電気回路第1スライド6-1 電気回路第1 第6回 －リアクタンス－ 目次 ２前回の復習 ３コイルの応答 ４電圧の変化と応答 ５正弦波電流と電圧 ６インダクタンス回路 ７誘導リアクタンス ８コンデンサの応答 ９キャパシタンス回路 10容量リアクタンス 11今日のまとめ コイルの応答 電気回路第1 第6回 i 電流が変化すると、 妨げるように起電力 －リアクタンス－ B 電流→中を通る磁界発生 前回の復習 電流の変化 （微分量） 誘導起電力 比例する電圧が発生。 電気回路第1スライド6-2-1 よく使う交流は正弦波である。これは、 周期的に振動しているのがポイント。 ①交流は振動する正弦波 ②図示するとこのグラフ。 ③電力を計算しようと考えます。 ④振幅のルート２分の１倍の実効値を用いる。 ！ ！ 前回の演習問題の答え です。 位相が一致することと、 周期的な正弦波のため 位相差が変わらないこと を区別しましょう。 コイルの応答 電気回路第1 第6回 i 電流が変化すると、 妨げるように起電力 －リアクタンス－ 誘導起電力 B 電流→中を通る磁界発生 前回の復習 よく使う交流は正弦波である。 電流の変化 （微分量） 比例する電圧が発生。 電気回路第1スライド6-2-2 電圧 周期的に振動しているのがポイント。 電流 図では、 0 時間 抵抗に正弦波交流を 加えた場合ですが、 ①交流は振動する正弦波 ②図示するとこのグラフ。 ③電力を計算しようと考えます。 ④振幅のルート２分の１倍の実効値を用いる。 ！ ！ 前回の演習問題の答え です。 位相が一致することと、 周期的な正弦波のため 位相差が変わらないこと を区別しましょう。 コイルの応答 電気回路第1 第6回 i 電流が変化すると、 妨げるように起電力 －リアクタンス－ 誘導起電力 B 電流→中を通る磁界発生 前回の復習 比例する電圧が発生。 電気回路第1スライド6-2-3 電圧 よく使う交流は正弦波。 周期的に振動している。 電流 時間 0 電力を計算してこの正弦 波の能力を見積もると ①交流は振動する正弦波 ②図示するとこのグラフ。 ③電力を計算しようと考えます。 ④振幅のルート２分の１倍の実効値を用いる。 電流の変化 （微分量） この電圧│E│ この電流│I│ の直流と同 程度の電力 ！ ！ 前回の演習問題の答え です。 位相が一致することと、 周期的な正弦波のため 位相差が変わらないこと を区別しましょう。 コイルの応答 電気回路第1 第6回 i 電流が変化すると、 妨げるように起電力 －リアクタンス－ 誘導起電力 B 電流→中を通る磁界発生 前回の復習 電圧 周期的に振動している。 電流 0 ①交流は振動する正弦波 ②図示するとこのグラフ。 ③電力を計算しようと考えます。 ④振幅のルート２分の１倍の実効値を用いる。 比例する電圧が発生。 電気回路第1スライド6-2-4 よく使う交流は正弦波。 電力を計算してこの正弦 波の能力を見積もると 電流の変化 （微分量） ルート2分の1倍の実効値 が便利。 この電圧│E│ 時間 この電流│I│ の直流と同 程度の電力 抵抗接続の場合で位相が一致するため。 これは、 ！ ！ 前回の演習問題の答え です。 位相が一致することと、 周期的な正弦波のため 位相差が変わらないこと を区別しましょう。 前回の復習 電圧 ルート2分の1倍の実効値 この電圧│E│ よく使う交流は正弦波 周期的に振動している 電力を計算してこの正弦 波の能力を見積もると 電流 0 時間 この電流│I│ の直流と同程 度の電力 電流の変化と応答 e 電流 i ０ 時間 ０ 時間 電圧 抵抗接続の場合で位相が一致するため。 コイルの応答 その微分量に比例する電 圧が発生するから、 e=L di dt とかける。 電気回路第1スライド6-3-1 まず、電流を流しましょう。 i すると、 B のように 電流 → 磁界発生 電流が流れると磁界が発生する。 ①電流を流すと右ねじ方向に磁界発生。 ②ぐるぐる巻きのコイルでは、磁界が中を通る。 ③電流が変化すると、磁界も変化し、誘導起電力。 ④誘導起電力で電流の微分に比例する電圧発生。 電流が変化すると ？ 一応誘導起電力について 前回の復習 電圧 ルート2分の1倍の実効値 この電圧│E│ よく使う交流は正弦波 周期的に振動している 電力を計算してこの正弦 波の能力を見積もると 電流 0 時間 この電流│I│ の直流と同程 度の電力 電流の変化と応答 e 電流 i ０ 時間 ０ 時間 電圧 電流が変化すると その微分量に比例する電 圧が発生するから、 e=L 抵抗接続の場合で位相が一致するため。 コイルの応答 dt とかける。 電気回路第1スライド6-3-2 では、 ぐるぐる巻きのコイルでは、 どうでしょうか？ i B 電流 電流→中を通る磁界発生 → 磁界発生 ①電流を流すと右ねじ方向に磁界発生。 ②ぐるぐる巻きのコイルでは、磁界が中を通る。 ③電流が変化すると、磁界も変化し、誘導起電力。 ④誘導起電力で電流の微分に比例する電圧発生。 di ？ 一応誘導起電力について 前回の復習 電圧 ルート2分の1倍の実効値 この電圧│E│ よく使う交流は正弦波 周期的に振動している 電力を計算してこの正弦 波の能力を見積もると 電流 0 時間 この電流│I│ の直流と同程 度の電力 電流の変化と応答 e 電流 i ０ 時間 ０ 時間 電圧 抵抗接続の場合で位相が一致するため。 コイルの応答 妨げるように起電力 B 電流→中を通る磁界発生 ①電流を流すと右ねじ方向に磁界発生。 ②ぐるぐる巻きのコイルでは、磁界が中を通る。 ③電流が変化すると、磁界も変化し、誘導起電力。 ④誘導起電力で電流の微分に比例する電圧発生。 その微分量に比例する電 圧が発生するから、 e=L di dt とかける。 電気回路第1スライド6-3-3 今度は、ぐるぐる巻きのコイルでは、 電流が変化すると、 i 電流が変化すると ？ 一応誘導起電力について 前回の復習 電圧 ルート2分の1倍の実効値 この電圧│E│ よく使う交流は正弦波 周期的に振動している 電力を計算してこの正弦 波の能力を見積もると 電流 0 時間 この電流│I│ の直流と同程 度の電力 電流の変化と応答 e 電流 i ０ 時間 ０ 時間 電圧 抵抗接続の場合で位相が一致するため。 コイルの応答 その微分量に比例する電 圧が発生するから、 e=L di dt とかける。 電気回路第1スライド6-3-4 電流が変化すると、 i 電流が変化すると 妨げるように起電力 電流が変化 すると の 実は微分量です。 （ ） 誘導起電力 B 電流→中を通る磁界発生 ①電流を流すと右ねじ方向に磁界発生。 ②ぐるぐる巻きのコイルでは、磁界が中を通る。 ③電流が変化すると、磁界も変化し、誘導起電力。 ④誘導起電力で電流の微分に比例する電圧発生。 が発生する。 により電流の微分に 比例する電圧が発生。 ？ 一応誘導起電力について 正弦波電流と電圧 コイルの応答 i 電流が変化すると、 妨げるように起電力 電流 電流の変化 （微分量） 時間 時間を追って考えると、 I＝I m sin(ωt+θ) のとき この時間に このように E cos(ωt+θ) E＝E cos(ωt+θ) ０ 電圧 誘導起電力 B 電流→中を通る磁界発生 正弦波の電流の場合 mm ０ 比例する電圧が発生。 時間 正の電圧が出ていて cos(ωt+θ)=sin (ωt+θ+90゜)より （前述のLを用いて） さらに時間とともに… ＝ωLI 電圧は電流より90゜位相が進んでいる。 m cos(ωt+θ) 電流の変化と応答 e 電気回路第1スライド6-4-1 先ほどのお話で、 iの変化 のように、電圧が発生しますが、 電流と電圧のグラフで考えます。 ①電流の変化が電圧を発生させることを整理。 ②電流が増加、減少すると、プラスとマイナスの電圧。 ③電流の変化（微分量）に比例する電圧。 ？ ！ 一応誘導起電力について （電流の）変化するとき だけ電圧が出る効果は？ 正弦波電流と電圧 コイルの応答 電流が変化すると、 i 妨げるように起電力 電流 電流の変化 （微分量） 時間 時間を追って考えると、 I＝I m sin(ωt+θ) のとき この時間に このように E cos(ωt+θ) E＝E cos(ωt+θ) ０ 電圧 誘導起電力 B 電流→中を通る磁界発生 mm ０ 比例する電圧が発生。 