2006. 10. 3 Ibaraki Univ. Dept of Electrical & Electronic Eng. Keiichi MIYAJIMA 茨城大学 工学部 電気電子工学科 宮島啓一 (みやじま けいいち) 専門:形式化数学 (数学の証明のコンピュータ言語化) [email protected] 講義を始める前に・・・ 年齢と年収の関係 年齢 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 月額 223,600 231,900 240,500 249,600 258,900 267,600 277,700 286,500 295,300 304,000 312,700 328,500 338,100 347,600 357,200 366,700 380,800 389,900 398,700 405,900 年収 3,577,600 4,174,200 4,329,000 4,492,800 4,660,200 4,816,800 4,998,600 5,157,000 5,315,400 5,472,000 5,628,600 5,913,000 6,085,800 6,256,800 6,429,600 6,600,600 6,854,400 7,018,200 7,176,600 7,306,200 年齢 月額 年収 42 411,800 7,412,400 43 425,200 7,653,600 44 433,600 7,804,800 45 439,800 7,916,400 46 445,800 8,024,400 47 449,900 8,098,200 48 468,000 8,424,000 49 476,000 8,568,000 50 482,800 8,690,400 51 489,500 8,811,000 52 494,200 8,895,600 53 498,700 8,976,600 54 503,000 9,054,000 55 503,000 9,054,000 56 503,000 9,054,000 57 503,000 9,054,000 58 503,000 9,054,000 59 503,000 9,054,000 60 503,000 9,054,000 生涯賃金 274,916,800 年齢と年収の関係 10,000,000 9,000,000 修士(一般) 生涯賃金 2億7千5百万円 学士(技術あり) 8,000,000 7,000,000 年収 6,000,000 5,000,000 4,000,000 学士(技術なし) 3,000,000 2,000,000 1,000,000 0 学士(技術なし、 運もなし) 22 25 24 27 26 29 28 31 30 33 32 35 34 37 36 39 38 40 42 45 44 47 46 49 48 51 50 52 58 61 60 23 41 43 53 54 55 56 57 59 年齢 留年すると 授業料 50万円 生活費 120万円(10万×12) 給与の損失 900万円 アルバイト 200万円 以上のことをふまえて、学生生活を送って下さい。 授業の概要 最初の2回: 簡単な常微分方程式の応用 基本的に1変数関数の積分に関係 2変数関数の微積分: y=f(x) で変数xの動く範囲が直線から平面に なったもの 授業の到達目標 微分方程式を解くとはどういう意味か説 明できる 2変数関数の連続の意味を説明できる 微分係数と変微分係数の違いを説明できる 関数の極大点と極小点を見分けることができる 積分がグラフの下の体積をあらわす様子を想 いうかべることができる 線形代数とのかかわりを少し理解した気になる 微分積分Ⅱの位置づけ 電気回路Ⅰ (1年次後期) 微分積分Ⅱ 数学演習Ⅱ (1年次後期) 線形代数Ⅰ・Ⅱ (1年次) ベクトル解析 電気回路Ⅱ フーリエ変換と波形解析 (2年次前期) 電気回路Ⅲ ラプラス変換と過渡現象 (2年次後期) 制御工学Ⅰ (3年次前期) 制御工学Ⅱ (3年次後期) 授業に関する注意点 授業の最後に15~30分程度、演習の時間 をとります。 その演習のレポートを持って出席とみなしま す。 重要 4回以上欠席した者に対しては、 単位を認めない。 3回まではOK.4回以上は、単位を認めない。 理由があり欠席する場合は、必ず届けてください。 授業での注意事項 •必要に応じてメモを取ってください。 •わからない点(質問)がある場合は、講義の途中 でも構わないので、手を挙げて質問してください。 授業での禁止事項 私語 他の人の迷惑になります。 話が必要なときは、外に出て 話してください。 携帯電話 電源を切るか、 マナ-モ-ドにしてください。 教科書および参考書 教科書: 原岡喜重:教程 微分積分,日本評論社 ISBN 4-535-78416-7 参考書: 馬場敬之,高杉 豊:スバラシク実力がつくと評判の微分積分 キャンパスゼミ,マセマ出版社 ISBN 4-944178-20-4 成績評価方法 成績は、期末試験(1回のみ)で判定する。 ①期末試験 期末試験はAグループと同じ問題です。 配点は100点満点です。なお、追試等は行いません。 ②受験資格 各授業の最後に出すレポート提出が、10回以上の者。 レポート提出が10回に満たない者は、期末試験を受験 する資格がありません。 以上で評価します。50点以上が合格です。 質問および授業に関する情報 授業に関する質問は、E-mailでも受け付けます。 質問がある場合は、下記のアドレス宛にメ-ルを送って下さい。 [email protected] 授業に関する情報は、下記のホ-ムペ-ジを見てください。 http://fm.ee.ibaraki.ac.jp/index.html 微分方程式と は? 一階の場合 dy (t ) ky(t ) 0 dt y (t dt ) y (t ) lim ky(t ) 0 dt 微分方程式と は? 