1 はじめに
ここには GSW の 4.1 節の susy 計算に関連したものを一通りまとめておく
2 susy 初歩計算ノート
2.1 定義
∫
{
}
1
µ
作用:S = −
d2 σ ∂α X µ ∂ α Xµ − iψ ρα ∂α ψµ
(4.1.2)
2π
(α, β, · · · = 0, 1 また、µ, ν, · · · = 0, 1, · · · , D − 1 である)
(
)
(
)
0 −i
0 i
0
1
Dirac matrices:ρ =
, ρ =
(4.1.3)
i 0
i 0
{
δX µ = εψ µ
(4.1.8)
susy 変換:
,→ δψ µ = −iρα ∂α X µ ε
2.2 計算メモ
{ρα , ρβ } = −2η αβ
(
1 0
(ρ0 )2 = −(ρ1 )2 =
0 1
(
)
1 0
ρ0 ρ1 =
0 −1
)
(1)
(2)
(3)
∴ ρα ρβ = (ρα ρβ )T
(4)
(ρ0 )T = −ρ0 , (ρ1 )T = ρ1
(5)
ρ0 ρα ρ0 = (ρ0 ρα )T (−(ρ0 )T ) = −(ρα )T
(6)
ρ0 ρα = −(ρα )T ρ0
(7)
χψ = ψχ
(8)
χρα ψ = −ψρα χ
(9)
χρ ρ ψ = −ψρ ρ χ
0 1
0 1
1
(10)
3 γ 行列について
Fierz 変換が出てきたりするので、一般論と二次元の場合について記しておく。一般論
の方は見て分かりにくいかもしれないが、二次元の場合と合わせれば見当がつくかもしれ
ない。参考は九後ゲージ巻末の付録
3.1 n = 2k 次元 Lorentz 群 SO(1, n − 1) の γ 行列
• 生成元 γ µ (µ = 0, 1, · · · , n − 1):2k × 2k 行列 (n = 2k)
{γ µ , γ ν } = 2g µν , g µν = diag(+1, −1, · · · , −1)
γ
µ†
= γ 0 γ µ γ 0 , γν = gνµ γ µ
(11)
(12)
• 代数の基底の完全系:
γ
(m)
≡γ
µ1 µ2 ···µm
{
≡
γ µ1 · · · γ µm
0
(µ1 , · · · µm が相違なるとき)
(いずれか 2 つが一致するとき)
···µm
tr(γ µ1 ···µm γν1 ···νl ) = (−1)m(m−1)/2 2k δml δνµ11···ν
l
(13)
(14)
完全系であることはまず一式目の各 m に対して n Cm 個の基底があるから全部
で
∑n
m=0 n Cm
= (1 + 1)n = 2n = 2k × 2k 個の基底が与えられることと、第二
式から射影を取れることから分かる。γ (m=0) は単位行列である。第二式の右辺
は要は基底が一致するときのみ単位行列になってそのトレースは 2k になるとい
うことである。符号は行列の交換で出てくる符号である
• 荷電共役行列 C は以下の性質を満たす。
C −1 γ µ C = η(γ µ )T
(η = ±1 はどちらをとっても良い)
(15)
C †C = 1
(16)
C T = η k (−1)k(k−1)/2 C
(17)
• カイラル射影演算子 P±
Γ5 ≡ ik−1 γ 0 γ 1 · · · γ n−1 (4 次元での γ5 の類似物)
(Γ5 )2 = 1,
C −1 Γ5 C = (−1)k ΓT5
P± = (1 ± Γ5 )/2
(18)
(19)
(20)
2
• Fierz 変換: D × D 行列の完全系 {λA } が
A
tr(λA λB ) = NA δB
(21)
を満たすと任意の D × D 行列 Λ1 , Λ2 は
Λ1ij Λ2kl =
∑
2
1
(NA )−1 λA
il (Λ λA Λ )kj
(22)
A
と書ける。
任意の行列 Γ は完全系を使って
Γ=
∑
(NA )−1 λA tr(λA Γ)
(23)
A
と展開できる。ここで D2 個の行列 Γ(jk) を考えてその (i, l) 成分を Λ1ij Λ2kl で
定義すると、
(jk)
Γil
∑
(jk)
)
(NA )−1 λA
il tr(λA Γ
= Λ1ij Λ2kl =
A
∑
(jk)
=
(NA )−1 λA
il [λA pq Γqp ]
A
∑
1
2
=
(NA )−1 λA
il [λA pq Λqj Λkp ]
A
∑
2
1
=
(NA )−1 λA
il [Λ λA Λ ]kj
A
1
3
ここに (普通の数の)D 次元のベクトル ψ i , ψj2 , ψ k , ψl4 をかければ
1
3
(ψ Λ1 ψ 2 )(ψ Λ2 ψ 4 ) =
∑
1
3
(NA )−1 (ψ λA ψ 4 )(ψ Λ2 λA Λ1 ψ 2 )
(24)
A
と書け、Fierz 変換の公式になる。以上を上述の Clifford 代数の基底で書くと、2k
1
3
個の成分を持つ SO(1, n − 1) スピノール ψ , ψ 2 , ψ , ψ 4 に対して、
1
3
(ψ Λ1 ψ 2 )(ψ Λ2 ψ 4 )
= (−1)G
n
1 ∑
1
3
m(m−1)/2 1
(−1)
(ψ γ µ1 ···µm ψ 4 )(ψ Λ2 γµ1 ···µm Λ1 ψ 2 )
k
2 m=0
m!
