電磁気学C

電磁気学Ⅱ
Electromagnetics Ⅱ
6/5講義分
電磁波の反射と透過
山田博仁
異なる媒質の界面における境界条件
誘電率 e1, e2 の異なる媒質が接している界面
界面には真電荷が面密度 e にて存在
界面での電束密度 D に対して、どのよう
な条件が満たされなければならないか?
電場に関するGaussの法則を、界面に
存在する高さが無限小の円柱に適用
5.3 (教科書p.64) の復習
単位法線ベクトル
界面 D n S 界面での
1
真電荷密度
e1
e
+
+
+
+
+
+
e+2
D2
-n
 div DdV   D  ndS    dS
V
S
S
e
Gaussの定理
従って、
( D1  D2 )  n S   e S
上式は、任意の面 S に対して成り立つことから、 ( D1  D2 )  n   e
表面電荷 e が存在しなければ、 D1  n  D2  n
異なる媒質の界面における境界条件
誘電率 e1, e2 の異なる媒質が接している界面
界面での電場 E に対して、どのような条
件が満たされなければならないか?
Faradayの電磁誘導の法則を、図のように
界面の一部を囲む高さ h が無限小の長
方形 S に適用

S
界面 l t
e1
e2
E1
h
CE t
2
S
t: 単位接線ベクトル
B
 dS
S t
rot E  dS   
ここで、B/t は境界面の近くで有限であるから、S→0の極限で右辺の積分は
ゼロになる
一方、Stokesの定理を用いると左辺は、

S
rot E  dS   E  dr  ( E1  t  E 2  t )l
C
従って、 ( E1  t  E2  t )l  0
上式は、任意の l の長方形に対して成り立つことから、 E1  t  E2  t
異なる媒質の界面における境界条件
9.4 (教科書p.146) の復習
透磁率 m1, m2 の異なる媒質が接している界面
界面での磁束密度 B に対して、どのよう
な条件が満たされなければならないか?
磁場に関するGaussの法則を、界面に
存在する高さが無限小の円柱に適用
単位法線ベクトル
界面 B n S
m1
m2
 div BdV   B  ndS  0
V
S
Gaussの定理
従って、 ( B1  B2 )  n S  0
上式は、任意の面 S に対して成り立つことから、
( B1  B2 )  n  0
よって、
B1  n  B2  n
1
-n
B2
異なる媒質の界面における境界条件
透磁率 m1, m2 の異なる媒質が接している界面
界面には伝導電流が面密度 ie にて存在
界面 l t
界面での磁場 H に対して、どのような
条件が満たされなければならないか?
m1
m2
Ampere-Maxwellの方程式を、図のように
界面の一部を囲む高さ h が無限小の長
方形 S に適用

S
C
H2 t
ie: 界面での
伝導電流密度
H1
ie
h
S
t: 単位接線ベクトル
D
 dS   ie  dS
S t
S
rot H  dS  
ここで、界面に表面電流が存在しない限り、ie も D/t も境界面の近くで有限で
あるから、S→0の極限で右辺はゼロになる
一方、Stokesの定理を用いると左辺は、

S
rot H  dS   H  dr  ( H1  t  H 2  t )l
従って、
C
H1  t  H 2  t
異なる媒質の界面における境界条件
電束密度の法線成分は連続
電場の接線成分は連続
E1  t
E t  E t
1
D1  n  D2  n
2
e1
e2
E1
E2
t は界面に平行な
単位接線ベクトル
E2  t
e1
e2
n は界面に垂直な D2  n
単位法線ベクトル
磁場の接線成分は連続
H1  t  H 2  t
H1  t 表面電流が
存在しない場合
m1
m2
H1
H2
H2  t
D1
表面電荷が
存在しない場合
D1  n
D2
磁束密度の法線成分は連続
B1  n  B2  n
m1
m2
B1
B2  n
B1  n
B2
界面での反射と透過
2種類の媒質が x-y 平面 (z = 0) を
境に接しており、 z > 0 を媒質Ⅰが、
z < 0 を媒質Ⅱが満たしている。平
面電磁波が媒質Ⅰから媒質Ⅱに
入射角 qi で斜め入射し、その一部
が反射角 qr で反射され、またその
一部が透過角 qt で媒質Ⅱ内に透
過する場合を考える。
z
Er
Hi
Ei
媒質Ⅰ
入射波、反射波および透過波の波媒質Ⅱ
数ベクトルと角周波数をそれぞれ
(ki, i), (kr, r) および (kt, t) とし、
電場ベクトルは図の様に x-z 平面
上にあり、磁場は y 成分のみとする。
波の位相は、
入射波
反射波
透過波
it  ki  r  it  ki x sin qi  ki z cosqi
r t  kr  r  r t  kr x sin qr  kr z cosqr
t t  kt  r  t t  kt x sin qt  kt z cosqt
qi
qr
ki
kr
y
Hr
x
kt
qt
Et
Ht
界面での反射と透過
境界面 (z = 0) 上の全ての点で、任意の時刻に波の位相が等しくなるので、
i  r  t
ki sin qi  kr sin qr  kt sin qt
k

