プラズマ工学 九州工業大学電気工学科 趙孟佑 No.8 〜プラズマ生成の基礎〜 1 高周波放電 • 高真空(中性ガスとの衝突が殆どない) – マルチパクタ放電 • 電子の極板間の移動時間=半周期 • 中真空(平均自由行程<電極間距離) – RF(Radio Frequency)放電 • 電子の極板間の移動時間>半周期 2 マルチパクタ放電 電極 A 時刻 t1 時刻 t3 t1に電極Aを出た電子 t2に対向する電極Bに衝突 f 電極Bの極性が正に反転 時刻 t2 電極 B 電子は逆方向へ加速 電極 A、+ 電極Aに衝突 t2 t3 t1 電極 B、+ Time 電子放出 3 マルチパクタ放電 電極 A 時刻 t1 時刻 t3 f 時刻 t2 電極 B • 電子が極板の間を進む時間が半周期に相当する時、 電界から最大のエネルギーを得る • 極板に衝突する1個の電子が1個以上の2次電子を 放出する 4 高周波中の電子の動き f d • 電子は外部からの電界により加速されるが、電極 に到達する前に電界の方向が反転するので、電極 に到達できない 電子の運動方程式 m dv c mv eEo sin t dt 衝突による運動量損失 外部高周波電界 5 高周波中の電子の動き 電子の運動方程式 dv m c mv eEo sin t dt • 電子の速度も同じ周波数ωで変動すると仮定 • フェーザと同様に考えて Ve j t 速度vのフェーザ表示 外部電界Eのフェーザ表示 Ee j t m dv c mv eEo sin t dt mjV& c mV& eE& eE& V m j c 6 高周波中の電子の動き eE& V m j c 衝突が無いとき eE& V jm 電子の速度は電界とπ/2位相が ずれる 電子電流もフェーザ表示する je enev & jt Je e2 ne E& J m j c 電子により消費される電力は単位体積あたり p je E 7 高周波中の電子の動き e2 ne E& e2 ne j c & e2 ne j c & J E E 2 2 2 2 2 2 m j c m c m c c ν E J j c ω 2 c2 実効電力と同じように考えて、一周期平均をとった消費電力は P J 1 & & J E cos 2 e2 ne m 2 c2 E&, cos c 2 c2 1 e2 ne c 2 P E o 2 m 2 c2 より E Eo 8 高周波放電の条件 単位体積あたりに電子により吸収されるエネルギー 1 e2 ne c 2 P E o 2 m 2 c2 電子一個あたりは、neでわって、 e2 c 2 E o 2m 2 c 2 (A) プラズマが生成されている領域の代表的な長さ Λ 拡散により、プラズマ生成領域から電子がなくなるのかかる時間 2 Da 両極性拡散係数 9 拡散方程式の解 N n(x,t) 01 2 x2 exp Dt 4Dt -3 density (m ) 3 t=0.01s t=0.1s t=1s t=5s 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x (m) N01=1 (m-2),D=1m2/sの時の拡散の様子 10 拡散方程式の解 N01 n(x,t) 2 x2 exp Dt 4Dt 粒子密度の分布は、exp項の値でほぼ決まる x2 4 Dt が同じところは、密度もほぼ同じ 密度の拡がる領域は x Dt 時間の1/2乗で拡散により密度がひろがっていく 11 高周波放電の条件 拡散により、プラズマ生成領域から電子がなくなるのかかる時間 2 Da プラズマが維持されるには、この拡散による損失に均衡する 新しい電子が電離衝突により産まれないといけない。 電子一個が電離衝突でできるのにかかる時間は 1 ion νionは電離周波数 よって、 2 1 Da ion (B) 12 高周波放電の条件 電子一個により、電離衝突が起きるまでに吸収されるエネルギーは (A)式を使って、 e2 c 1 2 Eo 2 2 2m c ion νionに(B)式を代入する 2 e2 c 2 Eo 2 2 2m c Da 放電が起きるためには、このエネルギーが電離エネルギーeΦionよりも 大きくないといけない 2 e2 c 2 Eo eion 2 2 2m c Da eEo2 c Da 2 2 2 2mion c 高周波放電の維持条件 13 シース 拡散は衝突によって起きる プラズマの壁への損失は衝突がなくても起きる plasma i i e wall e e i e i e e i i i i e e e i e e i e e i i i 全体準中性 wall 境界領域 中性ではない 14 16 i x0 e i e e i e i e i i e i ee i e e i e i i e e i i 0 0 xd i e e e i e i e i i i i ee i i e i i e e i i d e e 壁への 電子の 損失 0 e 0 d 15 i i e e e i i i ee i i e e e e i i i i 電場による イオンの 動き i i i i i e i e i i e e e i i i ee i i e e e i i e quasi-neutral i 0 d シース 定常状態 e i 0 Ie Ii i un-neutral e 0 Te i 0 d 16 平面シースの方程式 エネルギー保存 1 1 2 2 miv mivo e (x) 0 2 2 代入 2e 2 v(x) vo mi 連続の式 ni (x)v(x) no vo シース境界 ne ni no x vo ni ne no ni (x) 2e 1 mi vo2 電子についてはボルツマン分布を仮定する e ne no exp Te 17 ボームのシース境界条件 シースの中ではイオンの方が電子より密度が大きい e no no exp Te 2e 1 mi vo2 ni ne シース境界の近くでは、電位Φが小さいので、 e << 2e << 1 Te 1, mi v02 テイラー展開をする 2e 1 m v 2 i o 1/2 1 2e e 1 1 2 2 mi vo mi vo2 e e exp 1 Te Te 18 ボームのシース境界条件 e no no exp Te 2e 1 mi vo2 に代入して 2e 1 m v 2 i o 1/2 1 2e e 1 1 2 2 mi vo mi vo2 e e exp 1 Te Te e e 1 1 2 Te miv0 vo Te mi Φは負なので符 