Integrability Disambiguates Surface Recovery in

Integrability Disambiguates
Surface Recovery in TwoImage Photometric Stereo
Ruth Onn, Alfred Bruckstein
(Int J Comp Vision 1990)
Shape-from-X
 一つの画像から物体の形状を得る手法
曖昧性が大きい
本来、形状を出す事は困難
制約条件や仮定
複数の画像
曖昧性を減らす
Shape-from-shading
Photometric stereo
本論文の主張
 2枚の画像を用いたphotometric
stereo
 Integrability(直訳：積分可能性）を用いる。
（“現実の表面形状は積分可能である”と
いう性質。）
曖昧性を除去；一意に表面形状を決定
仮定
 Self-shadow（対象物体自身の影）が起こ
らない
 対象物体の表面が滑らか
 Lambertian反射モデル
 カメラで撮影した画像が正投影
概要
 カメラ固定。異なる点光源で２枚の画像を
取得。点光源の位置と明るさは既知。
 各点の表面法線を得る。法線から高さの
データを得るのは、既存のアルゴリズムを
使う。
表面法線
 z=H(x,y):高さ
 N(x,y):表面法線ベクトル
N ( x, y)  [ p( x, y),  q( x, y), 1]
 H 
p ( x, y )  

 x 
 H 

q( x, y)  
 y 
画像の明るさ
 A=(ax,ay,az):光源1の入射光ベクトル
 B=(bx,by,bz):光源2の入射光ベクトル
 IA:光源1の下での点(x,y)の画素の明るさ
 IB:光源2の下での点(x,y)の画素の明るさ
IA 
 pa x  qa y  a z
1 p  q
2
2
IB 
 pbx  qb y  bz
1 p  q
2
2
式変形
T  1 p  q
2
2
と定義し、前頁の式を変形
pax  qay  az  I AT pbx  qby  bz  I BT
これらはpとqの連立方程式の形をしている。この解は、
p  c pT  d p q  cq T  d q
Tは、上にある通り、 T 2
 p  q  1 ここにpとqを代入
2
2
K 2T  K1T  K 0  0
2
（KiはIA,IB,ax,ay,az,bx,by,bzの関数）
２つの解
K 2T 2  K1T  K 0  0
この式をTについて解くと、２つの解T1とT2を得る
 このTを前頁のpとqの解の式に代入すれば、T1
とT2それぞれに対して、(p1,q1)と(p2,q2)を得る
 すなわち、N1とN2という２つの法線を得る
 この曖昧性をIntegrabilityの性質を使って除去

領域分割
 各画素は以下の３つの場合のうちどれか
一つに当てはまる
V 0 {pointswhereT  T1  T2 }
V 1 {pointswhereT  T1  T2 }
V 2 {pointswhereT  T2  T1}
 V0とself-shadowで領域分割
 領域内の全ての点はV1もしくはV2である
Integrability
 Integrability制約を用いる（下式）
 p   q 
 2H   2H 

  
 すなわち、     
 xy   yx 
 y   x 
 (p1,q1)と(p2,q2)の一方のみ上式を満たす
ただし、
例えば
2
H ( x, y)  0
xy
が成り立つ時は成立しない
H ( x, y)  F ( x)  G( y)
が成り立つ時（例：平面）
２つの照明がx-z平面にz軸対象で原点方向の場合
正しい法線の判定方法
 領域Rでは、下式のどちらかが0に近づく
2
 p1 q1 

 dxdy


y
x 
( x , y )R 
2
 p 2 q 2 

 dxdy


y
x 
( x , y )R 
 左式≒0の時：(p1,q1)が正しい法線、R内の
全ての点はV1
 右式≒0の時：(p2,q2)が正しい法線、R内の
全ての点はV2
 両方の式≒0の時：隣りの領域から推測
シミュレーションに使用した形状
異なる照明における前頁の形状
のシミュレーション画像２枚
V0の点とself-shadowの点をプ
ロットした図
結果
(c) Daisuke Miyazaki 2001
All rights reserved.
http://www.cvl.iis.u-tokyo.ac.jp/

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