情報科学概論I
【第２回】実データの数理表現
～音響信号と画像について～
徳永隆治
（情報学類）
アナログ表現からデジタル表現へ
【音響信号；acoustic signals 】
時間t上の粗密波の振幅を表す連続関数s(t)
s
【写真；photograph 】
2次元空間(h,v)上の明るさを表す連続関数s(h,v)
v
t
【標本化；sampling】
連続関数の変域を離散化する処理
s
.
.
.
.
. .
.
. .
. .
.
..
.
.
【量子化；quantization】
関数の値域を離散化する処理
s
n
.
..
. .. . . .
...
. . .m . . . ... . . . . .
. .. . . . . . ... . . . . . .
...
. . . . .... . . . .
.
. . . . . . .. .
.
.
.
.......
n
デジタル画像
ピクセル
R
G
色の三原色
B
0～255 (8 bit)
デジタル音響信号
音楽用ＣＤ：ＰＣＭフォーマット
標本化：44[kHz] = 44,000 [sample/sec]
量子化：16 [bit/sample] ∈{0,1,.., 65535}
振幅
1秒間に16[bit]精度の整数が44,000個
．．．．．．
時間
1秒
データ圧縮とは？
【歪み圧縮；losy data compression】
画像や音響信号の質(価値)を大幅に低下させず，可能な限りデータ量を削減する処理．
(文書ファイル・プログラムファイル等には，無歪み(lossless)圧縮が適用される．)
生データ
生データ
符号化器
encoder
復号器
decoder
圧縮
ファイル
小 データ量 大
【質問】身の回りの歪み圧縮の例をあげよ．また，その有効性について述べよ．
【例解】映像DVDおよびデジタルビデオに用いられる動画像用フォーマットMPEG２，
デジタルカメラに用いられる画像フォーマットJPEG．音楽ソフトに用いられる
音響信号フォーマットADPCM，MP3等．データ転送に要する通信コストおよび
記憶媒体に要するコストを削減できる．
認識とは？
【認識；recognition 】
画像あるいは音響信号から特徴を抽出し，それが何であるか識別し，
それらと関連する“事物”を判定する自動処理．
生データ
あ”
認識系
recognizer
氏”
【質問】すでに利用されている自動認識の例を挙げよ．
【例解】郵便局の集配システムにおける郵便番号の自動識別 (OCR) ．
【質問】近年，話題となっている生体認証に用いられる特徴を挙げよ．
【例解】声紋，眼底血管，こうさい，毛細血管，指紋等．
合成とは？
【合成；synthesis 】
意味(価値) のある画像や音声・音響信号を自動生成する処理．
高度な合成技術によって超高効率な情報圧縮が可能となる．
合成結果
制御用
パラメータ
ファイル
合成器
synthesizer
制御用
パラメータ
ファイル
極小 データ量 大
【質問】すでに合成を用いて，高効率のデータ圧縮を達成している製品がある．
これは何か答えよ．
【例解】ゲーム機，通信カラオケ，着メロ等で用いられるMIDI符号(音楽スコア)．
ADPCMあるいはMP3で音響信号を直接圧縮した場合と比べると良い．
解析学で学ぶ距離空間
【距離と距離空間】
集合X上の２つの元x,y∈Xを実数値に対応づける写像d(x,y)が，以下の条件を
満足するとき，dを距離といい，集合Xを距離空間という．
１．d(x,y)≧0 (非負性)
３．d(x,y) = 0
集合X
⇔
x=y
２．d(x,y) = d(y,x)
(可換)
４．d(x,y) ≦ d(x,z) + d(z,y)
元y
(三角不等式)
-2 -1 0 1 2 3 4
R1
d
元x
【例】人間関係の“親密”さは，距離の公理を満足しないあいまいなものである．
２．他人から計った自分の距離と，自分から計った他人の距離は必ずしも一致しない．
３．自分と自分の距離は，常に零とは限らない．(時として自分が分からなくなる．)
４．第３者が介入することで２者の間の距離が近くなる場合がある．
情報圧縮における距離空間
符号化器
…
…
…
…
[Code Book] 64x3[B] → 1[B]
[Data File] 8x8, 64x64
123,222,034,254,001,102,211,246,
123,222,034,254,001,102,211,246,
123,222,034,253,001,102,211,246,
:
123,222,034,254,001,006,211,246,
…
…
…
復号器
000:■, 001 :■, 002 :■, 003 :■,
004:■, 005 :■, 006 :■, 007 :■,
008:■, 009 :■, 010 :■, 011:■,
012:■, 013 :■, 014 :■, 015 :■,
:
252:■, 253 :■, 254 :■, 255 :■,
【コードブック；code book】
類似したブロック群を代表する
ブロックを記録したテーブル．
…
コードブックの作成
【画像空間；image space】
n画素からなる画像ブロックは，n次元実空間Rn上の元となる．
【距離で類似度を計る】
画像空間上で，位置の近い画像ブロック
同士は，類似している．したがって，
画像空間には類似度を測るための適当な
距離を定義する必要がある．
【群化；clustering】
元を幾つかの代表点で近似するとき，
できるだけ誤差を小さくする代表点
を選択する処理をクラスタリングと
いう．コードブックとは，群番号と
代表点を記録したファイルである．
【LBG法】
全ての元を最寄の代表点で近似した場合の
距離の総量 (誤差関数，目的関数)が極小と
なるように代表点を移動させる最適化法
認識における距離空間
あ お あ お い い
【特徴抽出；feature extraction】
対象データから特徴量を
数値として取り出す処理
(a1,b1,c1)
(a2,b2,c2)
(a3,b3,c3)
(a4,b4,c4)
【マッピング；mapping】
対象データを特徴空間に移す処理
【特徴空間；feature space】
いくつかの特徴量で張られる実空間
お
(a,b,c)
【ラベリング；labeling】
名称や意味に基づき群化あるいは，
分割された領域に記名する処理．
↑
c
b
a→
(a5,b5,c5)
(a6,b6,c6)
距離だけでは足りない
距離だけでは，２つのパターンが“どれだけ似ているか”が分かるのみであり，
“どこがどれぐらい似ているか”を知ることはできない．
か
お
あ
【座標系と成分の重要性】
ある集合X上の任意の要素xが，幾つかの特徴的要素（基底ベクトル）
{a,b,c,….}の重ね合わせ
x = a a + b b + g c + ……..
