スライド 1 - Institute of Astronomy, Univ. of

天体物理学Ｉ：授業の内容
天文学は天体からの光を研究する学問です。
そこでこの授業では、「光」をどう扱うかの基礎を学びます。
授業計画は、
Ａ．水素原子
Ｂ．エネルギー準位
Ｃ．熱平衡
Ｆ．光のインテンシティＧ．黒体輻射Ｈ．等級
Ｊ．光の伝達式Ｉ
Ｄ．線吸収
Ｅ．連続吸収
Ｉ．色等級図
Ｋ．光の伝達式ＩＩＬ．星のスペクトル
という順で進めます。
最後まで行くと、星のスペクトルがどんな仕組みで決まっているかが判る、
というのが目標です。
ＡからＥまでは光の吸収に関係する物理の話です。Ｆでは光の強さをきちん
と定義します。ＧからＩは光の強さを天文学でどう使うかを示します。ＪからＬは
光がガス中を伝わる様子を式に表わし、その式を解いて星のスペクトルを導き
ます。それでは、始めましょう。
Ｈ等級
今回の内容
（H．１）等級って何？
等級の歴史、星の等級は地震の等級とどこが違うのかなどを説明します。
（ H．２）みかけ等級
何種類かある等級の内最も良く使われる等級で、観測した明るさを示します。
（ H．３）絶対等級
天体を見た時の明るさは距離に影響され比較に不便です。同じ距離に並べ
たとした時の等級を絶対等級と呼びます。
（ H．４）輻射等級
普通の等級は一定の波長での明るさを表わします。これは、全波長で測った
とした時の等級です。
（ H．５）ＵＢＶシステム
最も広く使われている等級システムを解説します。
（ H．６）その他のシステム
それぞれ特徴のある等級システムの紹介です。
授業の内容は下のHPに掲載されます。
http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html
Ｈ．１．等級って何？
紀元前２世紀にギリシアのヒッパルコスが目で見える星の明るさを１等から６等まで
の６グループに分けました。（と、プトレマイオスの「アルマゲスト」に書いてあるそうで
す。）その後、１８３０年にジョンハーシェル、１８５６年ポグソンが定式化しました。
ハーシェルの方法
口径Ｄａの望遠鏡で明るさAの星を、口径Ｄｂの望遠鏡で明るさBの星を見たら
同じ明るさに見えたとします。これは、
Ａ×Ｄａ２＝Ｂ×Ｄｂ２
したがって、Ａ / Ｂ =Ｄｂ２ /Ｄａ２
を意味します。
こうして、等級が１等上がると明るさは約（１/２．５）倍に落ちることを見出しました。
=
ハーシェルの真似をして、自分たちで１等差が明るさで何倍かを推定して見ましょう。
下の表（理科年表より）は何等の星が何個あるかを示しています。
等級(M)
個数
累積（NＴ)
log NＴ
－１
０
１
２
３
４
５
６
２
７
１２
６７
１９０
７１０
２０００
５６００
２９８８
８５８８
3.48
3.93
２
９
２１
８８
0.30 0.95 1.32 1.94
２７８９８８
2.44
2.99
とても大雑把な仮定をおきましょう：
（１）星の本当の明るさは皆同じ
０等
（２）星の数密度は一様等方
N０
すると、
N４
（１）暗く見える星は遠くにある。
（２）ある等級より明るい星はその等
級で決まる距離内にある。
ことが判ります。
４等
前ページの表を見ると、
Ｎ０＝ゼロ等までの星＝－１等と０等の和＝９個、
Ｎ４＝４等までの星＝－１、０、１、２、３、４等の星の和＝９８８個
です。Ｎ４がＮ０の約１００倍なのは、４等までの星が含まれる空間が１００倍大き
いからと考えるのです。そこで、星がゼロ等に見える距離をＤ０、その時のフラッ