電流の変化と応答 e 電流 ０ 電圧 ０ 時間 時間 正の電圧が出ていて cos(ωt+θ)=sin (ωt+θ+90゜)より （前述のLを用いて） さらに時間とともに… ＝ωLI 電圧は電流より90゜位相が進んでいる。 m cos(ωt+θ) 電気回路第1スライド6-4-2 のように、 iの変化 正弦波の電流の場合 電流が変化すると 電流の増加する 瞬間 プラスの、減るとき、負の 電圧が発生します。 時間 ①電流の変化が電圧を発生させることを整理。 ②電流が増加、減少すると、プラスとマイナスの電圧。 ③電流の変化（微分量）に比例する電圧。 ？ ！ 一応誘導起電力について （電流の）変化するとき だけ電圧が出る効果は？ 正弦波電流と電圧 コイルの応答 電流が変化すると、 i 妨げるように起電力 電流 電流の変化 （微分量） 時間 時間を追って考えると、 I＝I m sin(ωt+θ) のとき この時間に このように E cos(ωt+θ) E＝E cos(ωt+θ) ０ 電圧 誘導起電力 B 電流→中を通る磁界発生 比例する電圧が発生。 電流の変化と応答 e 電流 iの変化 ０ 電圧 時間 mm ０ 時間 時間 ①電流の変化が電圧を発生させることを整理。 ②電流が増加、減少すると、プラスとマイナスの電圧。 ③電流の変化（微分量）に比例する電圧。 正の電圧が出ていて cos(ωt+θ)=sin (ωt+θ+90゜)より （前述のLを用いて） さらに時間とともに… ＝ωLI 電圧は電流より90゜位相が進んでいる。 m cos(ωt+θ) 電気回路第1スライド6-4-3 電流が変化すると その微分量に比例する 電圧が発生するから、 e=L ０ 正弦波の電流の場合 di dt とかける。 ？ ！ 一応誘導起電力について （電流の）変化するとき だけ電圧が出る効果は？ 電流の変化と応答 e 電流 i ０ 時間 ０ 時間 電圧 インダクタンス回路 電流が変化すると その微分量に比例する電 圧が発生するから、 e=L di dt とかける。 電力 i e e L i＝Im sin(ωt+θ) のとき、 e＝Em cos(ωt+θ) なので 時間 p＝e×i で電力を求めて、 ０ =Imsin(ωt+θ)Emcos(ωt+θ) 1 インダクタンスでは ＝― Im Em sin(2ωt+2θ) 2 電力は消費されない。 平均（積分）したら ゼロ 正弦波電流と電圧 電流 時間 電気回路第1スライド6-5-1 正弦波の電流の場合 ０ ①コイルに正弦波の電流を流しましょう。 ②時間を追うと、最初は電流増加でプラスの電圧。 ③もう少しプラスで、ピーク以降はマイナスでと変化。 ④電圧はImsinの微分にLを掛けたもの。 ⑤計算して、ωLImcosとなります。 ⑥コサインは90度足したもので位相が進んでいる。 ？ サインとコサインの微分 について一応のべて… 電流の変化と応答 e 電流 i ０ 時間 ０ 時間 電圧 インダクタンス回路 電流が変化すると その微分量に比例する電 圧が発生するから、 e=L di dt とかける。 電力 i e e L i＝Im sin(ωt+θ) のとき、 e＝Em cos(ωt+θ) なので 時間 p＝e×i で電力を求めて、 ０ =Imsin(ωt+θ)Emcos(ωt+θ) 1 インダクタンスでは ＝― Im Em sin(2ωt+2θ) 2 電力は消費されない。 平均（積分）したら ゼロ 正弦波電流と電圧 電流 時間 ０ 正弦波の電流の場合 電圧を求めたいので、時間を追って考える。 電圧 ０ 電気回路第1スライド6-5-2 時間 ①コイルに正弦波の電流を流しましょう。 ②時間を追うと、最初は電流増加でプラスの電圧。 ③もう少しプラスで、ピーク以降はマイナスでと変化。 ④電圧はImsinの微分にLを掛けたもの。 ⑤計算して、ωLImcosとなります。 ⑥コサインは90度足したもので位相が進んでいる。 この時間に このように 正の電圧が出ていて ？ サインとコサインの微分 について一応のべて… 電流の変化と応答 e 電流 i ０ 時間 ０ 時間 電圧 インダクタンス回路 電流が変化すると その微分量に比例する電 圧が発生するから、 e=L di dt とかける。 電力 i e e L i＝Im sin(ωt+θ) のとき、 e＝Em cos(ωt+θ) なので 時間 p＝e×i で電力を求めて、 ０ =Imsin(ωt+θ)Emcos(ωt+θ) 1 インダクタンスでは ＝― Im Em sin(2ωt+2θ) 2 電力は消費されない。 平均（積分）したら ゼロ 正弦波電流と電圧 電流 時間 ０ 正弦波の電流の場合 電圧を求めたいので、時間を追って考える。 電圧 ０ 電気回路第1スライド6-5-3 時間 ①コイルに正弦波の電流を流しましょう。 ②時間を追うと、最初は電流増加でプラスの電圧。 ③もう少しプラスで、ピーク以降はマイナスでと変化。 ④電圧はImsinの微分にLを掛けたもの。 ⑤計算して、ωLImcosとなります。 ⑥コサインは90度足したもので位相が進んでいる。 この時間に このように 正の電圧が出ていて さらに時間とともに… ？ サインとコサインの微分 について一応のべて… 電流の変化と応答 e 電流 i ０ 時間 ０ 時間 電圧 インダクタンス回路 電流が変化すると その微分量に比例する電 圧が発生するから、 e=L di dt とかける。 電力 i e e L i＝Im sin(ωt+θ) のとき、 e＝Em cos(ωt+θ) なので 時間 p＝e×i で電力を求めて、 ０ =Imsin(ωt+θ)Emcos(ωt+θ) 1 インダクタンスでは ＝― Im Em sin(2ωt+2θ) 2 電力は消費されない。 平均（積分）したら ゼロ 正弦波電流と電圧 電流 時間 正弦波の電流の場合 i＝Im Isin(ωt+θ) のとき sin(ωt+θ) m diImImsin(ωt+θ) Isin(ωt+θ) e＝L m sin(ωt+θ) dt ０ 電圧 ０ 電気回路第1スライド6-5-4 時間 ①コイルに正弦波の電流を流しましょう。 ②時間を追うと、最初は電流増加でプラスの電圧。 ③もう少しプラスで、ピーク以降はマイナスでと変化。 ④電圧はImsinの微分にLを掛けたもの。 ⑤計算して、ωLImcosとなります。 ⑥コサインは90度足したもので位相が進んでいる。 ？ サインとコサインの微分 について一応のべて… 電流の変化と応答 e 電流 i ０ 時間 ０ 時間 電圧 インダクタンス回路 電流が変化すると その微分量に比例する電 圧が発生するから、 e=L di dt とかける。 電力 i e e L i＝Im sin(ωt+θ) のとき、 e＝Em cos(ωt+θ) なので 時間 p＝e×i で電力を求めて、 ０ =Imsin(ωt+θ)Emcos(ωt+θ) 1 インダクタンスでは ＝― Im Em sin(2ωt+2θ) 2 電力は消費されない。 平均（積分）したら ゼロ 正弦波電流と電圧 電流 時間 正弦波の電流の場合 i＝Im sin(ωt+θ) のとき di Im sin(ωt+θ) です。 e＝LEm cos(ωt+θ) dt ０ 電圧 ０ 電気回路第1スライド6-5-5 時間 ①コイルに正弦波の電流を流しましょう。 ②時間を追うと、最初は電流増加でプラスの電圧。 ③もう少しプラスで、ピーク以降はマイナスでと変化。 ④電圧はImsinの微分にLを掛けたもの。 ⑤計算して、ωLImcosとなります。 ⑥コサインは90度足したもので位相が進んでいる。 サインを微分して、 ここをEmとして ＝ωLIm cos(ωt+θ) ？ サインとコサインの微分 について一応のべて… 電流の変化と応答 e 電流 i ０ 時間 ０ 時間 電圧 インダクタンス回路 電流が変化すると その微分量に比例する電 圧が発生するから、 e=L di dt とかける。 電力 i e e L i＝Im sin(ωt+θ) のとき、 e＝Em cos(ωt+θ) なので 時間 p＝e×i で電力を求めて、 ０ =Imsin(ωt+θ)Emcos(ωt+θ) 1 インダクタンスでは ＝― Im Em sin(2ωt+2θ) 2 電力は消費されない。 