電磁気学Ⅱ Electromagnetics Ⅱ 6/30講義分 電磁波の反射と透過 山田 博仁 異なる媒質の界面における境界条件 誘電率 e1, e2 の異なる媒質が接している界面 界面には真電荷が面密度 e にて存在 界面での電束密度 D に対して、どのよう な条件が満たされなければならないか? 電場に関するGaussの法則を、界面に 存在する高さが無限小の円柱に適用 5.3 (教科書p.64) の復習 単位法線ベクトル 界面 D n S 界面での 1 真電荷密度 e1 e + + + + + + e+2 D2 -n div DdV D ndS dS V S S e Gaussの定理 従って、 ( D1 D2 ) n S e S 上式は、任意の面 S に対して成り立つことから、 ( D1 D2 ) n e 表面電荷 e が存在しなければ、 D1 n D2 n 異なる媒質の界面における境界条件 誘電率 e1, e2 の異なる媒質が接している界面 界面での電場 E に対して、どのような条 件が満たされなければならないか? Faradayの電磁誘導の法則を、図のように 界面の一部を囲む高さ h が無限小の長 方形 S に適用 S 界面 l t e1 e2 E1 h CE t 2 S t: 単位接線ベクトル B dS S t rot E dS ここで、B/t は境界面の近くで有限であるから、S→0の極限で右辺の積分は ゼロになる 一方、Stokesの定理を用いると左辺は、 S rot E dS E dr ( E1 t E 2 t )l C 従って、 ( E1 t E2 t )l 0 上式は、任意の l の長方形に対して成り立つことから、 E1 t E2 t 異なる媒質の界面における境界条件 9.4 (教科書p.146) の復習 透磁率 m1, m2 の異なる媒質が接している界面 界面での磁束密度 B に対して、どのよう な条件が満たされなければならないか? 磁場に関するGaussの法則を、界面に 存在する高さが無限小の円柱に適用 単位法線ベクトル 界面 B n S m1 m2 div BdV B ndS 0 V S Gaussの定理 従って、 ( B1 B2 ) n S 0 上式は、任意の面 S に対して成り立つことから、 ( B1 B2 ) n 0 よって、 B1 n B2 n 1 -n B2 異なる媒質の界面における境界条件 透磁率 m1, m2 の異なる媒質が接している界面 界面には伝導電流が面密度 ie にて存在 界面 l t 界面での磁場 H に対して、どのような 条件が満たされなければならないか? m1 m2 Ampere-Maxwellの方程式を、図のように 界面の一部を囲む高さ h が無限小の長 方形 S に適用 S C H2 t ie: 界面での 伝導電流密度 H1 ie h S t: 単位接線ベクトル D dS ie dS S t S rot H dS ここで、界面に表面電流が存在しない限り、ie も D/t も境界面の近くで有限で あるから、S→0の極限で右辺はゼロになる 一方、Stokesの定理を用いると左辺は、 S rot H dS H dr ( H1 t H 2 t )l 従って、 C H1 t H 2 t 異なる媒質の界面における境界条件 電束密度の法線成分は連続 電場の接線成分は連続 E1 t E t E t 1 D1 n D2 n 2 e1 e2 E1 E2 t は界面に平行な 単位接線ベクトル E2 t e1 e2 n は界面に垂直な D2 n 単位法線ベクトル 磁場の接線成分は連続 H1 t H 2 t H1 t 表面電流が 存在しない場合 m1 m2 H1 H2 H2 t D1 表面電荷が 存在しない場合 D1 n D2 磁束密度の法線成分は連続 B1 n B2 n m1 m2 B1 B2 n B1 n B2 界面での反射と透過 2種類の媒質が x-y 平面 (z = 0) を 境に接しており、 z > 0 を媒質Ⅰが、 z < 0 を媒質Ⅱが満たしている。平 面電磁波が媒質Ⅰから媒質Ⅱに 入射角 qi で斜め入射し、その一部 が反射角 qr で反射され、またその 一部が透過角 qt で媒質Ⅱ内に透 過する場合を考える。 