プラズマ工学

プラズマ工学
九州工業大学電気工学科
趙孟佑
No.8
〜プラズマ生成の基礎〜
1
高周波放電
• 高真空（中性ガスとの衝突が殆どない）
– マルチパクタ放電
• 電子の極板間の移動時間＝半周期
• 中真空（平均自由行程<電極間距離）
– RF(Radio Frequency)放電
• 電子の極板間の移動時間＞半周期
2
マルチパクタ放電
電極 A
時刻 t1
時刻 t3
t1に電極Aを出た電子
t2に対向する電極Bに衝突
f
電極Bの極性が正に反転
時刻 t2
電極 B
電子は逆方向へ加速
電極 A、+
電極Aに衝突
t2
t3
t1
電極 B、+
Time
電子放出
3
マルチパクタ放電
電極 A
時刻 t1
時刻 t3
f
時刻 t2
電極 B
• 電子が極板の間を進む時間が半周期に相当する時、
電界から最大のエネルギーを得る
• 極板に衝突する1個の電子が1個以上の２次電子を
放出する
4
高周波中の電子の動き
f
d
• 電子は外部からの電界により加速されるが、電極
に到達する前に電界の方向が反転するので、電極
に到達できない
電子の運動方程式
m
dv
  c mv  eEo sin  t
dt
衝突による運動量損失
外部高周波電界
5
高周波中の電子の動き
電子の運動方程式
dv
m   c mv  eEo sin  t
dt
• 電子の速度も同じ周波数ωで変動すると仮定
• フェーザと同様に考えて
Ve j t
速度vのフェーザ表示
外部電界Eのフェーザ表示 Ee j t
m
dv
  c mv  eEo sin  t
dt
mjV&  c mV& eE&
eE&
V
m  j   c 
6
高周波中の電子の動き
eE&
V
m  j   c 
衝突が無いとき
eE&
V
jm
電子の速度は電界とπ/2位相が
ずれる
電子電流もフェーザ表示する
je  enev

&  jt
Je
e2 ne E&
J
m  j   c 
電子により消費される電力は単位体積あたり
p  je E
7
高周波中の電子の動き
e2 ne E&
e2 ne  j   c &
e2 ne
 j   c &
J

E
E
2
2
2
2
2
2
m  j   c 
m   c
m   c   c
ν
E


J
 j   c
ω
 2  c2
実効電力と同じように考えて、一周期平均をとった消費電力は
P
J 
1 & &
J E cos
2
e2 ne
m  2  c2
E&,
cos  
c
 2  c2
1 e2 ne  c
2
P
E
o
2 m  2  c2
より
E  Eo
8
高周波放電の条件
単位体積あたりに電子により吸収されるエネルギー
1 e2 ne  c
2
P
E
o
2 m  2  c2
電子一個あたりは、neでわって、
e2
c
2
E
o
2m  2   c 2
(A)
プラズマが生成されている領域の代表的な長さ Λ
拡散により、プラズマ生成領域から電子がなくなるのかかる時間
2
Da
両極性拡散係数
9
拡散方程式の解
N
n(x,t)  01
2

 x2 
exp  
Dt
 4Dt 
-3
density (m )
3
t=0.01s
t=0.1s
t=1s
t=5s
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x (m)
N01=1 (m-2),D=1m2/sの時の拡散の様子
10
拡散方程式の解
N01
n(x,t) 
2

 x2 
exp  
Dt
 4Dt 
粒子密度の分布は、exp項の値でほぼ決まる
x2
4 Dt
が同じところは、密度もほぼ同じ
密度の拡がる領域は
x  Dt
時間の1/2乗で拡散により密度がひろがっていく
11
高周波放電の条件
拡散により、プラズマ生成領域から電子がなくなるのかかる時間
2
Da
プラズマが維持されるには、この拡散による損失に均衡する
新しい電子が電離衝突により産まれないといけない。
電子一個が電離衝突でできるのにかかる時間は
1
 ion
νionは電離周波数
よって、
2
1

Da  ion
(B)
12
高周波放電の条件
電子一個により、電離衝突が起きるまでに吸収されるエネルギーは
(A)式を使って、
e2
c
1
2
Eo 
2
2
2m    c
 ion
νionに(B)式を代入する
2
e2
c
2 
Eo
2
2
2m    c
Da
放電が起きるためには、このエネルギーが電離エネルギーeΦionよりも
大きくないといけない
2
e2
c
2 
Eo
 eion
2
2
2m    c
Da
eEo2
c
Da
 2
2
2
2mion    c

