第1章記述統計の復習

標本抽出法入門
（第3章統計的推定補足）
統計学 2011年度
母集団（個体数N）
×
×
×
標本（個体数n）
×
×
×
×
×
母平均μ
•
×
×
標本平均x
区間推定
標本平均にもとづいて母平均を区間推定するとき、できる限り精度の高い、すな
わち信頼区間の幅の小さい推定量を得ることを考える。
• 標本平均 x の分散は
2
V (x) 
n
であり、標本数nを大きくすれば、推定量の精度は高まる。
• しかし、標本数nを大きくすることにはコストの面などから限界がある。そこで、標
本の抜き出し方を工夫することによって、推定量の精度を高めることをかんがえ
ていく。これが標本抽出法（サンプリング）の問題である。
標本抽出法は、まず次の２つに大別できる。
•有意抽出法
街を歩く人にアンケートをとるなどの方法であり、抜き出された標
本が、一定の傾向を持つ（標本の偏りを持つ）可能性がある。
•無作為抽出法
母集団の中から無作為（ランダム）に標本を抜き出す方法。
母集団の中からくじ引きの原理によって標本を抜き出す、単純
無作為抽出法がその代表格である。
今までの推測統計の理論では、この単純無作為抽出法を前提
としている。
有意抽出法でなく、単純無作為抽出法を用いた場合でも、
たまたま特定の傾向を示す人が多く選ばれることによって、
偏った標本となってしまうおそれある。
⇒ 信頼区間内に母平均を含まない標本となるおそれ
そこで、標本誤差を少なくするための標本抽出の工夫が
おこなわれる。代表的な工夫として次のようなものが挙げ
られる。
– 層別抽出法（層化抽出法ともいう）－できるだけ同じような性質
のグループに分ける。都市なら人口規模、産業構造など、人なら
性別、年齢などによっていくつかの層にわける。
– 多段抽出法－市町村を選び、その中から世帯を選ぶなど、何
段階かに分ける。
• 日本の官庁統計では標本誤差を少なくするために無作
為抽出法に層別抽出法、多段抽出法を組み合わせた方
法を用いている。
（例）家計調査の場合
１．全国の市町村を168の層に分け、その中から1つ選ぶ。
２．各市町村から調査地区(単位区)を選ぶ。全国で約1400単位区
３．各単位区から6世帯を乱数表によって選ぶ
＜層別抽出法の理論的背景＞
•
2
N

n

標本平均 x の分散が V ( x ) 
であり、標本数nを大きくすれば、
N 1 n
推定量の精度は高まる。
• 反対にnを固定して考えると、母分散σ2の小さい母集団の推定は、精度
が高くなる。
• 母集団を分散の小さいいくつかの層に分割すれば、それぞれの層内で
の精度は高くなる。
母集団（個体数N）
層1：個体数N1、層内平均μ1、層内分散σ21
層2：個体数N2、層内平均μ2、層内分散σ22
層3：個体数N3、層内平均μ3 、層内分散σ23
N
Wi  i
N
理論から
とおく。
  W11  W2 2  W3 3
 2  Wi i2  Wi ( i   ) 2
が導出される。
• 層別抽出によって抜き出された標本平均は、 xst
の分散は
2
2 N i  ni  i
V ( xst )  Wi
となる。
 Wi xi となり、そ
Ni  1 ni
＜例題＞
男女合わせて500人の集団に4点満点のテストをおこなったとき、Excel
ファイルの度数分布表のようになった。
このとき、単純無作為抽出でn=50の標本を選んだときの標本平均の分
散と、層別抽出でn1(男子)=30、n2(女子)=20の標本を選んだときの標本
平均の分散を比較してみる。
母集団（個体数N=500）
層1
個体数
N1 =300
層内平均
μ1=2
層内分散
σ21=１
層2
個体数
N2 =200
層内平均
μ2=3
層内分散
σ22=１
  2.4,  2  1.24
N n 2
V (x) 
N 1 n
500 50 1.24

 0.022365
500 1 50
N i  ni  i2
V ( xst )  Wi
N i  1 ni
2
 0.6 2
300 30 1
200 20 1
 0.4 2
 0.018072
300 1 30
200 1 20

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