格子超対称性に向けて宗博人(新潟大・理) `02 Oct. 24 於基研内容：・・・・・・・ちょっと一言超対称性とは？格子上の超対称性の登場と困難 Wilson Fermion では？フェルミオニック対称性坂井・坂本 → Kaplan et. al (02) セル＋パイプ模型 (01) 伊藤・加藤・澤中・宗・浮田・村田・まとめ 1 一言（２００２まで）格子上の超対称性は、・格子QCDの勃興期に対応・いろんなアプローチが提唱・新人でもあっと驚く仕事の可能性・確実な仕事向きではないが…. 2 行列模型格子QCD カイラルゲージ理論格子超対称性 CP PACS Luscher ???? 先頭格子量子重力 3 連続理論における超対称性ポアンカレ対称性 (並進 + ローレンツ対称性)を含む非自明な拡張には、フェルミオニックな対称性を必ず含む（超ポアンカレ対称性） → ‘beyond the standard model’の有力候補超ポアンカレ代数（N=1) 4 ガンマ行列 5 フェルミオンとボソンの自由度と質量縮退（真空はユニーク）真空以外は、同じ(物理的）自由度 6 同様に、質量縮退は、を計算質量縮退但し、PとQが可換、Qと(-1)2Sは反可換を使う 7 (D次元空間) ユークリッド理論 +経路積分量子化物質場多重項 S=0,1/2 超対称性(SUSY、supersymmetry)の変換 8 R-symmetry （SUSYと関わるglobal symmetry）三種類のU(1)の存在、三つの複素場φ, ψ, F 多重項としてのU(1)、カイラルU(1)、 U(1)R ∵ 本質的にカイラル ← カイラルアノーマリー 9 連続でのsuper Yang-Mills 理論without Auxiliary Field ゲージ場多重項 (S=1, 1/2) 変換ライプニッツ則とビアンキ恒等式 O(Ψ）は、任意次元で相殺 10 O(Ψ3）は、以下の次元のみ相殺 D=3 Majorana 2/2 = 1 D=4 Majorana 22 /2 = 2 D=6 SU(2) Majorana-Weyl 23*2/2/2 = 4 D=10 Majorana-Weyl 25/2/2 = 8 11 １格子上の超対称性の始まり Pioneering Work; LATTICE SUPERSYMMETRY P.H. Dondi, H. Nicolai, Nuovo Cim.A41:1,1977 格子化 → ナイーブ差分問題点・代数・ライプニッツ則・（ビアンキ恒等式）・自由度（ダブリング）・質量、無質量・‘マヨラナ条件’ お断り Ginsparg-Wilson Fermion関係式とSUSYの関係（菊川-青山、宗-浮田、菊川-中山、藤川）省略 12 Ginsparg-Wilson(GW)関係式と超対称性 D=2, Wess-Zumino 模型（Ukita-H.S PL B457 (‘99)314）ミクロからマクロへ・・・ブロックスピン関数 fn(x) 13 GWと同様の方法（ガウス型）で、ブロックスピン・カイラル変換では、普通のGW関係式を導く。具体的なブロックスピン関数(f)によらない。・ SUSYでは、具体的なブロックスピン関数(f)に依存する。フェルミ型GW＋ボーズ型GWを見つけられる（A-K’９９） U(1)Rは Luscher型である。しかし、fは一般に非局所的である。さらに、相互作用があるとお手上げ・ super Yang-Mills では、mass term （ガウス型ブロックスピン）とゲージ対称性の相性は？？？？・量子マスター方程式では、克服可か？？？ 14 ２困難 A. SUSY代数 ↓ （結晶）空間群 ← 有限並進変換 ← Super Poincareの再考 B. ライプニッツ則の破れ自由場の理論 (野尻、青山-菊川、宗-浮田、・・・藤川・・・・) → 作用の不変性に対して、 O(a)の破れか、ライプニッツ則を使わない 15 格子ライプニッツ則のno-go定理条件・並進不変性・ ‘local’な差分によるライプニッツ則・相互作用が、（指数関数的に）local ーーーーーーーーーーーーーーーーーーー → 不可能 Ukita-H.S ’99 SUCAL 新潟研究会報告 16 O(a)の破れ I Curci-Veneziano II Kaplan-Schmaltz SYM → I → Adjoint Wilson Fermion + Fine Tuning ‘マヨラナ条件’ Fine Tuning of Δm 17 仮定：SUSY固定点ありき relevant, irrelevant Operatorsに分類ゲージ不変な（自由度もバランスした）形式では Fine Tuningは、フェルミオンの質量項のみカイラル Ward-Takahashi id. SUSY Ward-Takahashi id. 