第２日目第３時限の学習目標  点推定と区間推定について学ぶ(続き）。（１）区間推定の公式の導き方の基本を知る。（２）区間推定の演習を行う。  統計的検定の基本的な考え方について学ぶ。（１）母平均の統計的検定の考え方を知る。（２）帰無仮説とその採択・棄却の概念を学ぶ。（３）仮説検定に際しての危険率（有意水準）の概念を学ぶ。信頼区間導出の概要－３（参考）  実際、標本が得られた母集団の母分散が未知の場合、平均μ0なる正規分布からの N 個の標本を用いて上記の t なる量を計算すると、  sx  t  ( x  0 ) /    t  N 1  すなわち、t は自由度 ν=N-1 の t-分布に従うことが証明できる。ここで、t-分布とは？信頼区間導出の概要－４（参考）  t 分布とは、つぎのような関数から成る分布で、f(t) は任意の t が特定の値を取る確率を表す。また Γ はガンマ関数である：   1   1    2 2   t 2   f (t )   1            2 自由度 v = N-1 の t-分布の分布とは？－正規分布に近い y 軸対称な分布確率斜線部１－α t- 分布ｔ - ｔＮ－１（α/2) ｔＮ－１（α/2) 信頼区間導出の概要－５（参考）  上の分布の特徴からは、次式が成り立つ：   sx       prob t N 1    ( x  0 ) /   t N 1   2  2   N 1    1   . この式を変形し μ0 について解くと、先ほどの信頼区間の公式となる。すなわち、区間推定の公式－統計的推定問題の例 sx sx     Pr ob x  t N 1 ( )   0  x  t N 1 ( )   2 2 N 1 N 1    1  　 上の式は、母平均を、標本平均や標本標準偏差等を用いて、ある区間に入る確率がどれだけ、という言い方で推定する式であり、  統計における基本的な２つの方法である、推定と検定のうち、推定の問題の１つの例といえる。演習６  平均値の区間推定を行う。  授業での演習のサンプル数は、１０とする。  （データセット１）：４１，２４，２０，２１，１５，２６，１９，２３，４０，２６（データセット２）：３８，２４，１５，２６，１０，２２，１４，２９，３７，２９演習６区間推定の公式（再掲載）標本平均標本標準偏差 t-分布の上側 100 (α/2) ％点 sx sx     Pr ob x  t N 1 ( )   0  x  t N 1 ( )   2 2 N 1 N 1    1   母平均演習６（計算の手順）  （１）平均を求める。  （２）標準偏差 sx を求める。  （３） s / N 1 を計算する。 x • (4) つぎに示す t 分布表で、自由度 ν=N-1 の t 分布の５％棄却点の値を読み取る。 • （５）区間推定の公式を用いて、母平均の９５パーセント信頼区間を求める。演習６（自由度 ν=N-1 の t-分布の棄却点の値 tN-1(α/2) の読み取り方） α のこと ν p 0.9 0.8 … 0.05 1 .158 .325 … 2 .142 .289 … ∶ 9 0.02 … 12.706 31.821 … 4.303 6.965 … 2.262 2.821 … ∶ .129 .261 … ∶ ∶ ∞ … … 統計的検定の基本的な考え方（１）区間推定の方法の復習ー１  母平均の区間推定の場合には、ある母集団から N 個の標本を手にしたとき、標本平均及び標本標準偏差からつぎの量 t 、すなわち  sx  t  ( x  0 ) /    N 1  を計算すると、この量 t の値が、つぎの区間に入る確率が、統計的検定の基本的な考え方（２）区間推定の方法の復習ー２       prob t N 1    t  t N 1    1   . 2  2   となることを用いてこの式を変形し、μ0 について解くと、先ほど演習した、当該標本が得られたもとの母集団の母平均の区間推定の公式が導けることを学んだ。統計的検定の基本的な考え方（３）母平均の統計的検定（１）  これに対して、ある母集団から N 個の標本を手にしたとき、標本平均及び標本標準偏差からつぎの量  sx  t  ( x  0 ) /    N 1        に入る確率を t  t N 1   が  t N 1    t , 2  2   考えてみよう。つまり、自由度 v = N-1 の t-分布で、横軸の値 t がこの図の斜線部に入る確率裾野の両側の斜線部の合計が α 確率 t- 分布ｔ - ｔＮ－１（α/2) 1-α ｔＮ－１（α/2) 統計的検定の基本的な考え方（４）母平均の統計的検定（２）（参考）  上の分布の特徴からは、次式が成り立つ：   sx    prob t N 1    ( x  0 ) /  , 2  N 1    sx     ( x  0 ) /   t N 1  　  .  2   N 1  この式を変形し x について解くと、つぎのようになる。すなわち、統計的検定の基本的な考え方（５）母平均の統計的検定（３）（参考）      sx  prob0  t N 1       x,  2   N 1       s x  x  0  t N 1     　  .  2   N  1   上式は、データが母平均μ0 なる母集団からの標本ならば、標本平均が上記の範囲に入る確率は α % である、ことを意味している。統計的検定の基本的な考え方（６）母平均の統計的検定（４）（参考）  ここでの αは、検定の文脈では危険率あるいは有意水準と呼ばれる。  αは、通常、５% か１% が選ばれる。  また、「データが母平均μ0 なる母集団からの標本である」という言明は、統計的検定の文脈では、帰無仮説と呼ばれ、つぎのように表記される： H 0 :   0 統計的検定の基本的な考え方（７）母平均の統計的検定（５）（参考）  ところで、危険率 α が５% の場合、データが母平均μ0 なる母集団からの標本ならば、標本平均が上記の範囲のような極端な値を取る可能性は、１００回のサンプリングでも５回ぐらいしかないことになる。  万が一、うえの帰無仮説のもとで、このような起こり得そうもないことが起きた場合、我々はその帰無仮説を捨てる。これを、統計学では、帰無仮説を棄却する、という。さもなければ、我々は、帰無仮説を採択する。これが、検定である。統計的検定の基本的な考え方（８）統計的検定における２種類の過誤  統計的検定における第１種及び第２種の過誤 (1) 第１種の過誤：帰無仮説が正しいのに、棄却する確率 (2) 第２種の過誤：帰無仮説が間違っているのに、採択する確率  ２種類の過誤の関係２種類の過誤は、一方を大きくすると他方は小さくなり、その逆も成り立つという二律背反の関係にある。