v
この条件が成立しなければならない
の関係より、媒質Ⅰ内で電磁波の速度 v1 は入射波、反射波に共通なので、
r  i ならば、 kr  ki
従って、 q r  qi
ki
(反射の法則)
sin q i kt v1
 
sin q t ki v2
v1
(Snellの法則)
qr
媒質Ⅰ
媒質Ⅱ
v1 と v2 は、それぞれ媒質Ⅰ、Ⅱ
v2
内を進む電磁波の速度
比誘電率
1
e r 2e 0
e m
e2
er2
e1m1
sin qi v1
n
 
 2 2 


 2
1
sin qt v2
n1
e 1m1
e1
e r1e 0
e r1
e 2 m2
qi
kr
 磁性体でなければ、m1  m2  m0
qt
kt
n1, n2は各々、媒質Ⅰ,
媒質Ⅱの屈折率
界面での反射と透過
入射波
z
Ei  ( Eix , 0, Eiz )  (Ei cosqi , 0,  Ei sin qi )
 E 
H i  (0, H iy , 0)   0, i , 0 
 Z1 
反射波
Er  ( Erx , 0, Erz )  (Er cosqr , 0, Er sin qr )
q r  qi
Er
Hi
Ei
媒質Ⅰ
媒質Ⅱ


E
H r  (0, H ry , 0)   0,  r , 0 
Z1 

透過波
Et  ( Etx , 0, Etz )  (Et cosqt , 0,  Et sin qt )
 E

H t  (0, H ty , 0)   0, t , 0 
 Z2 
Z1, Z2は、それぞれ媒質1, 2の電磁インピーダンス
qi
Hr
qr
ki
kr
y
x
kt
qt
Ht
Et
界面での反射と透過
次に、電磁波の振幅について考えると、界面での電場 E および磁場 H の接線成分
の連続性より、
Eix  Erx  Etx
Hiy  H ry  Hty
従って、
 Ei cosqi  Er cosqr  Et cosqt
Ei Er Et


Z1 Z1 Z 2
上式から Et を消去すると、
r
Er Z 2 cosqt  Z1 cosqi

Ei Z1 cosqi  Z 2 cosqt
Ei cosqi  Er cosqi  Et cosqt
Z 2 Ei  Z 2 Er  Z1Et
ここで、θi = θr の関係を用いている
(電界反射係数)
上式から Er を消去すると、
t
Et
2Z 2 cosqi

Ei Z1 cosq i  Z 2 cosq t
(電界透過係数)
界面での反射と透過
因みに、磁界に対する反射係数および透過係数を求めてみると、
 Er
Hr
E
Z1

  r  r
Ei
Hi
Ei
Z1
Et
Ht
Z 2 Z1 Et Z1



t
H i Ei
Z 2 Ei Z 2
Z1
真空中での光の速度 c と媒質中での光の速度 v の比は、で表され、
ee mm
em
c 1 e 0 m0


 r 0 r 0  e r mr
v 1 em
e 0 m0
e 0 m0
で表され、
c
特に媒質が非磁性の場合には、 μ = μ0 、即ち μr = 1 が成り立ち、上式は  e r
v
となり、これが媒質の屈折率 n である。
また特に媒質が非磁性の場合には、それぞれの媒質の屈折率は真空の固有イン
ピーダンス Z0 を用いて、
m0 e 0 Z 0
m0 e 0 Z 0
c
c
n1   e r1 

