超対称性について

超対称性について
y.wakimoto@GSW 輪読会
2015 年 3 月 16 日
概要
超対称性についての稚拙かつ個人的で可読性の低いノート。
目次
1
SUSY の概要と on/oﬀ-shell 問題
1
2
spinor について
3
3
超対称性代数とその表現
6
4
成分形式と超場形式
7
1 SUSY の概要と on/oﬀ-shell 問題
超対称性とは何だろうか。コールマンマンデューラとか coupling unification とかいろいろな動機が様式的
に述べられるが、いまやそれらを本当の動機として SUSY をやっている人は僅かで、殆どがなんだかよくわか
らない内にやっているのではないかと思う。何かを SUSY 化するという仕事は新規性のみを求めるのなら安
易な発想である。理論物理学者にとって MSSM の失敗は自然界の手痛いしっぺ返しだったことだろう。（そ
れだって大したものなのだが）一方で BRST 対称性も超対称性の一種であるし、Seiberg-Witten 理論や超弦
理論など SUSY が理論の興味深いところに顕れ、表現しづらい魅力を放っていることも確かである。超対称
性についてのレビューはネットにも沢山転がっている。色々な流儀があるようだがここでは（BRST や超対称
性量子力学などは含まない）Poincaré SUSY について適当になんとなく超基礎的な部分をかいつまんでいく。
超対称性の導入には導入者の好みに応じておおまかに二通りの流れがある。一つめは超対称性を具えた作用
汎函数を例として提示し、そこに超対称性代数を見出していく流れ。二つめは始めから（天下り的に）超対称
性代数を導入してそこから超対称な作用汎函数の構成に向う流れである。前者は純粋に物理的な流れであり、
後者は純粋に群論的な流れであるはずだが、これらは超対称性の特性によって微妙に交差しており、それが興
味深くもややこしい様相を呈している。N = 1 super Poincaré algebra は次のような交換関係を含む。
{Qα , Q̄β̇ } = Pαβ̇
(1)
Q, Q̄ が所謂超対称性変換の生成子となる。並進作用は微分演算 ∂ で表現されるため、場による超対称性変換
の表現は時間微分を含む。したがって純粋に群論的であるはずの超対称性変換の表現は同時に場の運動方程式
と consistent でなければならない。
1
雑談
個人的には SUSY のここが面白いと感じている。Noether の定理などを鑑みると作用汎函數は己れ自身
が持つ対称性を「知っている」が、対称性すなわち群の方は己の表現である場がどのように運動しうるか
を知る由もない。だが、SUSY の場合はそれを知っているのである。あるいは、いま知る由もないと言っ
たのは間違えで、実は対称性から運動がある程度決ってしまうのかもしれない。とすると作用汎函數は基
本的な量ではなく何かの表現に過ぎないということになる。
作用汎函數
?
運動
対称性
場の運動方程式を仮定したうえで場が consistent な超対称性の表現を与える理論を on-shell SUSY という。
ただこれではいささか技術的に不便である。たとえば massless Wess-Zumino model と massive WZ model
は場を共有し共に超対称性を持っているが、その代数表現は異なる。
massless WZ model
Lagrangian
SUSY algebra
∗
L0 = i∂n ψ̄σ̄ ψ + A □A
{
√
δξ A = 2ξψ
√
¯ mA
δξ ψ = i 2σ m ξ∂
n
massive WZ model
(
)
L = L0 + mA∗ A − m/2 ψψ + ψ̄ ψ̄
{
√
δξ A = 2ξψ
√
√
¯ m A − 2ξmA∗
δξ ψ = i 2σ m ξ∂
（Wess-Bagger を読んだことのある人はわかるかもしれないが、これはワザと on-shell にしている。）そこで
補助場を導入し「きちんと」SUSY の表現をやってやろうという流れがあって、この形式では運動方程式を
仮定せずとも consistent な SUSY の場による表現を得ることができる。場の運動方程式によらない SUSY を
oﬀ-shell SUSY という。
oﬀ-shell Wess-Zumino model
Lagrangian
SUSY algebra
∗
L
0 + F F√+ · · ·


 δξ A = √2ξψ
√
¯ m A + 2ξF
δξ ψ = i 2σ m ξ∂


 δ F = i√2ξσ̄