平均（積分）したら ゼロ 正弦波電流と電圧 電流 時間 正弦波の電流の場合 i＝Im sin(ωt+θ) のとき di Im sin(ωt+θ) ですが、 e＝LEm cos(ωt+θ) dt ０ 電圧 ０ 電気回路第1スライド6-5-6 ここで、cos(ωt+θ)=sin (ωt+θ+90゜)より 時間 電圧は電流より90゜位相が進んでいる。 ①コイルに正弦波の電流を流しましょう。 ②時間を追うと、最初は電流増加でプラスの電圧。 ③もう少しプラスで、ピーク以降はマイナスでと変化。 ④電圧はImsinの微分にLを掛けたもの。 ⑤計算して、ωLImcosとなります。 ⑥コサインは90度足したもので位相が進んでいる。 ？ サインとコサインの微分 について一応のべて… 正弦波電流と電圧 電流 時間 誘導リアクタンス 正弦波の電流の場合 時間を追って考えると、 I＝I m sin(ωt+θ) のとき この時間に このように E cos(ωt+θ) E＝E cos(ωt+θ) ０ 電圧 mm ０ 時間 正の電圧が出ていて cos(ωt+θ)=sin (ωt+θ+90゜)より （前述のLを用いて） さらに時間とともに… ＝ωLI 電圧は電流より90゜位相が進んでいる。 m cos(ωt+θ) インダクタンス回路 i＝Im sin(ωt+θ) E＝Em cos(ωt+θ) ＝ ωLIm cos(ωt+θ) 電圧と電流を考える。 比較して Em ＝ ωL Im 実効値 E ＝ ωL I 誘導リアクタンス XL＝ωL [Ω] は、 電流の流れにくさを表しています。 インダクタンス回路 i e e L 電気回路第1スライド6-6-1 これも回路というほどではあり ませんがインダクタンス1個に 正弦波交流を加えてみます。 一応回路図を示して、 インダクタンスにかかる電圧が eです。 ①インダクタンスを接続した回路で電圧を解析。 ②電圧と電流のグラフは以前示したもののとおり。 ③電流に対し、電圧のコサインを掛けて電力を出す。 ④計算するとこの角度が2倍になったサイン。 ⑤図示のとおり、プラスやマイナスを激しく振動。 ⑥平均電力ゼロ。インダクタンスは電力を消費しない。 ？ sin×cosの計算について 正弦波電流と電圧 誘導リアクタンス 電流 正弦波の電流の場合 時間 インダクタンス回路 時間を追って考えると、 I＝I m sin(ωt+θ) のとき この時間に このように E cos(ωt+θ) E＝E cos(ωt+θ) ０ 電圧 i＝Im sin(ωt+θ) E＝Em cos(ωt+θ) ＝ ωLIm cos(ωt+θ) mm ０ 時間 正の電圧が出ていて cos(ωt+θ)=sin (ωt+θ+90゜)より （前述のLを用いて） さらに時間とともに… ＝ωLI 電圧は電流より90゜位相が進んでいる。 m cos(ωt+θ) 電圧と電流を考える。 比較して Em ＝ ωL Im 実効値 E ＝ ωL I 誘導リアクタンス XL＝ωL [Ω] は、 電流の流れにくさを表しています。 インダクタンス回路 e です。 電流 i e L 電気回路第1スライド6-6-2 電圧と電流を ０ プロットすると、 時間 ０ 時間 電圧 ①インダクタンスを接続した回路で電圧を解析。 ②電圧と電流のグラフは以前示したもののとおり。 ③電流に対し、電圧のコサインを掛けて電力を出す。 ④計算するとこの角度が2倍になったサイン。 ⑤図示のとおり、プラスやマイナスを激しく振動。 ⑥平均電力ゼロ。インダクタンスは電力を消費しない。 ？ sin×cosの計算について 正弦波電流と電圧 誘導リアクタンス 電流 正弦波の電流の場合 時間 時間を追って考えると、 I＝I m sin(ωt+θ) のとき この時間に このように E cos(ωt+θ) E＝E cos(ωt+θ) ０ 電圧 mm ０ 時間 正の電圧が出ていて cos(ωt+θ)=sin (ωt+θ+90゜)より （前述のLを用いて） さらに時間とともに… ＝ωLI 電圧は電流より90゜位相が進んでいる。 m cos(ωt+θ) インダクタンス回路 i＝Im sin(ωt+θ) E＝Em cos(ωt+θ) ＝ ωLIm cos(ωt+θ) 電圧と電流を考える。 比較して Em ＝ ωL Im 実効値 E ＝ ωL I 誘導リアクタンス XL＝ωL [Ω] は、 電流の流れにくさを表しています。 インダクタンス回路 電流 i e e L ０ 電圧 ０ ①インダクタンスを接続した回路で電圧を解析。 ②電圧と電流のグラフは以前示したもののとおり。 ③電流に対し、電圧のコサインを掛けて電力を出す。 ④計算するとこの角度が2倍になったサイン。 ⑤図示のとおり、プラスやマイナスを激しく振動。 ⑥平均電力ゼロ。インダクタンスは電力を消費しない。 電気回路第1スライド6-6-3 ですが、 i＝Im sin(ωt+θ) のとき、 電圧は、 時間 e＝Em cos(ωt+θ) なので p＝e×i で電力を求めて、 =Imsin(ωt+θ)Emcos(ωt+θ) 時間 ？ sin×cosの計算について 正弦波電流と電圧 誘導リアクタンス 電流 正弦波の電流の場合 時間 時間を追って考えると、 I＝I m sin(ωt+θ) のとき この時間に このように E cos(ωt+θ) E＝E cos(ωt+θ) ０ 電圧 mm ０ 時間 正の電圧が出ていて cos(ωt+θ)=sin (ωt+θ+90゜)より （前述のLを用いて） さらに時間とともに… ＝ωLI 電圧は電流より90゜位相が進んでいる。 m cos(ωt+θ) インダクタンス回路 i＝Im sin(ωt+θ) E＝Em cos(ωt+θ) ＝ ωLIm cos(ωt+θ) 電圧と電流を考える。 比較して Em ＝ ωL Im 実効値 E ＝ ωL I 誘導リアクタンス XL＝ωL [Ω] は、 電流の流れにくさを表しています。 インダクタンス回路 電流 i e e L ０ 電圧 ０ ①インダクタンスを接続した回路で電圧を解析。 ②電圧と電流のグラフは以前示したもののとおり。 ③電流に対し、電圧のコサインを掛けて電力を出す。 ④計算するとこの角度が2倍になったサイン。 ⑤図示のとおり、プラスやマイナスを激しく振動。 ⑥平均電力ゼロ。インダクタンスは電力を消費しない。 電気回路第1スライド6-6-4 i＝Im sin(ωt+θ) のとき、 時間 e＝Em cos(ωt+θ) なので p＝e×i で電力を求めて、 =Imsin(ωt+θ)Emcos(ωt+θ) 1 ＝― Im Em sin(2ωt+2θ) 2 時間 ？ sin×cosの計算について 正弦波電流と電圧 誘導リアクタンス 電流 正弦波の電流の場合 時間 時間を追って考えると、 I＝I m sin(ωt+θ) のとき この時間に このように E cos(ωt+θ) E＝E cos(ωt+θ) ０ 電圧 mm ０ 時間 正の電圧が出ていて cos(ωt+θ)=sin (ωt+θ+90゜)より （前述のLを用いて） さらに時間とともに… ＝ωLI 電圧は電流より90゜位相が進んでいる。 m cos(ωt+θ) インダクタンス回路 i＝Im sin(ωt+θ) E＝Em cos(ωt+θ) ＝ ωLIm cos(ωt+θ) 電圧と電流を考える。 比較して Em ＝ ωL Im 実効値 E ＝ ωL I 誘導リアクタンス XL＝ωL [Ω] は、 電流の流れにくさを表しています。 インダクタンス回路 電流 電力 i e e L ０ 電圧 ０ ①インダクタンスを接続した回路で電圧を解析。 ②電圧と電流のグラフは以前示したもののとおり。 ③電流に対し、電圧のコサインを掛けて電力を出す。 ④計算するとこの角度が2倍になったサイン。 ⑤図示のとおり、プラスやマイナスを激しく振動。 ⑥平均電力ゼロ。インダクタンスは電力を消費しない。 電気回路第1スライド6-6-5 i＝Im sin(ωt+θ) のとき、 時間 e＝Em cos(ωt+θ) なので p＝e×i で電力を求めて、 =Imsin(ωt+θ)Emcos(ωt+θ) 1 ＝― Im Em sin(2ωt+2θ) 2 時間 これを図示して ？ sin×cosの計算について 正弦波電流と電圧 電流 時間 誘導リアクタンス 正弦波の電流の場合 時間を追って考えると、 I＝I m sin(ωt+θ) のとき この時間に このように E cos(ωt+θ) E＝E cos(ωt+θ) ０ 電圧 mm ０ 時間 正の電圧が出ていて cos(ωt+θ)=sin (ωt+θ+90゜)より （前述のLを用いて） さらに時間とともに… ＝ωLI 電圧は電流より90゜位相が進んでいる。 