宇宙科学最前線第1回

鹿児島大学／愛媛大学
宇宙電波天文学特論
第４回
シンクロトロン放射
半田利弘
鹿児島大学大学院理工学研究科物理・宇宙専攻
Mellinger
ローレンツ力Lorentz Force
▶ 電子が磁場から受ける力
f=q E + q/c v×B
▶ ベクトルの特徴
■
空間座標変換について全て同じように変わる
 空間座標変換＝平行移動、回転
 ずれてみても、回ってみても変わらない
 空間反転＝ベクトルによって２種類→擬ベクトル
■
成分で分けて考えて、後で合成しても良い
Mellinger
一様磁場中の電子の運動(1)
▶ 紙面に垂直な磁場（向こうからこちら）
■
■
■
電子は上から下へ
ローレンツ力は左へ f= q/c v×B
電子では、q<0に注意
▶ |v|は一定
f⊥vなので仕事はされない
→運動エネルギー一定
v
→f は一定
■
▶ 円運動
B

f= q/c v×B
Mellinger
一様磁場中の電子の運動(2)
▶ 磁場と平行に運動
v×B =0 → f= 0
▶ 等速直線運動
v
B
Mellinger
一様磁場中の電子の運動(3)
▶ 円運動＋等速直線運動＝螺旋運動
■
巨視的に見ると電子は磁力線に沿う
 磁力線と電離ガスの凍り付き
frozen in
■
常に加速度運動している
→電磁波を放射する
Mellinger
円運動
▶ 運動方程式 q=-e (素電荷)
evB/c = mv2/r
■
■
■
■
解くと、r=mcv/(eB)
T= 2p r/vで一周だからr= vT/(2p)= v/(2pn)
n =1/T =v/(2p r) = eB/(2p mc)
したがって、
n =eB/(2p mc)
rg=v/(2png) とおく
Mellinger
螺旋運動
▶ ピッチ角：q
■
B
Bと垂直面への投影速度vcycle=v sinq
q
▶ 周波数と半径、
ng =eB sinq /(2p mc)
rg =v sinq /(2png)
Mellinger
１個の電子の電磁波放射
▶ 加速度運動に伴う電磁波の放射
▶ 双極子近似（双極子放射）
dP/dW=d 2/(4pc3) sin2q
■
■
ここで、d=q r, （静電モーメント）
d を軸とする軸対称
Mellinger
d
どんな電磁波が来るか？
▶ 電子が１回転するたびに繰り返す
■
tg= 1/ng =2p mc/(eB sinq )
▶ 円運動だから、加速度は半径方向
■
双極子放射は前後に
▶ でも、相対論的電子だと…
■
v/c≪1ではないので補正が必要
Mellinger
d
特殊相対論のはじまり
▶ マックスウェル方程式 Maxwell equations
div D=4pr,
div B=0
rot E=-1/c ∂B/∂t, rot H=1/c ∂D/∂t+4p/c j
▶ 真空中で平面波解がある
■
速度cで伝わる（この時点では光速とは無関係）
 いったい、どこから見た速度なのか？
▶ 種々の実験結果
■
測定者の運動によらず常にcで伝わる!?
Mellinger
ローレンツ変換
▶ 長さと時間が伸縮すればcは一定に見える
x' =g (x-vt),
y'=y,
z'=z
t' =g (t-vx/c2)
■
ここで、 g =(1-(v/c)2)1/2 ローレンツ因子
Mellinger
▶ 伸縮：物質の性質ではない！ Einsteinの着想
相対論的古典力学
▶ ニュートンの運動方程式はどう変わる？
■
m→ g mと置き換えてやればよい
▶ なので、電子の回転運動も以下の式になる
▶ パルスの周期
t = 1/ns =2p g mc/(eB sinq )
Mellinger
相対論的速度合成(1)
▶ ローレンツ変換：逆変換
x =g (x'+bct'), y=y', z=z', ct =g (ct' +bx')
■
ここでb =vx/c, g =1/√1-b 2
▶ 系Kに対して速度vで移動する系K'
▶ 系K'から見て等速度u'で移動する点P
▶ Pの運動を成分に分けると
x' =u//' t', y'= u⊥' t', z'=0
 z軸をuと垂直にとる。t=0でPは原点にいる。
■
ローレンツ変換式に代入
Mellinger
相対論的速度合成(2)
x =g (u//'+bc)t', y'=u'⊥t', z'=z, ct =g (c+bu//' )t'
▶ 上式からKでのPの運動uを記述すると
■
u//=x/t, u⊥=y/t となるはずだから
u //=(u//'+bc)/(c+bu//' ), u⊥=u'⊥/(g (c+bu//' ))
▶ bとg を代入すると
■
u //=(u//'+v)/(1+ vu//' /c2),
u⊥=(u' ⊥ √1-(v/c)2)/(1+vu//' )/c2)
これが、相対論的速度合成則
Mellinger
相対論的速度合成(3)
▶ 速度u'=u=c の場合
■
■
u //=c cosq, u⊥=c sinq
u //'=c cosq', u⊥'=c sinq'
▶ となるので、
cosq =(cosq'+b)/(1+b cosq')
▶ 真横はどっちに見えるか
■
■
cosq'=p/2の場合、cosq =b
したがって、sinq =√1-cos2q =1/g
Mellinger
相対論的ビーミング(1)
▶ 相対論的電子の場合の補正は…
■
真横のはずが、進行方向1/g に“圧縮”される
Mellinger
非相対論的放射
相対論的放射