クスをＦ０とします。ゼロ等より明るい星は体積Ｖ０＝４πＲ３/３内に含まれます。
（１）距離がＸ・Ｄ０の時の星のフラックスＦは幾つでしょう？
（２）フラックスがＦ以上の星が含まれる体積 V はいくつでしょう？
（３）フラックスがＦ以上の星の総数ＮをＦ，Ｆｏ，Ｎｏで表わして下さい。
星の見かけ等級ｍが１等増すと、明るさＦは１/Ａになると考えます。
（１）１等の星のフラックスはＦ１＝（１/ Ａ）Ｆ０です。ｍ等の星のフラックス
はいくつですか？
（２）１等の星の距離Ｄ１をＤ０を使って表わして下さい。
（３）ｍ等の星の距離ＤｍをＤ０を使って表わして下さい。
（４）ｍ等までの星の総数ＮｍをＡ、ｍ、Ｎ０を使って logＮｍ＝
の形で、表わして下さい。
（１）下のグラフ枠に（ｍ、logＮｍ）をプロットして下さい。
（２）プロットした点を一次式で近似して下さい。有効数字は１桁。
（３）Ａはいくつですか？
４
log N
３
２
１
０
－１
０
１
２
３
M
４
５
６
我々が決めたＡの値を使って等級の定義を作りましょう。前々ページの（１）で
Ｆｍ＝（１/ Ａ）ｍＦ０と学びました。
上の式を変形して、等級ｍの定義ｍ＝の式を導いて下さい。
この節の最初で、ハーシェルはＡ＝２．５に定めたと学びました。ハーシェル
のＡを使って、上と同様に等級ｍの定義ｍ＝の式を導いて下さい。
Ｈ．２．みかけ等級（ａｐｐａｒｅｎｔｍａｇｎｉｔｕｄｅ）
ボグソンが決めた見かけ等級ｍの定義は、
ｍ（λ）＝ー２．５ｌｏｇ１０[ Ｆ（λ） / Ｆｏ（λ） ]
Ｆ（λ）＝対象天体のフラックス
Ｆｏ（λ）＝基準天体(ベガ）のフラックス
フラックスは波長により変化しますから、同じ星でもその見かけ等級は波長に
よって変わるのです。
ベガはどの波長でもゼロ等です。
ハーシェルは星の等級が１等増すと、明るさは１/Ａ＝０．４倍に減るとしまし
たが、ボグソンの新しい定義ではこの数字が少し変わります。次の問題で確か
めて下さい。
（１）ボグソンの式を変形して、ｍ等の星のフラックスＦを求めて下さい。
（２）ボグソンの等級が１等上がるとフラックスは１/Ａになります。
Ａはいくつでしょう？
あまり大した差ではありませんから、１等増えると明るさとしては（１／２．５）
に減ると覚えていても構いません。
等級の定義としては（我々のものも含め）どれでも構わないのですが、結果的
にはボグソンの定義が広く使われることになりました。
等級には等級差が小さい時に使える便利な性質があります。
等級がｍとｍ＋Δｍの二つの星を考えます。
すると
ｍ＝－２．５ log (Fｍ/Fo), ｍ＋Δｍ= －２．５ log （ Fｍ＋Δｍ/Fo)
Δｍ=－２．５ log （ Fｍ＋Δｍ/Fｍ）
Fｍ＋Δｍ/Fｍ＝１０－０．４ Δｍ＝ｅｘｐ[－(ln 10)・０．４ Δｍ]
今は Δｍ＜＜１の場合を考えていますから、
ｅｘｐ[－(ln 10)・０．４ Δｍ] ≒ １－ (ln 10)・０．４ Δｍ
＝１－２．３０２６・０．４ Δｍ＝１－０．９２ Δｍ
つまり、
Fｍ＋Δｍ/Fｍ ≒ １－ Δｍ
例えば、０．１等大きいというのは１割暗いことなのです。
割りと便利だと思いませんか？
０等フラックスＦｏ（１）
ゼロ等のフラックスの定義は天体の明るさを決める基礎です。しかも、天文学の性
質上それを天体の観測と結び付けて定義しなければ使い物になりません。そのた
め、昔からゼロ等をどう決めるかの研究がされてきました。
（１）ＩＡＵ(International Astronomical Union)１９２２年総会
写真等級（photographic magnitude）と