m cos(ωt+θ) インダクタンス回路 i＝Im sin(ωt+θ) E＝Em cos(ωt+θ) ＝ ωLIm cos(ωt+θ) 電圧と電流を考える。 比較して Em ＝ ωL Im 実効値 E ＝ ωL I 誘導リアクタンス XL＝ωL [Ω] は、 電流の流れにくさを表しています。 インダクタンス回路 i＝Im sin(ωt+θ) のとき、 時間 e＝Em cos(ωt+θ) なので p＝e×i で電力を求めて、 ０ 電圧 =Imsin(ωt+θ)Emcos(ωt+θ) 1 インダクタンスでは ＝― Im Em sin(2ωt+2θ) 2 ０電力は消費されない。時間 平均（積分）したら ゼロ 電流 電力 i e 電気回路第1スライド6-6-6 e L ①インダクタンスを接続した回路で電圧を解析。 ②電圧と電流のグラフは以前示したもののとおり。 ③電流に対し、電圧のコサインを掛けて電力を出す。 ④計算するとこの角度が2倍になったサイン。 ⑤図示のとおり、プラスやマイナスを激しく振動。 ⑥平均電力ゼロ。インダクタンスは電力を消費しない。 ？ sin×cosの計算について インダクタンス回路 i e e L i＝Im sin(ωt+θ) のとき、 電力 e＝Em cos(ωt+θ) なので 時間 p＝e×i で電力を求めて、 ０ =Imsin(ωt+θ)Emcos(ωt+θ) 1 インダクタンスでは ＝― Im Em sin(2ωt+2θ) 2 電力は消費されない。 平均（積分）したら ゼロ コンデンサの応答 電流 i ＋Q ０ V 電圧 電圧は電流よ り90゜位相が 時間 遅れている。 時間 ０ ーQ 電圧が、E＝Em sin(ωt+θ)ならば、微分して、 i＝ωCEm cos(ωt+θ)＝Im cos(ωt+θ)です。 誘導リアクタンス 電気回路第1スライド6-7-1 インダクタンス回路 において電圧と電流を考える。 電流から考えると楽で、 i＝Im sin(ωt+θ) とします。 ①電圧と電流の関係を見ます。電流を設定します。 ②Imsinのとき、電圧はωLImcosです。この振幅をEm。 ③ここで、電圧を比べて、Em＝ωLIm。 ④実効値でも同じ式で、│E│＝ωL│I│。 ⑤抵抗の│E│＝│I│Rと比べ、ωLが電流を邪魔。 ⑥誘導リアクタンスと定義する。 ？ ！ 実効値の間の関係式 になるのは... ωLで決まる誘導リアク タンスが実際の系でどの くらい効くか考えましょう。 コンデンサの応答 インダクタンス回路 i e e L i＝Im sin(ωt+θ) のとき、 電力 e＝Em cos(ωt+θ) なので 時間 p＝e×i で電力を求めて、 ０ =Imsin(ωt+θ)Emcos(ωt+θ) 1 インダクタンスでは ＝― Im Em sin(2ωt+2θ) 2 電力は消費されない。 平均（積分）したら ゼロ 電流 i ＋Q ０ V ーQ 電圧 電圧は電流よ り90゜位相が 時間 遅れている。 時間 ０ 電圧が、E＝Em sin(ωt+θ)ならば、微分して、 i＝ωCEm cos(ωt+θ)＝Im cos(ωt+θ)です。 誘導リアクタンス 電気回路第1スライド6-7-2 インダクタンス回路 i＝Im sin(ωt+θ) のとき、 e電圧は電流の微分で、 ＝Em cos(ωt+θ) とかける。 e＝ωLIm cos(ωt+θ) でしたが、電圧の振幅で ①電圧と電流の関係を見ます。電流を設定します。 ②Imsinのとき、電圧はωLImcosです。この振幅をEm。 ③ここで、電圧を比べて、Em＝ωLIm。 ④実効値でも同じ式で、│E│＝ωL│I│。 ⑤抵抗の│E│＝│I│Rと比べ、ωLが電流を邪魔。 ⑥誘導リアクタンスと定義する。 ？ ！ 実効値の間の関係式 になるのは... ωLで決まる誘導リアク タンスが実際の系でどの くらい効くか考えましょう。 コンデンサの応答 インダクタンス回路 i e e L i＝Im sin(ωt+θ) のとき、 電力 e＝Em cos(ωt+θ) なので 時間 p＝e×i で電力を求めて、 ０ =Imsin(ωt+θ)Emcos(ωt+θ) 1 インダクタンスでは ＝― Im Em sin(2ωt+2θ) 2 電力は消費されない。 平均（積分）したら ゼロ 電流 i ＋Q ０ V ーQ 電圧 電圧は電流よ り90゜位相が 時間 遅れている。 時間 ０ 電圧が、E＝Em sin(ωt+θ)ならば、微分して、 i＝ωCEm cos(ωt+θ)＝Im cos(ωt+θ)です。 誘導リアクタンス 電気回路第1スライド6-7-3 インダクタンス回路 i＝Iここで、 m sin(ωt+θ) e ＝Em cos(ωt+θ) と 比較して Em ＝ ωL Im と、電圧と電流は簡単な比例の式で表されます。 e＝ωLIm cos(ωt+θ) を ①電圧と電流の関係を見ます。電流を設定します。 ②Imsinのとき、電圧はωLImcosです。この振幅をEm。 ③ここで、電圧を比べて、Em＝ωLIm。 ④実効値でも同じ式で、│E│＝ωL│I│。 ⑤抵抗の│E│＝│I│Rと比べ、ωLが電流を邪魔。 ⑥誘導リアクタンスと定義する。 ？ ！ 実効値の間の関係式 になるのは... ωLで決まる誘導リアク タンスが実際の系でどの くらい効くか考えましょう。 コンデンサの応答 インダクタンス回路 i e e L i＝Im sin(ωt+θ) のとき、 電力 e＝Em cos(ωt+θ) なので 時間 p＝e×i で電力を求めて、 ０ =Imsin(ωt+θ)Emcos(ωt+θ) 1 インダクタンスでは ＝― Im Em sin(2ωt+2θ) 2 電力は消費されない。 平均（積分）したら ゼロ 電流 i ＋Q 電圧は電流よ り90゜位相が 時間 遅れている。 ０ V ーQ 時間 電圧 ０ 電圧が、E＝Em sin(ωt+θ)ならば、微分して、 i＝ωCEm cos(ωt+θ)＝Im cos(ωt+θ)です。 誘導リアクタンス 電気回路第1スライド6-7-4 インダクタンス回路 i＝Im sin(ωt+θ) e ＝Em cos(ωt+θ) e＝ωLIm cos(ωt+θ) 比較して Em ＝ ωL 1 ×― して Im 実効値 √2 Em ＝ ωL Im √2 √2 と、電圧と電流は簡単な比例の式で表されます。 ですが、振幅よりは実質的に意 味のある実効値に直しましょう。 これがそのまま実効値で、 ①電圧と電流の関係を見ます。電流を設定します。 ②Imsinのとき、電圧はωLImcosです。この振幅をEm。 ③ここで、電圧を比べて、Em＝ωLIm。 ④実効値でも同じ式で、│E│＝ωL│I│。 ⑤抵抗の│E│＝│I│Rと比べ、ωLが電流を邪魔。 ⑥誘導リアクタンスと定義する。 ？ ！ 実効値の間の関係式 になるのは... ωLで決まる誘導リアク タンスが実際の系でどの くらい効くか考えましょう。 コンデンサの応答 インダクタンス回路 i e e L i＝Im sin(ωt+θ) のとき、 電力 e＝Em cos(ωt+θ) なので 時間 p＝e×i で電力を求めて、 ０ =Imsin(ωt+θ)Emcos(ωt+θ) 1 インダクタンスでは ＝― Im Em sin(2ωt+2θ) 2 電力は消費されない。 平均（積分）したら ゼロ 電流 i ＋Q ０ V ーQ 電圧 電圧は電流よ り90゜位相が 時間 遅れている。 時間 ０ 電圧が、E＝Em sin(ωt+θ)ならば、微分して、 i＝ωCEm cos(ωt+θ)＝Im cos(ωt+θ)です。 誘導リアクタンス 電気回路第1スライド6-7-5 インダクタンス回路 i＝Im sin(ωt+θ) e ＝Em cos(ωt+θ) e＝ωLIm cos(ωt+θ) 比較して Em ＝ ωL Im 実効値 Em ＝ ωL Im と、電圧と電流は簡単な比例の式で表されます。 ωLは抵抗のRに相当（単位Ω）で あって、 ここで、抵抗の場合の電圧と電流の関係、 電流の流れにくさを表しています。 E ＝R I と、 比較できます。 すると、 ①電圧と電流の関係を見ます。電流を設定します。 ②Imsinのとき、電圧はωLImcosです。