工業数学F2 #2 フーリエ級数に展開する - 加納学

京都大学工学部物理工学科
工業数学F2（フーリエ解析）
工業数学Ｆ２
#2 フーリエ級数に展開する
京都大学　加納　学
京都大学大学院情報学研究科システム科学専攻
Human Systems Lab., Dept. of Systems Science
Graduate School of Informatics, Kyoto University
Outline
2
l  三角関数の基本
l  関数の直交
l  フーリエ係数の導出
l  偶関数と奇関数
l  フーリエ係数計算のコツ
l  フーリエ余弦級数展開と正弦級数展開
l  宿題
Copyright © Manabu Kano
1
京都大学工学部物理工学科
工業数学F2（フーリエ解析）
フーリエ級数
3
「任意の関数は，三角関数の級数で
表すことができる」
Fourier (1768–1830)
フーリエ級数展開は，性質の不明な関数を，性質の
明らかな三角関数の重ね合わせで表す方法である．
三角関数の基本性質
4
つまり，三角関数の性質を熟知してることが前提です．
三角関数 sin x, cos x は基本周期 2π の周期関数である．
Copyright © Manabu Kano
2
京都大学工学部物理工学科
工業数学F2（フーリエ解析）
5
三角関数って何？
y
単位円
1
cosθ
θ = 1 rad
1
θ sinθ
-1
1
y
x 0
sinθ
π
2π
θ
-1
単位円上の点
6
三角関数の和と位相
基本周期 2π の三角関数 sin x, cos x の和で位相を変化させる．
3 2 1 2
0 1
-‐1 位相
-1
-‐2 -‐3 0
π
2π
1
-1
Copyright © Manabu Kano
3
京都大学工学部物理工学科
工業数学F2（フーリエ解析）
周期関数の和と積
7
関数 f (x) と g(x) が共に周期 T の周期関数であるとき，
その線形結合 h(x) も周期 T の周期関数となる．
関数 f (x) と g(x) が共に周期 T の周期関数であるとき，
その積 h(x) も周期 T の周期関数となる．
周期関数の積分
8
関数 f (x) が周期 T の周期関数であるとき，
任意の定数 c に対して次式が成り立つ．
１周期分だけ積分するのだから当然です．
Copyright © Manabu Kano
4
京都大学工学部物理工学科
工業数学F2（フーリエ解析）
Outline
9
l  三角関数の基本
l  関数の直交
l  フーリエ係数の導出
l  偶関数と奇関数
l  フーリエ係数計算のコツ
l  フーリエ余弦級数展開と正弦級数展開
l  宿題
関数の直交
10
周期 2π の関数 f (x) と g(x) は
内積
のとき直交する．（　f (x) ≠ g(x)　）
参考：　ベクトル a と b は内積 aTb = 0 のとき直交する．
b
Copyright © Manabu Kano
a
5
京都大学工学部物理工学科
工業数学F2（フーリエ解析）
三角関数系の直交性
11
三角関数系
Outline
12
l  三角関数の基本
l  関数の直交
l  フーリエ係数の導出
l  偶関数と奇関数
l  フーリエ係数計算のコツ
l  フーリエ余弦級数展開と正弦級数展開
l  宿題
Copyright © Manabu Kano
6
京都大学工学部物理工学科
工業数学F2（フーリエ解析）
フーリエ係数の導出(1)
13
三角関数系の直交性を利用すると，フーリエ係数が求まる．
関数 f (x) に cos mx をかけて積分する．
フーリエ係数
フーリエ係数の導出( a0 )
14
関数 f (x) に cos mx (m=0) をかけて積分する．
フーリエ係数
a0を2で割ると
辻褄が合う
Copyright © Manabu Kano
7
京都大学工学部物理工学科
工業数学F2（フーリエ解析）
フーリエ係数の導出(2)
15
三角関数系の直交性を利用すると，フーリエ係数が求まる．
関数 f (x) に sin mx をかけて積分する．
フーリエ係数
Outline
16
l  三角関数の基本
l  関数の直交
l  フーリエ係数の導出
l  偶関数と奇関数
l  フーリエ係数計算のコツ
l  フーリエ余弦級数展開と正弦級数展開