¯ m ∂m ψ
ξ
SUSY 代数の表現や d.o.f. の計上から補助場の個数や種類は判るものの系統的に補助場の項を決定するやりか
たはまだ見付かっていないようである。それなので SUGRA などでは局所 super Poincaré な理論を得るため
にまずは super conformal 理論を作っておいて conpensasor と呼ばれる物質場を couple させて conformal 方
向の自由度を殺すことで補助場を導入するといったことが行われる。D = 4, N = 1 super conformal 代数は
次のような生成子らから成る。
2
Kαβ̇
∆=1
∆ = 1/2
∆=0
S̄β̇
Sα
Mαβ
∆ = −1/2
Mα̇β̇
D
Q̄β̇
Qα
∆ = −1
Pαβ̇
ここで ∆ は各行の scale weight である。こういう diamond が書けることと conformal algebra の性質（の良
さ）と何か関係があるかはよくわからない。各生成子が scale weight を持つというのはつまり D が casimir
だからで、其れ故に conformal filed theory の場はみな scale weight を持ち、すなわち正則ということである。
ちなみに、4 次元時空における（super ではない）共形変換群は SO(2, 4) を成し、AdS5 は SO(2, 4)/SO(1, 4)
で定義されるから、AdS5 /CF T4 の萌芽がここに見られる。共形対称性にとって 2 次元はエキゾチックな次元
で、共形変換群の Lie 代数は Virasoro algebra になる。
閑話休題。ここからは spinor、超対称性代数の表現、成分／超場形式などについて簡単に述べることにする。
2 spinor について
雑談
数学に触れようというのなら何か定まった道筋を一次元的に辿るというよりかは三次元あるいはそれ以
上に広がった風景をこの目に射影して見ようという心持ちが必要だと思う。定義や定理は概念の本質で
はなく一つの表現、見方に過ぎない。そしてありとあらゆる概念は人間の構成や導入を全くの余所にして
有機的に繋っている——それは当に風景である。人より優れるとか研究に使うとかそういうのを抜きに
して純粋に数学を楽しみたいというならば、この有機性を自分なりに捉え風景を描き出すことこそが “数
楽” だと思う。描き出された風景が誰も見たことの無いものだったならば、それは研究となるのだろう。
この意味で芸術と数学とはよく似ている。物理学もまた似ることが出来ると思う。是らは扱う対象が異
なるに過ぎない。心理現象か、数理現象か、自然現象かである。閑話休題。spinor というよくわからな
いものも周囲の数学的対象と有機的な繋がりを持っているように思われるので、このことを念頭に置くと
勉強の際に気が楽になるかもしれない。（この文言は脇本が spinor について理解していることを意味し
ない。
）
一般に spinor とは Cliﬀord 代数の表現である。（という見方ができる。）では Cliﬀord 代数とは何か。Lie
algebra g の元 g は自分自身に adjoint 表現として作用する ad : g → Endg が、Cliﬀord 代数はこの数理現象
の一般のベクトル空間 V に対する類似アナロジーではないかというのが脇本の現時点での理解である。
雑談
リー代数 g とベクトル空間 V を並べて考えるというのは多様体 M をリー群 G あるいは等質空間の変形
とみなす見方に端を発していて、このような流儀を Cartan 幾何学と言ったりもするらしい。G の接空間
としての g = Te G と M のそれ V = Tp M を比較しているわけである。小林昭七さんはこの Cartan 幾
何学に魅せられていたようである。この視点からは例えば曲率の存在 dΓ + Γ ∧ Γ = F は Maurer-Cartan
方程式 dg + g ∧ g = 0 の変形と見做される。
3
そもそも d 次元ベクトル空間 V には双対作用素 (V ∗ )∗ ≃ V が定義できてその固有値 ±1 から signiture
(p, d − p) の計量 η = diag(1, ..., 1, −1, ..., −1) が定まりそして O(p, d − p) の作用が導入される。その自然さ、
| {z } | {z }
p
d−p
有機的な繋がりを考えると O(p, d − p) あるいはそれに準ずるものをベクトル空間 V から直接構成できて然る
