平行線と線分の比 本時のねらい 「三角形の1辺に平行な直線が他の2辺と交わると き、それぞれの交点は、その2辺を等しい比に分け ることを理解する。」 ※ 線分の比と平行線は、教科書にある証明をもとに 確認した方がよい。 △ABCの辺BCに平行なDEを引く。 AD=4㎝、AE=5㎝、EC＝10㎝、 Ａ BC=12㎝のとき、DE,DBの長さを 4㎝ 求めよう。 △ＡＤＥと△ＡＢＣにおいて 2組の角が等しいので △ＡＤＥ∽△ＡＢＣ 相似な図形の対応する辺 の比は等しい ＡＥ：ＡＣ＝５：１５＝１：３ ＤＥ：１２＝１：３ ＤＥ＝４ D 5㎝ Ｅ 10㎝ Ｂ 12㎝ Ｃ ４：（４＋ＤＢ）＝１：３ ４＋ＤＢ＝１２ ＤＢ＝８ Ａ 5㎝ 4㎝ 12㎝ D 8㎝ Ｅ 4㎝ 15㎝ 10㎝ Ｃ Ｂ 12㎝ ＤＥ∥ＢＣならば ＡＤ：ＡＢ＝ＡＥ：ＡＣ＝ＤＥ：ＢＣ Ａ Ａ a C Ｅ D b 4㎝ d D 5㎝ Ｅ d 12㎝ Ｃ Ｂ Ｆ Ｂ △ＡＤＥと△ＤＢＦは 2組の角がそれぞれ等しいので相似 また、四角形ＤＥＣＦは平行四辺形なのでＥＣ＝ＤＦ よって対応する辺の比 ａ：ｂ＝ｃ：ｄ ＤＥ∥ＢＣならば ＡＤ：ＤＢ＝ＡＥ：ＥＣ 10㎝ Ｃ 平行線と線分の比 Ａ 右の図でＤＥ∥ＢＣならば ＡＤ：ＡＢ＝ＡＥ：ＡＣ＝ＤＥ：ＢＣ ＡＤ：ＤＢ＝ＡＥ：ＥＣ Ｂ D Ｅ Ｃ 線分の比と平行線 Ａ ＡＤ：ＡＢ＝ＡＥ：ＡＣならば ＤＥ∥ＢＣ ＡＤ：ＤＢ＝ＡＥ：ＥＣならば ＤＥ∥ＢＣ D Ｂ Ｅ Ｃ 平行線にはさまれた線分の比 a:b=c:d また、この比例式は ad=bcとかくことができ、これを b もう一度比例式に戻したとき、 a:c=b:dと表すこともできる。 Ｂ よって a:c=b:d もいえる。 Ｄ Ａ 2つの直線が、3つの平行な直 線と交わっているとき、 a c’ Ｅ c Ｆ d’ d Ｃ 平行線にはさまれた線分の比 2つの直線が、3つの 平行な直線と交わっ ているとき、 a:b=c:d a:c=b:d a b c d 練 習 次の図で、DE∥BC、ℓ∥m∥nのとき、x、yの値を求 めなさい。 (3) (2) (1) Ａ 3㎝ 2㎝ D Ｅ ｘ㎝ Ｂ ℓ ｙ㎝ ｘ㎝ m 4㎝ 8㎝ ｘ＝６㎝ ８ ｙ＝ cm ３ 3㎝ Ｃ 4㎝ ｙ㎝ 7㎝ n ℓ m 8㎝ 8㎝ 7㎝ ｘ＝3.5㎝ １３ ｙ＝ cm ３ 5㎝ ｘ㎝ 7㎝ n ４０ ｘ＝ cm ７ 問６ 右の図の線分ＤＥ， ＥＦ，ＦＤのうち、 △ＡＢＣの辺に平行なものはどれですか。 Ａ 4.5㎝ 5㎝ Ｅ D 4㎝ 3㎝ Ｂ 4㎝ Ｆ 6㎝ Ｃ 問７ Ａ’ Ｃ’ Ａ Ｃ Ｏ ・ Ｂ Ｂ’ △ＡＢＣ∽△Ａ’Ｂ’Ｃ’になることを説明しよう。 P.125 練習問題２ 長方形ABCDで、下の図のようなとき、X、YがACを3 等分することを証明する。 Ｐ Ａ Ｄ Ｘ Ｙ Ｂ Ｑ Ｃ
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