写真実視等級(photovisual magnitude)
を北極系列 (north pola r sequence) の９６星で定義。
αUMi(北極星、Polaris)=２等で基準星だったが、後に変光星と判明。
（２）Ｊｏｈｎｓｏｎ（１９５３）により、光電管による新しい等級の提唱
αＬｙｒ (A0型）＝０等
（３）ＣＣＤ測光の導入で有効波長、ゼロ等フラックス等は精密化しています。
（４）最近提唱されたＡＢ等級はゼロ等フラックスを初めに定義しています。
０等フラックス（２）
注意しておきたいのはフラックスと違い、等級ｍには周波数表示と波長表示の
違いはないことです。
ｍλ ＝－２．５log10[F(λ)/Fo（λ）]
＝－２．５log10[λF(λ)/λFo（λ）]
＝－２．５log10[νF(ν)/νFo（ν）]
＝－２．５log10[F(ν)/Fo（ν）]＝ｍν
だからです。
現在ではゼロ等のフラックスFoは、多数の標準星のセット＋精密な大気モデルから
決められています。下のシステムではＶ（ベガ）＝０．０３、Ａ０Ｖ星のカラー＝０
下の表は、実用上の目的から、波長λに対してＦｏ（ν）が示されているので注意して
下さい。１Jy=１０－２６W/ｍ２/Hz です。
Ｆ(mag=０,ν)
バンド
U
B
V
Rc
Ic
J
H
K
L
M
N Q
λ(μ)
0.366 0.438 0.545 0.641 0.798 1.22 1.63 2.19 3.45 4.8 10.6 21
Fo(Jy) 1790 4063 3636 3064 2416 1590 1020 640 285 170 36 9.4
Bessell, Castelli,Plez 1998
Rieke,Lebofski,Low 1985
０等フラックス（３）
αＬｙｒ
αＬｙｒ（Ｖｅｇａ）のスペクトルは１００００Ｋの黒体輻射に近い。しかし、
遠赤外観測人工衛星のＩＲＡＳ(InfraRed Astronomical Satellite 1983)
では、温度T=10,000K, 立体角Ω＝１．５７・１０－１６の黒体円盤から
のフラックスを０等として採用しました。
x3
Fo( )  1.57 10 B (T  10,000K)  2.09 10 
(Jy)
exp x  1
1.4388
1.4388
x

T (104 K ) m  m
16
3
A0V星の半径Ｒは太陽の2.5倍＝１．７４×１０９ｍ
αＬｙｒの距離Ｄは７．７ｐｃ＝2.37×１０１7ｍ
したがって、視半径θ＝Ｒ／Ｄ＝7.34×10－９
αＬｙｒの立体角＝πθ２＝１．６９×１０－１６
上の１．５７と少し違う（８％）のはＡ０Ｖ星の有効温度Ｔｅｆｆ＝９８００Ｋとの２％の
温度差による総フラックス差（８％）を補うためでしょう。
αＬｙｒは黒体輻射を比べると、以下の特徴があります。
１）ＵＢＶバンドでずれが大きい。後の課で説明する。
２）下に示すように遠赤外でフラックス超過が見られる。ダスト円盤がついていた。
特に、（２）は予想外で、中間・遠赤外域ではαＬｙｒを標準とする等級システムは
作ることが出来なくなりました。
下の表は、ベガ＝ αＬｙｒのフラックスを現在使用されている測光標準システムのゼ
ロ等フラックスＦｏ及び、ＩＲＡS が採用した黒体輻射により定義されたゼロ等フラック
スを比較したものです。標準システムとベガが黒体フラックスと比べ UBV で食い違
い、λ＝１２－１００ μでベガのフラックスが黒体を大きく上回っていることが判りま
す。
バンド
U
B
V
Rc
Ic
λ(μ) 0.366 0.438 0.545 0.641 0.798