べきだと考えるのもまた自然であろう。ベクトル空間 V は O(p, d − p) の表現空間として導入できるが、そう
いう意味では V から O(p, d − p) を reconstruct しようというわけである。
雑談
この reconstruction というのもちょっと昔の現代数学の興味深いテーマの一つだ。reconstruction は
duality の一種で equivalent ほど強くなく、概念としては adjoint に近い。例えば淡中-Krein duality は
群とテンソル圏の双対を主張する。群の表現全体の成す圏はテンソル圏になり、また一般のテンソル圏
から群を構成することができる——すなわち再構成 reconstruct できるというのがその要点であった。
scheme も多様体 variety をその上の層から reconstruct する話と捉えることができるし、もっと積極的
に考えてその上の構造物がもとの空間を再構成することを旨として導入されたのが sober 空間である。
reconstruction（あるいは広く duality）の思想は何か基礎的なものがあってそれを土台として世界が成
立している、という古代神話的な考え方から一歩進んでいるため、物理学においても空間概念を変革させ
何らかの進展を与える可能性を孕んでいるように思われる。（topos はさらにもう一歩進んでいるらしい
が、よくわからない。）
V は外積代数
⊕d
k=1 ∧
d−k
star ⋆ ∧ V → ∧
k
k
V の構造を持つ。各 ∧ V は面積素や体積素と解釈される。
k
⊕d
k=1
∧ V には Hodge
k
V が作用し、外積と Hodge star (∧, ⋆) は内積 η と consistent であり ∀v, w ∈ V に
ついて v ∧ ⋆w = η(v, w) · Ω の関係がある。ここで Ω ∈ ∧d V は volume form。V の正規直交基底（ある
いは Tp M の standard frame）を {ei }i=0,...,d−1 と書くことにし、外積 ∧ を省略して ei ej = −ej ei などと
表すことにする。Cliﬀord 代数 Cℓ(V ) は外積を “量子化” することによって得ることができる。すなわち
{ei , ej }+ = ei ej + ej ei = 2ηij とおくのである。 dimCℓ(V ) = 2d であり、その基底は {ei }i=0,...,d−1 を用い
て 1, ei ,
1
1
2! e[i ej] , 3! e[i ej ek] , ..., Ω
と書ける。
4
問題
)
d (
∑
d
2 =
k
d
(2)
k=0
に対して数式を用いない直感的説明を与えよ。
雑談
(
d
k
)
=
d!
= k Cd
k!(d − k)!
(3)
は二項係数である。Grassmann 多様体なんかも似たように O(d)/O(k) × O(d − k) と定義されるの
で、シンボリックに
(
d
k
)F ,⊘,⊗,⊖
= F(d) ⊘ (F(d) ⊗ F(d ⊖ k))
(4)
などという記号を定義したらどうだろうか。こういう一般化は単なる遊びと映るかもしれない。
確かにそれ自体新規性を持っていたとしても論文にはならないが、何らかの数学的構造を抽象し
ている可能性もあり、それがどこかひょんなところで役立つこともあるかもしれない。ちなみに
permutation k Pn = n!/k! に “対応” する O(n)/O(k) は Grassmann 多様体の fibration である
Stiefel 多様体。
α : V → V で α(ei ) = −ei なるものを ∧ 準同型なものとしてその定義域を Cliﬀord 代数 Cℓ(V ) 全体に拡張
する。α2 = 1 なのでこの α の固有値について Cliﬀord 代数は Z2 -graded algebra の構造を持つ。Cliﬀord 群
Γ(V ) を Γ(V ) = {x ∈ Cℓ× (V ); ∀y ∈ V ; α(x)yx−1 ∈ V } で定義する。但し Cℓ× (V ) は Cℓ(V ) の可逆元全体
の集合である。
雑談
このような表記はわりと一般的。例えばよく見掛ける C× = C \ {0} も同様。「可逆元全体を取る」と
いった操作は他にも環の局所化の議論などで重要で、R や C を幾何学的対象として見ればトポロジーが、
代数的対象としてみれば環が体となる...... 属する圏が変わっている。それ故に圏論と相性が良くこうい