z Er Hi Ei 媒質Ⅰ 入射波、反射波および透過波の波 媒質Ⅱ 数ベクトルと角周波数をそれぞれ (ki, i), (kr, r) および (kt, t) とし、 電場ベクトルは図の様に x-z 平面 上にあり、磁場は y 成分のみとする。 波の位相は、 入射波 ki r it ki x sin qi ki z cosqi it 反射波 kr r r t kr x sin q r kr z cosq r r t 透過波 kt r t t kt x sin qt kt z cosqt t t qi qr ki kr y Hr x kt qt Et Ht 界面での反射と透過 境界面 (z = 0) 上の全ての点で、任意の時刻に波の位相が等しくなるので、 i r t ki sin qi kr sin qr kt sin qt k v この条件が成立しなければならない の関係より、媒質Ⅰ内で電磁波の速度 v1 は入射波、反射波に共通なので、 r i ならば、 kr ki 従って、 q r qi ki (反射の法則) sin q i kt v1 sin q t ki v2 v1 (Snellの法則) qr 媒質Ⅰ 媒質Ⅱ v1 と v2 は、それぞれ媒質Ⅰ、Ⅱ v2 内を進む電磁波の速度 比誘電率 1 e r 2e 0 e m e2 er2 e1m1 sin qi v1 n 2 2 2 1 sin qt v2 n1 e 1m1 e1 e r1e 0 e r1 e 2 m2 qi kr 磁性体でなければ、m1 m2 m0 qt kt n1, n2は各々、媒質Ⅰ, 媒質Ⅱの屈折率 界面での反射と透過 入射波 z Ei ( Eix , 0, Eiz ) (Ei cosqi , 0, Ei sin qi ) E H i (0, H iy , 0) 0, i , 0 Z1 反射波 Er ( Erx , 0, Erz ) (Er cosqr , 0, Er sin qr ) q r qi Er Hi Ei 媒質Ⅰ 媒質Ⅱ E H r (0, H ry , 0) 0, r , 0 Z1 透過波 Et ( Etx , 0, Etz ) (Et cosqt , 0, Et sin qt ) E H t (0, H ty , 0) 0, t , 0 Z2 Z1, Z2は、それぞれ媒質1, 2の電磁インピーダンス qi Hr qr ki kr y x kt qt Ht Et 界面での反射と透過 次に、電磁波の振幅について考えると、界面での電場 E および磁場 H の接線成分 の連続性より、 Eix Erx Etx Hiy H ry Hty 従って、 Ei cosqi Er cosqr Et cosqt Ei Er Et Z1 Z1 Z 2 上式から Et を消去すると、 r Er Z 2 cosqt Z1 cosqi Ei Z1 cosqi Z 2 cosqt Ei cosqi Er cosqi Et cosqt Z 2 Ei Z 2 Er Z1Et ここで、θi = θr の関係を用いている (電界反射係数) 上式から Er を消去すると、 t Et 2Z 2 cosqi Ei Z1 cosq i Z 2 cosq t (電界透過係数) 界面での反射と透過 因みに、磁界に対する反射係数および透過係数を求めてみると、 Er Hr E Z1 r r Ei Hi Ei Z1 Et Ht Z 2 Z1 Et Z1 t H i Ei Z 2 Ei Z 2 Z1 媒質の屈折率 n は、真空中での光の速度 c と媒質中での光の速度 v の比で表され、 ee mm em c 1 e 0 m0 r 0 r 0 e r mr v 1 em e 0 m0 e 0 m0 n 特に、媒質1と2が非磁性の場合には m1 = m2 = m0 が成り立ち、それぞれの媒質の 屈折率は真空の固有インピーダンス Z0 を用いて、 n1 c e r1 v1 m0 e 0 Z 0 m1 e 1 Z1 n2 c er2 v2 m0 e 0 Z 0 m2 e 2 Z 2 と表せる。 