量を整数化する処理 n 内積空間と記憶機構線形ベクトル空間【ベクトル空間；vector space 】集合Xには，任意の２元x,y ∈X間の和x+yと差x-yが定義され，結合則の成立：x+(y+z) = (x+y)+z 交換則の成立：x+y = y+x 単位元・逆元の存在：x+0 = x, x+(-x) = 0 が成り立つとする．また，定数a∈R1との積axが定義されており，定数の分配則の成立： (a+b)x = ax+bx 元の分配則の成立： (x+y)a = ax+ay 単位元と逆元の存在：0x = 0, 1x = x が満たされて，線形結合ax + byもXの元となるとき，元をベクトルといい， Xをベクトル空間という．上記の定義において最も重要な点は，「何か“x”と何か“y”の線形結合ax+byで，別の何か“z”が作られる」という特性にある．z は，“x”らしさと“y”らしさだけを持つことに注意する．ここで，線形結合・線形独立・線形従属・基底・次元の概念を熟知しよう．座標を決める＝空間を張る直線A={ae1:a∈R1}は，ベクトルe1 で張られる１次元部分空間である． C B ce3 be2 e2 集合X e3 A e1 直線B ={be1:b∈R1}は，ベクトルe2 で張られる１次元部分空間である． ae1 線形独立性：e1とe2が平行でないならば，AとBは同一直線ではない． AとBは一つの平面を定める．平面a={ae1+be2 : a, b∈R1}は，e1およびe2 で張られる２次元部分空間である．集合X上の任意の点xが，線形独立なｎ個のベクトルの線形結合 X = a1e1+a2e2 +……. +anen で表現されるとき，集合Xはn次元ベクトル空間をなす．ここで，{e1,…,en}を基底系， {a1,…,an}を成分(あるいは係数) という．実際に成分を計算するとき，“距離”の拡張概念である“内積”が重要となる．ベクトル空間から内積空間へ【内積；inner product 】ベクトル空間X上に，任意の2ベクトルx,y ∈Xを実数値<x,y>へ対応づける写像が定義されており，分配則の成立交換則の成立定数の括り出し非負性：<x+y,z> = <x,z> + <y,z> ： <x,y> = <y,x> ：<ax, y> = a<x.y> ：<x, x> ≧ 0, <x.x> =0 ⇔x = 0 を満たすとき，<x,y>を内積といい，Xを内積空間という．距離の公理：<x,x>=||x||2は，距離である．直交性：<x,y>=0 ⇔ xとyが直交する. コーシー・シュワルツの不等式：|<x,y>| = ||x||||y|| ⇔ xとyが平行(線形従属)である．【射影；projection 】 y ベクトルxが正規化(||x||=1) されているとき，内積<x,y>は，xの張る部分空間へ落ちるY の影の長さとなる． x <x,y> 直交パターン直交する直交しない直交しない