ｽﾗｲﾄﾞﾀｲﾄﾙなし

1
経営システム工学入門実験
ロジスティクス第３回
２０１５／７／６
担当教員森戸晋・蓮池隆
担当助手中山景央
TA：森戸研究室修士２年学生
+250
出超局（都会）
+100
〒
郵便局Y
140
270
-180
〒
郵便局A
40
20
90
〒
郵便局Z
100
60
70
250
120
〒
郵便局X
50
パレット回送問題 2
130
160
90
〒
郵便局B
入超局（田舎）
-90
10
20
〒
郵便局C
-120
40
〒
郵便局D
70
10
10
30
+150
120
-110
3
4
パレット回送問題のデータ
X
X
Y
Z
A
B
C
D
受取量計
120
90
50
40
30
20
350
Y
140
270
120
90
70
50
740
実パレット
局間移動量
Z
A
B
C
100
70
50
30
250
180
130
160
100
70
80
40
10
50
30
10
10
50
70
20
30
50
20
120
500
480
300
450
D
60
150
40
30
30
90
400
送出量受取量
合計合計送出－受取
450
350
100
990
740
250
650
500
150
300
480 -180
210
300
-90
330
450 -120
290
400 -110
3220 3220
0
5
生産計画問題（２製品、３リソース）

大久保工場では、鉄鋼、電力、労働力という３種類のリソー
スを使って、２種類の製品を生産しています。この工場では、
いま来週の生産計画を立てようとしています。手持ちのリ
ソースの範囲で、利益最大とする生産計画を求めてください。
製品１製品２

鉄鋼
電力
労働力
利益
１
１
３
２
２
１
１
３
来週使えるリソース
許容上限
１４
８
１８
6
数理計画問題（最適化問題）の定式化



変数(variables)の定義
なにが制御可能か。なにを動かして最適
化を達成しようとするのか。
目的関数(objective function)の定義
計画をどう評価するのか。評価値を大きく
したいのか、小さくしたいのか。
制約条件(constraints)の定義
どのような制約条件があるのか。
7
線形計画問題

変数（決めること）




製品１の生産量
製品２の生産量
ｘ１
ｘ２
最大化ｚ＝２ｘ１＋３ｘ２（目的関数：利益）
制約条件
ｘ１＋２ｘ２ ≦ １４（鉄鋼）
ｘ１＋ｘ２ ≦ ８（電力）
３ｘ１＋ｘ２ ≦ １８（労働力）
ｘ１，ｘ２≧０
（非負条件）
線形計画問題（ＬＰ）
8
(Linear Programming)



目的関数、制約条件がすべて線形関数から
なる
変数は、原則として非負の実数（連続変数）
最大化
ｚ＝Σ j=1,...,nｃｊｘｊ
制約条件
Σ j=1,...,nａｉｊｘｊ＝ｂｉ , i=1,...,m
ｘｊ ≧０ , j=1,...,n
ソルバー使用上の留意点（１）
9
• 「変化させるセル」（変数セル）はなるべく一箇
所にまとめる
– 複数の部分に分かれている場合はコンマ区切り
• 式をコピーする場合は、セルの相対参照と絶対
参照を使いわける（セルの絶対参照切替はF4）
• 「ソルバーのパラメータ」で、「制約のない変数
を非負数にする」にチェックし、「解決方法の選
択」は「シンプレックスLP」を選択する
ソルバー使用上の留意点（２）
10
整数条件・０－１条件のある場合
• 整数条件や０－１条件が必要なときは、制約条
件の指定の中で、変化させるセルを「ｉｎｔ」（＝整
数）または「bin」（０－１）に指定する
• さらに、「ソルバーのパラメータ」の「オプション」
で、「整数制約条件を使用した解決」のなかの
「整数制約条件を無視する」の前のチェックを
はずす
11
輸送問題(Transportation Problem)
問題のシナリオ：
早稲田工業では、４ヵ所の原料処理場 A,B,C,D で処理された原料を使って、3 つ
の工場 X,Y,Z で生産を行っている。7 月の処理場、および工場の生産計画はすでに決まっている。この
原料の輸送は危険を伴うため、非常にコストがかさむ。輸送費は、輸送量＊輸送単価で計算できる。
各処理場から工場に送ることのできる原料の供給量、各工場が生産に必要とする原料の必要量が下表
のように与えられ、さらに、各処理場から各工場までの輸送単価が既知であるとき、延輸送距離（輸
送距離＊輸送量）が最小となる輸送計画を求めたい。
工場X
輸送量
(xij)
必要量
工場Y
工場Z
処理場A
処理場B
処理場C
処理場D
10
25
15
供給量
18
9
12
11
輸送問題
供給量
１８
処理場A
必要量
６
５１
９
１２
１１
処理場B
処理場C
処理場D
12
４
工場X
１０
工場Y
２５
工場Z
１５
５
６
３
６
８
７２
１０
枝上に輸送距離
13
輸送問題
(Transportation Problem)


変数（決めたいこと）
処理場ｉから工場ｊへの輸送量ｘij （≧０）
制約条件
１）処理場ｉからの輸送量は処理場ｉの供給量以
下
２）工場ｊへの輸送量は、工場ｊの必要量以上

目的関数（評価尺度；狙い）
延輸送距離を最小化
14
輸送問題の数式による表現



変数
ｘij =処理場ｉから工場ｊへの輸送量≧0
目的関数最小化 6ｘAX+ｘAY+ 5ｘAZ+
4ｘBX+5ｘBY+…+2ｘDY+10ｘDZ （延輸送距離）
制約条件
ｘAX+ｘAY+ ｘAZ≦18（処理場Aの送出量≦処理場Aの供給量）
．．．
ｘAX+ｘBX+ｘCX +ｘDX≧15（工場Xへの輸送量≧工場Xの必
要量）
．．．
15
輸送問題の数式による表現