従って、反射係数と透過係数は、媒質の屈折率を用いて、 r n1 cosq t n2 cosq i n1 cosq t n2 cosqi t 2n1 cosqi n1 cosqt n2 cosqi と表せる。 界面での反射と透過 垂直入射の場合には、qi = qt = 0 とすることにより反射係数と透過係数は、 r n1 n2 n1 n2 t i 2n1 n1 n2 r n1 n2 入射波のエネルギー流に対する反射波と透過波のエネルギー流の 比をそれぞれ反射率 R および透過率 T という。 t 入射波、反射波、透過波のエネルギー流は、各々に対するポインティングベクトルの 大きさの界面に垂直方向成分であるから、 入射波 反射波 2 E E cosqi 入射エネルギー流 qi qr Ei H i cosqi Ei i cosqi i Z1 Z1 Z1 Si Sr 媒質Ⅰ 反射 Er Er2 媒質Ⅱ Er H r cosq r Er cosq r cosq r St エネルギー流 Z Z 1 1 Z2 2 t E E Et H t cosqt Et t cosqt cosqt Z2 Z2 透過エネルギー流 qt 透過波 界面での反射と透過 従って、反射率 R と透過率 T は、 Er H r cosq r Er2 cosq r / Z1 Er2 Er R Ei H i cosq i Ei2 cosq i / Z1 Ei2 Ei 2 Et H t cosq t Et2 cosq t / Z 2 Z1 cosq t Et T 2 Ei H i cosq i Ei cosq i / Z1 Z 2 cosq i Ei 2 r 2 qi q r Z1 cosq t 2 t Z 2 cosq i T 1 R 屈折率 n1, n2 で表せば、反射率 R と透過率 T は、 2 n1 cosq t n2 cosqi R n1 cosqt n2 cosqi 2 T 4n1n2 cosqi cosqt n1 cosqt n2 cosqi 2 界面での電磁波の反射と透過 これまでは、入射波の電場ベクトルは x-z 平 面内にのみ存在し、磁場ベクトルは y 方向 成分のみを有するとするとして、電界反射係 数および電界透過係数を求めた。 z Hi qi qr Er Hr Ei Z1 媒質Ⅰ 媒質Ⅱ Z2 つまり、磁場(ベクトル)が界面に平行に入射した 場合の電界反射係数として、 rp Er Z 2 cosqt Z1 cosqi Ei Z1 cosqi Z 2 cosqt x y qt p.210 (12.62式) 磁場(ベクトル)が界面に平行に入射した場合の電界透過係数として、 tp Et 2Z 2 cosqi Ei Z1 cosqi Z 2 cosqt p.210 (12.62式) ただし、Z1, Z2は、それぞれ媒質1, 2の固有インピーダンス Ht Et 界面での電磁波の反射と透過 次に、図に示すように入射波の磁場ベクトル が x-z 平面内に存在し、電場ベクトルは y 方 向成分のみを有する場合について考えると、 入射波 Ei (Eix , Eiy , Eiz ) (0, Ei , 0) z Ei qr Er Hi Hr Z1 媒質Ⅰ E E H i ( H ix , H iy , H iz ) i cosqi , 0, i sin qi 媒質Ⅱ Z1 Z2 Z1 反射波 Er ( Erx , Ery , Erz ) (0, Er , 0) q r qi Er Er H r ( H rx , H rz , H rz ) cosqi , 0, sin qi Z1 Z1 透過波 Et (Etx , Ety , Etz ) (0, Et , 0) qi x y qt Et Ht Z1, Z2は、それぞれ媒質1, 2の電磁インピーダンス E E H t ( H tx , H ty , H tz ) t cosqt , 0, t sin qt Z2 Z2 界面での反射と透過 界面での電場 E および磁場 H の接線成分の連続性より、 Eiy Ery Ety Hix H rx Htx Ei Er Et E cosqi Er cosqi E cosqt i t Z1 Z1 Z2 従って、 電場(ベクトル)が界面に平行に入射した場合の電界反射係数として、 rs Er Z 2 cosqi Z1 cosqt Ei Z 2 cosqi Z1 cosqt 例題12.3 (p.212) 電場(ベクトル)が界面に平行に入射した場合の電界透過係数として、 ts Et 2Z 2 cosqi Ei Z 2 cosqi Z1 cosqt 例題12.3 (p.212) が求まる。