高周波放電の維持条件
13
シース
拡散は衝突によって起きる
プラズマの壁への損失は衝突がなくても起きる
plasma
i
i
e
wall
e
e
i
e
i e
e
i
i
i
i e
e
e
i
e
e i
e
e
i
i
i
全体準中性
wall
境界領域
中性ではない
14
16

i
x0
e i e
e
i
e i
e i i
e
i ee i e
e
i e i
i e e
i
i
0
0
xd

i
e
e
e
i e
i
e i
i i
i ee i
i e i
i e e
i
i
d
e
e
壁への
電子の
損失
 0
e
0
d
15

i
i e
e e
i i
i ee i
i e
e e e
i
i
i
i
電場による
イオンの
動き
i
i
i
i
i
e
i
e
i
i e
e e
i i
i ee i
i e
e e
i
i
e
quasi-neutral
i
0
d

シース
定常状態
e
i
 0
Ie  Ii
i
un-neutral
e
 0
  Te
i
0
d
16
平面シースの方程式

エネルギー保存
1
1
2
2

miv
mivo  e (x)   0
2
2
代入
2e
2
v(x)  vo 
mi
連続の式
ni (x)v(x)  no vo
シース境界
ne  ni  no
x
vo
ni  ne
no
ni (x) 
2e
1
mi vo2
電子についてはボルツマン分布を仮定する
 e 
ne  no exp 
  Te 
17
ボームのシース境界条件
シースの中ではイオンの方が電子より密度が大きい
 e 
no
 no exp 
  Te 
2e
1
mi vo2
ni  ne
シース境界の近くでは、電位Φが小さいので、
e  << 2e <<
1
Te 1, mi v02
テイラー展開をする

2e 
 1  m v 2 
i o
1/2
1 2e
e
1
 1
2
2 mi vo
mi vo2
 e 
e
exp 
1

 Te
  Te 
18
ボームのシース境界条件
 e 
no
 no exp 
  Te 
2e
1
mi vo2
に代入して

2e 
 1  m v 2 
i o
1/2
1 2e
e
1
 1
2
2 mi vo
mi vo2
 e 
e
exp 
1

 Te
  Te 


e
e
1
1
2
Te
miv0
vo 
Te
mi
Φは負なので符
号がひっくり返っ
て
ボームのシース境界条件
19

 e   2e 
d

 o 2  eno  exp    1 
2
dx
 Te   mi v0 

 e
d 2
e 


 o 2  eno

2
dx
 Te miv0 
2
1/2



 1
d d 2
1  d
2


o
 e no

2
2
dx dx
 Te mi v0  dx
1 d  d 
 1
1 1 d
2
2

o
 e no 




2 dx  dx 
 Te mi v02  2 dx
2
The Poisson eq. inside
sheath
シース内のポアッソン方程式
Taylor expansion
テイラー展開
d
Multiply both sides by
dx
両辺のΦの微分をかける
Rewrite to a differential form
微分形式に書き直す
2
2
1  2
 d   d   2  1
2
 o       e no

(



) Integrate from the sheath
0
2
 dx
boundary
dx 0 
 Te mi v0 
シース境界から積分
2
 1
d

1  2
 d   0,   0 at the sheath
2



o
 e no 

0
2
 dx  0
boundary
 dx 
 Te mi v0 
1
1

 0,
2
Te miv0
v 
2
0
Te
mi
Because LHS is positive 20
21
左辺が正なので
プレシース
電位
0
シース境界
sheath
wall
~ Te
プレシースで徐々に加速
電子
ne  ni  no
マクスウェル
プラズマ
vi 
 e 
ne  ni  no exp 
  Te 
Te
mi
ni
準中性条件はまだなりたつ
 e 
ne  no exp 
  Te 
21
チャイルド-ラングミュイアーの法則
壁を電子温度kTeよりも大きな電位になるよう電圧をかける
e W  Te
sheath boundary
presheath
sheath
potential
~ Te
0
d
 0,   0
dx
density
ne  ni  no
wall
d
ni
 e 
ne  ni  no exp 
  Te 
W
ni  ne
ne
x=0
x=d
22
Child-Langmuirの法則
ポアッソン方程式