l  宿題
Copyright © Manabu Kano
8
京都大学工学部物理工学科
工業数学F2（フーリエ解析）
17
偶関数と奇関数
偶関数
奇関数
f (x)
f (x)
x
x
18
偶関数と奇関数の性質(1)
任意の関数
f (x) の偶関数部分
f (x) の奇関数部分
f (x)
f (x)
x
Copyright © Manabu Kano
x
9
京都大学工学部物理工学科
工業数学F2（フーリエ解析）
偶関数と奇関数の性質(2)
l  積に関する性質
偶関数 × 偶関数＝偶関数
19
偶関数
奇関数
奇関数 × 奇関数＝偶関数
偶関数 × 奇関数＝奇関数
l  積分に関する性質
演習
20
の偶関数部分と奇関数部分を求めよ．
ヒント（和積の公式）
Copyright © Manabu Kano
10
京都大学工学部物理工学科
工業数学F2（フーリエ解析）
21
演習
1 基本周期 2π の三角関数
sin x, cos x の和で位相を
変化させる．
0 -‐1 -π
Outline
0
π
22
l  三角関数の基本
l  関数の直交
l  フーリエ係数の導出
l  偶関数と奇関数
l  フーリエ係数計算のコツ
l  フーリエ余弦級数展開と正弦級数展開
l  宿題
Copyright © Manabu Kano
11
京都大学工学部物理工学科
工業数学F2（フーリエ解析）
フーリエ係数計算のコツ(1)
23
偶関数 fe(x) のフーリエ係数は bn= 0 である．
偶関数 fe(x) と奇関数 sin nx の積は奇関数．
そして，
フーリエ係数計算のコツ(2)
24
奇関数 fo(x) のフーリエ係数は an= 0 である．
奇関数 fo(x) と偶関数 cos nx の積は奇関数．
そして，
Copyright © Manabu Kano
12
京都大学工学部物理工学科
工業数学F2（フーリエ解析）
フーリエ係数の線形性
25
周期 2π の周期関数 f (x) と g(x) のフーリエ係数を
それぞれ an( f ), bn( f ) と an(g), bn(g) とする．
関数 cf (x)+dg (x) のフーリエ係数は
can( f )+dan(g), cbn( f )+dbn(g) となる． Outline
26
l  三角関数の基本
l  関数の直交
l  フーリエ係数の導出
l  偶関数と奇関数
l  フーリエ係数計算のコツ
l  フーリエ余弦級数展開と正弦級数展開
l  宿題
Copyright © Manabu Kano
13
京都大学工学部物理工学科
工業数学F2（フーリエ解析）
27
フーリエ余弦級数展開
f (x)
f (x)
-2π -π 0 π 2πx
-2π -π 0 π 2πx
で偶関数に拡張
で周期関数に拡張
フーリエ余弦展開
28
フーリエ正弦級数展開
f (x)
-2π -π 0 π 2πx
f (x)
-2π -π
0
2π
x
π
で奇関数に拡張
で周期関数に拡張
フーリエ正弦展開
Copyright © Manabu Kano
14
京都大学工学部物理工学科
工業数学F2（フーリエ解析）
フーリエ余弦級数展開の例
π に関する公式
Copyright © Manabu Kano
29
30
15
京都大学工学部物理工学科
工業数学F2（フーリエ解析）
フーリエ正弦級数展開の例
31
？
では，自力で求めてみましょう！
フーリエ正弦級数展開の例
Copyright © Manabu Kano
32
16
京都大学工学部物理工学科
工業数学F2（フーリエ解析）
π に関する公式
33
では，自力で求めてみましょう！
π に関する公式
Copyright © Manabu Kano
34
17
京都大学工学部物理工学科
工業数学F2（フーリエ解析）
Outline
35
l  三角関数の基本
l  関数の直交
l  フーリエ係数の導出
l  偶関数と奇関数
l  フーリエ係数計算のコツ
l  フーリエ余弦級数展開と正弦級数展開
l  宿題
宿題
36
1.  次の関数のフーリエ級数展開を求めよ．
ただし，　によって周期的に拡張する．
2.  前問のフーリエ級数展開において x = π として得られる
級数の公式を示せ．
Copyright © Manabu Kano
18

Download Report