６．大人数クラスの運営法ゲーム理論 • 出席の取り方 →出席表を２回まわす１回目１０：５０～２回目１１：２０～所要時間：４０分 • まわし方（４通り）Ｔ１（前,前），Ｔ２（前,後）Ｔ３（後,前），Ｔ４（後,後）滞在時間Ｔ１Ｔ２Ｔ３Ｔ４３５７５４５７５ｂ３５５５３５５５ｂ３５５５３５５５ｃ５０５０５０５０ｃ５０５０５０５０ｄ５５３５５５３５ｄ５５３５５５３５ｅ４５７５３５ａ７５Ｔ１Ｔ２Ｔ３Ｔ１（前，前）Ｔ２（前，後）Ｔ３（後，前）Ｔ４（後，後）Ｔ４前提 • 取り得る手の集合Ｓ１＝ｂに座るＳ２＝ｃに座るＳ３＝ｄに座るＴ１＝（前，前）Ｔ２＝（前，後）Ｔ３＝（後，前）Ｔ４＝（後，後） • 学生がＳｊ、教授がＴｋを選んだときの学生の利得（教授の損失）ａｊｋを学生が教室に座っていないで済む時間（分）とするＳ１Ｓ２Ｓ３Ｔ１５５４０３５Ｔ２３５４０５５Ｔ３５５４０３５Ｔ４３５４０５５ゼロ和２人ゲーム教授から学生への支払い行列は 55 A  40 35 35 55 40 55 40 35 35  40  55  55 A'＝ 40   35 S2 , T1   S1, T1   S1, T2    S3 , T1   S3 , T2  35  40   55   混合戦略学生のミニマクス戦略 • 学生がＳ１，Ｓ２，Ｓ３を選ぶ確率 →それぞれχ１，χ２，χ３とする • 教授がＴ１を選んだ時の平均的利益→ｚ１Ｔ２を選んだ時の平均的利益→ｚ２とする • 学生はｚ１とｚ２の最悪のケースを想定して小さい方を最大にするχ１，χ２，χ３を選ぶ定式化目的関数：ｚ＝ｍｉｎ｛ｚ１，ｚ２｝制約条件： χ１＋χ２＋χ３＝１ｚ１＝５５χ１＋４０χ２＋３５χ３ｚ２＝３５χ１＋４０χ２＋５５χ３ χ１≧ ０，χ２≧ ０，χ３≧０ →最大化･･･① ･･･② ･･･③ 変形後目的関数：３５＋２０χ１＋５χ２ →最大化制約条件：２χ１＋χ２＝１ χ１＋χ２≦１ χ１≧０，χ２≧０ ⇒χ１*＝ 1 *＝０，χ *= ，χ ２３ 2 1 ，ｚ2*＝４５混合戦略教授のマクシミン戦略 • 教授がＴ１，Ｔ２を選ぶ確率 →それぞれｙ１，ｙ２とする • 学生がＳ１，Ｓ２，Ｓ３を選んだ時の平均損失 →それぞれｗ１，ｗ２，ｗ３とする • 教授はｗ１，ｗ２，ｗ３の中で最大のものを最小とするｙ１，ｙ２を選ぶ定式化目的関数：ｗ＝ｍａｘ｛ｗ１，ｗ２，ｗ３｝ →最小化制約条件：ｙ１＋ｙ２＝１･･･① ｗ１＝５５ｙ１＋３５ｙ２･･･② ｗ２＝４０ｙ１＋４０ｙ２･･･③ ｗ３＝３５ｙ１＋５５ｙ２･･･④ ｙ１≧０，ｙ２≧０変形後ｗ１＝２０ｙ１＋３５ｗ２＝４０ｗ３＝－２０ｙ１＋５５最大値を０≦ｙ１≦１のもとで最小化 1 1 ⇒ｙ１* ＝ 2 ，ｙ２* ＝ 2 ，ｗ* ＝４５均衡点学生の平均利益（ｙ１，ｙ２）＝（１/２，１/２） 1 1 1 55χ1＋40χ2＋35χ3 ＋ 35χ1＋40χ2＋55χ3 ＝ 90χ1＋80χ2＋90χ3  2 2 2 →４５よりも増加できない教授の平均損失（χ１ ,χ２,χ３）＝（1/2，0，1/2） 1 55 y1＋35 y2 ＋ 1 35 y1＋55 y2 ＝45 y1＋y2  2 2 →４５よりも減少できない均衡点学生，教授のどちらも自分の戦略は変えない学生のミニマクス戦略(χ１*, χ２*,χ３*) 教授のマクシミン戦略(ｙ１*，ｙ２*，ｙ３*) を、出席ゲームの“均衡解”という一般化（ミニマクス戦略） z1＝a11χ1＋＋am1χm  zn＝a1nχ1＋＋amnχm ｚ＝ｍｉｎ｛ｚ１，･･･，ｚｎ｝を最大化する確率ベクトル（χ１，･･･，χｍ）を選択としたとき線形計画問題に定式化目的関数：ｚ →最大化制約条件：ｚ≦ａ１１χ１＋･･･＋ａｍ１χｍ  ｚ≦ａ１ｎχ１＋･･･＋ａｍｎχｍ χ１＋･･･＋χｍ＝１ χ１≧０,･･･,χｍ≧０一般化（マクシミン戦略） w1＝a11 y1＋＋a1n yn  wm＝am1 y1＋＋amn yn としたときｗ＝ｍａｘ｛ｗ１，･･･，ｗｍ｝を最小化する確率ベクトル（ｙ１，･･･，ｙｎ）を選択線形計画問題に定式化目的関数：ｗ →最小化制約条件：ｗ≧ ａ１１ｙ１＋･･･＋ａ１ｎｙｎ  ｗ≧ ａｍ１ｙ１＋･･･＋ａｍｎｙｎｙ１＋･･･＋ｙｎ＝１ｙ１≧ ０，･･･，ｙｎ≧ ０ミニマクス定理線形計画問題に変形した２つの問題の最適解をそれぞれ (χ１*,･･･,χｍ*,ｚ*)，(ｙ１*,･･･,ｙｎ*,ｗ*) とする ⇒ｗ* ＝ｚ* が成立（χ１* ，･･･，χｍ* ），（ｙ１* ，･･･，ｙｎ* ）がそれぞれの“均衡戦略”となる