n2   e r 2 

と表せる。
v1
Z
v
m1 e 1
m2 e 2 Z 2
1
2
従って、反射係数と透過係数は、媒質の屈折率を用いて、
n cosq t  n2 cosq i
2n1 cosqi
r 1
t
n1 cosqt  n2 cosqi
n1 cosq t  n2 cosqi
と表せる。
界面での反射と透過
垂直入射の場合には、qi = qt = 0 とすることにより反射係数と透過係数は、
r
n1  n2
n1  n2
t
i
2n1
n1  n2
r
n1
n2
入射波のエネルギー流に対する反射波と透過波のエネルギー流の
比をそれぞれ反射率 R および透過率 T という。
t
入射波、反射波、透過波のエネルギー流は、各々に対するポインティングベクトルの
大きさの界面に垂直方向成分であるから、
入射波
反射波
2
E
E cosqi
入射エネルギー流 qi
qr
Ei H i cosqi  Ei i cosqi  i
Z1
Z1
Z1
Si
Sr
媒質Ⅰ
反射
 Er 
Er2
媒質Ⅱ
Er H r cosq r  Er    cosq r  
cosq r
St エネルギー流
Z
Z
1 
1

Z2
2
t
E
E
Et H t cosqt  Et t cosqt 
cosqt
Z2
Z2
透過エネルギー流
qt
透過波
界面での反射と透過
従って、反射率 R と透過率 T は、
Er H r cosq r
 Er2 cosq r / Z1
Er2
Er
R



Ei H i cosq i
Ei2 cosq i / Z1
Ei2
Ei
2
Et H t cosq t
Et2 cosq t / Z 2 Z1 cosq t Et
T
 2

Ei H i cosq i
Ei cosq i / Z1 Z 2 cosq i Ei
2
r

2
 qi  q r
Z1 cosq t 2
t
Z 2 cosq i
T  1 R
反射係数と反射率、透過係数と透過率をしっかり区別して理解すること !!
屈折率 n1, n2 で表せば、反射率 R と透過率 T は、
2

n1 cosq t  n2 cosqi 
R
n1 cosqt  n2 cosqi 2
T
4n1n2 cosqi cosqt
n1 cosqt  n2 cosqi 2
界面での電磁波の反射と透過
これまでは、入射波の電場ベクトルは x-z 平
面内にのみ存在し、磁場ベクトルは y 方向
成分のみを有するとするとして、電界反射係
数および電界透過係数を求めた。
z
Hi
qi
qr
Er
Hr
Ei
Z1
媒質Ⅰ
媒質Ⅱ
Z2
つまり、磁場(ベクトル)が界面に平行に入射した
場合の電界反射係数として、
rp 
Er Z 2 cosqt  Z1 cosqi

Ei Z1 cosqi  Z 2 cosqt
x
y
qt
p.210 (12.62式)
磁場(ベクトル)が界面に平行に入射した場合の電界透過係数として、
tp 
Et
2Z 2 cosqi

Ei Z1 cosqi  Z 2 cosqt
p.210 (12.62式)
ただし、Z1, Z2は、それぞれ媒質1, 2の固有インピーダンス
Ht
Et
界面での電磁波の反射と透過
次に、図に示すように入射波の磁場ベクトル
が x-z 平面内に存在し、電場ベクトルは y 方
向成分のみを有する場合について考えると、
入射波
Ei  (Eix , Eiy , Eiz )  (0,  Ei , 0)
z
Ei
qr Er
Hi
Hr
Z1
媒質Ⅰ
 E

E
H i  ( H ix , H iy , H iz )    i cosqi , 0,  i sin qi  媒質Ⅱ
Z1
Z2
 Z1

反射波
Er  ( Erx , Ery , Erz )  (0,  Er , 0)
q r  qi
 Er

Er

H r  ( H rx , H rz , H rz )   cosqi , 0,  sin qi 
Z1
 Z1

透過波
Et  (Etx , Ety , Etz )  (0,  Et , 0)
qi
x
y
qt
Et
Ht
Z1, Z2は、それぞれ媒質1, 2の電磁インピーダンス
 E