Fo(Jy) 1790 4063 3636 3064 2416
Vega
1736 3941 3527 2972 2343
ＦＩＲＡＳ 2420 2887 2951 2764 2397
12
25
60
100
41.5 11.0 9.5 7.7
28.3 6.73 1.19 0.43
4
log F(ν)
B V
(Jy)
R I
αＬｙｒ(Vega)と黒体輻射と比べると、
J
U
3
Fo(Vega)
H
F(IRAS)
K
L
青い波長帯で
黒体輻射からずれ
2
遠赤外超過
1
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
log λ(μ)
Ｈ．３．絶対等級（ａｂsolute ｍａｇｎｉｔｕｄｅ）
天体からのフラックスは距離の二乗に反比例しますから、同じ種類の天体で
も距離が違うと見かけ等級は異なります。
それでは、天体の真の明るさが決められないので、天体を全て同じ距離にお
いたと仮定し、その時得られるであろう等級を計算から割りだすことにしまし
た。その基準距離としては１０ｐｃが選ばれました。それが絶対等級です。
絶対等級＝天体を距離１０ｐｃに置いたとした時の等級
α Ｌｙｒａｅ（ベガ）は等級を決める基準星でその（見かけ）等級は０です。
α Ｌｙｒの距離は約８ｐｃです。 α Ｌｙｒの絶対等級は何等でしょう？
どちらの等級もゼロ等は地球から見るベガで決めています。
絶対等級のゼロ等は１０ｐｃ離れた所に置かれたベガと勘違いしがちですが
違います。
見かけ等級
絶対等級
星の距離は様々。
星の距離は１０ｐｃに揃える。
等級基準はαＬｙｒで距離は８ｐｃ
等級基準はαＬｙｒで距離は８ｐｃ
αLyr
基準
7.7pc
αLyr
基準
7.7pc
１０ｐｃ
距離指数（Distance Modulus）
光度Ｌは、ある星が単位時間当たり放出する輻射エネルギーです。光度も
輻射強度と同じく単位振動数当たりの光度Ｌν、単位波長当たりの光度Ｌλ
がありますが、面倒ですから当分ただのＬで済ませます。
さて、光度Ｌの星が１０ｐｃの距離にあった時の等級はその星の絶対等級Ｍで
す。ではその星が距離Ｄにあった時のみかけ等級ｍはいくつでしょう。
ｍの計算：
Ｍとｍの定義から出発しましょう。
ｍ＝－２．５ log （ＦＤ/Ｆｏ）、
Ｍ＝－２．５ log （Ｆ１０ｐｃ/Ｆｏ）
ＦＤ＝Ｌ/（４πＤ２）、
Ｆ１０ｐｃ＝Ｌ/（４π１０ｐｃ２）
でした。
ですから、
ｍ＝Ｍ－２．５ log （ＦＤ/Ｆ１０ｐｃ）
＝Ｍ－２．５ log （１０ｐｃ２ /Ｄ２）
＝Ｍ＋５ log （Ｄ/１０ｐｃ）
この式は、距離Ｄ＝１０ｐｃなら
Ｄ＞１０ｐｃだと
ｍ＝Ｍ、
ｍ＞Ｍ
になることを表わしています。
前ページの式から、 m－M＝5 log(D/10pc) です。
多くの星はスペクトルを調べるとその絶対等級Ｍが推定できます。ですから見
かけ等級ｍを観測で求めると、（ m－M ）が計算できるのです。
したがって、天文学ではしばしば距離Ｄの代わりに、（ m－M ）が使われます。
（ m－M ）は距離そのものではないので「距離指標」（ distance modulus ）と呼
ばれます。
距離指数の例
天体
距離
距離指数
αＣｅｎ
1.4 pc
-4.3
αＬｙｒ
7.7 pc
-0.57
大マゼラン雲
５０ｋｐｃ
18.5
Ｍ３１（アンドロメダ銀河）
0.71 Mpc
24.3
18 Mpc
31.3
Ｖｉｒｇｏ銀河団
Ｈ．４．輻射等級 (Bolometric Magnitude)
輻射等級ｍBOL は全波長に渡る総輻射フラックス ∫F(λ)dλ に対する等級です。