相対論的ビーミング(2)
▶ 頂角1/g の円錐内に強く放射する
■
■
電子が巡ってくる周波数でパルスが出る
円錐が特定方向を掃く時間Dt
▶ Dtを求める
■
電子がDf=2/g回転する時間
 (2/g)/(2pns)
■
パルスの到達時間差：距離短縮
 rsDf
~v (2/g)/(2pns)= v/(pgns)
rs=v/(2pns)
Df
Mellinger
相対論的ビーミング(3)
Dt =(2/g)/(2pns)-(rsDf /c)~1/(2pnsg 3)
ここで、1-v/c~ 1/(2g 2)を用いた（g ≫1)
▶ ここまでに求めた式を代入すると
Dt ~(mc)/(eB sinq g 2)
Mellinger
電子１個が出すパルス
▶ 時間T=1/nsごとに、幅Dtのパルスが来る
Mellinger
時間変化とスペクトル(1)
▶ 任意の関数を三角波の重ね合わせで
▶ 時間変化をフーリエ変換するとスペクトル
^
fn= ∫ f(t) exp(2ipnt) dt , フーリエ変換
Mellinger
時間変化とスペクトル(2)
▶ ２つの三角波の重ね合わせ
■
■
A1 sinf1t+ A2 sin f2t
うなりを生じる時間変動
２つの輝線スペクトル
Mellinger
時間t
周波数n
フーリエ変換
▶ 任意の関数を三角波の重ね合わせで
■
■
そこそこ合っていればよい：近似
“自然な”関数でOKならいい
f^n= ∫ f(t) exp(2ipnt) dt , フーリエ変換
^
f(t)=∫ fn exp(-2ipnt) dn, 逆フーリエ変換
Mellinger
フーリエ変換の例(1)
▶ 矩形波のスペクトル
f^n= ∫ exp(2ipnt) dt= exp(2ipnt) /(2ipn)]-Dt/2+Dt/2
=(exp(ipnDt)-exp(-ipnDt))/(2ipn)
=sin(pnDt)/(pn)
Dt
Mellinger
Dn=1/Dt
時間t
0
周波数n
フーリエ変換の例(2)
▶ 一定区間で定数のスペクトル
f(t)= ∫ exp(-2ipnt) dn = exp(2ipnt)/(2ip t)]-Dn/2+Dn/2
=(exp(ipDnt)-exp(-ipDnt))/(2ip t)
=sin(pDnt)/(p t)
Dn=1/Dt
Dt
Mellinger
時間t
0 周波数n
フーリエ変換の例(3)
▶ ガウス分布Gaussianのスペクトル
f^n= ∫ exp(2ipnt) exp(-(t/s)2) dt
= exp(-(pns)2) ∫ exp(-(t/s-ipns)2) dt
= exp(-(pns)2) p 1/2s
Mellinger
Ds
Dn=1/Ds
時間t
0
周波数n
フーリエ変換前後の性質
^
▶ f(t)がゆっくり変わる関数だとfnは鋭い
■
■
幅が狭くなり、ピークが高くなる
遠くまで波打っていると急変がある
▶ f(t)が鋭い関数だとfn^はゆっくり変わる
■
■
^
幅が広くなり、ピークが低くなる
不連続があると波打つ
Mellinger
目で見るフーリエ変換
時間t
周波数n
Mellinger
電子１個のスペクトル(1)
▶ 1/Dt 程度の周波数で減衰するスペクトル
n c=3/(4p) (1/Dt ) =(3eg 2B sinq)/(4p mc)
 シンクロトロン臨界周波数
▶ フーリエ変換を実行すると
∞
∫n/nK
Pn =(√3e3B sinq ) /(mc2)(n /nc)
■
■
ここでK5/3(x)は変形ベッセル関数
peak位置は0.29n c
c
5/3(x)dx
Mellinger
電子１個のスペクトル(2)
Pn
=(√3e3B
sinq
) /(mc2)(n
∞
∫n/nK
/nc)
5/3(x)dx
ここでK5/3(x)は変形ベッセル関数
この式にはg が陽に含まれていない（nc中にあり）
c
■
■
Mellinger
高エネルギー電子の分布
▶ エネルギー分布←→速度分布
▶ ベキ乗分布（経験的に、近似的に…）
N(E)dE = CE-p dE
■
p:ベキ指数
相対論的エネルギーはE=g mc2 なので
N(g)dg = Cg -p dg
Mellinger
シンクロトロンのスペクトル(1)
▶ n/nc依存部分をF(n/nc)とまとめると
Pn =(√3e3B sinq ) /(mc2) F(n/nc)
▶ したがって、
Pn,全電子=C ∫Pn g -p dg = C(B sinq ) ∫ F(n/nc) g -p dg
▶ x=n/ncと置くと、nc∝g 2だったので、
Pn,全電子∝n -(p-1)/2 ∫ F(x) x(p-3)/2 dx
▶ 積分範囲が0～∞としてよければ
Pn,全電子∝n -(p-1)/2
Mellinger
シンクロトロンのスペクトル(2)
Pn,全電子∝n -(p-1)/2
▶ シンクロトロン放射はベキ乗となる
Pn,全電子∝n -bと書けば、 b = (p-1)/2
■
スペクトルから電子のエネルギー分布がわかる
▶ 強さは、電子密度neとB sinqに比例する
■
別の式と組み合わせればneとB sinqがわかる
Mellinger
磁場が揃っていれば
▶ 電子の運動は揃っている
■
■
放射の偏波面が揃う
偏波した放射となる
▶ 偏波面⊥磁場
■
磁場の方向がわかる
Mellinger

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