ただし、Z1, Z2は、それぞれ媒質1, 2の固有インピーダンス 界面での電磁波の反射と透過 12.57式(Snellの法則)と12.63式より、 sin qi v1 Z1 sin qt v2 Z 2 従って、 Z 2 sin q t Z1 sin qi この関係を用いると、 磁場(ベクトル)が界面に平行に入射した場合の電界反射係数は、 Er Z 2 cosq t Z1 cosq i sin q t cosq t sin q i cosq i Ei Z1 cosq i Z 2 cosq t sin q i cosq i sin q t cosq t rp (sin q i cosq t sin q t cosq i )(cosq i cosq t sin q i sin q t ) (cosq i cosq t sin q i sin q t )(sinq i cosq t sin q t cosq i ) tan(q t q i ) tan(q i q t ) 磁場(ベクトル)が界面に平行に入射した場合の電界透過係数は、 tp Et 2Z 2 cosq i 2 sin q t cosq i Ei Z1 cosq i Z 2 cosq t sin q i cosq i sin q t cosq t 2 sin q t cosq i sin(q i q t ) cos(q i q t ) 界面での電磁波の反射と透過 電場(ベクトル)が界面に平行に入射した場合の電界反射係数は、 rs Er Z 2 cosqi Z1 cosqt sin qt cosqi sin qi cosqt sin(qt qi ) Ei Z 2 cosqi Z1 cosqt sin qt cosqi sin qi cosqt sin(qt qi ) 電場(ベクトル)が界面に平行に入射した場合の電界透過係数は、 ts Et 2Z 2 cosqi 2 sin qt cosqi 2 sin qt cosqi Ei Z 2 cosqi Z1 cosqt sin qt cosqi sin qi cosqt sin(qt qi ) これらはFresnelの式と呼ばれている。 ここで、p, sは光の媒質への入射状態を表し、電界成分が入射面(入射光線と 反射光線が作る面)に平行(parallel)な光を p波、垂直(senkrecht)なものを s波と 呼んでいる。 因みに地震波では、縦波であって早く到達する第一波を p波(primary wave)、 横波で強い揺れを引き起こす第二波を s波(secondary wave)と呼んでいる。 界面での電磁波の反射と透過 以上で求めた rp, rs を、入射角 qi に対して 図示すると、右図のようになる。 反射率は、 R p rp 2 1 qi qt 2 0 t an(q t q i ) t an(q i q t ) 2 Z1 > Z2のとき rp qi 2 rs -1 Rs rs 2 sin(q t q i ) sin(q t q i ) これを図示すると、 2 反 射 率 Rs Brewster 角 Rp 入射角(θi) 以上の結果から分かるように、磁場ベクトルが界面に対して平行に入射した場合(p波) の電界反射係数 rpは、入射角 qi と透過角(屈折角) qt の和がちょうど直角になる時に ゼロ、つまり無反射となる。この時の入射角度 qi のことを Brewster 角という。 界面での電磁波の反射と透過 以上の結果から分かるように、磁場ベクトルが界面に対して平行に入射した場合(p波) の電界反射係数 rp (従って反射率も)は、入射角 qi と透過角(屈折角) qt の和がちょう ど直角になる時にゼロ、つまり無反射となる。この時の入射角度 qi のことを Brewster 角という。 