ｍBOL=－2.5 log [∫F(λ)dλ / FoBOL]＝－2.5 log (Ｆ / FoBOL)
通常の等級ではＡ０型の主系列星であるベガ (α Lyr) をゼロ等にして決めていま
した。それに倣うと、輻射等級のゼロ等もベガの総フラックスで決めそうですが、
違うのです。
輻射等級がゼロ等の星は、ｍＶ＝０であるＦ３型の主系列星です。
その総フラックス
FoBOL ＝２．５ ×１０－８Ｗ／ｍ２
なぜ、A0 型でなく、 F3 型が選ばれたか、それはＶバンドにスペクトルピークがく
るのがＡ０でなく、Ｆ３だったからなのです。
輻射等級も見かけ輻射等級と、絶対輻射等級があるのは他と同じです。
見かけ輻射等級 Apparent Bolometric Magnitude ：
ｍBOL=－2.5 log [∫F(λ)dλ / FoBOL]＝－2.5 log (Ｆ / FoBOL)
絶対輻射等級 Absolute Bolometric Magnitude
ＭＢＯＬは１０ｐｃから見た輻射等級。
Ｆ＝ ∫Ｆ(λ)ｄλ＝共通
logλF(λ)
Vバンド
1
B型
スペクトルＶ
Ｂ型
Ａ型
暗い
Ａ型やや明るい
Ｆ型
Ｍ型
Ｆ型
明るい
暗い
Ｍ型
0
－１
－０．５
V
０
logλ(μ)
同じ総フラックス同士でＶ等級をくらべると、Ｆ３Ｖ型星が最も明るい。
そこで、Ｖ＝０のＦ３Ｖ星の輻射等級ｍＢＯＬ＝０と定めました。
すると、Ｖ＝０の星のｍＢＯＬは全て０より小となります。
ｍＢＯＬ（Ｖ＝０）＝輻射補正（ＢＣ）と呼びます。
輻射補正 Bolometric Correctionは、下式で定義されます。
mBOL = ｍV+BC
ここに、見かけ輻射等級 Apparent Bolometric Magnitude ：
ｍBOL=-2.5log[∫F(λ)dλ/FoBOL]＝-2.5log(Ｆ/FoBOL)
FoBOL ：ｍＶ＝０のＦ３Ｖの星の全フラックス＝２．５１０－８Ｗ／ｍ２
ＢＣは、ｍＶと、あとカラー［Ｂ－Ｖ］か温度Ｔ程度の情報しかない天体の全フラッ
クスを推定するために使用されます。
Ｈ. ５．ＵＢＶシステム
眼視等級
ヒッパルコス星表（前２世紀）
１等＝最も明るい星。
Ｐｏｇｓｏｎ
１８５６
６等＝目で見える最も暗い星。
ｍａ－ｍｂ＝－２．５ｌｏｇ（Ｅａ／Ｅｂ）
ｍ＝等級
Ｅ＝入射エネルギー
口径Ｄｍの望遠鏡を覗いた時、何等まで見えるか？
暗い晩の人間の瞳孔径＝７ｍｍ  ｍｂ＝６等
Ｄｍ
 Ｅｂ×（７ｍｍ）２＝Ｅａ ×（Ｄｍ）２
ｍａ＝ｍｂ－２．５ｌｏｇ（７ｍｍ/Ｄｍ）２＝６＋２．５ｌｏｇ（Ｄ２１０６/４９）
＝１６．８＋５ｌｏｇＤ
写真システム北極星の周りの９６星（周極星）のセットが標準星。 (IAU1922)
Pg : photographic magnitude
0.43 μｍ
Pv : photovisual magnitude
0.54 μｍ
ＵＢＶシステム＝最も広く使われている測光系です。
H.L.Johnson and W.W.Morgan, 1953, Ap.J. 117, 313-352
Ｕ Corning 3384
３５０ｎｍ
Ｂ Corrning 5030 + Schott GG13
+
1P21 フォトマル４３０ｎｍ
Ｖ Corning 9863
（ＲＣＡ）
UBV Response Curve と A0型星のスペクトル（
）
透
過
率
Ｕ
3,000
A0星
B
4,000
５５０ｎｍ
V
5,000
λ(A)
6,000
ＵＢＶシステムの標準星
ゼロ等の決定 (次ページの
）
V
B-V
Sp.