(25)
と書ける。((−1)G はスピノールを Grassmann 数として扱った時の (2 ↔ 3) での
マイナス符号である。(m!)−1 は重複を避けるために必要)
3
3.2 二次元の場合
一般の場合との対比として k = n/2 = 1 であることとメトリックの符号が逆になって
いることに注意する。GSW の定義に従うと、
• 生成元と性質
(
0
ρ =
0 −i
i 0
)
(
1
,
ρ =
0 i
i 0
)
(26)
{ρα , ρβ } = −2η αβ , η αβ = diag(−1, +1)
(27)
ρα † = ρ0 ρα ρ0 (ρα T = −ρ0 ρα ρ0 ),
(28)
ρβ = ηβα ρα
• 完全系の基底: 今は単位行列 I 、ρα ,ρ0 ρ1 の４つである。それぞれ、II = I, ρ0 ρ0 =
−I, ρ1 ρ1 = −I, ρ0 ρ1 ρ0 ρ1 = −I なので、行列展開 (23) の NA の部分は I の場合は
2, 他の係数は-2 になる。
• 荷電共役行列 C: C = −ρ0 と定義すると、
C T = −C (η = −1)
C † C = (−ρ0 )2 = I
(メモより)C −1 ρα C = ρ0 ρα ρ0 = ηρα T
で一般論の性質を満たす。
• カイラル射影演算子： ρ5 = ρ0 ρ1 (= ρT
5)
(ρ5 )2 = I
C −1 ρ5 C = ρ0 ρ0 ρ1 ρ0 = (−1)ρT
5 一般論と一致している。よって C の定義はこれで良さそうである。
この定義でスピノールの荷電共役を考えると、
ψc = Cψ
T
= −ρ0 (ρ0 )T ψ ∗
= (ρ0 )2 ψ ∗ = ψ ∗
で複素共役が現れるが、そこで Majorana スピノールを考えると ψ が実になる
ことが分かる。
4
• Fierz 変換:(Grassmann 数の) スピノールがかかる前と後 (スピノールがかかった
後では ψ 2 , ψ 3 の入れ替えでマイナス符号がつくことに注意) を併記しておくと、
(以下で A∼D はスピノールの添字である)
Λ1AB Λ2CD =
1
[δAD (Λ2 Λ1 )CB
2
2
1
− ρα
AD (Λ ρα Λ )CB
− (ρ0 ρ1 )AD (Λ2 ρ0 ρ1 Λ1 )CB ]
(29)
1 1
1
3
3
(ψ Λ1 ψ 2 )(ψ Λ2 ψ 4 ) = − [(ψ ψ 4 )(ψ Λ2 Λ1 ψ 2 )
2
1
3
− (ψ ρα ψ 4 )(ψ Λ2 ρα Λ1 ψ 2 )
1
3
− (ψ ρ0 ρ1 ψ 4 )(ψ Λ2 ρ0 ρ1 Λ1 ψ 2 )]
(30)
Fierz 変換の利用例を一つ挙げておくと、(Grassmann 数の) スピノール θ に対し
て (29) より
δAB θB θC δCD = θA θD
1
= − [δAD θC (δδ)CB θB
2
α
− ρAD θC (δρα δ)CB θB
− (ρ0 ρ1 )AD θC (δρ0 ρ1 δ)CB θB ]
(31)
であるが、ρ0 ρα は対角行列であることから第二項は消え、第三項は θ 間に残るの
が ρ1 であって θT = (θ1 , θ2 ) → θ T ρ1 θ = i(θ1 θ2 + θ2 θ1 ) = 0 で消えることが分か
る。よって
1
θA θD = − δAD θC θC
2
となる
5
(32)
4 各種計算
4.1 作用の SUSY 変換
ボソンに対するフェルミオンを混ぜる変換 δX µ = εψ µ の変換で作用 (4.1.2) が不変で
あるように ψ µ の変換を求める。ただしパラメータ ε は微小として (Grassmann 数が微
小であるとは例えば行列で Grassmann 数を書いた時にその全体の係数が微小であるとい