Brewster 角qi は、 qi qt 2 Snell の法則より、 sin q i Z1 n2 sin q t Z 2 n1 従って、 Brewster 角qi は、 Z n q i tan 1 1 tan 1 2 Z2 n1 z Brewster角 Hi qi Er qr Hr Ei Z1 媒質Ⅰ 媒質Ⅱ Z2 x 直角 y qt Ht Et また、入射角と Brewster 角との大小関係により、電界反射係数の符号が反転する つまり、 Brewster 角を挟んで、反射波の電場ベクトルの向きが反転する Brewster 角の物理的意味 このような Brewster 角が存在する物理的意味は ? 電磁波が反射するメカニズムは、入射波によって界面に誘起された誘電分極から の電磁波の放射と考えることができる Brewster 角で媒質Ⅱに入射する電磁波は、媒質Ⅱ内の界面付近に分極を生じ るが、その分極は反射角の方向には電磁波を放射できないため Brewster角 z qi qr この方向には、 電磁波を放射 できない Ei 媒質Ⅰ 媒質Ⅱ x y qt 演習: 界面での反射と透過 図に示す様に、2種類の媒質が x-y 平面 (z = 0) を境に接している。今、 Ei 平面電磁波が媒質Ⅰから媒質Ⅱ に入射角 qi で斜め入射する場合 Hi を考える。 入射波、反射波および透過波の波 数ベクトルと角周波数をそれぞれ (ki, i), (kr, r) および (kt, t) とし、 媒質Ⅰ 電場ベクトルは図の様に x-z 平面 上にあり、磁場は y 成分のみとする。 媒質Ⅱ 電場、磁場ベクトルの向きを教科書とは違えております 波の位相は、 入射波 ki r it ki x sin qi ki z cosqi it 反射波 kr r r t kr x sin q r kr z cosq r r t 透過波 z Er qi qr ki kr y Hr x kt qt Et Ht kt r t t kt x sin qt kt z cosqt t t 境界面 (z = 0) 上の全ての点で、任意の時刻に波の位相が等しくなるので、 i r t この条件が成立しなければならない ki sin qi kr sin qr kt sin qt 演習: 界面での反射と透過 入射波 z Ei ( Eix , 0, Eiz ) ( Ei cosqi , 0, Ei sin qi ) E H i (0, H iy , 0) 0, i , 0 Z1 反射波 Er ( Erx , 0, Erz ) (Er cosqr , 0, Er sin qr ) q r qi Ei Hi 媒質Ⅰ 媒質Ⅱ E H r (0, H ry , 0) 0, r , 0 Z1 透過波 Et ( Etx , 0, Etz ) ( Et cosqt , 0, Et sin qt ) E H t (0, H ty , 0) 0, t , 0 Z2 Z1, Z2は、それぞれ媒質1, 2の電磁インピーダンス Er qi Hr qr ki kr y x kt qt Et Ht 演習: 界面での反射と透過 界面での電場 E および磁場 H の接線成分の連続性より、 Eix Erx Etx 従って、 Ei cosqi Er cosqr Et cosqt Hiy H ry Hty 上式から Et を消去すると、 r Er Z1 cosqi Z 2 cosqt Ei Z1 cosqi Z 2 cosqt 上式から Er を消去すると、 t Et 2Z 2 cosqi Ei Z1 cosq i Z 2 cosq t Ei Er Et Z1 Z1 Z 2 Z 2 Ei Z 2 Er Z1Et ここで、θi = θr の関係を用いている (電界反射係数) 反射係数や透過係数の値は、電界や 磁界ベクトルの取り方によって異なる (電界透過係数) この場合、磁界に対する反射係数および透過係数は、 Er Hr Z1 E r r H i Ei Ei Z1 Et Ht Z 2 Z1 Et Z1 t H i Ei Z 2 Ei Z 2 Z1
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