5 図形と相似

５図形と相似
１章図形と相似
§４平行線と線分の比
（５時間）
§４平行線と線分の比
《板の分割１》
次ような板を、幅が１：２：４になるように分割
しなさい。
§４平行線と線分の比
《板の分割２》
次は、わり算を使わずに定規だけで分割しなさい。
§４平行線と線分の比
《板の分割２》
次は、わり算を使わずに定規だけで分割しなさい。
§４平行線と線分の比
《板の分割２》
次は、わり算を使わずに定規だけで分割しなさい。
§４平行線と線分の比
《まとめ１》
§４平行線と線分の比
《まとめ１》
§４平行線と線分の比
《まとめ２》
平行線と線分の比
△ABC で、辺AB, AC 上に、
それぞれ、点P, Q があるとき、
(1) PQ // BC ならば、
A
P
Q
AP : AB＝AQ : AC＝PQ : BC
B
C
平行線と線分の比
△ABC で、辺AB, AC 上に、
それぞれ、点P, Q があるとき、
(1) PQ // BC ならば、
AP : AB＝AQ : AC＝PQ : BC
(2) PQ // BC ならば、
B
AP : PB＝AQ : QC
A
P
Q
C
平行線と線分の比
△ABC で、辺AB, AC 上に、
それぞれ、点P, Q があるとき、
(1) PQ // BC ならば、
AP : AB＝AQ : AC＝PQ : BC
(2) PQ // BC ならば、
B
AP : PB＝AQ : QC
A
P
Q
C
A
《平行線と線分の比(1)の証明１》
4cm
△APQ と △ABC で
P
∠APQ＝∠ABC
12cm
∠AQP＝∠ACB
２角相等で、
△APQ∽△ABC
よって、
B
10.5cm
Q
9cm
C
AP : AB＝AQ : AC＝PQ : BC
各辺の長さを代入して、
4 : 12＝AQ : 9
12AQ＝4×9
4×9
AQ＝―――＝3 (cm)
12
4 : 12＝PQ :
12PQ＝4×10.5
10.5
4×10.5
PQ＝――――＝3.5 (cm)
12
《平行線と線分の比(1)の証明２》
△AP’Q’ と △ABC で
∠AP’Q’＝∠ABC
∠AQ’P’＝∠ACB
A
２角相等で、
△AP’Q’∽△ABC
よって、
AP’ : AB＝AQ’ : AC
AP’ : AB＝P’Q’ : BC
B
P’
C
Q’
《平行線と線分の比(1)の証明２》
Q”
△AP’Q’ と △ABC で
∠AP’Q’＝∠ABC
∠AQ’P’＝∠ACB
P”
A
２角相等で、
△AP’Q’∽△ABC
よって、
AP’ : AB＝AQ’ : AC
B
AP’ : AB＝P’Q’ : BC
△AP”Q” と △ABC
P’
も同様にして、
△AP”Q”∽△ABC
よって、
AP” : AB＝AQ” : AC＝P”Q” : BC
C
Q’
《平行線と線分の比(1)の証明２》
Q”
△AP’Q’ と △ABC で
∠AP’Q’＝∠ABC
∠AQ’P’＝∠ACB
P”
A
２角相等で、
△AP’Q’∽△ABC
よって、
AP’ : AB＝AQ’ : AC
B
AP’ : AB＝P’Q’ : BC
△AP”Q” と △ABC
P’
も同様にして、
△AP”Q”∽△ABC
よって、
AP” : AB＝AQ” : AC＝P”Q” : BC
C
Q’
《P106 解答 ①》
A
P
B
Q
C
《平行線と線分の比(2)の証明》
点P を通って、辺AC に平行な直
線が BC と交わる点を R とする。 P
B
A
Q
R
C
A
P
B
Q
C
《平行線と線分の比(2)の証明》
点P を通って、辺AC に平行な直
線が BC と交わる点を R とする。 P
△APQ と △PBR で
∠APQ＝∠PBR
∠PAQ＝∠BPR
A
B
２角相等で、
△APQ∽△PBR
よって、 AP : PB＝AQ : PR
四角形PRCQ は平行四辺形だから、
R
PR＝QC
したがって、AP : PB＝AQ : QC
Q
C
《平行線と線分の比(2)の証明》
点P を通って、辺AC に平行な直
線が BC と交わる点を R とする。 P
△APQ と △PBR で
∠APQ＝∠PBR
∠PAQ＝∠BPR
A
B
２角相等で、
△APQ∽△PBR
よって、 AP : PB＝AQ : PR
四角形PRCQ は平行四辺形だから、
R
PR＝QC
したがって、AP : PB＝AQ : QC
Q
C
《平行線と交わる直線》
(1) AB : BC＝A’B’ : B’C’
A
A’
B
B’
C
C’
(2) AB : A’B’＝BC : B’C’
A
B
C
A’
B’
C’
《平行線と交わる直線(1)の証明》
Aを通り、直線A’C’に平
A
A’
行な直線を引き、直線BB’,
B
D B’
CC’ との交点を、それぞ
れ D, E とする。
△ACE で、
BD // CE だから、
C
E C’
AB : BC＝AD : DE
四角形ADB’A’, DEC’B’はともに平行四辺形だから、
AD＝A’B’ , DE＝B’C’
したがって、
AB : BC＝A’B’ : B’C’
《平行線と交わる直線(1)の証明》
Aを通り、直線A’C’に平
A
A’
行な直線を引き、直線BB’,
B
D B’
CC’ との交点を、それぞ
れ D, E とする。
△ACE で、
BD // CE だから、
C
E C’
AB : BC＝AD : DE
四角形ADB’A’, DEC’B’はともに平行四辺形だから、
AD＝A’B’ , DE＝B’C’
したがって、
AB : BC＝A’B’ : B’C’
《平行線と交わる直線(1)の証明（別解）》
A , C’を通る直線を引
A
A’
き、直線BB’ との交点を、
B
