数学のかたち R09

数学のかたち
ε − N 論法
Masashi Sanae
極限値の直観的な定義
{an}を実数からなる数列として、nを限りなく大きく
する。an が一定の値αに限りなく近づくとき、
lim an= α
𝑛→∞
で表す。
【命題】
a，b を実数とする。このとき任意の ε > 0 に対して
｜a – b｜< ε
が成り立つならば、a = b である
証明
a ≠ b と仮定する。 𝜀0 =
𝑎−𝑏
2
𝑎 − 𝑏 < 𝜀0 =
とおくと、仮定より
𝑎−𝑏
2
・・・（*）
が成り立つが、（*）より 𝑎 − 𝑏 < 0 なので矛盾。
よってa = b ■
【命題】の直観的イメージ
a，b を実数とする。このとき任意の ε > 0 に対して
｜a – b｜< ε
が成り立つならば、a = b である
どんな小さな数 ε > 0 をとっても、｜a – b｜の値は
ε より小さくできる。
極限値の厳密な定義
任意の ε > 0 に対して、ある N0 ∈ N が存在して、
n≧N0 をみたす任意の n∈N について
｜ an − a｜< ε
をみたすとき、数列 an の極限値は a であるといい、
lim an= α
𝑛→∞
で表す。
定義の直観的なイメージ
どんな小さな数 ε > 0 を決めても、その ε に対応し
て十分大きな数 N0 を決めれば、その番号から先
では an は a との差が ε より小さいところ（近傍）に
入っている。
1
lim =
𝑛→∞ 𝑛
【例題1】
0
（証明）任意の ε＞0 に対して、 N0 ∈ N を
N0 =
1
𝜀
+ 1 と定める。このとき、 N0 >
1
𝜀
よって、n≧ N0 をみたす任意の n∈Nについて、
1
𝑛
1
𝑛
−0 =
1
𝑛
≤
1
𝑁0
<𝜀
− 0 < 𝜀 が成り立つから、
1
lim =
𝑛→∞ 𝑛
0 ■
𝑛+3
lim
=
𝑛→∞ 𝑛+2
【例題2】
1
（証明）任意の ε＞0 に対して、 N0 ∈ N を
N0 =
1
−
𝜀
2 + 1 と定める。このとき、 N0 +2 >
1
𝜀
よって、n≧ N0 をみたす任意の n∈Nについて、
𝑛+3
−
𝑛+2
𝑛+3
−
𝑛+2
1 =
1
𝑛+2
≤
1
𝑁0+2
1 < 𝜀 が成り立つから、
<𝜀
𝑛+3
lim
=
𝑛→∞ 𝑛+2
1 ■
2𝑛+3
lim 2 =
𝑛→∞ 𝑛
【例題3】
0
（証明）任意の ε＞0 に対して、 N0 ∈ N を
N0 =
1+ 1+3𝜀
𝜀
+ 1 と定める。このとき、 N0 >
1+ 1+3𝜀
𝜀
よって、 n≧ N0 をみたす任意の n∈Nについて、
2𝑛+3
𝑛2
<
2𝑛+3
𝑛2
2
𝑛
−0 = +
2
1+ 1+3𝜀
𝜀
+
3
𝑛2
≤
3
1+ 1+3𝜀 2
𝜀
2
𝑁0
=
+
3
𝑁 02
2𝜀 1+ 1+3𝜀 +3𝜀2
− 0 < 𝜀 が成り立つから、
1+ 1+3𝜀
2
2𝑛+3
lim 2 =
𝑛→∞ 𝑛
=𝜀
0 ■
どうやって n0 を決めるのか
1
lim =
𝑛→∞ 𝑛
【例題1】
1
𝑛
−0 =
すなわち
よって
1
𝑛
≤
1
𝑁0
N0 >
N0 =
<𝜀
1
𝜀
1
𝜀
0
としたい。
としたい。
+1
とすればよい。
どうやって n0 を決めるのか
𝑛+3
lim
=
𝑛→∞ 𝑛+2
【例題2】
𝑛+3
−
𝑛+2
1 =
N0 +2 >
N0 =
1
𝑛+2
1
𝜀
1
−
𝜀
2 +1
≤
1
𝑁0+2
<𝜀
1
どうやって n0 を決めるのか
2𝑛+3
lim 2 =
𝑛→∞ 𝑛
【例題3】
2𝑛+3
𝑛2
−0 =
2
𝑛
3
+ 2
𝑛
≤
2
3
+ 2
𝑁0
𝑁0
0
<𝜀
𝜀𝑁02 −2 𝑁0 −3 > 0
N0 >
1+ 1+3𝜀
𝜀
N0 =
1+ 1+3𝜀
𝜀
+1
問題
問題1
3𝑛
lim
=
𝑛→∞ 𝑛−2
問題2
𝑛2+1
lim 2 =
𝑛→∞ 𝑛
問題3
2 𝑛−3
lim
=
𝑛→∞ 𝑛+1
3
1
2
3𝑛
lim
=
𝑛→∞ 𝑛−2
【問題1】
3
（証明）任意の ε＞0 に対して、 N0 ∈ N を
N0 =
6
𝜀
+ 3 と定める。このとき、 N0 −2 >
6
𝜀
よって、n≧ N0 をみたす任意の n∈Nについて、
3𝑛
−
𝑛−2
3𝑛
−
𝑛−2
3 =
6
𝑛−2
≤
6
𝑁0−2
3 < 𝜀 が成り立つから、
<𝜀
3𝑛
lim
=
𝑛→∞ 𝑛−2
3 ■
𝑛2+1
lim 2 =
𝑛→∞ 𝑛
【問題2】
1
（証明）任意の ε＞0 に対して、 N0 ∈ N を
N0 =
1
𝜀
+ 1 と定める。このとき、 N0 >
1
𝜀
よって、n≧ N0 をみたす任意の n∈Nについて、
𝑛2+1
2 −
𝑛
𝑛2+1
2 −
𝑛
1 =
1
𝑛2
≤
1
𝑁02
<𝜀
1 < 𝜀 が成り立つから、
𝑛2+1
lim 2 =
𝑛→∞ 𝑛
1■
2 𝑛−3
lim
=
𝑛→∞ 𝑛+1
【問題3】
2
（証明）任意の ε＞0 に対して、 N0 ∈ N を
N0 =
5
−
𝜀
1
2
+ 1 と定める。 N0 >
5
−
𝜀
1
2
よって、n≧ N0 をみたす任意の n∈Nについて、
2 𝑛−3
−
𝑛+1
2 𝑛−3
−
𝑛+1
2 =
5
𝑛+1
≤
5
𝑁0+1
2 < 𝜀 が成り立つから、
<𝜀
2 𝑛−3
lim
=
𝑛→∞ 𝑛+1
1■
2 𝑛−3
lim
=
𝑛→∞ 𝑛+1
【問題3】
2
（別解）任意の ε＞0 に対して、 N0 ∈ N を
N0 =
25
𝜀2
+ 1 と定める。 N0 >
25
𝜀2
N0 >
5
𝜀
よって、n≧ N0 をみたす任意の n∈Nについて、
2 𝑛−3
−
𝑛+1
2 𝑛−3
−
𝑛+1
2 =
5
𝑛+1
<
5
𝑛
≤
2 < 𝜀 が成り立つから、
5
𝑁0
<𝜀
2 𝑛−3
lim
=
𝑛→∞ 𝑛+1
1■

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