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基礎電気理論 (2)
2008年作成
担当：本間聡
連絡先 Email: [email protected]
三角関数を勉強するのか？
電気回路・信号の世界では，直流のほかに，交流が使われる．
（皆さんが使っている電源の多くは交流）
0.5
W( t ime)
144V
0.5
電圧

00V
 0.5 －144V
0.5
0
0
5
10
15
時間
t ime
12.5
皆さんの家庭に供給されている電源
（東日本は50Hz，西日本は60Hzの交流）
三角関数と周期的な波
cos t
1

0
2
3
4
5
t
時間
cos○ の○の値が2π変化すると，一つの波が終わる
振幅と位相
電圧
e(t )  A cos(t   ) [V ]
A

2
3
4
0
5
t

時間
初期位相
A: 振幅（波のふり幅を表す）
θ：初期位相（波の時間的ずれ）
cos 0 に相当する場所
三角関数と交流１
一般的な交流とは
f (t )  A cos(t   )
sinでも構わない
A : 振幅
周期 : T 
2

で表される波形
位相が2π変化すると一周
2π位相が変化する時間を
求めればよい
 : 角周波数
1 
 : 初期位相(位相) 周波数 : f  T  2
単位時間当たりに，位相はωだけ変化する．
2πで割れば，単位時間当たりの波の数が計算できる
三角関数と交流２
電圧
e(t )  A cos(t   ) [V ]
A


0


2

3

4

5

t
時間
初期位相
時間が
2
 周期

だけ変化すると，一つの波が終わる．
１．三角関数
1.1 定義

三角関数
a : 図中のx座標，b : y座標
c :図中の円の半径
y-axis
a
sin( ) 
c
(a,b)
c

b
a
b
cos(  ) 
c
sin( ) a
tan( ) 

cos( ) b
x-axis
1.2 定義2
c

b
b



c
a
a
sin(  )     sin( )
c
b
cos(  )   cos( )
c
a
1.3 定義3
 / 2 
b
sin( / 2   )   cos( )
c
a
cos( / 2   )   sin( )
c
 / 2 

c
b

c

a
b
a
1.4. 三角関数の公式
これだけは覚えよう
sin(   )  sin  cos   sin  cos
cos(   )  cos cos   sin  sin 
引き算の場合
sin(   )  sin  cos(  )  sin( ) cos
cos(   )  cos cos(  )  sin  sin( )
sin(   )  sin  cos   sin  cos
cos(   )  cos cos   sin  sin 
1.5. 三角関数の公式2
sin  cos  を求める
sin(   )  sin  cos   sin  cos
sin(   )  sin  cos   sin  cos
両辺を足すと
sin(   )  sin(   )  2 sin  cos 
よって
sin(   )  sin(   )
sin  cos  
2
1.6. 三角関数の公式3
cos cos 
sin  sin 
を求める
cos(   )  cos cos   sin  sin 
cos(   )  cos cos   sin  sin 
両辺を足すと and 引くと
cos(    )  cos(    )
sin  sin  
2
cos(    )  cos(    )
cos  cos  
2
1.7 三角関数の公式のまとめ
sin(   )  sin  cos   sin  cos
cos(   )  cos cos   sin  sin 
sin(   )  sin  cos   sin  cos
cos(   )  cos cos   sin  sin 
sin  cos  
sin(   )  sin(   )
2
cos(    )  cos(    )
2
cos(    )  cos(    )
cos  cos  
2
sin  sin  
覚える必要があるのは，左上の式のみ
あとは解き方を覚えておけばよい
2. オイラーの公式
2.1 オイラーの公式
電気，電子系で最も使われる公式の一つ
オイラーの公式
e
e
 j
j
 cos  j sin 
 cos( )  j sin( )
 cos  j sin 
以下ではオイラーの公式を用いて
三角関数の公式を導出してみよう
2.2 オイラーの公式を用いた三角関数の公式の導出(1)
j (   )
を計算する．
1．オイラーの公式より
e j (  )  cos     j sin   
e
実部
虚部
2．オイラーの公式より
e j (  )  e j e j  cos  j sin  cos  j sin  
 cos cos   sin  sin 
実部
 j sin  cos   sin  cos 
虚部
1と2の右辺の実部，虚部を比べて
sin(   )  sin  cos   sin  cos
cos(   )  cos cos   sin  sin 
2.3 オイラーの公式を用いた三角関数の公式の導出(2)
先と同様に
e
j (   )
を計算すれば，以下の公式が
導出される
sin(   )  sin  cos   sin  cos
cos(   )  cos cos   sin  sin 
2.4 オイラーの公式を用いた三角関数の公式の導出(3)
さらに e j (   )  e j (  ) を計算する
１．e j (  )  e j (  )  cos     cos     jsin     sin   
2．e
j (   )
 e j (  )  e j e j  e j 
 cos  j sin  2 cos 
 2 cos cos   2 j sin  cos 
１，２より実部と虚部を比較して
cos      cos    
cos  cos  
2
sin      sin    
sin  cos  
2
2.5 オイラーの公式を用いた三角関数の公式の導出(4)
e j (   )  e j (  ) を計算する
１．
e j (  )  e j (  )  cos     cos     j sin     sin   
２．

e j (   )  e j (  )  e j e j  e j

 cos   j sin  2 sin  
 2 cos sin    j 2 sin  sin  
１と２より，虚部を比較すると
sin(   )  sin(   )
sin  sin  
2
2.6 オイラーの公式を用いた三角関数の公式の導出のまと
め
e
e
e
e
左の式をオイラーの公式を
用いて計算する
（実部と虚部を比較する）
j (   )
j (   )
j (   )
j (   )
e
j (   )
e
j (   )
1.7の三角関数のすべて
の公式を導出できる

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