2

Supersymmetry breaking by large-N matrices
黒木経秀 (KEK)
杉野文彦氏（岡山光量子研）との共同研究
Introduction
matrix model (Matrix theory, IIB matrix model,· · · ): 弦理論の非摂動的定式化
適当な large-N limit が存在して
• 量子重力か？
• 標準模型か？
⇑
large-N で dynamical SUSY br.? (cf. low energy SUSY, metastable vacua, etc.)
cf. IIB 行列模型の平均場近似
Nishimura-Sugino
Kawai-Kawamoto-Kuroki-Matsuo-Shinohara
Aoyama-Kawai-Shibusa, · · ·
1
一方、
• 構成的定義: ﬁnite N 、摂動論的には SUSY は不可欠 (重力の存在、etc.)
• ﬁnite N では SUSY (WT identity) が自発的に破れるのは考えにくい (正則化、measure)
目標:
ﬁnite N で SUSY、N → ∞ で SUSY br. を起こす模型の構成
2
new!
SUSY in ﬁnite system
Dynamical SUSY br. は有限系でも起こる (i.e. 何らかの相転移が付随するわけではない)
例
S=
Witten
λ2 2
¯
¯
d x
(∂φ) + ψi/
∂ ψ + (φ + a)2 + λφψψ
,
2
2
2
1
2
a>0
2
1.8
1.6
1.4
V
1.2
1
0.8
0.6
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
phi
図 1: a > 0 のときのポテンシャル
→ dynamical SUSY br.
3
1
W (φ) = λ
1
3
φ3 + aφ .
a<0
1.4
1.2
1
0.8
V
0.6
0.4
0.2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
phi
図 2: a < 0 のときのポテンシャル
しかしながら、もし有限系であればこのときも dynamical SUSY br. が起きる:
有限系であれば、tunneling が可能。instanton が vac. energy をかせぎ、SUSY を破る。
しかし、無限体積極限では、instanton が suppress され、SUSY が回復。実際、
有限系: 〈φ〉 = 0 → ∃Goldstone fermion
無限系: 〈φ〉 ̸= 0 → no Goldstone fermion
i.e. ﬁnite V で SUSY br.、V → ∞ で SUSY
4
Lessons:
• N → ∞ でのみ値を持つ量を構成する必要がある → 自発的対称性の破れ
しかしながら、自発的対称性の破れを起こすような真空の縮退があると instanton 効果
により ﬁnite N でも SUSY が破れてしまいそうである。
• 知られている large-N SUSY br. の模型は (もちろん dynamical ではあるが)ﬁnite N
でも破れているであろう。
Zanon, Higashijima-Uematsu
Idea:
SUSY sector(場の理論) と large-N sector (matrix model) が結合した系を考える。total
system として SUSY がある。matrix model (hidden sector) のある量 (vacuumu energy
でない) が large-N でのみ期待値を持ち、それが SUSY sector に伝染して SUSY sector の
SUSY が破れる (”mediation”)。SUSY br. の仕方は従来知られているものを用いるが、場
の理論と matrix model の coupling を工夫。
5
Witten’s model coupled to matrix model
S = SFT + SMM,
1
λ2 2
2
2
¯
¯
SFT =
d x
(∂φ) + ψi/
∂ ψ + (φ + a)2 + λφψψ
,
2
2
SMM = N trV (M ), M : N × N, Hermitian,
ここで、
a=
m2
2λ2
ϵ2
2
1
N
with ϵ → 0, i.e.
1
N
1
trM
+ ϵ2
2
= 0 −→ a =
trM
m2
2λ2
,
2
trM
̸= 0 −→ a = 0.
N
V (M ) は Z2-symmetric, V (−M ) = V (M ) で、下に有界。Gaussian で OK。
SUSY
¯
δξ φ = ξψ
δξ ψ = −(/
∂ φ + W ′(φ))ξ,
δξ M = 0.
