Optimization in Quantum Computation and Infomation

量子情報基礎
ー線形代数によるー
今井浩
東京大学情報理工学系研究科
コンピュータ科学専攻
ERATO今井量子計算機構プロジェクト，JST
量子情報科学のための量子力学
• 情報を内部で表現するための量子状態
– 一般形：密度行列ー純粋・混合状態ともに表現
– 純粋状態：ベクトルで表現可ーケットベクトル
• 情報を獲得するための操作：測定
– 一般的測定：POVM
– 射影測定のみ書かれている教科書も有
• 情報を変換するための操作
– 完全正写像(CP-map)：測定も同じ枠組みで扱える
– 純粋状態のみで考える際：ユニタリ変換
量子情報基礎：密度行列
• 大学学部量子力学入門
– ケット・ブラベクトル | ,  | (ブラケット)，射影測定,…
• より一般的枠組み(有限次元：線形代数で十分)
– 量子状態：密度行列(密度作用素)  C NN
  *  0, Tr  1
– ランク1の密度行列⇔
正規化固有ベクトルをケットベクトルとする純粋状態
– ランク2以上の密度行列 ⇔ 混合状態(純粋状態を混合)
    v v*, 純粋状態 v を確率  で混合
i i i
i
i
量子情報基礎：密度行列(補遺)
N
N

C
– 量子状態：密度行列
  *  0, Tr  1
Hermite, 非負定値，トレース1の複素行列
N
⇔ 固有値     N  0, 非負 ,  i 1
1 2
i 1
固有値分解(対角化)
    v v*, | v |1, v v*  0 (i  j)
i i i
i
i j
– 純粋状態：ランク1の密度行列
 1,     0, v で表現可
N
1
2
1
1qubit
複素数  a  bi, 複素共役  a bi, | |   a2  b2
N  2の場合 : 1qubit (quantum bit，量子ビット ; qbitとも書く )
  1 0
2
2

純粋状態v         
(| |  |  | 1)
  0 1


 


2



|

|




 密度行列       


  

2

 
|  | 
















 
 0
1

 
*
0  , 1   でそれぞれ 0,1を表現 , v   として v    
 

 1
0
 






1qubitでの純粋状態と混合状態
0 , 1を確率 1で混合  混合状態(密度行列 )
2






1/ 2

0

0
0
1
0
1
1






, ランク 2



2 0 0 2 0 1  0 1/ 2









 
 1
1
1
1
   ,    を確率 1で混合 
2
2  1 
2 1





 1/ 2

1/ 2
2
/
1

2
/
1
1
1




 
   , 識別不能





2 1/ 2 1/ 2 2  1/ 2 1/ 2 
テンソル積と部分トレース
H  C2, K  C2
r
r 
H, Kの密度行列   11 12 ,
r
r 
21 22 
r


r



 11

12

 : H  K上の密度行列
   


r

r


22 
 21












 
 :H K上の密度行列 ,    11 12 

  
21
22 
部分トレース Tr         : K上の密度行列
11 22
H








例
2つの独立なコイン p  ( p , p ),q  (q ,q )
1 2
1 2




 p

q

0
0




1
1




 
,   

 0

 0

p
q



2
2 


















pq
11
0
  
0
0
0
0
0
pq
12
0
0
0
p q
21
0
0
0
p q
2 2
















純粋状態でのテンソル積と量子もつれ

 
 

 0


1




C2基底　|0  , |1    |    , | |2 |  |21


 
 1
0


 
 
 
 
 
  
  
 1
 0
 0
 0
  
  
 
 
 
 
  1 
  1 






 
 1  
 0  






 
  
  






 0
0
1
0
  0 
  0 






|00 |0|0       , |01   , |10       , |11   
  1 
  1 
 0
 0
 1
 0
  
  
 
 
 
 
 0  
 1  






 
  
  






 
  0 
  0 






 1




0
0
0




 
 
 
 
1 (|00 |01) |0  1 (|0 |1)
2
2
1 (|00 |11)  ??? 分解不能 , entangled
2







一般の測定: POVM
• a quantum state via measurement information
(probabilistically obtained)
• Positive Operator-Valued Measures (POVM)
{M ,,M }, M  M *  0,
1
k
l
l
 Ml  I
Pr( X  l)  Tr( M ) (l 1,,k )
l
~* ~
M M M
l
l l
~* ~
~* ~
確率　Pr( X  l)で M M / Tr(M M )に収縮
l
l
l
l
~* ~
密度行列では ,　   M M
l
l
例
• 古典の場合(有限離散分布)： l
  diag[ p ,, p ], M  diag[ 0,,0,1,0,,0]

1
k
l
p 1, p  0 Tr( M )  p で diag[0,,0,1,0,,0]に
l
l
l
l
(全体ではに)
• 純粋状態，射影測定 (M l2  M l )
l
  vv*, v*v 1, M  diag[ 0,,0,1,0,,0] (k  N )













l
v 
1 
v   Ck  Pr( X  l) |v |2 v v , v C

l
l l
l

v 
で diag[0,,0,1,0,,0]に
k 
(全体では diag[|v |2,,|v |2]に)
N
1
 
 