で表現されるとき，重なりの強さ(a,b,g, ….) はxと特徴的要素との
類似度（成分）を意味する．
線形代数で学ぶベクトル空間
【ベクトル空間；vector space 】
集合Xには，任意の２元x,y ∈X間の和x+yと差x-yが定義され，
結合則の成立
：x+(y+z) = (x+y)+z
交換則の成立
：x+y = y+x
単位元・逆元の存在：x+0 = x, x+(-x) = 0
が成り立つとする．また，定数a∈R1との積axが定義されており，
定数の分配則の成立： (a+b)x = ax+bx
元の分配則の成立 ： (x+y)a = ax+ay
単位元と逆元の存在：0x = 0, 1x = x
が満たされて，線形結合ax + byもXの元となるとき，元をベクトルといい，
Xをベクトル空間という．
上記の定義において最も重要な点は，
「何か“x”と何か“y”の線形結合ax+byで，別の何か“z”が作られる」
という特性にある．z は，“x”らしさと“y”らしさだけを持つことに注意する．
ここで，線形結合・線形独立・線形従属・基底・次元の概念を熟知しよう．
座標を決める＝空間を張る
直線A={ae1:a∈R1}は，ベクトルe1
で張られる１次元部分空間である．
C
B
ce3
be2
e2
集合X
e3
A
e1
直線B ={be1:b∈R1}は，ベクトルe2
で張られる１次元部分空間である．
ae1
線形独立性：e1とe2が平行でない
ならば，AとBは同一直線ではない．
AとBは一つの平面を定める．
平面a={ae1+be2 : a, b∈R1}は，e1およびe2
で張られる２次元部分空間である．
集合X上の任意の点xが，線形独立なｎ個のベクトルの線形結合
X = a1e1+a2e2 +……. +anen
で表現されるとき，集合Xはn次元ベクトル空間をなす．ここで，{e1,…,en}を基底系，
{a1,…,an}を成分(あるいは係数) という．
実際に成分を計算するとき，“距離”の拡張概念である“内積”が重要となる．
ベクトル空間から内積空間へ
【内積；inner product 】
ベクトル空間X上に，任意の2ベクトルx,y ∈Xを実数値<x,y>へ対応づける
写像が定義されており，
分配則の成立
交換則の成立
定数の括り出し
非負性
：<x+y,z> = <x,z> + <y,z>
： <x,y> = <y,x>
：<ax, y> = a<x.y>
：<x, x> ≧ 0, <x.x> =0 ⇔x = 0
を満たすとき，<x,y>を内積といい，Xを内積空間という．
距離の公理：<x,x>=||x||2は，距離である． 直交性：<x,y>=0 ⇔
xとyが直交する.
コーシー・シュワルツの不等式：|<x,y>| = ||x||||y|| ⇔ xとyが平行(線形従属)である．
【射影；projection 】
y
ベクトルxが正規化(||x||=1) されているとき，
内積<x,y>は，xの張る部分空間へ落ちるY
の影の長さとなる．
x
<x,y>
認識と内積空間
sn
デジタル信号S(1)
sn
.
sn
.
.
デジタル信号S(2)
n
n
デジタル信号S(k)
S(1) = (s1,s2,s3,….,sD) ∈ RD
S(2) = (s1,s2,s3,….,sD) ∈ RD
.
.
.
S(k) = (s1,s2,s3,….,sD) ∈ RD
n
これらのベクトルは，D次元空間全体を
本当に占めているのだろうか？
マッピングの結果がd(<D)次元部分空間のみを
占めているならば，この特徴空間は冗長である．
この部分空間の次元をどうやって計るのか？
RD
射影と主成分分析
分散の最大方向
データの零平均化
最大方向と直交する
次の最大方向
【主成分；principal component】
データの分散の順に並んだ正規直交座標系
の成分を主成分という．
後方に現れる成分は，データを含まない分散が零の部分空間に対応する．
情報圧縮における内積空間
D画素ブロック
D成分
画素順に並べられた成分には，
昇順あるいは降順という特徴はない．
D次元空間
主成分分析と同様に，適当に座標系を回転させることで，
分散の順に成分を並べかえることができる．
スカラー量子化との併用
直交変換
量
子
化
整数除算を用いることで，
割り当てるビット数を減らす．
量
子
化
降順に成分を並べかえることで末尾に零を集中させる．
レポート問題
【問題１】4つの整数値{0,1,2,3}からなる記号列
0000011101230100020011000011120111000000
は，2ビットの2進符号
0 → 00, 1 → 01 , 2 → 10 , 3 → 11
を用いて，2×40=80ビットのデータ量で表現できる．
ここで，2進符号
0 → 1, 1 → 01 , 2 → 001 , 3 → 0001
を用いるとき，記号列のデータ量を計算し，総データ量がそのように
変化した理由を考察せよ．
【レポートの提出方法】
次回終了の後，２回と３回に出題された２問に回答して，
レポートを提出せよ．提出場所および期限は，次週に告知する．
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