V
B-V
Sp.
αLyr
0.03
0.00
A0V
γUMa 2.45
0.00
A0V
109 Vir
3.75
-0.01
A0V
α CrB 2.23 -0.02
A0V
γ Oph 3.72
0.04
A0V
HR 3314 3.89 -0.01
A0V
Ｂ－Ｖ＝-2.5 log (B出力/Ｖ出力）+1.040、
Ｕ－Ｂ＝-2.5 log (Ｕ出力/Ｂ出力）- 1.120
A0V ６星のカラーの平均値＝Ｕ－Ｂ＝Ｂ－Ｖ＝０
UBV Primary Standard Stars
V
α Ari
B-V
）
(次ページの
Sp.
V
B-V
Sp.
2.00
1.151 K2III
HR 875
5.17
0.084
A1V
β Cnc 3.52
1.480 K4III
η Hya
4.30
-0.185
B3V
α Ser
2.66
1.165
K2III
τ Her
3.89
-0.155
B5IV
HR8832
5.57
1.010
K3V
β Lib
2.62
-0.111
ε CrB
4.15
1.227 K3III
10 Lac 4.88
B8V
-0.203 O9V
UBV 標準星
Ｈ．Ｊｏｈｎｓｏｎ in Basic Astronomical Data 1963
０
V
前ページの標準星の等級とカラーＢ－Ｖ
（カラーはスペクトルの傾きです。）
１
２
３
K2III
K2III
B8V
B5IV
K4III
４
５
K3III
B3V
O9V
A1V
６
－０．４
０
B-V
K5V
１
１．６
標準星と色補正（１）
（ここは、実際に観測データをいじる時の話）
標準システムＡに対して、Ｂシステムでは図のように感度が少し長波長側
に寄っていたとします。Ｂシステムで測った等級をＡシステムに統一しないと
比較ができません。
感
度
Ａ
Ｂ
赤い星（長波長側が強い）
青い星（短波長側が強い）
λ
λＡ
λＢ
例えば、図の赤い星と青い星は、Ａシステムでは同じ等級だが、Ｂシステムでは
異なる等級となります。
Ｂシステムの観測値をＡ（標準）システムでの値に直さなくてはなりません。
標準星と色補正（２）
感
度
Ａ
Ｂ
星１
ＶＡ－ＶＢ
ＶＡとＶＢの差が生じる原因は、左図からわかるように、スペクトルの傾きです。
そこで、傾きの違いで、ＶＡとＶＢの差がどう変わるかを右図にプロットしました。
星１
星１
星２
β
星２
λ
０
１
カラー（Ｂ－Ｖ）Ｂ
λＡ
λＢ
ＶＡーＶＢ＝α（Ｂ－Ｖ）Ｂ＋β
と普通、１次式を仮定します。
αを決めるためには、（Ｂ－Ｖ）Ａが青（≒０）と赤（≒１．５）の両方欲しい。
ーー＞標準星がＯ，Ｂ，Ａ型（青星）とＫ型（赤星）から選ばれています。
Ｈ．６．UBVシステムの拡大
RIJKLMN Johnson/Mitchell 1962 Comm.Lunar Plantary Lab.1,73
Johnson et al. 1966 Comm.Lunar Plantary Lab.4,99
バンド R
I
0.7
0.9
λc
J
K
L
M
N
Q
1.25
2.2
3.4
4.9
10.2
20.0
Cousins 1976, Mem.RAS 81, 25 の R, I バンドの新提案。
バンド Rc
0.638
λc
H (1.63μ)
注意
Ic
0.797
Glass 1974 MNAS SA,33, 53
λ（Ｒ）とλ（Ｒｃ）、λ（Ⅰ）とλ（Ⅰｃ）はちょっとだけ違うのです。
実際の観測にはもっと大きな標準星表を使います。
ＵＢＶＲｃＩｃ
JHK
の追加。
Ｌａｎｄｏｌｔ１９９２、Astron.J. １０４，３４０
Ｅｌｉａｓ et al. １９８２、AJ, 87, 1029.