この振幅をEm。 ③ここで、電圧を比べて、Em＝ωLIm。 ④実効値でも同じ式で、│E│＝ωL│I│。 ⑤抵抗の│E│＝│I│Rと比べ、ωLが電流を邪魔。 ⑥誘導リアクタンスと定義する。 ？ ！ 実効値の間の関係式 になるのは... ωLで決まる誘導リアク タンスが実際の系でどの くらい効くか考えましょう。 コンデンサの応答 インダクタンス回路 i e e L i＝Im sin(ωt+θ) のとき、 電力 e＝Em cos(ωt+θ) なので 時間 p＝e×i で電力を求めて、 ０ =Imsin(ωt+θ)Emcos(ωt+θ) 1 インダクタンスでは ＝― Im Em sin(2ωt+2θ) 2 電力は消費されない。 平均（積分）したら ゼロ 電流 i ＋Q ０ V ーQ 電圧 電圧は電流よ り90゜位相が 時間 遅れている。 時間 ０ 電圧が、E＝Em sin(ωt+θ)ならば、微分して、 i＝ωCEm cos(ωt+θ)＝Im cos(ωt+θ)です。 誘導リアクタンス 電気回路第1スライド6-7-6 インダクタンス回路 i＝Im sin(ωt+θ) e ＝Em cos(ωt+θ) e＝ωLIm cos(ωt+θ) 比較して Em ＝ ωL Im 実効値 Em ＝ ωL Im 誘導リアクタンス XL＝ωLこれ [Ω] と定義すると ωLは抵抗のRに相当（単位Ω）で は、 電流の流れにくさを表しています。 す。 ①電圧と電流の関係を見ます。電流を設定します。 ②Imsinのとき、電圧はωLImcosです。この振幅をEm。 ③ここで、電圧を比べて、Em＝ωLIm。 ④実効値でも同じ式で、│E│＝ωL│I│。 ⑤抵抗の│E│＝│I│Rと比べ、ωLが電流を邪魔。 ⑥誘導リアクタンスと定義する。 ？ ！ 実効値の間の関係式 になるのは... ωLで決まる誘導リアク タンスが実際の系でどの くらい効くか考えましょう。 誘導リアクタンス インダクタンス回路 i＝Im sin(ωt+θ) E＝Em cos(ωt+θ) ＝ ωLIm cos(ωt+θ) キャパシタンス回路 電圧と電流を考える。 電力 i e 比較して Em ＝ ωL Im 実効値 E ＝ ωL I 誘導リアクタンス XL＝ωL [Ω] は、 電流の流れにくさを表しています。 C e＝Em sin(ωt+θ) i＝Im cos(ωt+θ) 時間 P＝e×i ０ ＝Em sin(ωt+θ) ×I cos(ωt+θ) 1 m ＝― Im Em sin(2ωt+2θ) 2 キャパシタンスでも電力 もちろん平均（積分） ゼロ は消費されない。 コンデンサの応答 今度はコンデンサ を考えます。 ＋Q V ちょっと極端ですが、 大きい極板のコンデンサ ーQ を持ってきました。 電気回路第1スライド6-8-1 コンデンサ（キャパシタンス）では、 電荷をためて電圧を発生するから Q＝CV （覚えているはずです。） ①コンデンサでは極板に電荷を溜め込んでQ＝CV。 ②微分して、電荷が動くとQが変化、i=CdV/dt。 ③電圧をsinωtとすると、微分してi=ωCcosωｔ。 ④グラフはコイルと逆に電圧は電流より90°遅れる。 ？ コンデンサについて （余計なリンク？） 誘導リアクタンス インダクタンス回路 i＝Im sin(ωt+θ) E＝Em cos(ωt+θ) ＝ ωLIm cos(ωt+θ) キャパシタンス回路 電圧と電流を考える。 電力 i e 比較して Em ＝ ωL Im 実効値 E ＝ ωL I 誘導リアクタンス XL＝ωL [Ω] は、 電流の流れにくさを表しています。 C e＝Em sin(ωt+θ) i＝Im cos(ωt+θ) 時間 P＝e×i ０ ＝Em sin(ωt+θ) ×I cos(ωt+θ) 1 m ＝― Im Em sin(2ωt+2θ) 2 キャパシタンスでも電力 もちろん平均（積分） ゼロ は消費されない。 コンデンサの応答 Q QQQ QQQ Q QQi QQ Q ＋Q Q V Q ーQ Q QQ QQQQQQQQQ Q＝CV 電気回路第1スライド6-8-2 これを微分して、 dQ dV ― ＝ C ― ですが、Qの変化は、 i dt dt 電荷の移動が電流だったことを思い出して 電流が電圧の微分で表されました。 ①コンデンサでは極板に電荷を溜め込んでQ＝CV。 ②微分して、電荷が動くとQが変化、i=CdV/dt。 ③電圧をsinωtとすると、微分してi=ωCcosωｔ。 ④グラフはコイルと逆に電圧は電流より90°遅れる。 ？ コンデンサについて （余計なリンク？） 誘導リアクタンス インダクタンス回路 i＝Im sin(ωt+θ) E＝Em cos(ωt+θ) ＝ ωLIm cos(ωt+θ) キャパシタンス回路 電圧と電流を考える。 電力 i e 比較して Em ＝ ωL Im 実効値 E ＝ ωL I 誘導リアクタンス XL＝ωL [Ω] は、 電流の流れにくさを表しています。 C e＝Em sin(ωt+θ) i＝Im cos(ωt+θ) 時間 P＝e×i ０ ＝Em sin(ωt+θ) ×I cos(ωt+θ) 1 m ＝― Im Em sin(2ωt+2θ) 2 キャパシタンスでも電力 もちろん平均（積分） ゼロ は消費されない。 コンデンサの応答 電流 i ＋Q V ーQ 電気回路第1スライド6-8-3 ０ 時間 Q＝CV これを微分して、 電圧 時間 dQ dV ― ＝C― dti ０ dt ですが、Qの変化は、 電圧が、E＝Em sin(ωt+θ)ならば、微分して、 電流が電圧の微分で表されました。 i＝ωCEm cos(ωt+θ)＝Im cos(ωt+θ)です。 ①コンデンサでは極板に電荷を溜め込んでQ＝CV。 ②微分して、電荷が動くとQが変化、i=CdV/dt。 ③電圧をsinωtとすると、微分してi=ωCcosωｔ。 ④グラフはコイルと逆に電圧は電流より90°遅れる。 ？ コンデンサについて （余計なリンク？） 誘導リアクタンス インダクタンス回路 i＝Im sin(ωt+θ) E＝Em cos(ωt+θ) ＝ ωLIm cos(ωt+θ) キャパシタンス回路 電圧と電流を考える。 電力 i e 比較して Em ＝ ωL Im 実効値 E ＝ ωL I 誘導リアクタンス XL＝ωL [Ω] は、 電流の流れにくさを表しています。 コンデンサの応答 電流 i ＋Q V ーQ C e＝Em sin(ωt+θ) i＝Im cos(ωt+θ) 時間 P＝e×i ０ ＝Em sin(ωt+θ) ×I cos(ωt+θ) 1 m ＝― Im Em sin(2ωt+2θ) 2 キャパシタンスでも電力 もちろん平均（積分） ゼロ は消費されない。 電気回路第1スライド6-8-4 見比べて、 電圧は電流よ ０ 時間 り90゜位相が Q＝CV これを微分して、 遅れている。 電圧 時間 dQ dV ― ＝C― dti ０ dt ですが、Qの変化は、 電圧が、E＝Em sin(ωt+θ)ならば、微分して、 電流が電圧の微分で表されました。 i＝ωCEm cos(ωt+θ)＝Im cos(ωt+θ)です。 ①コンデンサでは極板に電荷を溜め込んでQ＝CV。 ②微分して、電荷が動くとQが変化、i=CdV/dt。 ③電圧をsinωtとすると、微分してi=ωCcosωｔ。 ④グラフはコイルと逆に電圧は電流より90°遅れる。 ？ コンデンサについて （余計なリンク？） コンデンサの応答 容量リアクタンス 電流 i ＋Q 電圧は電流よ り90゜位相が 時間 遅れている。 ０ V 時間 電圧 ０ ーQ 電圧が、E＝Em sin(ωt+θ)ならば、微分して、 i＝ωCEm cos(ωt+θ)＝Im cos(ωt+θ)です。 キャパシタンス回路 e＝Em sin(ωt+θ) i＝ωCEmcos(ωt+θ) ＝Im cos(ωt+θ) Im＝ωCEmより、 キャパシタンス回路 i e C ０ ①今度はキャパシタンス回路で、電圧電流を図示。 ②電力を計算。e×iは同様にサイン×コサイン。 ③sin(2ωｔ…となります。電力のグラフもほとんど同じ。 ④当然平均した電力もゼロ。 Im 実効値 I ＝ E ωC ωC 1 容量リアクタンス XC＝ ωC [Ω] が 電流の流れにくさを表しています。 電気回路第1スライド6-9-1 電流 今度はキャパシタンスの消費電力 こちらも、 時間 を考えたいので、キャパシタンス1個 をつないだ回路を考えます。 ０ 電圧 先ほどのスライドで 電圧を先にsinと決めたら 図でも、 電流が微分量のcosでしたから、 比較して Em ＝ 時間 e＝Em sin(ωt+θ) i＝Im cos(ωt+θ) コンデンサの応答 容量リアクタンス 電流 i ＋Q 電圧は電流よ り90゜位相が 時間 遅れている。 ０ V 時間 電圧 ０ ーQ 電圧が、E＝Em sin(ωt+θ)ならば、微分して、 i＝ωCEm cos(ωt+θ)＝Im cos(ωt+θ)です。 キャパシタンス回路 e＝Em sin(ωt+θ) i＝ωCEmcos(ωt+θ) ＝Im cos(ωt+θ) Im＝ωCEmより、 キャパシタンス回路 時間 e C 電圧 ①今度はキャパシタンス回路で、電圧電流を図示。 ②電力を計算。e×iは同様にサイン×コサイン。 ③sin(2ωｔ…となります。電力のグラフもほとんど同じ。 ④当然平均した電力もゼロ。 実効値 I ＝ E ωC ωC 1 容量リアクタンス XC＝ ωC [Ω] が 電流の流れにくさを表しています。 e＝Em sin(ωt+θ) i＝Im cos(ωt+θ) ですが、ここで電力を p＝e×i を計算して、 計算しましょう。 ＝Em sin(ωt+θ) ×Im cos(ωt+θ) ０ ０ Im 電気回路第1スライド6-9-2 電流 i 比較して Em ＝ 時間 コンデンサの応答 容量リアクタンス 電流 i ＋Q 電圧は電流よ り90゜位相が 時間 遅れている。 ０ V 時間 電圧 ０ ーQ 電圧が、E＝Em sin(ωt+θ)ならば、微分して、 i＝ωCEm cos(ωt+θ)＝Im cos(ωt+θ)です。 キャパシタンス回路 e＝Em sin(ωt+θ) i＝ωCEmcos(ωt+θ) ＝Im cos(ωt+θ) Im＝ωCEmより、 キャパシタンス回路 時間 e C ０ 電圧 ０ ①今度はキャパシタンス回路で、電圧電流を図示。 ②電力を計算。e×iは同様にサイン×コサイン。 ③sin(2ωｔ…となります。電力のグラフもほとんど同じ。 ④当然平均した電力もゼロ。 Im 実効値 I ＝ E ωC ωC 1 容量リアクタンス XC＝ ωC [Ω] が 電流の流れにくさを表しています。 電気回路第1スライド6-9-3 電流 電力 i 比較して Em ＝ 時間 e＝Em sin(ωt+θ) i＝Im cos(ωt+θ) p＝e×i ＝Em sin(ωt+θ) ×Im cos(ωt+θ) 1 ＝― Im Em sin(2ωt+2θ) 2 コンデンサの応答 容量リアクタンス 電流 i ＋Q 電圧は電流よ り90゜位相が 時間 遅れている。 ０ V 時間 電圧 ０ ーQ 電圧が、E＝Em sin(ωt+θ)ならば、微分して、 i＝ωCEm cos(ωt+θ)＝Im cos(ωt+θ)です。 キャパシタンス回路 e＝Em sin(ωt+θ) i＝ωCEmcos(ωt+θ) ＝Im cos(ωt+θ) Im＝ωCEmより、 キャパシタンス回路 時間 e C Im 実効値 I ＝ E ωC ωC 1 容量リアクタンス XC＝ ωC [Ω] が 電流の流れにくさを表しています。 電気回路第1スライド6-9-4 電流 電力 i 比較して Em ＝ e＝Em sin(ωt+θ) i＝Im cos(ωt+θ) p＝e×i ＝Em sin(ωt+θ) 電圧 ×Im cos(ωt+θ) 1 ＝― I E sin(2ωt+2θ) キャパシタンスでも電力 ０ 時間 2 m m は消費されない。 もちろん平均（積分）ゼロ ０ ①今度はキャパシタンス回路で、電圧電流を図示。 ②電力を計算。e×iは同様にサイン×コサイン。 ③sin(2ωｔ…となります。電力のグラフもほとんど同じ。 ④当然平均した電力もゼロ。 キャパシタンス回路 電力 i e C e＝Em sin(ωt+θ) i＝Im cos(ωt+θ) 時間 P＝e×i ０ ＝Em sin(ωt+θ) ×I cos(ωt+θ) 1 m ＝― Im Em sin(2ωt+2θ) 2 キャパシタンスでも電力 もちろん平均（積分） ゼロ は消費されない。 今日のまとめ 抵抗 電圧と電流の位相 電流の流れにくさ 位相が同じ（同相） 抵抗 R インダクタンス 電圧が90゜進む 誘導リアクタンス ωL キャパシタンス 電圧が90゜遅れる 容量リアクタンス 容量リアクタンス 1 ― ωC 電気回路第1スライド6-10-1 キャパシタンス回路 でも電圧と電流を考えましょう。 ①誘導リアクタンスに当たるものを考えましょう。 ②電圧と電流の係数部分を比べる。実効値の関係。 ③分母の1/ωCが容量リアクタンス、単位Ω。 ！ 今度は容量リアクタンス の効き方と実際のCの値 などについて キャパシタンス回路 電力 i e C e＝Em sin(ωt+θ) i＝Im cos(ωt+θ) 時間 P＝e×i ０ ＝Em sin(ωt+θ) ×I cos(ωt+θ) 1 m ＝― Im Em sin(2ωt+2θ) 2 キャパシタンスでも電力 もちろん平均（積分） ゼロ は消費されない。 今日のまとめ 抵抗 電圧と電流の位相 電流の流れにくさ 位相が同じ（同相） 抵抗 R インダクタンス 電圧が90゜進む 誘導リアクタンス ωL キャパシタンス 電圧が90゜遅れる 容量リアクタンス 容量リアクタンス 1 ― ωC 電気回路第1スライド6-10-2 キャパシタンス回路 電圧から考えて、 e＝Em sin(ωt+θ) のとき Im 比較して ですが、 Em ＝ i＝ωCEmcos(ωt+θ) 電流は微分して、 ωC ＝Im cos(ωt+θ) と書き換えますから、 Im＝ωCEmより、 ①誘導リアクタンスに当たるものを考えましょう。 ②電圧と電流の係数部分を比べる。実効値の関係。 ③分母の1/ωCが容量リアクタンス、単位Ω。 もちろん、 実効値 Em ＝ に直して、 √2 Im ωC ！ √2 今度は容量リアクタンス の効き方と実際のCの値 などについて キャパシタンス回路 電力 i e C e＝Em sin(ωt+θ) i＝Im cos(ωt+θ) 時間 P＝e×i ０ ＝Em sin(ωt+θ) ×I cos(ωt+θ) 1 m ＝― Im Em sin(2ωt+2θ) 2 キャパシタンスでも電力 もちろん平均（積分） ゼロ は消費されない。 容量リアクタンス 今日のまとめ 抵抗 電圧と電流の位相 電流の流れにくさ 位相が同じ（同相） 抵抗 R インダクタンス 電圧が90゜進む 誘導リアクタンス ωL キャパシタンス 電圧が90゜遅れる 容量リアクタンス 1 ― ωC 電気回路第1スライド6-10-3 キャパシタンス回路 I e＝Em sin(ωt+θ) Im 比較して Em ＝ 実効値 Em ＝ i＝ωCEmcos(ωt+θ) ωC ωC 1 1 ＝Im cos(ωt+θ) 今度は、 すると、 容量リアクタンス が抵抗のRに相当（単位Ω） X ＝ [Ω] Im＝ωCEmより、 が C ωC ωC 電流の流れにくさを表しています。 ①誘導リアクタンスに当たるものを考えましょう。 ②電圧と電流の係数部分を比べる。実効値の関係。 ③分母の1/ωCが容量リアクタンス、単位Ω。 ！ 今度は容量リアクタンス の効き方と実際のCの値 などについて 容量リアクタンス キャパシタンス回路 e＝Em sin(ωt+θ) i＝ωCEmcos(ωt+θ) ＝Im cos(ωt+θ) Im＝ωCEmより、 比較して Em ＝ Im 実効値 I ＝ E ωC ωC 1 容量リアクタンス XC＝ ωC [Ω] が 電流の流れにくさを表しています。 スライドを終了します。 今日のまとめ 電気回路第1スライド6-11-1 抵抗、インダクタンス、キャパシタンス回路をまとめると ①抵抗とインダクタンス、キャパシタンスを比較します。 ②抵抗だと同じ位相が、インダクタンスで電圧が90゜進む。 ③抵抗Rに当たる電流の流れにくさ、リアクタンスがωL。 ④キャパシタンスでは電圧が遅れ、リアクタンス１/ωC。 ⑤下2つでは電力消費ゼロ。 ？ ！ わからなければ最初に 戻ります。 来週までの演習課題です。 容量リアクタンス キャパシタンス回路 e＝Em sin(ωt+θ) i＝ωCEmcos(ωt+θ) ＝Im cos(ωt+θ) Im＝ωCEmより、 比較して Em ＝ Im 実効値 I ＝ E スライドを終了します。 