円運動 円周上の運動 等速円運動 速さが一定の円運動 円の半径 r 中心角 q 円弧 x = r q 角速度 単位時間に進む中心角 角速度 w 速さ v = r w 単位時間当りの回転数 f 周期 T Tf= 1 速さ v = 2pr /T = 2prf rw = 2prf 角速度 w = 2pf 時刻t x 単位 q r 時間 w v 半径r 角速度w 速さv = rw 円の半径 r 中心角 q 円弧 x = r q 角速度 単位時間に進む中心角 角速度 w 速さ v = r w 単位時間当りの回転数 f 周期 T Tf= 1 速さ v = 2pr /T = 2prf 角速度 w = 2pf 等速円運動物体の加速度 半径r 角速度w 速さv = rw 等速円運動物体の加速度 半径r 角速度w 速さv = rw 運動に伴って速度ベクトルも 方向が変わる 速度 ベクトル 半径r 角速度w 速さv = rw 等速円運動物体の加速度 運動に伴って速度ベクトルも 方向が変わる 速度ベクトルの 変化を見るため 始点を一点に集めてみよう。 このような図をホドグラフという。 ホドグラフ 速度ベクトル の始点を 一点に集め たもの 速度 ベクトル 等速円運動物体の加速度 半径r 角速度w 速さv = rw 速度 ベクトル 物体が一周する間に ホドグラフのベクトルも 一回転する。 ホドグラフ 速度ベクトル の始点を 一点に集め たもの 等速円運動物体の加速度 半径r 角速度w 速さv = rw 速度 ベクトル 物体が一周する間に ホドグラフのベクトルも 一回転する。 同時に見ると ホドグラフ 速度ベクトル の始点を 一点に集め たもの 半径r 角速度w 速さv = rw 等速円運動物体の加速度 速度の変化の割合 =加速度 加速度の大きさ 2 /r 2 = vv a = v w = rww 単位 時間 w v w r a = vw ホドグラフ 速度ベクトル の始点を 一点に集め たもの a wv 半径r 角速度w 速さv = rw 等速円運動物体の加速度 速度の変化の割合 =加速度 加速度の大きさ a = v w = rw 2 = v 2 /r 加速度ベクトルa a ⊥ v ⊥r a//r 位置ベクトルr 向心加速度 a = - rw2 ホドグラフ 速度ベクトル の始点を 一点に集め たもの 単位 時間 w v w a r a a v⊥ r a⊥ v wv 等速円運動物体の加速度 半径r 角速度w 速さv = rw 速度の変化の割合 =加速度 加速度の大きさ a = v w = rw 2 = v 2 /r w w a 加速度ベクトルa a ⊥ v ⊥r a//r 位置ベクトルr 向心加速度 a = - rw2 例 速さv=10m/sの自動車が 半径r=20mのカーブを走る。 角速度 w = v /r = 0.5/s 向心加速度 a = v2/r =5.0m/s2 r 向心加速度 a 角速度 w 単位 時間 v 等速円運動物体の加速度 速度の変化の割合 =加速度 加速度の大きさ a = v w = rw 2 = v 2 /r 加速度ベクトルa a ⊥ v ⊥r a//r 位置ベクトルr 向心加速度 a = - rw2 例 速さv=10m/sの自動車が 半径r=20mのカーブを走る。 角速度 w = v /r = 0.5/s 向心加速度 a = v2/r =5.0m/s2 半径r 角速度w 速さv = rw 向心加速度 a=-rw2 a=vw=rw2=v2/r v v w a a⊥v⊥r r v w a r 向心加速度 a 角速度 w 半径r 角速度w 速さv = rw 向心加速度 a=-rw2 向心力F 張力、 引力、 a=vw=rw2=v2/r v v 拘束力、 摩擦力 等 w a a⊥v⊥r r 物体の質量m 向心力F 質量m F 運動方程式 力=質量×加速度 運動方程式 F =mrw2=mv2/r 等速円運動の運動方程式 F = ma = m rw2 = mv2/r 例 速さv=10m/sの自動車が 半径r=20mのカーブを走る。 角速度 w = v /r = 0.5/s 向心加速度 a = v2/r =5.0m/s2 路面が水平なら、向心力は ハンドルを切ったときの 路面からの摩擦力による。 向心加速度 a 角速度 w 向心力の大きさは F = ma = m v2/r = 4000N F 水平面内の円運動物体の傾き 半径r 角速度w 速さv = rw 向心加速度 a=-rw2 例 速さv=10m/sの自動車が a=vw=rw2=v2/r v v 半径r=20mのカーブを走る。 w a a⊥v⊥r 路面が傾いているため、 r 向心力F 質量m F 摩擦なしにカーブしている。 運動方程式 F =mrw2=mv2/r 路面の傾きqはいくらか。 例 速さv=10m/sの自動車が 半径r=20mのカーブを走る。 角速度 w = v /r = 0.5/s 向心加速度 a = v2/r =5.0m/s2 路面が水平なら、向心力は ハンドルを切ったときの 路面からの摩擦力による。 向心加速度 a 角速度 w 向心力の大きさは F = ma = m v2/r = 4000N F 水平面内の円運動物体の傾き 半径r 角速度w 速さv = rw 向心加速度 a=-rw2 例 速さv=10m/sの自動車が a=vw=rw2=v2/r v v 半径r=20mのカーブを走る。 w a a⊥v⊥r 路面が傾いているため、 r 向心力F 質量m F 摩擦なしにカーブしている。 運動方程式 F =mrw2=mv2/r 路面の傾きqはいくらか。 向心力は重力と垂直抗力の合力 質量m、重力加速度をgとする。 図より、向心力は mg tanq 運動方程式 mg tanq = m v2/r ∴ tanq = v2/rg = 0.510 q = 27° q q mg 遠心力 円運動する物体上から見ると 円の中心から遠ざかる方向に 見かけの力が働く。 この見かけの力を遠心力という。 遠心力の大きさ = 外から見た向心力の大きさ 遠心力の方向 = 外から見た向心力と反対 物体上から見るとき 外から見るとき 見る人 自動車は向心力と遠心力 を受けて釣り合って静止 自動車は向心力を 受けて円運動 人は遠心力を受けて運動 中の人は慣性で直線運動 半径r 角速度w 速さv = rw 2 a = r w 向心加速度 人工衛星の質量をm 速さをv 2 = v2/r a v w = w =r 人工衛星軌道半径をx v v w a a v⊥ r ⊥ 地球の質量をM 半径をR r 質量m 力F F 万有引力定数をGとする。 運動方程式 F = m v2/r 人工衛星 v 2 GmM = より v = 運動方程式 m 2 x x GmM = mg を使うと 地上での v = 2 R 地表に近い軌道なら x=R 周期 GM x g R x v = gR = 7.9 103 m/s 2pR 3 T= = 5.06 10 s = 84min v 円運動の座標による記述 y v a r q 力F x 時間をt とする 中心角 q = w t 座標 x = r cosq = r cosw t y = r sinq = r sinw t 速度 vx = -w r sinw t vy = w r cosw t -w2 r cosw t 加速度 ax = ay = -w2 r sinw t 半径r 角速度w 速さv = rw 向心加速度 a = -rw2 a = vw =rw2 = v2/r v v w a a⊥ v⊥ r r 質量m 力F F 運動方程式 F = m v2/r v⊥ r v = rw a⊥ v a = -rw2 a = rw2
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