その他のシステム（１） Stromgren 4-color system
B
Ｕ
バルマー不連続、金属量、
温度をより正確に測る。
透
Ａ－Ｆ型星向き
過
率
uvby
V
A0星
u: 完全にバルマージャンプ
より短波長側。
ｕ
b：メタル吸収の影響をＢ
ほどは受けない。
y: 基本的にはＶと同じで、
0.3
ｖ
ｂ
0.4
ｙ
0.5
0.6 λ(μ)
巾が狭い。
ｍ１＝（ｖ－ｂ）－（ｂ－ｙ）：
金属量
ｃ１＝（ｕ－ｖ）－（ｖ－ｙ）：バルマー不連続
ｂ―ｙ：温度
その他のシステム（２）ＤＤＯｓｙｓｔｅｍ
ＭｃＣｌｕｒｅ１９７６ＡＪ８１、１８２
３５フィルター
Ｇ，Ｋ型星に狙いをつけたシステム
B
Ｕ
４－ｃｏｌｏｒのｕと同じ
V
３８フィルター
透
ｖより金属吸収によい過
率
４１フィルター
A0星
48
ＣＮバンド測定
45
38 41
４２，４５，４８
35
42
連続光
0.3
0.4
（３５－３８）カラー：バルマージャンプ
（３８－４２）カラー：金属量
（４２－４５）カラーと（４５－４８）カラー：重力と温度
0.5
0.6
λ(μ)
その他のシステム（３） Thuan-Gunn システム
Ｔｈｕａｎ／Ｇｕｎｎ１９７６ PASP 88, 543
市街地の水銀線と夜光の[OI]線を避ける。
基準星は。
ＣＤ＋１７４７０８
（Ｇ型矮星）
で、この星の
g=9.50
g-r=u-v=v-g=0
と独特の定義。
B
Ｕ
V
透
過
率
A0星
u
v
g
r
0.3
0.4
0.5
0.6 λ(μ)0.7
その他のシステム（４）
Fν(０等)＝３６３１Jy
ＡＢ等級
SDSSで採用
ＡＢ＝－2.5 log [fν/3631Jy]= 8.900－2.5 log [fν(Jy)]
旧来のゼロ等がＡＢで何等になるか？
Ｆ(mag=０,ν)
バンド
U
B
V
Rc
Ic
J
H
K
L
M
N Q
λ(μ) 0.366 0.438 0.545 0.641 0.798 1.22 1.63 2.19 3.45 4.8 10.6 21
Fo(Jy) 1790 4063 3636 3064 2416 1590 1020 640 290 170 36 9.4
AB
0.768 -0.122 –0.002 0.184 0.442 0.897 1.378 1.885 2.744 3.324 5.009 6.467
０等フラックスの比較
UBVシステム
ABシステム
4
Ｖ
log Ｆ(Ｊｙ)
3.5
3
Ｂ
Ｕ
Ｒｃ
AB等級
Ｉｃ
Ｊ
Ｈ
Ｋ
通常の等級
2.5
Ｌ
Ｍ
2
1.5
Ｎ
1
-0.5
0
0.5
logλ（μｍ)
1
1.5
星がゼロ等に見える距離をＤ０、その時のフラックスをＦ０とします。ゼロ等より明
るい星は体積Ｖ０＝４πＲ３/３内に含まれます。
（１）距離がＸ・Ｄ０の時の星のフラックスＦは幾つでしょう？
（２）フラックスがＦ以上の星が含まれる体積 V はいくつでしょう？
