面対称性のある問題

面対称性のある問題
Y
コイル磁場の変化により穴あき
の正方形板に誘導電流を流す
コイル
Ｘ
誘導電流
電流、磁場、ベクトルポテンシャルなど
全ての「場」に「ｙｚ面対称性」がある
ベクトルの対称関係
yz面に対する面対称マトリクス
yz面に対する面対称マトリクス
y
1 0
0 − 1
[S ] = 
0 0

0 0
A=（Ax, Ay, Az, Φa)
B=（Bx, By, Bz, Φb)
z
x
0 0

0 0
1 0

0 1
B = [S ]A
yz面をはさんで対称の位置にある２つのベクトルは、
上式の関係をもつ
y
6
4
2
x
5
3
1
[S x ] = [S z ] = [SΦ ]


 A1x  
 2 
 Ax  
 A 3  
x
 4= 
 Ax  
 A5  
 x6  
 Ax  



1

0 0

0 0 



1 0 

0 1 

0 0 

0 0


0
2
0
0
0
1
1
2
0
0
0
2
0
 1

 A1y   2
 2  0
 Ay  
 A3  
 y  0
 4=
 Ay   0
 A 5  − 1
 y6  
2

A
 y 
 0


1
2
0
1
2
0
0
0
−
1
2

2 A1x 

2
2 Ax 

= [S x ]
3 
Ax 


Ax4 


0 0

0 0 

1 0 

0 1 

0 0 

0 0


2 A1x 
2
2 Ax 
3 
Ax 
Ax4 
 2 A1y 
2 A1y 



2
2
2 Ay 
 2 Ay 
= Sy  3 
3 
Ay 
 Ay 
 A4 
A y4 
 y 
[ ]
各[S]マトリクスの逆マトリクスは、それぞれの転置マトリクスに等しい。
[S x ]
−1
[S y ]
−1
= [S x ]
T
[ ]
= Sy
T
[S z ] = [S z ]
−1
T
[S Φ ] = [S Φ ]
−1
T
確かめてみてください。
まとめて、
（4×6）×１

 A1x 

 

 M 

 A6 

 1x 
 A y  （4×6）× （4×4） 

 M  S
0
0
0


   x

0 
 A y6   0 S y 0
 1=


0 Sz
0 
 Az   0

 M  0
0
0 SΦ 
 6

 Az 

 A1 

 Φ

 M 

 6

 AΦ 

（4×4） ×１

2 A1x 


M 


Ax4 


1
2 Ay 



M 


A y4 
= [S ]
1
2 Az 


M 


4
Az 


1 
2 AΦ



M 

4 
AΦ 

2 A1x 

M 
Ax4 

1
2 Ay 

 Axs 
M 
 s
4
Ay 
 Ay 
= [S ] s 
1
2 Az 
 Az 
s 


A
M
 Φ

Az4 
1 
2 AΦ

M 
4 
AΦ 
もともとのマトリクス方程式
 Ax 
 Ax 
 A 
 A 
Q
R
Q+R
+




−1
−1
y
y
=
  + [M ][G ] {F }

 P + ∆t + MG H   
 ∆t   Az 

  Az 
 φ  old
 φ  new
Ax
M1
Ay
Az
Φ
(4×6) × (4×6)
=
new
M2
Ax
Fx
Ay
Fy
Az
Φ
(4×6) × (4×6)
+
M3
old
(4×6) × (4×6)
Fz
0
(＊)式をこのマトリクス方程式に代入し、かつ前から
[S]-1=[S]Tをかけると、
 Axs 
 Fxs 
 Axs 
 s
 s
 s
 Ay 
F y 
 Ay 
T
T
T
[S ] [M 1 ][S ] s  = [S ] [M 2 ][S ] s  + [S ] [M 3 ][S ] s 
 Az 
 Fz 
 Az 
Φ s 
 0 
Φ s 
  old
 
  new
(4×4) × (4×4)
(4×4) × (4×4)
(4×4) × (4×4)
となり、 (4×6) × (4×6)のマトリクス方程式が(4×4) ×
(4×4)まで小さくなる。これによりメモリおよび計算時間が
(4/6)2倍と節約される。
凝縮されたマトリクス方程式は
 A1x 
 A1x 
 Fx1 
 1
 1
 1
Q'+ R'
  Ay 

 Q'+ R'   Ay 
−1
−1  Fy 
=
 1  + n M ' G'  1 

 P'+ ∆t + M ' G ' H '  A1 
 z 

 ∆t   Az 
 Fz 
φ 1 
φ 1 
 0 
  new
  old
[
]
となり、nN×nNのマトリクス方程式がN×Nまで小さくなる。
これによりメモリおよび計算時間が1/n2倍と大幅に節約さ
れる。
しかしながら、一度[P]のような大マトリクスを求めてから
[P’]を求めるのでは、結局トータルメモリの節約にはなら
ない。

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