中央海嶺 (mid-oceanic ridge)とトランスフォーム断層(transform

プレートテクトニクス（４）
海洋性プレートの冷却
大西洋の
海底地形
深海底は海嶺軸から
遠ざかるにつれ、規
則正しく深くなる。な
ぜか？
海洋プレートの冷却によるルートｔ則
ープレートの年齢と水深・熱流量ー
水深はプレートの年齢ｔの平方根に比例し、熱流量はtの平方根に逆比例する。
→ プレートの冷却が関係している？
海洋プレートの冷却によるルートｔ則
ープレートの年齢とプレートの厚さー
表面波の解析から推定されたプレートの厚さDと年齢との間には、
D=7.5t1/2 の関係がある。
熱伝導方程式の導出
A
x
x
x+Dx
1次元熱伝導方程式の解法
T
 2T

t
 y2
ただし、  
K
c
-------- (1)
これを以下の条件の下に解く。
t = 0, y > 0 で T = T0
t > 0, y = 0 で T= Ts ---------------- (2)
t > 0, y→  で T→T0
T0
Ts
T0
Tの変数変換
温度 T は、T0 や Ts との差が問題になるだけなので、
以下のように変数変換する。

T  T0
Ts  T0
---------------------- (3)
これを用いると、式(1)は以下のように書き換えられる。

 2

t
 y2
--------------------- (4)
式(2)の条件も以下のように、簡単化される
  y,0  0
 0, t   1
 , t   0
------------------- (5)
時間ｔと空間ｙの相似変数hの導入
式(1)に長さの次元を持つ量は y の他には  t しかない。
 t は characteristic thermal diffusion distance で、
ある y に突然温度変化を与えたとき、
t 時間後にその変化を感じる距離という意味。
h
y
2 t
-------------------------------- (6)
のように、y を  t で規格化することによって式(1)の変数を減らす。
hは similarity variable で、hの値が等しいなら、温度分布は相似。
hを用いた熱伝導方程式の書き換え
式(6)を用いて式(4)の各項を下のように書き換える。
 d h d  1 y 1 d  1 h 








t dh  t dh  4  t t  dh  2 t 
 d h d 1


 y dh  y dh 2  t
-- (7)
---------------------- (8)
 2
1 d 2 h 1 1 d 2


2
2 y
4  t dh 2
y
2  t dh
---------------- (9)
式(7)-(9)を用いれば、式（4）は以下のように書き換えられる。
d 1 d 2
h

dh 2 dh 2
----------------------------------- (9)
式(9)を解く
y = 0 はh= 0 に、 y   と t =0 は h   に対応するので、
式（5）の条件は、下の２つだけになる。
 ()  0 、  0  1
ここで

d
dh
---------- (10)
----------------------- (11)
と置いて、式(9)を書き換えれば、下式を得る。
 h 
1 d
-- (12)、or
2 dh
 hdh 
1 d
2 
--- (13)
変数分離形なので、そのまま積分して、
 h 2  ln   ln c1
---------- (14)
書き換えて、
 
  c1 exp h 2 
d
dh
----------- (15)
h’をダミー変数として式(15)を積分する。
  c1 0 exp h'2  dh'1
h
------- (16)
ただし、上記積分定数を決めるのに  0  1 を使った。
   0 なので、式(16)は



0  c1 0 exp  h'2 dh'1
-------- (17)
を満足しなければならないが、




2
0 exp  h' dh' 
なので、 c1   2
 1
となる。
--------------- (18)
2
 となり、式(16)は
h
 
2
0


exp  h' 2 dh'
-------- (19)
誤差関数
式(19)の中の積分は error function（誤差関数）であり、
erf h  
h
 
2
0


exp  h' 2 dh'
------------- (20)
と定義される。この誤差関数を使えば、式(19)は
  1  erf h   erfch 
------------------ (21)
と書き表される。
なお、右辺の refc(h)は complementary error function。
式(21)を元の変数で書き直せば、下のようになる。
 y 
T  T0

 erfc
2 t 
Ts  T0


------------------ (22)
誤差関数は積分不能で、数値積分で求めなければならないが、
y=0 で
erfc は 1 なので、従って、T = Ts
y→  または t = 0 で
erfc は 0 なので、T = T0
y = 0 に突然与えられた温度急変帯を thermal boundary layer と呼ぶ。
この厚さを yT とし、= 0.1 である y と定義しよう。
hT  erfc -10.1  1.16 なので、式(6)から、このときの yT は
yT  2hT k t  2.32  t
------------ (23)
となる。
y = 0 からの熱流量 q は
 T 
K Ts  T0  d
y 
 
erf hh0
q  K    K Ts  T0 
erf



y 2 t 
2  t dh
  y  y0
y 0
K Ts  T0   2
K Ts  T0 
2 



exp(h )  

2 t  
t
h 0
---------- (24)
海洋性プレートの冷却
もし、中央海嶺で温度 Tm のマグマが海底まで達し、
即座にその表面は海底の温度 Ts に固定され、
その後速度 u で海嶺から(x 方向に)遠ざかりつつ冷却されるとする。
この状況には t = x/u、T0 = Tm, と置き換えれば、
式(22)の解がそのまま使える。
すなわち、
T  Tm
e
Ts  Tm

y 

r fc
2  x u 



T  Ts
y 

or
 erf
2  x u 
Tm  Ts


-------- (25)
同様に、式(23)から、下の式を得る。
yT  2.32  t  2.32  x u
-------------- (26)
さらに、海底からの熱流量は、同様に式(24)から
q
K Tm  Ts 
t

K Tm  Ts 
 x u
------------ (27)
拡大速度と中軸谷の有無
海嶺付近の変形

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