（３）フラックスがＦ以上の星の総数ＮをＦ，Ｆｏ，Ｎｏで表わして下さい。
（１）．Ｆ＝Ｆｏ/Ｘ２
（２）．Ｖ＝Ｘ３Ｖｏ
（３）．（２）よりＮ＝Ｘ３Ｎｏだが、（１）よりＸ＝（Ｆｏ / Ｆ）１/２だから、
Ｎ＝（Ｆｏ / Ｆ）３ / ２Ｎｏ
星の見かけ等級ｍが１等増すと、明るさＦは１/Ａになると考えます。
（１）１等の星のフラックスはＦ１＝（１/ Ａ）Ｆ０です。ｍ等の星のフラックス
Ｆｍはいくつですか？
（２）１等の星の距離Ｄ１をＤ０を使って表わして下さい。
（３）ｍ等の星の距離ＤｍをＤ０を使って表わして下さい。
（４）ｍ等までの星の総数ＮｍをＡ、ｍ、Ｎ０を使って logＮｍ＝
の形で、表わして下さい。
（１）．Ｆｍ＝（１/ Ａ）ｍＦ０
（２）．前ページの（１）を使うと、Ｆ１＝Ｆｏ/Ｘ２＝（１/ Ａ）Ｆ０
よって、Ｄ１＝Ｘ・Ｄｏ＝Ａ１/２Ｄｏ
（３）．Ｆｍ＝Ｆｏ/Ｘ２＝（１/ Ａ）ｍＦ０
なので、Ｘ＝Ａｍ/２、Ｄｍ＝Ａｍ/２・Ｄ０
（４）．（３）の解より、ｍ等までの星の体積ＶｍはＶｍ＝Ａ３ｍ/２・Ｖ０
したがって、Ｎｍ＝Ａ３ｍ/２・Ｎ０
logＮｍ＝（３ logＡ/２）ｍ＋ logＮ０
（１）下のグラフ枠に（ｍ、logＮｍ）をプロットして下さい。
（２）プロットした点を一次式で近似して下さい。有効数字は１桁。
（３）Ａはいくつですか？
（２） log Ｎｍ＝０．９＋０．５ｍ
４
log N
（３）上式を前ページの
３
（４）と比べると、
log Ａ＝１/３＝０．３３
２
log 2=0.30, log2.5 =0.4
なので、Ａ＝２．２
１
０
－１
０
１
２
３
M
４
５
６
我々が決めたＡの値を使って等級の定義を作りましょう。前々ページの（１）で
Ｆｍ＝（１/ Ａ）ｍＦ０と学びました。
上の式を変形して、等級ｍの定義ｍ＝の式を導いて下さい。
上式の対数をとると、 log Ｆｍ＝－ｍ log Ａ＋ log Ｆ０
ｍ＝－（１/ log Ａ）log(Ｆｍ/Ｆ０)、log Ａ=１/３なので、
ｍ＝－３ log(Ｆｍ/Ｆ０)
この節の最初で、ハーシェルはＡ＝２．５に定めたと学びました。ハーシェル
のＡを使って、上と同様に等級ｍの定義ｍ＝の式を導いて下さい。
上と同じ式で、Ａ＝２．５を代入します。 (1/log 2.5)=2.5129 なので、
ｍ＝－２．５１２９ log(Ｆｍ/Ｆ０)
（１）ボグソンの式を変形して、ｍ等の星のフラックスＦを求めて下さい。
（２）ボグソンの等級が１等上がるとフラックスは１/Ａになります。
Ａはいくつでしょう？
（１）ｍ＝ー２．５ｌｏｇ１０（Ｆ / Ｆｏ）から、
Ｆ＝１０－０．４ｍＦｏ
（２）上式から１等上がるとＦは１０－０．４＝１/ １００．４になる。
したがって、Ａ＝１００．４＝２．５１２である。

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