う操作の直感的な説明がそのまま圏の普遍性 universality の概念を用いて厳密に定式化できる。
Γ(V ) は V に作用するが (ei1 ei2 · · · ein ) = ein ein−1 · · · e1 として x̄ = α(x ) で定義される Cℓ(V ) の norm
t
t
∥x∥ = xx̄ 分だけ大きさを変えるので、O(V ) と比べて R× 分だけ余分である。すなわち 1 → R× → Γ(V ) →
O(V ) → 1。同型 so(V ) ≃ ∧2 V から判るように Γ(V ) 内の二次形式すなわち Mij = 12 [ei , ej ] で張られる部分
が SO(V ) に対応するが、これは α-even なので正確には SO(V ) を二重に被覆する Spin(V ) である。定義を
5
まとめると
1
/ R×
O
/ Γ(V )
O
/ O(V )
O
/1
1
/ Z2
O
/ P in(V )
O
/ O(V )
O
/1
1
/ Z2
O
/ Spin(V )
O
/ SO(V )
O
/1
1
/ Z2
/ Spin(V )0
/ SO(V )0
/1
(5)
となる。signiture (1, 3) の場合 Spin(1, 3) = SL(2, C) である。
雑談
Lorentz rotation の生成子 Mµν は反対称テンソルみたく書かれるが、果たしてこの添字 µ, ν は Lorentz
添字なのか？という疑問も生じうる。だが同型 so(V ) ≃ ∧2 V があるので、これはやはり Lorentz 添字な
のである。
22d 次元 Cliﬀord 代数 Cℓ× (V ) は 2d × 2d 行列によって表現 ρ : CℓV → GL(2d ) することができる。
Γi = ρ(ei ) をガンマ行列という。この行列が作用する 2d 次元の表現ベクトルをスピノルという。この
視点からは Lorentz 添字が二つの spinor 添字に対応することは自然である。spinor の空間を S とおくと
ρ : V → S ⊗ S ∗ と見做せるからである。
あとやるべきなのはガンマ行列を組み直して生成消滅演算子を定義して真空ベクトルを作り... といういつ
もの流れ。ガンマ行列の積は Ω = Γ0 · · · Γd−1 で終わりなので、T M ⊕ T ∗ M の spinor 表現の話と同じような
感じである。Ω は Casimir でありその固有値は ±1 で、chirarity を与える量となっている。
力尽きたので興味のある人は本間さんの講義ノートや太田さんのシュプリンガーや Ward& Wells jr のツ
イスターの教科書を御参照下さい。ともかく、多様体が tangent vector という構造を備えそこに直交群
が作用している以上自然に spinor は導入される。
あとは次の点に留意すべきである。
1. spinor が大局的に定義されるための条件 (Stiefel-Whitney 類)
2. Cℓ(V ) の次元毎の表現と spinor の帰納的な構成
非自明なトポロジーを扱いうる SUGRA などの分野では (1) が大事だろうし、様々な次元が登場する M
理論系の文脈においては (2) が関ってくるであろう。
3 超対称性代数とその表現
超対称性変換の具体例については既に 1 章で述べた。on-shell/oﬀ-shell 問題、計算への現れとして言えば
“[Q, ϕ] = ...” と “δQ ϕ = ...” のギャップが超対称性の理論を他の対称性の理論と概念的にも技術的にも少々
異ったものとしているように思われる。
6
雑談
ϵ
そういえば、δQ
ϕ という変換を考えたときこれは何かの微小変換なのだろうか。それともそういう
operation なのだろうか。
この辺りの議論が混線し方針が無いように思われるのも、超対称性変換の物理的意味が明確ではないところが
大きいからなのではないかと思う。従って現段階ではできるだけ数学的正確性のみが方針となり、数学的に
consistent な理論を人海戦術的に埋めていくしかない。
Poincaré algebra の拡大としての超対称性代数の形は Haag-Lopuszański-Sohnius の定理によって決定さ
れる。
雑談
ちなみにLopuszański はポーランド人。太田さんの本にはLopuszánski とあるが á というアルファベッ
トはポーランド語には無いのでおそらく誤り。Pauli-Lubański operator の Lubański もポーランド人。