D B’
D とする。
△ACC’ で、
BD // CC’ だから、
C
AB : BC＝AD : DC’
C’
《平行線と交わる直線(1)の証明（別解）》
A , C’を通る直線を引
A
A’
き、直線BB’ との交点を、
B
D B’
D とする。
△ACC’ で、
BD // CC’ だから、
C
AB : BC＝AD : DC’
また、△C’AA’ で、
DB’ // AA’ だから、
AD : DC’＝A’B’ : B’C’
したがって、
C’
《平行線と交わる直線(1)の証明（別解）》
A , C’を通る直線を引
A
A’
き、直線BB’ との交点を、
B
D B’
D とする。
△ACC’ で、
BD // CC’ だから、
C
AB : BC＝AD : DC’
また、△C’AA’ で、
DB’ // AA’ だから、
AD : DC’＝A’B’ : B’C’
したがって、
AB : BC＝A’B’ : B’C’
C’
《平行線と交わる直線(1)の証明（別解）》
A , C’を通る直線を引
A
A’
き、直線BB’ との交点を、
B
D B’
D とする。
△ACC’ で、
BD // CC’ だから、
C
AB : BC＝AD : DC’
また、△C’AA’ で、
DB’ // AA’ だから、
AD : DC’＝A’B’ : B’C’
したがって、
AB : BC＝A’B’ : B’C’
C’
《平行線と交わる直線(2)の証明》
(1)の証明１よ
A
り、AB : BC＝A’B’ : B’C’
これより、
B
AB･B’C’＝A’B’･BC
両辺を A’B’･B’C’ でわると、
AB
BC
C
――＝――
A’B’ B’C’
AB
―― は、AB : A’B’ の比の値であり、
A’B’
BC
―― は、BC : B’C’ の比の値であるから、
B’C’
AB : A’B’＝BC : B’C’
A’
B’
C’
《平行線と交わる直線(2)の証明》
(1)の証明１よ
A
り、AB : BC＝A’B’ : B’C’
これより、
B
A’
B’
AB･B’C’＝A’B’･BC
両辺を A’B’･B’C’ でわると、
AB
BC
C
C’
――＝――
A’B’ B’C’
AB
―― は、AB : A’B’ の比の値であり、
A’B’
a : b＝
BC
―― は、BC : B’C’ の比の値であるから、a’ : b’
B’C’
AB : A’B’＝BC : B’C’
a : a’＝
さらに、
b : b’
《平行線と交わる直線(2)の証明》
(1)の証明１よ
A
り、AB : BC＝A’B’ : B’C’
これより、
B
A’
B’
AB･B’C’＝A’B’･BC
両辺を A’B’･B’C’ でわると、
AB
BC
C
C’
――＝――
A’B’ B’C’
D
D’
AB
―― は、AB : A’B’ の比の値であり、
A’B’
a : b＝
BC
―― は、BC : B’C’ の比の値であるから、a’ : b’
B’C’
AB : A’B’＝BC : B’C’
a : a’＝
さらに、
b : b’
AB : A’B’＝BC : B’C’＝CD : C’D’
《P109 解答 ④》
p
xcm 18cm
zcm
q
27cm 30cm
r
s
9cm
ycm
8cm
線分の比と平行線
△ABC で、辺AB, AC 上に、
それぞれ、点P, Q があるとき、
(1) AP : AB＝AQ : ACならば、
A
P
Q
PQ // BC
B
C
線分の比と平行線
△ABC で、辺AB, AC 上に、
それぞれ、点P, Q があるとき、
(1) AP : AB＝AQ : ACならば、
PQ // BC
(2) AP : PB＝AQ : QCならば、
B
PQ // BC
A
P
Q
C
線分の比と平行線
△ABC で、辺AB, AC 上に、
それぞれ、点P, Q があるとき、
(1) AP : AB＝AQ : ACならば、
PQ // BC
(2) AP : PB＝AQ : QCならば、
B
PQ // BC
A
P
Q
C
《線分の比と平行線(1)の証明》
△APQ と △ABC で
∠PAQ＝∠BAC
AP : AB＝AQ : AC
２辺の比と夾角相等で、
△APQ∽△ABC
相似な三角形なので、
∠APQ＝∠ABC
同位角が等しいので、
PQ // BC
B
A
P
Q
C
《線分の比と平行線(2)の証明》 A
点C から BA に平行な直線
をひき、直線 PQ との交点 P
を R とする。
△APQ と △CRQ で
∠PAQ＝∠RCQ
∠AQP＝∠CQR
B
２角相等で、 △APQ∽△CRQ
AP : CR＝AQ : CQ
よって、
また、仮定から、 AP : PB＝AQ : QC
だから、
AP : PB＝AP : CR
これらより、 PB＝CR
PB＝CR , PB // CR だから、
四角形PBCRは平行四辺形、
したがって、PQ // BC
R
Q
C
A
《線分の比と平行線(2)の証明（別解）》
仮定より、
P
AP : PB＝AQ : QC
この比を、m : n とすると、
AP : PB : AB＝ m : n : (ｍ＋
AQ : QC : AC＝ mn): n : (ｍ＋
B
よって、
n)
AP : AB＝AQ : AC＝ m : (ｍ＋n)
平行線と交わる直線(1)の証明より
PQ // BC
Q
C
《P111 解答 ⑥》
O
P
R
Q
A
C
B
《P111 練習解答 ①》
A
B
C
P D
Q
R
E
F
《P111 練習解答 ②》
END

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