電気回路Ⅱ 演習第1回 - ホーム - Welcome to the

電気回路Ⅱ 演習
山梨大学大学院
医学工学総合研究部
○本間
聡（助手）
廣島綱紀伊藤広和（TA）
E-mail: [email protected]
レポートの提出は木曜日10時
A1-309まで
coperyright belong to satoshi honma All right reserved
授業に入る前に
約束事
開始５分前までに入室して下さい。遅刻は認めません。
途中退室は原則認めません。トイレは開始前に済ませておいて下さ
い。
飲食は一切禁止します。
携帯電話の電源は教室に入る前に必ず切ってください。
連絡事項
レポートの課題が出された場合，木曜日の10時までに， A1号館の3
階 A1-309の部屋の前のレポートボックスへ提出する．
質問等があれば，[email protected]へメールを送る
またはA1号館の3階 A1-309までくる
テキストhttp://www.es.yamanashi:8080/~motoken/
電気回路Ⅱ演習
第1回直流と交流復習編
山梨大学大学院
医学工学総合研究部
○本間聡助手
E-mail: [email protected]
coperyright belong to satoshi honma All right reserved
Contents（直流と交流の復習）






オームの法則
キルヒホッフの法則
重ね合わせの法則
負荷の合成
直流と交流の違い
実効値，位相，フェーザー
オームの法則
I
V
I
R
I：電流(A)
V：電圧(V)
Z:負荷
電力W=VI (W)
V
R
キルヒホッフの法則
１．一つの接点に流れ込む電流の代数和は0となる
２．回路中の任意の閉路について，電圧の代数和は0となる
I0= I1+ I2
I0
I1
E
I2
R1
R2
E=R1I1
E=R2I2
I1:I2=R2:R1
重ね合わせの法則
回路を閉路にわけ，分流する電流を仮定して式を導出する．
その後，各回路を重ね合わせる．
I1
E
I2
R1
R2
E=(I1-I2)R1
0=(I2-I1)R1+I2R2
もちろん，違う閉路を
仮定しても良い
その他で覚えておくと便利なもの
負荷の合成について
直列
並列
Z1
Z1
Z2
Z2
1
Z  Z1  Z 2
Z1 Z 2
Z

1
1
Z1  Z 2

Z1 Z 2
問題1-1
I0
E
R1
電流I0を求めよ
R2
E=10[V]
R1=5[kΩ]
R2=10[kΩ]
問題1-2
I1
E1
R1
R2
E2
R3
R4
E
I1とE1およびE2を求めよ
E=6[V]
R1=3[kΩ]
R2=6[kΩ]
R3=12[kΩ]
R4=6[kΩ]
交流回路
電流と電圧は正弦波的に変化する．
電力を計算する場合，電流と電圧の位相が重要となる．
1
1
1
1
I( time)
V ( time)
0
1
1
W( time) 0.5
0
0
5
10
time
電流と電圧
15
0
12.5
0
0
0
位相差0
5
10
time
瞬時電力
15
12.5
1
1
0.5
0.5
I( time)
V ( time)
0
1
1
W( time)
0
0
5
10
time
電流と電圧
15
0
 0.5 0.5
12.5
位相差π/2
0
0
5
10
time
瞬時電力
15
12.5
一般的な交流
交流とは
f (t )  A cos(t   )
sinでも構わない
2
で表される波形
位相が2π変化すると一周
2π位相が変化する時間を
求めればよい
A : 振幅
周期 : T 
 : 角周波数
 : 位相
1 
周波数 : f  
T 2

単位時間当たりに，位相はωだけ変化する．
2πで割れば，単位時間当たりの波の数が計算できる
瞬時値
1
1 Em
e(t )  Em sin(t )
電圧
瞬時値
I( time
)
e(t)
0
 1 E1
m0
0
5
10
15
time 時間 12.5
Emは瞬時値の最大値であり，
実効値ではないことに注意すること
実効値
e(t )  Em sin(t )
I( time
)
e(t)
0
 1 E1
m0
実効値
：各瞬時値の2条の平均の平方根
1
Ee 
T
電圧
交流は時間的に変動している．通常，
実効値を使って計算することが多い
1
1 Em

T
0
2
e(t ) dt
0
5
10
15
time 時間 12.5
問題2-1 実効値を求める
１．電圧の瞬時値が e(t )  Em sin(t )
電圧の実効値を求めよ．
2．電流の瞬時値が i (t )  I m sin(t
電流の実効値を求めよ．
である場合，
)
である場合，
瞬時電力と平均電力
E2ｍ
電力を求める
瞬時電力
p(t)=e(t)i(t)
1
平均電力 P 
T

T
0
2
Iｍ
e(t)
I( time)
V
( time)
i(t)
0
p (t )dt
瞬時電力は基本的に交流となることに注意
2
2
0
0
5
10
time
time
15
12.5
時間に対する電圧e(t)と電流i(t)
問題2-2 電力を求める
１．
e(t )  Em cos(t )
電圧
i(t )  I m cos(t )
電流
電圧
e
(
t
)