  0   1 ,


密度行列








 













| |2









|  |2
















0

1 0
0


M 0 0
1 1
, M




1
2
0

0 0
1


 確率| |2 で 0 , 確率 |  |2 で1
 


1
 1
1
1
他の正規直交基底   ,    
2 1
2  1 




1/ 2

 1/ 2

1
/
2

1
/
2




M     
, M      




1
2
1/ 2
 1/ 2
1/ 2
1/ 2 


2
2
(



)
(



)
 , 実数なら，確率
で  , 確率
で
2
2
純粋状態の部分測定(1)
M  diag[1,1,0,0], M  diag[0,0,1,1]
1
2


1/ 2

0
0
1
/
2














0
1
  (|00 |11)(00|11|) 
2
0
0 0
0 0
0
0












1/ 2 0 0 1/ 2
1
Tr( M )  Tr( M )  , M  M 2
1
2 2
l
l
M M / Tr(M M ) |0000|
1 1
1 1

確率1/2で
M M / Tr(M M ) |1111|
2 2
2 2















1/ 2
0
0
0
0
0
0
0















0 0
0 0
0 0
0 1/ 2
純粋状態の部分測定(2)
M  diag[1,1,0 ,0], M  diag[0,0,1 ,1]
1
2















1/ 2 1/ 2 0 0












1 |0 (|0 |1)   1/2 1/ 2 0 0
2 1
0
0 0 0
 ( 00  01 )
2
0
0 0 0
Tr(M ) 1, Tr(M )  0
1
2
M M  M M  M M 
1 1
2 2
1 1
左の量子ビット
を測定
純粋状態の部分測定(3)
M  diag[1,1,0 ,0], M  diag[0,0,1 ,1]
1
2


1/ 2

0
1
/
2
0


























1 (|0 |1)|0   0 0 0 0
2  1 ( 00  10 )
1/2 0 1/ 2 0
2
0 0 0 0
Tr(M ) 1/ 2, Tr(M ) 1/ 2,　確率 1/ 2で 00 , 10
1
2


1/ 2

0
0
0






 0
0 0 0

M M  M M  

1 1
2 2  0 0 1/ 2 0





0
0
0





0
一般の変換：完全正写像
• CP-map (Trace-Preserving Completely Positive Map) :
a general model of a physical change
T :C N N  C M M ,
k
k *
*
T (  )   A A with  A A  I
l1 l l
l1 l l
• 例：古典のMarkov連鎖
finite distributi on
p  ( p ,, p )
1
k
stochastic matrix Q  (q )
ij
with row sum 1
probabilit y transiti on
p  pQ
  diag[p]
A : matrix with
ij
( j,i) -element  q
ij
others 0
T (  )  diag[pQ]
ユニタリ変換
U : ユニタリ行列 (UU *U *U  I )
T ( ) UU *: CP - map
純粋状態   vv*, v Uv
量子計算
U I
,
2 2 n 1















1 0 0 0












0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
I
n

2
2
量子エントロピー
量子通信路容量
Shannonエントロピーの離散構造
• Shannonエントロピー：   pi log pi
有限離散確率
p  ( p ,, pn), p ,, pn  0,  p 1
i
1
1
• Kullback-Leibler divergence:
p
D(p||q)   p log qi  0
i
i
von Neumannエントロピー
von Neumann entropy H ( )  Tr  log     log
i
i
( : 量子状態(密度行列),  : 固有値)
i
    v v*, 固有値分解のとき
i i i
log   log (v v*)
i i i
量子divergence D( || )  Tr  (log  log )
Petzの定理： CP - map T , D( || )  D(T ( )||T ( ))
Examples
• Classical case:
  diag[ p ,, p ],
1
N
 pl 1,
p 0
l
H ( )  Tr   log     p log p
l
l
  diag[ q ,,q ],
1
D( || )  
N
 ql 1, ql  0
p
p log l
l
q
l
量子通信路符号化定理
量子通信チャネルのバンド
Quantum Communicat ion Channel :
CP - map :CN N (input)  CM M (output)
Classical Communicat ion Channel :
stochastic matrix  proj. measurement
N.B.: POVM is a CP - map
M  A*A ,    A A*
l l l
l l
通信路容量
von Neumann entropy H ( )   log     log 
i
i
( : quantum state,  : eigenvalue s)
i
 {  ( ,, ;  ,, )|   1,   0,  : input}
i
i
i
1
d 1
d
    , d  N N
i i
相互情報量 : I ( ,)  H ( )   i H ( i )
量子通信路符号化定理 (Holevo et al.):
量子通信路容量 C()  sup I ( ,)
 
通信路容量の計算
• So far, alternating-type algorithm
(Arimoto-Blahut ’72, Nagaoka ’98)
Fixing   I ( ,): concave with respect to 
i
(Classical Case)  : fixed, hence Convex Pro gramming
i
(Quantum Case)
 : fixed, then Convex Pro gramming
i
 : variable  Global Optimizati on
i

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