同等性（一つのΔmで、両恒等式をsaturate）谷口、DESY-Munster-ROMA (1-loop, MC) 一応肯定的だが、実際のシミュレーション、有限繰込み 18 II Domain-Wall Fermion + 5D Majorana Condition Domain-Wallの図ゼロモードの図 5次元マヨラナ条件・Fine Tuningは不要になった・symmetryはない 19 ３ライプニッツ則は必要か？ • フェルミオニックな対称性 ↓ Vacuum Energyの相殺 BosonとFermionの質量縮退例坂井-坂本 (Nucl.Phys.B229:173,1983) N=2, D=2 Wess-Zumino model Four Fermionic Charges 代数にPを含まない二つのCharges 表示・ ‘SUSY’代数としては、Hのみ含む・ spinorを１に固定してinternal (1⇔2)回転不変性 GR= O(2) ・対称性が厳しいが、N=1でも可能(Elitzur-Rabinovici-Schwimmer ’82) 20 21 ∴ Hamilton形式ではライプニッツの問題がない但し、全体の半分のFermionic Chargeのみあとの対称性は、格子上では問わない場の置き方：サイト上とリンク上にばらけるサイト(n) リンク(n,n+1) Super Potential Wがあっても、OK. Nicolai Mapping → ユークリッド作用の構成真空のエネルギーの相殺（Z=1）の確認何故、サイトとリンクにばらけたのか？ → 自由度の問題 1+1次元では、Wilson とStaggeredの区別がない？ 22 ナイーブなアプローチフェルミオン doubling → ボソン doubling 23 Catteral-Karamov Phys.Rev.D65:094501,2002 Nucl.Phys.Proc.Suppl.106:935-937,2002 ユークリッド作用の対称性 ↓ フェルミオニックな対称性フェルミオンとボソンの質量縮退 Super-QM 変換注意 1 変換は BRS的 2 OS positivityはない 24 Mass の縮退と SUSY Ward-Takahasi id. フェルミオンとボソンの縮退の表 SUSY Ward-Takahasi id. 25 LATTICE SUPERSYMMETRY D.B.Kaplan E.Katz and M. Unsal hep-lat/0206019 ・ Construction of Lattice Theory ・ Exact Fermionic Symmetry - half of original ‘SUSY’ – ･ 3 Ms ⇒ 6 daughters D=4,6,10 or N=1,2,4 Orbifolding ･ Hamilton形式 → 0+1次元理論・ Lack of discrete‘ Lorentz’ symmetry ・ Lack of O-S positivity （？） 26 Construction of Connectivity ‘d次元空間’＋連続時間 GR×U(Nd k) ∋ GR : Global R-Symmetry Adjoint ← 単なる整数の組 d個の制限（‘Orbifolding’） ← ‘格子化’ Nは‘空間’格子のサイズ 27 1次元空間の例 Φが0以外の値を持つには、 orbifold chargeが0の時は、n=m ‘サイト’と呼ぶ orbifold chargeが±1の時は、n=m ±1 ’リンク‘と呼ぶ高次元の場合は、以下の表から読み取る 28 (i) 一次元（空間）格子 (ii) 二次元（空間）格子 (a) point group π回転と鏡映(4) (b) point group (iii) 三次元（空間）格子 point group Dihedral sym. (12) Octahedral sym. (48) 29 図(i) 図(ii)a 図(ii)b 図(iii)a 30 図(iii)b 図(iii)c point group (8) 31 １＋１次元理論の連続極限と格子‘作用’ N=1,３＋１次元SYMの連続理論のreduction Target Theory 図１の例（０＋１次元）補助場を消すとボソンフェルミオン 32 Classical moduli ‘格子化’へのパラメーター連続極限 ‘Wilson’ 項の生成 33 フェルミオニックな対称性とセル＋パイプ模型 Itoh-Kato-Sawanaka-So-Ukita , Nucl.Phys.Proc.Suppl.106:947-949,2002 Prog. of Theor. Phys. 108 :363-374,2002, hep-lat/0209034 Itoh-Kato-Murata-Sawanaka-So, hep-lat/0209030 戦略：可能な限り、localな理論の枠で、フェルミオニックな対称性を探す。連続極限で生き残る対称性 → SUSY？ • セル模型・・・・ Minimalな世界基本格子上のリンクにリンク変数サイトに、グラスマン変数 Wilson’s plaquette Action ＋ real staggered Fermion とを置く 34 2,3次元の図連続でのsuper Yang-Mills変換に‘類似な’ フェルミオニックな対称性を探すフェルミオニックな変換 (preSUSY) αρμと Cμνは、G-oddなパラメーター図で書くと、ゲージはー、フェルミオンは● 35 作用の図符号について影つきが、δ=＋１変換の演算子の図 36 フェルミ3次項を相殺するための条件 ⇔ ∴ ゲージ作用とフェルミ作用の相殺条件 ⇔ 37 ∴ ⇒ 経路積分測度不変の条件条件式を解く独立変数サイトあたりの自由度ーーーーーーーーーーーーーーーー全空間へ拡張は可能か？すべての断面で、市松模様 = Ichimatsu lattice 38 39 フェルミオンをswitch offすると各セルは、お互いに何の関係もない・パイプ模型からセル＋パイプ模型へパイプ＝セルの補集合パイプの図セルとパイプを式で書くとセル＋パイプ作用 40 41 セル＋パイプ模型の対称性独立な自由度 2D-1で解ける 42 Ichimatsu Lattice のuniqueness 定理仮定・どんな面でも市松模様・ mod 2 並進対称性・ π/2回転対称性・ Reflection Positivity 結論 ⇒ セルかパイプかセル＋パイプしかないーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー 1-component Grassmann (ξ)とフェルミオン (Ψ)の関係 Majorana Staggered Fermionの Ψ Spinor 再構成の問題現実には、次元による構成 ⇔ ξ 43 連続極限と真空構造ゲージ結合定数の定義フェルミオンの変換の問題の相構造が大事 3D Z2と4D SU(2)模型で調べる（相転移がある系とクロスオーバーしかない系） Pure Gauge 系 44 平均場による相図 Dualityとセルやパイプでの相転移 45 3D Z_2 セル+パイプ模型では、３Dイジングに等価 46 シミュレーションによる相図 47 4D SU(2) セル＋パイプ模型 Crossover 付近 48 49 強結合パイプ模型 50 強結合セル模型 51 シミュレーションによる相図 4D SU(2) 52 まとめ（宿題） SUSYの代わりにフェルミオニックな対称性・超空間の格子化は？・グラスマン数の離散化？実空間だけ離散化してグラスマンの方は変えない？フェルミオニックな対称性の正体 Super Poincareの‘格子化’？セル＋パイプの問題ダブリング ⇔ N=? ⇔ local parameters Kaplan et al の問題 Euclid latticeで構成可？ OS positibityの問題 53 比較セル＋パイプ模型・より‘単純な格子’から、exact fermionic symmetryを探す・ mod 2 ICHIMATSU格子・ユークリッド格子・ OS positivity OK ーーーーーーーーーーーーーーーーーーー K-K-U模型・残すべきexact fermionic symmetryを考えながら、格子構造を考える・点群・ハミルトン形式・ OS positivity NO? ーーーーーーーーーーーーーーーーーーー共通項格子にある構造を持たせて、格子‘SUSY’を Exact symmetry に昇華させる 54 格子QCD カイラルフェルミオン格子超対称性先頭 55