E
cos(

t


)
m
1
2．
i(t )  I m cos(t   2 ) 電流
の場合の平均電力を求めよ
の場合の平均電力を求めよ

3. 1と2の結果を比較しよう．もし 1   2 
の場合平均電力は
2
どうなるか
三角関数の計算がわからない方は，数学の基礎編を見ておくこと
電力と実行値
Em I m
P
cos(1   2 )
2
 Ee I e cos(1   2 )
ただし
←直流の場合と比較すると1/2がつく
←直流の場合と表示が同じ
Em
Ee 
2
Im
Ie 
2
実行値を用いれば直流と同じように計算できる
(実効値）
複素表示を使った表現１
今までの表現
e(t )  2Ee cos(t   )
この表示のまま計算するのは少し面倒である．特に微分積分の計算
オイラーの公式
e
j
 cos  j sin 
e(t )  2E cos(t   )
e(t )  Re{ 2Ee j (t  ) }
実部でも虚部でも構わない
複素表示を使った表現2
j
e(t )  2Ee e
jt
の角周波数で回転
の角周波数で振動
2E
0
t  
基準の方向
e(t )  2E sin(t   ) [V ]
2E
大きさ（最大値）

0

位相
2
3
4
5
t
複素表示を使った表現3
主に扱うのは角周波数ωは一定．その場合，重要なのは振幅と位相
e(t )  2Ee e
jt
大きさ（最大値）
大きさ（最大値）
2E
0

e(t) [V]
j
e(t )  2E sin(t   ) [V ]
2E
初期位相

0
基準の方向

初期位相
2
3
4
5
t
一般的に用いられる複素表現
一般的には実行値を使って表すことが多い
e(t )  2 Ee sin(t  1 )  E e e jt ただし E e  Ee j1  Ee 1
i (t )  2 I e sin(t   2 )  Ie e jt ただし Ie  Ie j 2  I 2
複素表示ならベクトル図を使って表現も可能
Ee
Ie
1
基準の方向
2
基準の方向
一般的計算
フェーザで表現されたものは，足し算，引き算ができる
E1  E2
E2
E2
E1
E1
 E2
E1  E2
例
e1 (t )  2 E sin(t )


e2 (t )  2 E sin t  
3

E 2  E / 3
π/3
π/3
E1  E0
の二つの電圧が加わった場合
E1  E 2  3E / 6


e12 (t )  2  3E sin t  
6



 6 E sin t  
6

複素数で電力を表す
フェーザーで考えると
e(t )  2 Ee cos(t  1 )  E e e jt
i (t )  2 I cos(t   )  I e jt
e
2
e
電力を求めるには電流と電圧を掛け合わせていた
e(t )i(t )  Ee Iee j 2t ？となってしまう．2倍の周波数で出現
この場合
*


P  Ee I e
共役項を掛け合わせる
例．e(t ) 
2 E cos(t  1 ) 電圧
i (t )  2 I cos(t   2 ) 電流
の場合の平均電力を求めよ
複素表現へ E  E (cos  i sin  ) I  I (cos  i sin  )
1
1
2
2
P  EI (cos1 cos 2  sin 1 sin 1 )
 iEI (sin 1 cos 2  cos1 sin  2 )
 EI cos(1   2 )
 iEI sin(1   2 )
←実部：問題2-1と一致
←虚部
スマートな解き方
電圧と電流を Ee j (t 1 ) Ie j (t  2 )とする
P  Ee
j (t 1 )
Ie

j (t  2 ) *
 EIe j (1  2 )
 EI cos(1   2 )
←実部：問題2-1と一致
 iEI sin(1   2 ) ←虚部
E  Ee j1 I  Ie j2として P  EIej (1 2 )
有効電力と無効電力
Ee , Ie と上部に点をつけて表現する
この場合
*


P  Ee I e
共役項を掛け合わせる
ここで，実際に交流回路で電力を計算してみると
一般的に電力は複素数となる
P  P実部  jP虚部
P実部
有効電力
P虚部
無効電力
電流と電圧の位相の関係に依存
問題2-3
問題
e(t ) ～
R
e(t)=100sin(ωt)[V]
R=10[kΩ]
の時、負荷Rにおける有効電力，無効電力を求めよ
問題2-4
問題
e(t ) ～
Z1
Z2
e(t)=100sin(ωt)[V]
Z1=10+10j[kΩ]
Z2=10-10j[kΩ]
の時、回路全体で
消費される電力を求めよ
問題2-5
i(t)
e(t ) ～
Z  10 10 j
[kΩ]
e(t)=100sin(ωt)[V]の時、
Zに流れる電流i(t)を求めよ
負荷Zにおける有効電力，無効電力を求めよ
まとめ
瞬時値 e(t )  Em sin(t   )
i(t )  I m sin(t   )
e(t )  2 Ee sin(t   )
i (t )  2 I e sin(t   )
Em , I mは瞬間的最大値

E
I 
Ee , I eは実効値  Ee  m , I e  m 
2
2

複素表示
e(t )  2 Ee sin(t  1 )  E e e jt ただし E e  Ee e j1  Ee 1
i (t )  2 I e sin(t   2 )  Ie e jt ただし Ie  I e e j 2  I 2
電力
*
E m Im
*
P
 E e Ie
2
実部：有効電力
虚部：無効電力

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