 e   2e 
d

 o 2  e(ne  ni )  eno  exp    1
2
dx
 Te   mi v0 

2
 2e 

 eno 1 
2
 mi v0 
e
 1 (Φは負）なので
 Te
1/2
1/2



 2e 

 eno  
2
 miv0 
1/2
mi v02
2e
 eno
1

e
exp(
) << 1
 Te
1/2

 2e 
2e 
2e


また
 1 なので  1 
2
2
2
m
v
m
v



mi vo
i o
i o 
両辺にdΦ/dxをかける
d d 2
miv02 1 d
o
 eno
2
dx dx
2e  dx
1/2

mi vo2
2e
23
Child-Langmuirの法則
d d 2
miv02
o
 eno
2
dx dx
2e
1 d
 dx
以下のように書き直す
1 d  d  2
mi v02
d

o
 eno
2



2 dx dx
2e
dx
xについて、シースの端(x=0)から積分していく
1  d  2  d  2 
miv02
 o       eno
2   o 
2  dx
dx 0 
2e
d
境界条件
 0,   0 を使って
dx
2
d

en
m
v
   o 4 i 0 
 dx 
o
2e
2
24
Child-Langmuirの法則
2
d

en
m
v
   o 4 i 0 
 dx 
o
2e
2
√をとって、
1/4 1/2

d  2e1/4 n1/2
m
1/4
o
i v0 


(

)
dx 
21/4  1/2

o

1 d  2e1/ 4 no1/2 mi1/4 v1/2
0


1/4
1/ 4 1/2
( ) dx 
2 o

4 d( ) 3/4  2e1/ 4 no1/2 mi1/4 v1/2

0




1/ 4 1/2
3 dx

2 o

25
Child-Langmuirの法則
1/ 4 1/2

4 d( )3/ 4  2e1/ 4 n1/2
m
o
i v0


3 dx
21/ 4  1/2

o
シースの端x=0から壁x=dまで積分する
1/ 4 1/2
1/4 1/2
3

2e
n
m
v0 
3/ 4
3/ 4
o
i
d
(W )  (o )    
1/ 4 1/2
4
2 o

境界条件Φo=0
1/4 1/2
1/4 1/2

3
2e
n
m
v0 
3/4
o
i

d
(W )  
1/4 1/2
4
2 o

(W )3/2
最終的に
9  4e1/2 no m1/i 2 vo  2
d
 
1/ 2
16  2  o 
4
2e (W )3/2
eno vo   o
9
mi
d2
26
Child-Langmuirの法則
4
2e (W )3/2
enovo   o
9
mi
d2
enovo:シース境界を横切ってやってくるイオンのフラックス
=壁に到達するイオンのフラックス
=壁が集めるイオン電流
チャイルド・ラングミュイアーの空間電荷制限電流
4
2e (W )3/2
ji   o
9
mi
d2
プラズマ中で壁をΦwにバイアスした時に得られる最大電流
27
Child-Langmuirの法則
チャイルド・ラングミュイアーの空間電荷制限電流
4
2e (W )3/2
ji   o
9
mi
d2
プラズマ中で壁をΦwにバイアスした時に得られる最大電流
または
2 1/2  2e 
d  o
3  mi 
3/ 4
(W )3/ 4
ji1/ 2
壁にΦwをバイアスしてjiというイオン電流を流す時のシースの厚み
ji  en o
 Te
mi
28
Child-Langmuirの法則
2 1/2  2e 
d  o
3  mi 
3/ 4
(W )3/ 4
ji1/ 2
シース厚みd
マクスウェル分布を
したプラズマ
シース境界
ΦW
プラズマ中に晒した無限に広い平板をΦwにバイアスしたとき
シース境界を超えてやってくるイオンのフラックスは
 Te
ji=ex密度xボーム速度 ji  en o
mi
プラズマ中に入り込むシースの厚みを決める。
29
increase W
decrease W
ions move faster
ions move slower
ions pile up
i
ions taken
to walls
i
e
e
sheath narrower
sheath wider
30
28
Child-Langmuirの法則
• 真空管で陰極から放出される電子電流（ヒータの温度で決ま
る）が実際にどれくらい陽極で集められるかを与える
陰極
ヒータ
e
e
e
e
e
陰極
e
e
d
V
電流をたくさん流そうとしても、電子自身の空間電荷によって
電流の最大値は
4
2e V 3/2
je   o
31
2
9
me d

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