一階の場合 y (t dt ) y (t ) lim ky(t ) 0 dt 移項 y (t dt ) y (t ) ky(t ) dt 微分方程式と は? 一階の場合 y (t dt ) y (t ) ky(t ) dt 両辺にdtをかける y(t dt ) y(t ) ky(t )dt 微分方程式と は? 一階の場合 y(t dt ) y(t ) ky(t )dt 移項 y(t dt ) ky(t )dt y(t ) 微分方程式と は? 一階の場合 dy (t ) ky(t ) 0 dt y(t dt ) ky(t )dt y(t ) 少し先の未来 現在の状態 微分方程式の解とは無限の過去から未来 にわたっての状態を表す 微分方程式と は? 一階の場合 y(t dt ) ky(t )dt y(t ) 少し先の未来 現在の状態 もし、ある時刻の状態 y (0)が解るならば、 微分方程式は無限の過去から未来にわたっ ての状態を表すことが出来る。 微分方程式の初期値問題 例題1 dy (t ) ky(t ) 0 dt 特性方程式 k 0 を解くと・・・ 特性方程式とは? t とりあえず y (t ) e と置く t 理由: e には y (t ) e と言う性質がある。 t これを利用する。 例題1 dy (t ) ky(t ) 0 dt 代入 t y(t ) e を t t e ke 0 t t なので、両辺を e 0 e で割ると k 0 特性方程式 例題1 特性方程式 k 0 から 解の形 y (t ) be y(t ) be k t kt この b は何か? 例題1 y(t ) be kt この b とは、積分定数 C に相当する部分 f (t )dt f (t ) C この b を初期値 y (0) 1から導く y(0) be k 0 b よって b 1 例題1 以上をまとめると、 dy (t ) ky(t ) 0 微分方程式 dt 初期値 の解は y (0) 1 y(t ) e kt 解の一意性と は? 解が一意であるとは 方程式の解がただ一つに定まること 詳しくは後で詳述する。 解の存在と一意性の定理 f1 (t ), f 2 (t ), , f n (t ), g (t )を t のみの関数とするとき y (n) f1 (t ) y ( n 1) f n1 (t ) y f n (t ) y g (t ) * の形の微分方程式をn階線形微分方程式という f1 (t ), f 2 (t ), , f n (t ), g (t )は区間 I で連続とする。 このとき I 内の点 x a における ( n 1) y(a) b0 , y (a) b1 ,, y (a) bn1 初期条 件: のもとで、*の解は区間 I でただ1つ存在する 例題2 同様に例題2について考えよう 2 d y (t ) 微分方程式 y (t ) 0 2 dt dy (0) 1 初期値 y (0) 0 dt の解は? 例題2 d 2 y (t ) y (t ) 0 2 dt t 代入 y(t ) e を 2 t t e e 0 t t なので、両辺を e 0 e で割ると 特性方程式 1 0 2 例題2 特性方程式 2 1 0 1t t t ) b1ebe b2e 解の形を・・・y(ty)( y(t ) b1e b2e it i から 2t it この b1 ,b2を求める 例題2 y(t ) b1e b2e it { it に初期値を代入 y(0) b1 b2 0 dy (0) ib1 ib2 1 dt よって 1 1 b1 , b2 2i 2i 1 it 1 it y (t ) e e sin t 2i 2i オイラーの公式 オイラーの公式 i e cos i sin ・・・① ①式の に を代入すると i ( ) e cos( ) i sin( ) cos i sin ・・・② ①+②より ①ー②より i e e i e e i i 2 cos 2i sin sin tan は tan cos だから i i i i e e cos 2 e e sin 2i オイラーの公式 i e cos i sin i e e sin 2i i e e cos 2 i i i e e tan i i i (e e ) i オイラーの公式 i e cos i sin は指数関数や対数関数のマクローリン 展開から導くことが出来る。 (この授業では行わない) オイラーの公式は今後、他の授業でも よく使われるので、覚えておくよう に!! 例題3 最後に例題3について考えよう 2 d y (t ) 微分方程式 y (t ) 0 2 dt 実数値をとるすべての解は? 初期値が無い場合、自分で初期値 を考える dy (0) a1 y(0) a0 dt 例題3 例題2より解は y(t ) b1e b2e it it b1 b2 a0 初期値より ib1 ib2 a1 この連立方程式を解くと ia0 a1 ia0 a1 b1 , b2 2i 2i 代入してオイラーの公式を使用 y(t ) a0 cos t a1 sin t ( a0 , a1は任意の実数定 数) 本日の課題1 次の微分方程式を与えられた初期条件 の下で解きなさい。 dy (t ) (1) y (t ) 0, y (0) 1 dt 2 d y (t ) dy (t ) dy (2) 3 2 y (t ) 0, y (0) 0, (0) 1 2 dt dt dt 本日の課題2 例題3の中の y(t ) a0 cos t a1 sin t 2 d y ( t ) が、 の階であることを y ( t ) 0 2 dt 確かめよ。 (代入して、微分方程式の解となっているこ とを示せ。) 自然対数の底 e とは? y (t ) 2 (ネイピア数ともいう) x 1 lim 1 e で、定義される数 x x y(t ) e t y(t ) 3 t t y y y 接線 接線 1 1 O 傾きが1より小 t 接線 O 1 t 傾きが1 O 傾きが1より大 t
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