データ
処理場ｉの供給量ai，工場ｊの必要量ｂｊ
処理場ｉから工場ｊへの距離ｃij



変数
ｘij =処理場ｉから工場ｊへの輸送量≧0
目的関数最小化 ΣiΣｊｃijｘij （延輸送距離）
制約条件
Σｊｘij ≦ai （処理場ｉから送り出される量≦処理場ｉの供給量）
Σiｘij ≧ｂｊ（工場jへ輸送される量
≧工場ｊの必要量）
16
パレット回送問題の言葉による表
現



流れの特徴：都会から地方へのもの
の流れが、地方から都会へのものの
流れより多い
特徴によって生じる問題：ほっておく
と、都市のパレットあるいはケース（以
下、パレット）がなくなる
対策：余っているところから、足りな
いところに効率よく送る
17
コンピュータに問題を解かせる



コンピュータに輸送問題を解かせるために
は、解法が必要
解法については、「基礎OR」などで学習
数理計画を解くためのパッケージ
①EXCELのソルバー（小規模な問題）
②商用数理計画パッケージ
CPLEX、Gurobi、XpressーMP、．．．
今日の演習・宿題



18
「鉄鋼電力労働力の生産計画問題」、「輸送
問題」をソルバーで解く（すでに終了）
（実験後半）
さまざまな問題を（数理計画で定式化して）ソ
ルバーで解く
宿題は、レポートとして提出
締切7月１４日（月）13時
提出箇所：実験室レポートボックス
演習：数理計画問題集
（問題１～１５）
19
全員以下の問題は解いてください
（１）問題２（パレット）、問題５（速達配達）
（２）問題６（レポート）、問題７（コンサー
ト）、問題８（ハブ）の少なくとも一つ
（３）問題９（施設配置）、問題１２（農場経
営）の少なくとも一つ
 班内で手分けしてできるだけ多くの問題
を解くようにしてください

20
宿題1-1 （問題16）
（問題16）乗捨てレンタカーの回送
R社は、北海道の函館、室蘭、千歳、小樽、札
幌、旭川、帯広に営業所を構え、50台の車
で観光客相手にレンタカー事業を営んでい
る。週末に車を借り出した客の多くが、最終
旅行地近くの営業所に車を乗り捨てていくた
め、週明けの車の配置が週末の需要と著し
く異なる。このため、毎週、週の半ばに週末
の需要に合わせて、社員が手分けして車を1
台ずつ回送している。R社の社長は、常々、
回送にかかる手間や時間、それに費用を
もっと節約できないものかと考えている。
右の表で、ある週の各営業所における週明け
の配置と週末の需要(台数)と、各地点間の
（最短）距離(km)が与えられている。どうした
ら適切な回送計画が立てられるだろうか?
レンタカーの週明けの配置
と週末の需要
函館室蘭千歳小樽札幌旭川帯広
週明け配置 10
1
25
2
6
2
4
週末の需要
4
4
13
3
15
8
2
各営業所間の（最短）距離
（km）
始点終点
函館
室蘭
千歳
小樽
札幌
旭川
帯広
函館　室蘭
0 191
191 0
278 87
273 161
309 125
447 263
600 416
千歳
278
87
0
74
38
176
329
小樽
273
161
74
0
36
174
327
札幌
309
125
38
36
0
138
291
旭川
447
263
176
174
138
0
179
帯広
600
416
329
327
291
179
0
宿題1-2 （問題17）
21
（問題17）駅伝レースの出場順序
W大学の競走部では、今年も大学対
選手の区間別走行タイム(分)
抗の駅伝レースに参加することに
なった。この駅伝は、1チーム5人編
成の5区間レースである。起伏の激
区間
しさが区間ごとに異なり、選手に
1区 2区 3区 4区 5区
よって区間ごとの走行タイムがかな
A 22.2 33.2 16.6 39.3 50.3
り違うため、選手登用の優劣がチー
ムの成績に大きく影響する。A・B・選 B 21 32.8 16.7 40.2 51.2
C・D・Eの5人の選手を選抜し、各区手 C 24.6 36.1 18.5 37.4 46.4
D 26.0 35.2 19.1 36.9 45.7
間ごとに選手の走行タイム (分)を
計ったところ、以下の表の結果を得
E 22.5 33.6 17.5 37.8 49.0
た。どの選手をどの区間に出場させ
るのが最適か。
宿題２
22
身近な問題、高尚な問題等、何でもよいで
すから、最適化問題として捉えられる（現実
的な）問題のシナリオを提示し、数理計画問
題として定式化して下さい。定式化では、変
数が何、目的関数が何で、制約条件が何か
を簡潔、かつ、正確に示して下さい。また、小
規模な問題でもよいので具体的なデータを与
えて、EXCELソルバーで解き、その結果をも
とに簡単なレポートをまとめてください。
EXCEL ソルバーの設定
23
今日の実験では、EXCELソルバーを使いま
す。EXCELのメニューバーの「データ」を選択
し、ツール内に「ソルバー」のアイコンが作ら
れていることを確認してください。
アイコンが作られていない場合のソルバー
の設定については実験演習ＨＰの表の下
｜ＰＣ関連マニュアル｜
の左メニューの
４．（１）ソルバー・分析ツール
のＰＤＦ資料内の５．３で確認ができます。

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