数学のかたち R09

数学のかたち
最高桁の数を調べる
Masashi Sanae
新聞に載っている数字を調べよう
新聞に載っている数字を調べよう
最高位の数字の個数を調べて，その傾向を探る
（例）
•総額で2008年 → 2
•二〇〇八年以降 → 2
•09年度 → 9
•〒604－8577 → 6
•（075）241-5430 → 7
ワークシートへの記入①
調べた新聞をかきなさい。
（この課題と一緒に新聞を提出すること。）
（
（
）新聞
）月（
）日（
）面
ワークシートへの記入②
最高位の数字の個数を，次の表にまとめなさい。
1
度数
相対度数
2
3
4
5
6
7
8
9
合計
ワークシートへの記入③
ヒストグラムを完成させなさい。
（縦のメモリは自分でとりなさい）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ワークシートへの記入④
どのような特徴があるか考察しなさい。
考察した事柄が起こる理由を考えなさい。
前回レポートのまとめ①
１と２がダントツで多い。割合的に６０％以上ある。
１と２が多いのは，郵便番号や電話番号，2000
年からの年数が多いからだと思います。また，２
月の記事なので１月２日のニュースが多いのも
関係していると思いました。
前回レポートのまとめ②
小さい数が多く，大きい数は少ない。１が異常に
多く，だんだん少なくなり，４から９まではあまり差
がない。
電話番号のフリーダイヤル。日付は１３日や２３
日があるので若い数字が多い。時間表示を２４
時間制にすると１３：００のようにある。住所でも１
丁目や２丁目のほうが９丁目より多い。
前回レポートのまとめ③
数が上がるほど出る数は少なくなる。１，２が圧
倒的に多い。
数字の１や２は「１０」とか「２０」に使われやすい
し，数字の「１」は様々な熟語や数「千」など色々
な用途で使われるが，７や６などは下一桁で使わ
れることはあっても，最初の数として出ることはほ
とんどないと思う。
前回レポートのまとめ④
「１」が一番多い。１から順にいくにつれ，どんど
ん個数が減っている。９で何故かちょっとあがる。
１が多く出たのは「一人」や「１８００円」など１から
始まる数字が多くのっていたからである。特に記
事には本の値段が載っていて，本の値段ではあ
まりにも高い数字は出てこず，千円台が多かった。
だから，１が良く出てきたのではないか。９が少し
多かったのは本の商品コードの始まりが「９」だっ
たから。
前回レポートのまとめ⑤
２が圧倒的に多く，ついで１が多かった。３，５～
７は同じくらいで，４，８，９は少ない。
２は２月，２００９年などが多いから。１は小さな数
字は「１人，２人・・・」とか「１０００人・・・」などのよ
うに多用されるから。８，９ななどのように大きな
数字はあまり多様性がないためあまり出てこない。
４や９は日本で不吉な数であるとされているため，
あえて使おうとしない傾向にあるから。
最高位の数字が1と2である数
この数ま
での個数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1の割合
0.1
0.5
0.33
0.25
0.2
0.17
0.14
0.13
0.11
0.2
2
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2の割合
0
0.5
0.33
0.25
0.2
0.17
0.14
0.13
0.11
0.1
最高位の数字が1と2である数
この数ま
での個数
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
11
1の割合
0.27
0.33
0.38
0.43
0.47
0.50
0.53
0.56
0.58
0.55
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2の割合
0.09
0.08
0.08
0.07
0.07
0.06
0.06
0.06
0.05
0.1
割合を折れ線グラフにする
ー 1の個数の割合
ー２の個数の割合
1から3000までの1の出る割合
19
199
1999
999
99
片対数グラフへの変換１の場合
10
100
1000
片対数グラフへの変換２の場合
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
片対数グラフへの変換３の場合
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
ポアンカレのルーレット定理①
1000
100
10
1
１
0周
log10 1
１０
１周
log10 10
１００
2周
log10 100
１０００３周
１０の指数乗
log10 1000
ポアンカレのルーレット定理②
１
１０
１００
0周
１周
2周
１０００３周
log10 0
log10 10
log10 100
log10 1000
１
log10 1  0
２
log10 2  0.301
３
log10 3  0.477
４
log10 4  0.602
５
log10 5  0.699
６
log10 6  0.778
７
log10 7  0.845
８
log10 8  0.903
９
log10 9  0.954
ポアンカレのルーレット定理③
１
log10 1  0
２
log10 2  0.301
３
log10 3  0.477
４
log10 4  0.602
５
log10 5  0.699
６
log10 6  0.778
７
log10 7  0.845
８
log10 8  0.903
９
log10 9  0.954
ポアンカレのルーレット定理④
1になるのは
0301－0
= 0.301
2になるのは
0.4771－0.301
= 0.176
3になるのは
0.602－0.477
=0.125
ポアンカレのルーレット定理⑤
８周
284,572,341 = 2.84572341×108
＜
log10 2  0.301
＜
2.84572341
log10 3  0.477
n で始まる数の割合
log10  n  1  log10 n
ベンフォード則
不正経理の操作
マーク・ニグリニ先生の課題
「企業収支の各数値の最高桁が
ベンフォード則に従った分布を示すか確かめよ」
ある学生が親戚の金物屋の帳簿を調べると・・・
１から始まる数値の割合９３％
ベンフォード則から
不正経理
残りの数値８か９で始まる
かけ離れた値
多くの会計士が不正経理を発見する方法として
ベンフォード則を採用するようになった

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