6
W (φ) = λ(φ2 + a2),
N → ∞ のとき
N → ∞ の後、ϵ → 0 とする。
free energy における、matrix model sector の積分を先に考えると、
2
−N 2 F
e
=
MM
=
∞
1
n!
n=0

˜
− λ2 φ2 +
dM e−N trV (M )e
−
˜2
λ
ϵ2
(
2 2
1
N trM +ϵ
)
n 2n
2n Cl
2
−
ki =0 (i=1∼l)
ここで、
dM e−N trV (M ),
ZM =

∞
φ2(2n−l)
l=0
2
〈O〉 =
i ki
1
ZM
ϵ2
1
1
N
N
より、
1
N
trM
= 0,
0
1
N
ZM
2l
trM
2
trM
の部分はゼロとおいてよい → a =
→ SUSY br. in FT sector:
7
trM
dM O e−N trV (M ).
Z2-symmetry と large-N limit により、
1
2
c
=O
m2
2λ2
>0
1
N 2l
,
i ki
,
ﬁnite N のとき
Z2-symmetry のおかげで
1
N
2
の O(1) は消えるが、cylinder amplitude
trM
1
N
が生き残るので、
a=
trM
1
N
,
c
ϵ2
m2
2λ2
trM
1
,
2
trM
+ ϵ2
N
において ϵ → 0 で a → 0 と予想される。実際、ﬁnite N では厳密に証明できる。
→ SUSY
注意
1
2
trM のところは N → ∞ でゼロになる量なら何でも可。今の場合自然に cylinder
N
amplitude が選ばれた → matrix model ならでは
8
coupling の不自然さ
もう一つ SUSY sector を導入すると回避できる (φ ↔ X ↔ M )
˜ = S
˜FT + SM M ,
S
2
1
λ
2
2
¯ ∂ ψ + φ4 + λφψψ
¯
˜FT =
S
d x
(∂φ) + ψi/
2
2
√ 2
1
λ2 4
1
2
2
¯
+ µ(M ) X + µ(M )ΞΞ + i 2Λ φX + a ,
2
2
2
2
2Λ4
1 1
2
µ(M ) =
1+ 2
trM
.
m2
ϵ N
一つの行列に埋め込めるか？
”messenger”
SUSY
”messenger”†
MM
9
O’Raifeartaigh model couple to matrix model
simplest O’Raifeartaigh type model (→ 川野さんの talk):
d4x
S =
Φ :
¯ +f
d4θ ΦΦ
d2θΦ + h.c. ,
i.e. W (Φ) = f Φ,
chiral s.f. in d = 3 + 1,
dynamical SUSY br.:
S=
∆W =
1
2
d4xF¯ F + λF + h.c. + · · · =⇒
F¯ = −f,
V = |f |2 > 0
ϵΦ2 → new SUSY vacuum with
f
f
〈Φ〉 = − , i.e. 〈φ〉 = − , 〈F 〉 = 0 =⇒ V = 0 : SUSY vac.
ϵ
ϵ
〈Φ〉 → ∞ (ϵ → 0)
simplest model coupled to matrix model
S =
+ tr
d4x
¯ +
d4θ ΦΦ
ˆ
¯Φ
ˆ+
d4θ Φ
d2θ f + λ
1
N
ˆ Φ + h.c.
trΦ
ˆ + h.c. ,
d2θW (Φ)
ˆ = Φ(θ):
ˆ
Φ
N × N matrix in the chiral variable (same θ) without x-dependence:
√
ˆ
ˆ + θ 2Fˆ , φ,
ˆ ψ,
ˆ Fˆ : N × N matrices without constraint
ˆ
Φ = φ + 2θ ψ
10
Note
ˆ large-N reduction in N = 1 superﬁeld formalism
Φ:
or zero mode of Φa
ˆ =
W (Φ)
m
Kawai, T.K. and Morita
ˆ2
Φ
2
ˆ 積分 → 場の理論セクターの Φ のゼロモードの Seﬀ が変更を受ける:
Φ
e−Seﬀ =
Seﬀ |0 =
Φ0 =
dM e−S ,
4
d θ
1−
¯
λλ
¯ 0Φ0 +
Φ
mmN
¯
2
d θ f Φ0+
λ2
2mN
Φ20
+ h.c.,
d4x Φ : zero mode of Φ
これは次を実現:
∆W =
1
2
2
ϵΦ , with ϵ =
λ2
mN
.
