確率･統計Ⅰ

確率･統計Ⅱ
第4回
区間推定（2）
1. 母分散の推定
2. 母比率の推定
3. 区間推定のまとめ
母分散の推定
◎ 母集団が正規分布に従う場合（の
み）
次の定理によって、
カイ二乗分布を用いる。
【定理】
 
2
(n  1) S

2
2
は自由度 n-1のカイ二乗分布に従う
カイ二乗分布の式とグラフ
自由度 n=5
自由度 n=10
f ( x) 
1
n
2  
 2
n
2
x
n2
2
e

x
2
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
(x>0)
カイ二乗分布のパーセント点
カイ二乗分布の右側α%点を χ2α/100 と書くことにする。
※ 左側β%点は χ2 1 - β/100 と書ける。
信頼水準95%
右側2.5%点
χ2 0.025 = ?
左側2.5%点
χ2 0.975 = ?
【注】 n に依存する
カイ二乗分布のパーセント点
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.00
0.05
0.22
0.48
0.83
1.24
1.69
2.18
2.70
0.00
0.10
0.35
0.71
1.15
1.64
2.17
2.73
3.33
3.84
5.99
7.81
9.49
11.07
12.59
14.07
15.51
16.92
5.02
7.38
9.35
11.14
12.83
14.45
16.01
17.53
19.02
…
0.025
…
χ
…
0.050
…
χ
2
…
自由度 n χ20.975 χ2 0.950
母分散の推定
◎ 母集団が正規分布に従う場合（の
み）
次の定理によって、
カイ二乗分布を用いる。
【定理】
 
2
(n  1) S

2
2
は自由度 n-1のカイ二乗分布に従う
母分散の推定
カイ二乗分布の右側2.5パーセント点
P(  20.975  2   20.025 )  0.95 （信頼水準95%の場合）
つまり
よって
 2

(n  1) S 2
2
P  0.975 
  0.025   0.95
2



 1
1
2
2
2
P 2 (n  1) S    2
(n  1) S   0.95
 0.975
  0.025

1

2
0.025
(n  1) S   
2
1
2

2
0.975
(n  1) S
2
これに S2 の実現
値 s2 を代入
母分散の推定
つまり
（標本の大きさ n 、信頼水準95%の場合）
1

2
0.025
(n  1) s   
2
1
2

2
(n  1) s
0.975
自由度 n-1 のカイ二乗分布の右側2.5パーセント点
自由度 n-1 のカイ二乗分布の左側2.5パーセント点
2
［例題］母分散の推定
[3] 10世帯の収入の平均と標準偏差を
調べたところ、それぞれ703万円、15
万円であった。
このデータを正規母集団 N(μ,σ2) から
の無作為標本と考えて、母分散σ2の
95%信頼区間を求めよ。
［例題］母分散の推定
10世帯の標準偏差が15（万円）だから、
n  10, s  15  225
2
2
したがって母分散σ2の95%信頼区間の上
限・下限は、
（自由度 9 のカイ二乗分布の表を用いて）
［例題］母分散の推定
1
下限 =  2 0.025
1
(n  1) s 
 9  225
19.02
2
 106 .5
自由度 9
上限 =
1

2
0.975
(n  1) s
2
1

 9  225
2.70
 750 .0
［演習］カイ二乗分布を用いた推定
[1] 正規分布に従う母集団から、次のデータ
が得られた。
12, 14, 14, 9, 10, 12, 11, 13, 10, 15
母分散σ2の95%信頼区間を求めよ。
区間推定（2）
1. 母分散の推定
2. 母比率の推定
3. 区間推定のまとめ
母比率の推定
母集団の中で、事象Ａの比率が p で
あるとき、標本の中のＡの割合から p
を推定する。
母集団分布は、母平均 p, 母分散 p(1-p)
p
q
理由：Ａである要素を1, それ以外
の要素を0と考えればよいから。
0
1
母比率の推定
標本 X1, X2, …, Xn は、
確率 p で値1をとり,
確率 (1-p) で値0をとる
確率変数と考えられる。
標本平均 X の
平均 E(X)=p =母平均 =母比率
分散 V(X)= p(1-p) / n
（復習）母平均の推定
母平均μ，母分散σ2 とする。
標本の大きさ n が大きい場合、
または（nが小さくても）
× 母集団が正規分布に従う場合
標本平均 X は正規分布に従う
2/n) /n)
N(μ,
N(
p, σp(1-p)
（復習）母平均の推定
（信頼水準95%の場合）
x  1.96

n
   x  1.96

n
p
p(1  p)
x
x
「母分散が未知の場合」だが、母比率pで
表されている点が一般の場合と異なる。
∴標本分散を用いなくても、p の点推定値であ
る標本平均の実現値 x を用いて近似できる。
母比率の推定
結局、
（信頼水準95%の場合）
x (1  x )
x (1  x )
x  1.96
 p  x  1.96
n
n
［例題］母比率の推定（大標本）
[1] 自由党の支持率を400人について
調べたところ、支持者は168人だった。
このデータから、自由党の支持率を
95%の信頼率で区間推定せよ。
［例題］母比率の推定
400人中168人が支持だから、
n  400, x  168/ 400  0.42
したがって母比率 p の95%信頼区間
の上限・下限は、
［例題］母比率の推定
下限 = x  z0.025
x (1  x )
n
0.42(1  0.42)
 0.42  1.96
400
x (1  x )
上限 = x  z0.025
n
0.42(1  0.42)
 0.42  1.96
400
 0.37
 0.47
［演習］母比率の推定
[1] 1997年12月16日、ポケモンの視聴率は
16.5%であった。
このデータは、実は600人のうち99人が見
ていたという事実から計算されたものだっ
たとするとき、本当の視聴率を95%の信頼
率で区間推定せよ。
区間推定（2）
1. 母分散の推定
2. 母比率の推定
3. 区間推定のまとめ
区間推定のまとめ
（Ⅰ）母平均μの推定

基本（正規 or n大）
  x  1.96
σ未知（n大）
σの代わりに s を使う
σ未知（正規 and n小）
σ→ s 、
1.96→t分布の2.5%点
n
区間推定のまとめ
（Ⅱ）母比率pの推定
x (1  x )
p  x  1.96
n
（n大）
（Ⅲ）母分散σ2 の推定
（正規）
 
1
2

2
0.025または 0.975
(n  1) s
2
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