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数楽（微分方程式を使おう！）
～第１章微積分のおさらい～
平成１９年８月２９日
技術１課佐藤強
第１章
微積分のおさらい
微分の定義
微分とは変化をとらえて拡大する虫めがねである
微分の定義式
df ( x)
f ( x  ⊿x)  f ( x)
 lim
dx
⊿x
⊿x ０
第１章
微積分のおさらい
微分方程式とは？
未知関数の微分を含んだ条件式
微分方程式を解くとは？
未知関数の具体的な形を式の変形と積分によって
求める作業のこと
第１章
微積分のおさらい
微分方程式の種類
１階１次微分方程式
１階２次微分方程式
2
dy
 k , y  by  0
dt
 dy 
2




k
,
y
 by  0
 
 dt 
２階１次微分方程式
２階２次微分方程式
2
d y
 k , y  by  0
2
dt
 d 2 y   dy 
 2      k , y  by2  cy  0
 dt   dt 
2
第１章
微積分のおさらい
何回微分したか
↓
○階△次微分方程式
↑
何乗の式か
第１章
微積分のおさらい
微分方程式の種類
常微分方程式と偏微分方程式
f ( x, t ) f ( x, t )
,
x
t
上式は偏微分方程式の例である。
変数が１個しかないものを常微分方程式といい、
本講座では常微分方程式のみを扱う。
第１章
微積分のおさらい
微分方程式解法時の用語
一般解・・・積分定数を含む形の解
特殊解・・・ある具体的な条件を与えて得られる解
特異解・・・一般解に具体的な条件を与えても得ら
れない解
初期条件 t=0
境界条件 x=0
第１章
微積分のおさらい
練習問題
微分の定義式に沿って、xについて微分しなさい。
（１）
f ( x)  x
（２）
f ( x)  cos x
（３）
f ( x)  tan x
2
第１章
微積分のおさらい
もういっちょ練習！定義式に従って、微分してください。
（４）
f ( x)  loge x
答えは
df ( x) 1
f ( x) 

dx
x
第１章
微積分のおさらい
回答（１）
f ( x  ⊿x)  f ( x)  ( x  ⊿x)2  x 2  x2  2x⊿x  (⊿x)2  x2
 2x⊿x  (⊿x)2
ここでマジック！
⊿x ０より（⊿
x）2は無視できるため、（
⊿x）2 ０
⊿x ０なら 2 x⊿xも０になるのでは！？
2 x⊿x
 2x
⊿x
第１章
微積分のおさらい
回答（２）
f ( x  ⊿x)  f ( x)  cos(x  ⊿x)  cos x
cos(x  ⊿x)  cos x cos⊿x  sin x sin ⊿x
⊿ｘが十分小さいとき、
cos⊿x  cos0  1
ここがマジック！
sin ⊿x  ⊿x
 sin x⊿x
  sin x
⊿x
第１章
微積分のおさらい
回答（３）
f ( x  ⊿x)  f ( x)  tan(x  ⊿x)  tan x
sin(x  ⊿x)
sinα
tanα
tan(x  ⊿x) 
cosα
cos(x  ⊿x)
cos⊿x  cos0  1, sin ⊿x  ⊿x
⊿x
ここで、  1  sin x  1,1  cos x  1より、
2
cos x  ⊿x sin x cos x
 1  sin x cos x  1の値しか取らないため、⊿ x  0なら
⊿x sin x cos x  0となる（これもマジッ
ク！）
1
cos 2 x
第１章
微積分のおさらい
回答（４）
x  ⊿x
f ( x  ⊿x)  f ( x)  loge ( x  ⊿x)  loge x  loge
x
α
 1
e  lim1  
α
 α
f ( x  ⊿x )  f ( x )
⊿x
ここで、

1
x 1
 ⊿x 
 ⊿x 
loge 1 
loge 1 


⊿x
x
⊿
x
x
x




x
αと置くと、
⊿x
α
1
x
1
 1 1
 1
 αloge 1    loge 1  
x
 α x
 α
x
一方、で⊿ x  0ということは、α
⊿x
α
1
1
1
 1
 lim loge 1    loge e 
x α
x
x
 α

第１章
微積分のおさらい
まとめ１
元の関数
C（定数）
x
n
loge x
e f ( x)
微分形
0
n 1
nx
1
x
f ( x)e f ( x )
第１章
微積分のおさらい
まとめ２
三角関数sinx,cosxの微積分
sinx
CW方向は微分
CCW方向は積分
cosx
-cosx
-sinx
と覚える！
忘れたら微分の定義式
に従って、暗算する。

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