E
H t  ( H tx , H ty , H tz )    t cosqt , 0,  t sin qt 
Z2
 Z2

界面での反射と透過
界面での電場 E および磁場 H の接線成分の連続性より、
Eiy  Ery  Ety
Hix  H rx  Htx
Ei  Er  Et
E cosqi Er cosqi
E cosqt
 i

 t
Z1
Z1
Z2
従って、
電場(ベクトル)が界面に平行に入射した場合の電界反射係数として、
rs 
Er Z 2 cosqi  Z1 cosqt

Ei Z 2 cosqi  Z1 cosqt
例題12.3 (p.212)
電場(ベクトル)が界面に平行に入射した場合の電界透過係数として、
ts 
Et
2Z 2 cosqi

Ei Z 2 cosqi  Z1 cosqt
例題12.3 (p.212)
が求まる。ただし、Z1, Z2は、それぞれ媒質1, 2の固有インピーダンス
界面での電磁波の反射と透過
12.57式(Snellの法則)と12.63式より、
sin qi v1 Z1
 
sin qt v2 Z 2
従って、 Z 2 
sin q t
Z1
sin qi
この関係を用いると、
磁場(ベクトル)が界面に平行に入射した場合の電界反射係数は、
Er Z 2 cosq t  Z1 cosq i sin q t cosq t  sin q i cosq i


Ei Z1 cosq i  Z 2 cosq t sin q i cosq i  sin q t cosq t
rp 


(sin q i cosq t  sin q t cosq i )(cosq i cosq t  sin q i sin q t )
(cosq i cosq t  sin q i sin q t )(sinq i cosq t  sin q t cosq i )
tan(q t  q i )
tan(q i  q t )
磁場(ベクトル)が界面に平行に入射した場合の電界透過係数は、
tp 

Et
2Z 2 cosq i
2 sin q t cosq i


Ei Z1 cosq i  Z 2 cosq t sin q i cosq i  sin q t cosq t
2 sin q t cosq i
sin(q i  q t ) cos(q i  q t )
界面での電磁波の反射と透過
電場(ベクトル)が界面に平行に入射した場合の電界反射係数は、
rs 
Er Z 2 cosqi  Z1 cosqt sin qt cosqi  sin qi cosqt sin(qt  qi )



Ei Z 2 cosqi  Z1 cosqt sin qt cosqi  sin qi cosqt sin(qt  qi )
電場(ベクトル)が界面に平行に入射した場合の電界透過係数は、
ts 
Et
2Z 2 cosqi
2 sin qt cosqi
2 sin qt cosqi



Ei Z 2 cosqi  Z1 cosqt sin qt cosqi  sin qi cosqt
sin(qt  qi )
つまり、反射係数や透過係数は、入射角 θi と透過角 θt のみで表わせる。
これらは Fresnelの式と呼ばれている。
ここで、p, sは光の媒質への入射状態を表し、電界成分が入射面(入射光線と
反射光線が作る面)に平行(parallel)な光を p波、垂直(senkrecht)なものを s波と
呼んでいる。
因みに地震波では、縦波であって早く到達する第一波を p波(primary wave)、
横波で強い揺れを引き起こす第二波を s波(secondary wave)と呼んでいる。
S波とP波
電界
磁界
入射波
磁界
入射面
反射波
p波(光の場合は p偏光)
入射波
入射面
電界
反射波
s波(光の場合は s偏光)
界面での電磁波の反射と透過
以上で求めた rp, rs を、入射角 qi に対して
図示すると、右図のようになる。
反射率は、
R p  rp
2
1
qi  qt 

2
0
t an(q t  q i )

t an(q i  q t )
2
Z1 > Z2のとき
rp
 qi
2
rs
-1
Rs  rs 
2
sin(q t  q i )
sin(q t  q i )
これを図示すると、
2
反
射
率
Rs
Brewster 角
Rp
入射角(θi)
以上の結果から分かるように、磁場ベクトルが界面に対して平行に入射した場合(p波)
の電界反射係数 rpは、入射角 qi と透過角(屈折角) qt の和がちょうど直角になる時に
ゼロ、つまり無反射となる。この時の入射角度 qi のことを Brewster 角という。
界面での電磁波の反射と透過
以上の結果から分かるように、磁場ベクトルが界面に対して平行に入射した場合(p波)
の電界反射係数 rp (従って反射率も)は、入射角 qi と透過角(屈折角) qt の和がちょう
ど直角になる時にゼロ、つまり無反射となる。この時の入射角度 qi のことを Brewster
角という。
Brewster 角qi は、
qi  qt 