号がひっくり返っ て ボームのシース境界条件 19 e 2e d o 2 eno exp 1 2 dx Te mi v0 e d 2 e o 2 eno 2 dx Te miv0 2 1/2 1 d d 2 1 d 2 o e no 2 2 dx dx Te mi v0 dx 1 d d 1 1 1 d 2 2 o e no 2 dx dx Te mi v02 2 dx 2 The Poisson eq. inside sheath シース内のポアッソン方程式 Taylor expansion テイラー展開 d Multiply both sides by dx 両辺のΦの微分をかける Rewrite to a differential form 微分形式に書き直す 2 2 1 2 d d 2 1 2 o e no ( ) Integrate from the sheath 0 2 dx boundary dx 0 Te mi v0 シース境界から積分 2 1 d 1 2 d 0, 0 at the sheath 2 o e no 0 2 dx 0 boundary dx Te mi v0 1 1 0, 2 Te miv0 v 2 0 Te mi Because LHS is positive 20 21 左辺が正なので プレシース 電位 0 シース境界 sheath wall ~ Te プレシースで徐々に加速 電子 ne ni no マクスウェル プラズマ vi e ne ni no exp Te Te mi ni 準中性条件はまだなりたつ e ne no exp Te 21 チャイルド-ラングミュイアーの法則 壁を電子温度kTeよりも大きな電位になるよう電圧をかける e W Te sheath boundary presheath sheath potential ~ Te 0 d 0, 0 dx density ne ni no wall d ni e ne ni no exp Te W ni ne ne x=0 x=d 22 Child-Langmuirの法則 ポアッソン方程式 e 2e d o 2 e(ne ni ) eno exp 1 2 dx Te mi v0 2 2e eno 1 2 mi v0 e 1 (Φは負) なので Te 1/2 1/2 2e eno 2 miv0 1/2 mi v02 2e eno 1 e exp( ) << 1 Te 1/2 2e 2e 2e また 1 なので 1 2 2 2 m v m v mi vo i o i o 両辺にdΦ/dxをかける d d 2 miv02 1 d o eno 2 dx dx 2e dx 1/2 mi vo2 2e 23 Child-Langmuirの法則 d d 2 miv02 o eno 2 dx dx 2e 1 d dx 以下のように書き直す 1 d d 2 mi v02 d o eno 2 2 dx dx 2e dx xについて、シースの端(x=0)から積分していく 1 d 2 d 2 miv02 o eno 2 o 2 dx dx 0 2e d 境界条件 0, 0 を使って dx 2 d en m v o 4 i 0 dx o 2e 2 24 Child-Langmuirの法則 2 d en m v o 4 i 0 dx o 2e 2 √をとって、 1/4 1/2 d 2e1/4 n1/2 m 1/4 o i v0 ( ) dx 21/4 1/2 o 1 d 2e1/ 4 no1/2 mi1/4 v1/2 0 1/4 1/ 4 1/2 ( ) dx 2 o 4 d( ) 3/4 2e1/ 4 no1/2 mi1/4 v1/2 0 1/ 4 1/2 3 dx 2 o 25 Child-Langmuirの法則 1/ 4 1/2 4 d( )3/ 4 2e1/ 4 n1/2 m o i v0 3 dx 21/ 4 1/2 o シースの端x=0から壁x=dまで積分する 1/ 4 1/2 1/4 1/2 3 2e n m v0 3/ 4 3/ 4 o i d (W ) (o ) 1/ 4 1/2 4 2 o 境界条件Φo=0 1/4 1/2 1/4 1/2 3 2e n m v0 3/4 o i d (W ) 1/4 1/2 4 2 o (W )3/2 最終的に 9 4e1/2 no m1/i 2 vo 2 d 1/ 2 16 2 o 4 2e (W )3/2 eno vo o 9 mi d2 26 Child-Langmuirの法則 4 2e (W )3/2 enovo o 9 mi d2 enovo:シース境界を横切ってやってくるイオンのフラックス =壁に到達するイオンのフラックス =壁が集めるイオン電流 チャイルド・ラングミュイアーの空間電荷制限電流 4 2e (W )3/2 ji o 9 mi d2 プラズマ中で壁をΦwにバイアスした時に得られる最大電流 27 Child-Langmuirの法則 チャイルド・ラングミュイアーの空間電荷制限電流 4 2e (W )3/2 ji o 9 mi d2 プラズマ中で壁をΦwにバイアスした時に得られる最大電流 または 2 1/2 2e d o 3 mi 3/ 4 (W )3/ 4 ji1/ 2 壁にΦwをバイアスしてjiというイオン電流を流す時のシースの厚み ji en o Te mi 28 Child-Langmuirの法則 2 1/2 2e d o 3 mi 3/ 4 (W )3/ 4 ji1/ 2 シース厚みd マクスウェル分布を したプラズマ シース境界 ΦW プラズマ中に晒した無限に広い平板をΦwにバイアスしたとき シース境界を超えてやってくるイオンのフラックスは Te ji=ex密度xボーム速度 ji en o mi プラズマ中に入り込むシースの厚みを決める。 29 increase W decrease W ions move faster ions move slower ions pile up i ions taken to walls i e e sheath narrower sheath wider 30 28 Child-Langmuirの法則 • 真空管で陰極から放出される電子電流(ヒータの温度で決ま る)が実際にどれくらい陽極で集められるかを与える 陰極 ヒータ e e e e e 陰極 e e d V 電流をたくさん流そうとしても、電子自身の空間電荷によって 電流の最大値は 4 2e V 3/2 je o 31 2 9 me d
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