うことであろうか？)2 次以上の項は無視する。改めて作用を書いておくと
1
S=−
2π
∫
{
}
µ α
µ α
d σ ∂α X ∂ Xµ − iψ ρ ∂α ψµ
2
であった。まずボソン部の変換を考えると、
δ(∂α X µ ∂ α Xµ ) = (ε∂α ψ µ )∂ α Xµ + ∂α X µ (ε∂ α ψµ )
= 2∂ α X µ ε∂α ψ µ
である。次にフェルミオン部を計算すると、(表面項は無視できるとして)
µ
δ(−iψ ρα ∂α ψµ )
= −i(δψ µ )T ρ0 ρα ∂α ψ − iψ µ T ρ0 ρα ∂α δψµ
(部分積分) → = −i(δψ µ )T ρ0 ρα ∂α ψ + i∂α ψ µ T ρ0 ρα δψµ
= −2i(δψ µ )T ρ0 ρα ∂α ψµ
となる。さて、作用が不変であるためには
−i(δψ µ )T ρ0 ρα ∂α ψµ = −∂ α X µ ε∂α ψ µ
であればよいが、これを見るために右辺を少し書き直す。
−∂ α X µ ε∂α ψ µ = −ε∂β X µ η βα ∂α ψ µ
1
(Clifford 代数) → = −ε∂β X µ (− )(ρα ρβ + ρβ ρα )∂α ψ µ
2
1
(部分積分) → = − ε∂α ∂β X µ (ρα ρβ + ρβ ρα )ψ µ
2
(添字の付け直し) → = −ε∂α ∂β X µ ρβ ρα ψ µ
(部分積分) → = ε∂β X µ ρβ ρα ∂α ψ µ
T
(計算メモより) → = −εT ∂β X µ ρβ ρ0 ρα ∂α ψ µ
6
よって、
δψ µ = −iρβ ∂β X µ ε
(33)
となる。
4.2 SUSY 変換の交換子が並進になること
一応 Fierz 変換を使うので [δ1 , δ2 ] についてもまとめておく ((4.1.9) 式のあたり)。まず
変換は
δX µ = εψ µ
δψ µ = −iρβ ∂β X µ ε
である。まずボソンに対しては、
[δ1 , δ2 ]X µ = δ1 (ε2 ψ µ ) − δ2 (ε1 ψ µ )
= ε2 (−iρα ∂α X µ ε1 ) − ε1 (−iρα ∂α X µ ε2 )
= −i(ε2 ρα ε1 )∂α X µ + i(ε1 ρα ε2 )∂α X µ
(メモより) = aα ∂α X µ ,
aα = 2iε1 ρα ε2
となる。フェルミオンの方は、
[δ1 , δ2 ]ψ µ = δ1 (−iρα ∂α X µ ε2 ) − δ2 (−iρα ∂α X µ ε1 )
= −i(ρα ε2 )∂α (ε1 ψ µ ) + i(ρα ε1 )∂α (ε2 ψ µ )
= −iρα ε2 (ε1 ∂α ψ µ ) + iρα ε1 (ε2 ∂α ψ µ )
である。第一項を Fierz 変換を使いながら変形すると、
1
−iρα 1ε2 (ε1 ∂α ψ µ ) = −iρα [− {∂α ψ µ (ε1 ε2 ) − ρβ ∂α ψ µ (ε1 ρβ ε2 )
2
− ρ0 ρ1 ∂α ψ µ (ε1 ρ0 ρ1 ε2 )}]
であるが、ρα ρβ = −ρβ ρα − 2η αβ , ρα ρ0 ρ1 = −ρ0 ρ1 ρα と Dirac 方程式 ρα ∂α ψ µ = 0 を
使うと、
−iρα ε2 (ε1 ∂α ψ µ ) = i∂α ψ µ (ε1 ρα ε2 )
(34)
iρα ε1 (ε2 ∂α ψ µ ) = −i∂α ψ µ (ε2 ρα ε1 ) = i∂α ψ µ (ε1 ρα ε2 )
(35)
同様に第二項についても
7
であるから、結局
[δ1 , δ2 ]ψ µ = aα ∂α ψ µ
(36)
となる。
4.3 supercurrent の導出∼Noether 法を使って∼