2
Snell の法則より、
sin q i Z1 n2


sin q t Z 2 n1
従って、 Brewster 角qi は、
Z
n
q i  tan 1 1  tan 1 2
Z2
n1
z
Brewster角
Hi qi
Er
qr
Hr
Ei
Z1
媒質Ⅰ
媒質Ⅱ
Z2
x
直角
y
qt
Ht
Et
また、入射角と Brewster 角との大小関係により、電界反射係数の符号が反転する
つまり、 Brewster 角を挟んで、反射波の電場ベクトルの向きが反転する
Brewster 角の物理的意味
このような Brewster 角が存在する物理的意味は ?
電磁波が反射するメカニズムは、入射波によって界面に誘起された誘電分極から
の電磁波の放射と考えることができる
Brewster 角で媒質Ⅱに入射する電磁波は、媒質Ⅱ内の界面付近に分極を生じ
るが、その分極は反射角の方向には電磁波を放射できないため
Brewster角 z
qi
qr
この方向には、
電磁波を放射
できない
Ei
媒質Ⅰ
媒質Ⅱ
x
y
qt
Brewster 角を利用して偏光を分ける
偏光ビームスプリッタ
演習: 界面での反射と透過
図に示す様に、2種類の媒質が x-y 平
面 (z = 0) を境に接している。今、平面
電磁波が媒質Ⅰから媒質Ⅱに入射角
qi で斜め入射する場合を考える。
入射波、反射波および透過波の波
数ベクトルと角周波数をそれぞれ
(ki, i), (kr, r) および (kt, t) とし、
電場ベクトルは図の様に x-z 平面
上にあり、磁場は y 成分のみ(p波)
とする。
z
Er
Ei
Hi
媒質Ⅰ
媒質Ⅱ
qi
qr
ki
kr
y
Hr
x
kt
電場、磁場ベクトルの向きを教科書とは違えております
波の位相は、
入射波 it  ki  r  it  ki x sin qi  ki z cosqi
反射波
透過波
r t  kr  r  r t  kr x sin qr  kr z cosqr
t t  kt  r  t t  kt x sin qt  kt z cosqt
qt
Et
Ht
境界面 (z = 0) 上の全ての点で、任意の時刻に波の位相が等しくなるので、
i  r  t
この条件が成立しなければならない
ki sin qi  kr sin qr  kt sin qt
演習: 界面での反射と透過
入射波
z
Ei  ( Eix , 0, Eiz )  ( Ei cosqi , 0, Ei sin qi )

E 
H i  (0, H iy , 0)   0,  i , 0 
Z1 

反射波
Er  ( Erx , 0, Erz )  (Er cosqr , 0, Er sin qr )
q r  qi
Ei
Hi
媒質Ⅰ
媒質Ⅱ


E
H r  (0, H ry , 0)   0,  r , 0 
Z1 

透過波
Et  ( Etx , 0, Etz )  ( Et cosqt , 0, Et sin qt )


E
H t  (0, H ty , 0)   0,  t , 0 
Z2 

Z1, Z2は、それぞれ媒質1, 2の電磁インピーダンス
Er
qi
Hr
qr
ki
kr
y
x
kt
qt
Et
Ht
演習: 界面での反射と透過
界面での電場 E および磁場 H の接線成分の連続性より、
Eix  Erx  Etx
従って、 Ei cosqi  Er cosqr  Et cosqt
Hiy  H ry  Hty
上式から Et を消去すると、
rp 
Er Z1 cosqi  Z 2 cosqt

Ei Z1 cosqi  Z 2 cosqt
上式から Er を消去すると、
tp 
Et
2Z 2 cosqi

Ei Z1 cosqi  Z 2 cosqt
Ei Er Et


Z1 Z1 Z 2
Z 2 Ei  Z 2 Er  Z1Et
ここで、θi = θr の関係を用いている
(電界反射係数)
反射係数や透過係数の値は、電界や
磁界ベクトルの取り方によって異なる
(電界透過係数)
この場合、磁界に対する反射係数および透過係数は、
Er
Hr
Z1 E r


 rp
H i Ei
Ei
Z1
Et
Ht
Z 2 Z1 Et Z1



tp
H i Ei
Z 2 Ei Z 2
Z1

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