ωC ωC 1 容量リアクタンス XC＝ ωC [Ω] が 電流の流れにくさを表しています。 今日のまとめ 電気回路第1スライド6-11-2 電圧と電流の位相 抵抗 位相が同じ（同相） インダクタンス 電圧が90゜進む ①抵抗とインダクタンス、キャパシタンスを比較します。 ②抵抗だと同じ位相が、インダクタンスで電圧が90゜進む。 ③抵抗Rに当たる電流の流れにくさ、リアクタンスがωL。 ④キャパシタンスでは電圧が遅れ、リアクタンス１/ωC。 ⑤下2つでは電力消費ゼロ。 ？ ！ わからなければ最初に 戻ります。 来週までの演習課題です。 容量リアクタンス キャパシタンス回路 e＝Em sin(ωt+θ) i＝ωCEmcos(ωt+θ) ＝Im cos(ωt+θ) Im＝ωCEmより、 比較して Em ＝ Im 実効値 I ＝ E スライドを終了します。 ωC ωC 1 容量リアクタンス XC＝ ωC [Ω] が 電流の流れにくさを表しています。 今日のまとめ 電気回路第1スライド6-11-3 電圧と電流の位相 電流の流れにくさ 抵抗 位相が同じ（同相） 抵抗 R インダクタンス 電圧が90゜進む ①抵抗とインダクタンス、キャパシタンスを比較します。 ②抵抗だと同じ位相が、インダクタンスで電圧が90゜進む。 ③抵抗Rに当たる電流の流れにくさ、リアクタンスがωL。 ④キャパシタンスでは電圧が遅れ、リアクタンス１/ωC。 ⑤下2つでは電力消費ゼロ。 誘導リアクタンス ωL ？ ！ わからなければ最初に 戻ります。 来週までの演習課題です。 容量リアクタンス キャパシタンス回路 e＝Em sin(ωt+θ) i＝ωCEmcos(ωt+θ) ＝Im cos(ωt+θ) Im＝ωCEmより、 比較して Em ＝ Im 実効値 I ＝ E スライドを終了します。 ωC ωC 1 容量リアクタンス XC＝ ωC [Ω] が 電流の流れにくさを表しています。 今日のまとめ 電気回路第1スライド6-11-4 電圧と電流の位相 電流の流れにくさ 抵抗 位相が同じ（同相） 抵抗 R インダクタンス 電圧が90゜進む 誘導リアクタンス ωL 1 キャパシタンス 電圧が90゜遅れる 容量リアクタンス― ωC ①抵抗とインダクタンス、キャパシタンスを比較します。 ②抵抗だと同じ位相が、インダクタンスで電圧が90゜進む。 ③抵抗Rに当たる電流の流れにくさ、リアクタンスがωL。 ④キャパシタンスでは電圧が遅れ、リアクタンス１/ωC。 ⑤下2つでは電力消費ゼロ。 ？ ！ わからなければ最初に 戻ります。 来週までの演習課題です。 容量リアクタンス キャパシタンス回路 e＝Em sin(ωt+θ) i＝ωCEmcos(ωt+θ) ＝Im cos(ωt+θ) Im＝ωCEmより、 比較して Em ＝ Im 実効値 I ＝ E スライドを終了します。 ωC ωC 1 容量リアクタンス XC＝ ωC [Ω] が 電流の流れにくさを表しています。 今日のまとめ 電気回路第1スライド6-11-5 電圧と電流の位相 電流の流れにくさ 抵抗 位相が同じ（同相） 抵抗 R インダクタンス 電圧が90゜進む 誘導リアクタンス ωL 1 キャパシタンス 電圧が90゜遅れる 容量リアクタンス― ωC ①抵抗とインダクタンス、キャパシタンスを比較します。 ②抵抗だと同じ位相が、インダクタンスで電圧が90゜進む。 ③抵抗Rに当たる電流の流れにくさ、リアクタンスがωL。 ④キャパシタンスでは電圧が遅れ、リアクタンス１/ωC。 ⑤下2つでは電力消費ゼロ。 ？ ！ わからなければ最初に 戻ります。 来週までの演習課題です。 電気回路第1スライド付録 補足１ 誘導起電力 電磁誘導（誘導起電力） 高校の物理で少なくともここまでは行っておいて欲しいですね、電磁 気学ではちゃんと学習するはずです。ここでは、コイルに磁石を入れ ると、面白いことに磁石が入っていても、入っていなくっても何も起きま せんが、出し入れしている瞬間だけ、コイルに電圧が発生します。電 流が発生するのではありません。もちろん外に小さな抵抗をつないで あげれば電流がとれます。 出し入れ（移動） Ｎ Ｓ 起電力＝電圧 !! わかったら（でなくっても） ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 電気回路第1スライド付録 補足２ 正弦関数と微分 微分量の利用 微分とか積分とかは、物理（力学）のF＝ｍaとかで有名なニュートンに さかのぼるもので、もともと位置を時間で微分して速度v＝dx/dtともち ろん、（速度に比べいいかげんなネーミングの）加速度もa＝dv/dtでつ くられました。電流が電荷の移動で与えられたとすると、１時間に何億 個（何兆、何京）個の電荷（電子）が合計で動いたかではなく、ある一 瞬でどの位の速度（のようなもの＝１秒あたりいくつのレートでその瞬 間電子が移動しているか）をもちいます。 sin(ωｔ) cos (ωｔ) の微分 sin ―微分する→ cos 、 cos ―微分する→ －sin は覚えていると思います。むしろsin(ωｔ)、と角周波 数ωが入っている点に留意してください。ωが外に 出ますから角周波数（もちろん周波数にも）依存す る値の電圧（電流、リアクタンス）となります。 !! わかったら（でなくっても） ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 電気回路第1スライド付録 補足３ ｓｉｎ（ωｔ）ｃｏｓ（ωｔ） とりあえず加法定理 これだけは覚えておいて、 sin(α+β)=sin α cos β +cos α sin β と多分これもと cos(α+β)=cos α cos β －sin αsin β ① ② sin(ωt)cos(ωt) 上の①でα＝β＝ωt＋θとおいて sin(2ωt＋2θ)=2sin （ωt＋θ） cos（ωt＋θ） ですから電力は Im×Emsin(2ωｔ＋2θ)/2 ③ ④ !! わかったら（でなくっても） ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 電気回路第1スライド付録 補足4 実効値の間の関係式になる。 時間の関数と強調し、電圧と電流の関係が、 電流 i(t) ＝Im sin(ωt+θ) ① e(t) ＝Em cos(ωt+θ) ② ＝ωLIm cos(ωt+θ) ③ で与えられるとき（インダクタンスの場合）、 電圧と電流の関係は、抵抗のように e(t) ＝Rもどきi(t) ④ 電圧 とすることはできません。刻一刻と関係も変 化して、例えば電流ゼロ、電圧Emとなるケー スすらあります。黄色の電流を何倍しても位 相の違う電圧にはなりません。 ここでは、電圧と電流の振幅に注目すると、 これらは、位相を含まない量なので、初めて 簡単な比例の式、 Em ＝RもどきIm ⑤ が成立します。色を付けていません。もちろ ん、実効値で評価したいですからルート２で 割って、実効値の関係式として、実効値の 間の比例係数が誘導リアクタンスωLです。 Im 時間 ０ ωLIm ０ 時間 －ωLIm !! わかったら（でなくっても） ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 電気回路第1スライド付録 補足5 静電気とコンデンサ （くだらない高校の復習です。もどっていただい て結構です。）古典的なコンデンサは、薄っぺら い極板２枚をうんと近づけます。（必要なら間に 何かをはさみます。）電圧を掛けますと導線の部 分は電流をどんどん流して電圧が一定になりま すから、必然的に極板間に電源と同じ電圧Vが かかります。その際上下の極板には正と負の電 荷Qがたまります。このQと電圧の比例係数から キャパシタンスCが定義されて、 Q ＝CV ① となります。あとは電荷の流れが電流ですから、 極板の電荷量の変化は極板に出入りする電流 となります。例として、（例外的に熱心な学生で） 教室が満員でも入り口に出入りする人はいませ んが、前後ではたくさん出入りします。ですが、 これからは、変化量はすぐに微分してと議論を 始めます。①は微分して、 dV i ＝C―― ② dt となります。 ＋Q V ーQ !! わかったら（でなくっても） ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 電気回路第1スライド付録 発展１ 前回からの演習問題の解答 [1] 実効電圧100 [V]、0 [s]に初期位相π/６、周波 数60 [Hz] の正弦波交流のグラフを書きましょう。 この問題のポイントは、（１）実効電圧 100 [V] の正弦波交流 なので振幅は√２倍の 141 [V] であること、（２）周波数 60 [Hz] なので、1周期は、60分の1秒です。（３）初期位相を与え ましたから、サインの始まったばかりのπ/6（もちろん30°で す。）を入れることが必要です。これは2πの12分の１ですから、 720分の１秒でしょうか。ある程度数値が入ってないとグラフに － なっていませんので注意してください。 i e R i [A] √3 1 0 1 240 e [V] 141 70.7 0 1 1 360 1 720 144 －141 17 720 1 90 7 360 11 720 23 720 t [s] [2] 左の回路に周波数60 [Hz] の正弦波交流電圧を加えたところ、0 [s] に 1 [A]、 1 [s] に √ 3 [A]の電流が流れたとする。このときの電圧の実効値を求めなさい。 240 グラフ要りませんね。60 [Hz] ですから、角周波数は、ω=2πｆ＝120πで、電流i=Imsin(120πt+θ) とおきます。これに、t＝0を代入して、 Imsin(120π×0+θ)=Imsinθ=1 ① となり、t＝1/240を代入して、 Imsin(120π×1/240+θ)=Imsin(π/2+θ)=Imcosθ= 3 ②√ が得られます。①と②をそれぞれ2乗して加えると、 [Imsinθ]2＋[Imcosθ]2=Im2[sin2θ＋cos2θ]=Im2=12+ 3 ③√2 ですから、Im= 2 です。実効値に直して│I│= 2 √になります。 見終わったら、ここを 電圧の実効値を求めたいので、 t [s] クリックして帰りましょう。 │E│＝│I│Rから、 │E│＝ 2√R となります。 !! 電気回路第1スライド付録 発展3 変化するときだけ電圧 [1] 実効電圧100 [V]、0 [s]に初期位相π/６、周波 数60 [Hz] の正弦波交流のグラフを書きましょう。 この問題のポイントは、（１）実効電圧 100 [V] の正弦波交流 なので振幅は√２倍の 141 [V] であること、（２）周波数 60 [Hz] なので、1周期は、60分の1秒です。（３）初期位相を与え ましたから、サインの始まったばかりのπ/6（もちろん30°で す。）を入れることが必要です。これは2πの12分の１ですから、 720分の１秒でしょうか。ある程度数値が入ってないとグラフに － なっていませんので注意してください。 i e R i [A] 3 1 0 1 240 e [V] 141 70.7 0 1 1 360 1 720 144 －141 17 720 1 90 7 360 11 720 23 720 t [s] [2] 左の回路に周波数60 [Hz] の正弦波交流電圧を加えたところ、0 [s] に 1 [A]、 1 [s] に 3 [A]の電流が流れたとする。このときの電圧の実効値を求めなさい。 240 グラフ要りませんね。60 [Hz] ですから、角周波数は、ω=2πｆ＝120πで、電流i=Imsin(120πt+θ) とおきます。これに、t＝0を代入して、 Imsin(120π×0+θ)=Imsinθ=1 ① となり、t＝1/240を代入して、 Imsin(120π×1/240+θ)=Imsin(π/2+θ)=Imcosθ=3 ② が得られます。①と②をそれぞれ2乗して加えると、 [Imsinθ]2＋[Imcosθ]2=Im2[sin2θ＋cos2θ]=Im2=12+32 ③ ですから、Im=√10 です。実効値に直して│I│=√5 になります。 見終わったら、ここを 電圧の実効値を求めたいので、 t [s] クリックして帰りましょう。 │E│＝│I│Rから、 │E│＝√5 R となります。 !! 電気回路第1スライド付録 発展2 位相を間違わない これは99年のレポートのうちの１つです。今回 のインダクタンスの回路の応答を先取りして 示してくれたのでしょう。（グラフは合っている ことにしましょう。）でも位相は同じではないで すね。例の周期的振動ということから電圧と電 流のずれは、もちろん一定ですね。位相差は ずっと変わらないというのが正しいようです。 !! 見終わったら、ここを クリックして帰りましょう。 電気回路第1スライド付録 発展6 次回までの演習問題 [1] まず、インダクタンス 1 [mH] のコイルに交流 60 [Hz] を加えた場合の誘導リアクタン スはいくらか。では、誘導リアクタンスを 1 [Ω] とするためにはどのような交流を印加す るとよいか。 [2] 身の回りで電気機器をつくると浮遊容量（右図の薄い青で示 した配線などと接地の間に生じる容量）というものがあってせっ かく加えた電源や信号をロスしてしまいます。では、この浮遊容 量が 30 [pF] (=3×10-11 F) のとき、60 [Hz] の交流電源と、100 [MHz] の信号それぞれに対する容量リアクタンスを求めなさい。 !! 見終わったら、ここを クリックして帰りましょう。 電気回路第1スライド付録 発展4 誘導リアクタンスの効果 誘導リアクタンスXL=jωLとなりました XL が、これは、周波数が小さいとぜんぜん 効かない（ただの導線）のに対し周波数 がすごく高くなるとほとんど電流を通さな い（開放）のように振舞います。 身近にあるものとしては、電池の直 流はゼロヘルツと考えます。もちろんLは 効きません。線の長さとかは抵抗の損失 分とかだけ考えればOKです。その辺の 電源コンセントも似たりで、60Hzというの はかなり低い周波数で、パソコンの電源 50～60 Hｚ ～500 MHｚ 0.8～1.5 GHｚ 0 線などもかなりいいかげんに（無駄に長 （商用電源） （コンピュータ等） （携帯電話等） いもの）作ってあります。60Hzなんかは低 （直流） 周波などと呼ばれます。一方このパソコンの中にいたると数百 MHzのCPUのほかにほとんどの回路を数十MHｚで動かしてい ます。さっきの電源の100万倍Lがよく効きます。ICの中身はじつ は真中のほんの数ミリのところに回路がつくり込まれています。 見終わったら、ここを Lの寄与も抑えています。抵抗などもチップ抵抗といって導線部 クリックして帰りましょう。 分のないものを使ったりします。また、携帯電話の通信は800M か1.5GHzですから数センチのアンテナで十分なLがあります。 !! 電気回路第1スライド付録 発展5 容量リアクタンスの効果他 容量リアクタンスXC=1/jωCとなって、 XL 周波数が小さいとほとんど開放、高周波 だとつうつうに漏れるというは素子です。 ゼロ周波数の電池もコンデンサのほ ぼお仲間です。比較的大きいですね。周 波数の低いところでつかうコンデンサは なかの詰め物を工夫したり電極を巻物の ように巻いたり大変な思いをして作ってい ます。それでも容量はμF にしかなりませ ん。一方周波数があがると平行平板コン デンサに近い、丸電極2枚を重ねたコン 50～60 Hｚ 0 デンサっていうのでもOKです。そうなると、 （商用電源） （直流） 1000 [pF] とかでしょうか。 どういうわけか、この業界では、mF とか nF というのをあまり使わずに、 1000 μF とか、1000 pF と言ったりします。 部品屋さんなどと付き合うときは注意で す。さらに、ショップではきっかり 1.00 μF といって売ってはくれないのでもうひとつ 注意です。 ～500 MHｚ （コンピュータ等） !! 見終わったら、ここを クリックして帰りましょう。
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![平成 27 年度 解析力学 講義ノート [9]（担当：井元信之）](http://s1.expydoc.com/store/data/005823531_1-6dfc5651ee541caabda1dd6b2980db5d-250x500.png)