ﬁnite N : SUSY
N → ∞: superpotential W = f Φ (simplest O’Raifeartaigh) =⇒ SUSY br.
Note
• the matrix model naturally gives the small value of ϵ ∼ O(1/N ).
• ”averaging” of f by matrix model
11
Comments on the metastable vacua
Consider in the modiﬁed simplest model with
Intriligator and Seiberg
1
W = f Φ + ϵΦ2,
2
the K¨
ahler potential is modiﬁed as
c
¯ −
¯ 2 + ··· ,
K = ΦΦ
(ΦΦ)
2
Λ
with c > 0. Then the potential becomes
−1
¯ = (∂X ∂X¯ K)
V (Φ, Φ)
2
2
¯
|f + ϵΦ| = |f | +f¯ϵΦ+f ϵ¯Φ+
4c |f |2
Λ2
and has a local minimum with broken supersymmetry at
〈Φ〉meta
|Φ|2+· · · , (Φ ≈ 0, ϵ ≪ 1),
ϵ¯Λ2
=−
,
¯
4cf
which is far from the SUSY vacuum at 〈Φ〉 = −f /ϵ, so long-lived (metastable)
√
as long as |ϵ| ≪ c |f /Λ|. It sounds nice, but seems artiﬁcial.
12
今の場合、scalar potential は
¯ 0) =
V (Φ0, Φ
1−
¯
λλ
−1
f+
mm
¯
λ2
mN
2
Φ0 ,
ˆ = mΦ
ˆ 2/2 のときは
Gaussian potential W (Φ)
ϵ が小さいことの説明を与えるが、metastable vacua は存在しない
interacting matrix model case: W (Φ) =
4
Seﬀ |0 =
1−
d θ
+
2
¯
λλ
mmN
¯
d θ f Φ0+
+
λ2
2mN
m
g 3
ˆ2 + Φ
ˆ
Φ
2
3
¯ g
λλg¯
(mm)
¯ 3
Φ20
+
¯ 0Φ0 +
Φ
λ3g
3m3N
→ c < 0 → other matrix models (ﬂavor?)
13
Φ3
2 0
+
¯ 2g¯
gV 2
λ2λ
¯ 2Φ2
Φ
(mmN
¯ )3 0 0
λ4g 2
2m5N 3
Φ40 + · · ·
+ h.c.,
Conclusions and Discussions
我々の例では
• N は単なるパラメーターではなく、行列の rank
cf.) tanh(hN )
• N × N 行列の積分が本質的
• しかし依然として kinematical, i.e. action の形はさほど重要でない
⇓
非自明な matrix model dynamics によって自発的に SUSY が破れる模型を構成したい
他に、
• 模型の分類、universality は？
• 一個の行列への埋め込み (とくに後半の模型)
• basic O’Raifeartaigh 等への応用 → metastable vacua: 存在条件 → matrix model
の量に対する制限。また、life time が N の関数になる
14
comments on diﬃculty of ﬁnite N SUSY
¯ +
d4θ ΦΦ
d4x
SF T =
d2θTrφΦ
2
V (φ) = −
SIsing = Tr (∂µφ) + V (φ) ,
d4x
g
φ + φ4.
2
4
dφe
= e−
d4 x
¯
d4 θ ΦΦ
= e−
d4 x
¯
d4 θ ΦΦ
¯
d4θ ΦΦ+
2
−SFT−SIsing
e−Sef f =
Seﬀ =
m
d4x
dφe−
e−
d4 x
d2θ 〈Trφ〉 Φ+
d4 x
d2 θΦTrφ −SIsing
e
d2 θΦTrφ
d4xd4x′d2θd2θ ′ΦΦ′ 〈TrφTrφ〉c+· · · ,
we have a ”jump” which triggers SUSY breaking at large-N , but second term
oﬀen breaks SUSY even for ﬁnite N .
15

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