生成子は Pµ , Mµν , Qiα , Q̄iα̇ , T a および central charge P ij , V ij で、Qi , Q̄i が SU (k) の基本表現を成す場
合この理論を N = k SUSY 理論と呼ぶ。
雑談
あたり前のことだがこの N は超対称性変換生成子の数ではない。D = 4, N = 1 理論の場合超対称性変
換生成子の数は 4 つである。(x, θ, θ̄) で表される空間は R4|4 。
T はこの SU (k) 対称性の generator である。central chargeS, V は {Q , Q̄ } = δ
a
i
j
ij
̸ P + 1S + ΩV
ij
ij
と
いうような形で入ってくる。特別な場合はこれが消えて考えなくてもよいようである。Q, Q̄ についても
T M ⊗ T ∗ M や Cliﬀord 代数の場合と同様にして表現を考えてやることによって然るべき SUSY multiplet の
組み合わせを導出することができる。Lorentz 群の時と同様で massless 表現と massive 表現とは異る。
力尽きたので興味ある人は Wess-Bagger や Lykken や太田さんの本などを参考にして下さい。
4 成分形式と超場形式
SUSY multiplet は linear じゃないので対称性から作用汎函数を簡単に求めることはできない。とくに
SUGRA の場合、例えば N = 2 の SUGRA action を自由に扱う方法は殆ど解っていないようである。昨年
度の SVK の仕事は N = 1SUGRA において色々と可能なポテンシャルを模索することであった。（と私は理
解している。）ただ少くとも N = 1 rigid SUSY の場合は成分形式および超場形式がそれぞれ consisitent に
上手く働いているようである。
成分形式というのは、場の空間のほうで (A, ψ, F ) のような SUSY multiplet を考える方法である。一
方で超場形式は時空の方を x → (x, θ, θ̄) と拡張する。拡張された空間すなわち superspace 上の関数は
f (x, θ, θ̄) = f (x) + fθ (x)θ + f¯θ̄ (x)θ̄ + · · · + fθθθ̄θ̄ (x)θθθ̄θ̄ と展開されるので、通常の空間上の場の set
7
f
[fθ ]α
[fθ̄ ]α̇
[fθθ̄ ]αβ̇
[fθθ ]αβ
[fθ̄θ̄ ]α̇β̇
[fθθ̄θ̄ ]β̇
[fθθθ̄ ]α
fθθθ̄θ̄
を含んでいることになる。
雑談
東京都庁には superspace がある。行く機会があったら是非探してみて下さい。
ϵQ+ϵ̄Q̄
e
= 1 + ϵQ + ϵ̄Q̄ −
1 α β
2 ϵ̄ ϵ̄ {Qα , Qβ }
= 1 + ϵQ + ϵ̄Q̄ +
1 2
2ϵ ∂
となることからも類推されるように、（こ
の計算はちょっと自身がないのだが）Q は θ 方向だけではなく x 方向の shift も与え、Q = ∂/∂θ − θ̄∂ など
と表現される。これを f (x, θ, θ̄) に作用させるとある次数の項は前後の項の影響を取り込む。
f
[fθ ]α
[fθθ ]αβ
[fθ̄ ]α̇
[fθθ̄ ]αβ̇
[fθθθ̄ ]α
[fθ̄θ̄ ]α̇β̇
[fθθ̄θ̄ ]β̇
fθθθ̄θ̄
未完
すなわちこれが超対称性変換の multiplet となるわけである。Wess-Zumino model に現れる multiplet は
chiral superfield で表現される。superspace 上の共変微分 D = ∂/∂θ + θ̄∂ に対して DΦ = 0、すなわち
θ あるいは θ̄ の何れかにしか依存せずもう一方の方向には定数であるような場である。y = x + θθ̄ として
√
Wess-Zumino multiplet は chiral superfield として Φ = A(y) + 2θψ(y) + θθF (y) と書くことができる。超
対称性変換が
/ψ
/F
|
|
|
|
||
||
∂
|| ∂
|| ∂
|
|
}|
}|
∂A
∂ψ
∂F
A
(6)
の樣に項を混ぜ合せることもこの表式から見て取ることができる。Action は上の chiral superfield の θ̄ 版
Φ+ を用いて S =
∫
d4 xd2 θd2 θ̄Φ+ Φ と書くことができる。
8

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