global 変換の対称性があるとわかっている時に変換のパラメータを local にして変換し
た時にパラメータの微分にかかるものが保存 current であるというのが Neother 法であ
る。これを SUSY 変換に用いる。上の計算から、作用と変換を書き出すと、
∫
{
}
1
µ
S=−
d2 σ ∂α X µ ∂ α Xµ − iψ ρα ∂α ψµ
2π
µ
δX = εψ µ
δψ µ = −iρβ ∂β X µ ε
である。例のごとくボソン部とフェルミオン部に分けて考えて、表面項は落ちるものと
する。
∫
[
]
1
µ α
µ α
2
δSb = −
d σ ∂α (εψ )∂ Xµ + ∂α X ∂ (εψµ )
2π
∫
1
=−
d2 σ[2∂ α Xµ {(∂α ε)ψ µ + ε(∂α ψ µ )}]
2π
∫
1
(部分積分) → = −
d2 σ2[∂ α Xµ (∂α ε)ψ µ − ∂α ∂ α Xµ εψ µ − ∂ α Xµ (∂α ε)ψ µ ]
2π
∫
1
=−
d2 σ[−2∂α ∂ α Xµ εψ µ ]
2π
である。フェルミオン部は
∫
1
δSf = −
d2 σ(−i)[(−iρβ ∂β X µ ε)T ρ0 ρα ∂α ψµ + ψ µ T ρ0 ρα ∂α (−iρβ ∂β Xµ ε)]
2π
∫
1
T
=−
d2 σ(−1)[(∂β X µ )εT ρβ ρ0 ρα ∂α ψµ + ψ µ T ρ0 ρα ∂α (ρβ ∂β Xµ ε)]
2π
∫
1
T
(部分積分) = −
d2 σ(−1)[(∂β X µ )εT ρβ ρ0 ρα ∂α ψµ − (∂α ψ µ )T ρ0 ρα ρβ ∂β Xµ ε]
2π
∫
1
d2 σ(−1)[−(∂α ψ µ )T (ρ0 ρα )T ρβ ∂β Xµ ε − (∂α ψ µ )T ρ0 ρα ρβ ∂β Xµ ε]
(第一項転置) = −
2π
8
計算メモから (ρ0 ρα )T = ρ0 ρα なので
1
=−
2π
1
(部分積分) = −
2π
1
(微分の可換性) = −
2π
1
(Clifford 代数) = −
2π
1
µ
(ψ ε = εψ µ ) = −
2π
∫
d2 σ(−1)[−2(∂α ψ µ )T ρ0 ρα ρβ ∂β Xµ ε]
∫
d2 σ2[−ψ µ T ρ0 ρα ρβ (∂α ∂β Xµ )ε − ψ µ T ρ0 ρα ρβ ∂β Xµ (∂α ε)]
∫
d2 σ2[−ψ
∫
∫
α β
µρ ρ
+ ρβ ρα
(∂α ∂β Xµ )ε − ψ µ T ρ0 ρα ρβ ∂β Xµ (∂α ε)]
2
µ
d2 σ2[−ψ (−η αβ )(∂α ∂β Xµ )ε − ψ µ T ρ0 ρα ρβ ∂β Xµ (∂α ε)]
d2 σ[2εψ µ (∂ α ∂α Xµ ) − 2ψ µ T ρ0 ρα ρβ ∂β Xµ (∂α ε)]
となり、フェルミオン部の第一項がボソン部のものと消しあう。フェルミオン部被積分関
数の第二項は定数係数を無視すると、
T
ψ µ T ρ0 ρα ρβ (∂β Xµ )(∂α ε) = −(∂α ε)T ρβ (ρ0 ρα )T ψ µ (∂β Xµ )
T
(メモより) = −(∂α ε)T ρβ ρ0 ρα ψ µ (∂β Xµ )
T
= −(∂α ε)T ρβ (−ρ0 )T ρα ψ µ (∂β Xµ )
= (∂α ε)T (ρ0 ρβ )T ρα ψ µ (∂β Xµ )
= (∂α ε)T ρ0 ρβ ρα ψ µ (∂β Xµ )
= (∂α ε)ρβ ρα ψ µ (∂β Xµ )
となるので、supercurrent は
J α = ρβ ρα ψ µ (∂β Xµ )
である
9
(37)
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