第2課：等級 2．1．みかけ等級

第３課：等級
平成１６年１０月２５日
http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html
星の光をどう表現するか？
等級＝「基準星よりどのくらい明るい」
という方法
実用的なので広く用
いられている。
紀元前２世紀にギリシアのヒッパルコスが目で見える星の明るさを１等から６等まで
の６グループに分けた。（と、プトレマイオスのアルマゲストに書いてあるらしい。）そ
の後、１８３０年にジョンハーシェルが等級の定量的な研究を行い、１８５６年ポグソン
が定式化した。
ハーシェルは大小の望遠鏡を使い、同じ明るさに見える２つの星を探した。
口径
Ｄａ
Ｄｂ
星の明るさ
Ａ
Ｂ
Ａ×Ｄａ２＝Ｂ×Ｄｂ２
Ａ / Ｂ =Ｄｂ２ /Ｄａ２
とすると、望遠鏡で同じ明るさに見えるので、
したがって、
こうして、等級が１等上がると明るさは
約（１/２．５）倍に落ちることを見出した。
ちょっと、ハーシェルの真似をして、１等差が明るさで何倍かを推定して見よう。
1等が明るさ（１/Ａ）倍に対応し、星の本当の明るさは皆同じと仮定する。見かけの
明るさは距離Ｄと１/Ｄ２の関係だから、明るさが１/Ａ倍になると距離は（√Ａ）倍、
体積はＡ３/２倍になる。太陽の周りの星の密度を一定とすると、体積はその等級
までの数に比例するから、１等増える毎に星の数が何倍になるかを調べればＡ
が決まるはずである。
ヒッパルコスの等級の表はしらないので、ややいんちきだが、理科年表から、
実視等級
－１
０
１
２
３
４
５
６
個数
２
７
１２
６７１９０７１０
２０００
５６００
累積
２
９
２１
８８２７８９８８
２９８８
８５８８
Log 累積
0.30 0.95 1.32 1.94 2.44 2.99
3.48
3.93
Log 累積
４
＝０．９５
＋０．５等級
３
＝（３等級/２）log A
Log A=1/3
A=2.2
ハーシェルの求め
た２．５と近いか
外れたか、どちらだ
ろう？
２
１
０
－１
０
１
２
３
４
５
６
Ａ＝２．２と２．５より少し小さくなったのは、遠方にある巨星が一様等方分布からずれ
ているためかも知れない。
３．１．みかけ等級
見かけ等級（ａｐｐａｒｅｎｔｍａｇｎｉｔｕｄｅ）は、
Ｆ＝対象天体を観測した際のフラックス
Ｆｏ＝基準天体のフラックス
とすると、
見かけ等級ｍ＝ー２．５ｌｏｇ１０（Ｆ / Ｆｏ）
注意：フラックスではＦλとＦνが異なる、
Ｆ（λ）
logF(λ)
ｍ(λ)
ディメンジョンも値も、Ｆλ≠Ｆνと言ったが、
等級では、
ｍλ＝ｍν
log Fo(λ)
なぜなら、
λ
m(λ)=-2.5 log[F(λ)/Fo(λ)]
m(ν)=-2.5 log[F(ν)/Fo(ν)]
Ｆ（ν）
log F(ν)
ｍ(ν)
m(λ) ＝-2.5 log[λF(λ) / λFo(λ)]
log Fo(ν)
＝-2.5 log[νF(ν)/ νFo(ν)]
＝-2.5 log[F(ν)/ Fo(ν)] ＝ m(ν)
ν
等級と距離
フラックス＝Ｆ２
等級＝ｍ２
Ｄ２
フラックス＝Ｆ１
等級＝ｍ１
Ｆ２＝Ｌ／（４πＤ２２）
Ｆ１＝Ｌ／（４πＤ１２）
ｍ２ーｍ１
＝ー２．５log（Ｆ２ /Ｆｏ）＋２．５log（Ｆ１ /Ｆｏ）
＝５log（Ｄ２ /Ｄ１）
Ｄ１
注意：２つの天体の等級差は、距離の比を表わす。距離の絶対値ではない。
ｍａーｍｂ＝１０だと、5 log(Da/Db)=10 より、Ｄａ/Ｄｂ＝１００は正しい。
しかし、Ｄａ－Ｄｂ＝１０ｍとか、Ｄａ－Ｄｂ＝１００ｐｃと考えてはいけない。
等級とフラックス
(1) Ｆｏ（λ）＝見かけ等級０のフラックス
＝αＬｙｒａｅ（ベガ）のフラックス（に近い）
したがって、等級ｍ（λ）の星のフラックスＦ（λ）＝１０ーｍ（λ）/２．５ Fvega（λ）
例１．ｍ＝－１

Ｆ＝Ｆvega×１０１/ ２．５＝２．５１２Ｆvega
ｍ＝＋５

Ｆ＝Ｆvega×１０－5 / 2.5＝０．０１Ｆvega
(2) Δｍ＜＜１のとき、
Ｆ（ｍ＋Δm）／Ｆ（ｍ）＝１０－Δｍ/２．５＝exp (－Δｍ×ln10 / 2.5 ）
＝ exp(－Δｍ×２.３０２/２.５）＝exp(－0.921Δm) ≒（１－Δm ）
上の関係は概算の際に便利。
例えば、等級が０．１大きい星は、フラックスで約１割小さい。
３．２. ＵＢＶシステム
Hipparcos catalogue 前２世紀
眼視等級
１等＝最も明るい星。
Ｐｏｇｓｏｎ
１８５６
６等＝目で見える最も暗い星。
ｍａ－ｍｂ＝－２．５ｌｏｇ（Ｅａ／Ｅｂ）
ｍ＝等級
Ｅ＝入射エネルギー
口径Ｄｍの望遠鏡を覗いた時、何等まで見えるか？
暗い晩の人間の瞳孔径＝７ｍｍ  ｍｂ＝６等
Ｄｍ
 Ｅｂ×（７ｍｍ）２＝Ｅａ ×（Ｄｍ）２
ｍａ＝ｍｂ－２．５ｌｏｇ（７ｍｍ/Ｄｍ）２＝６＋２．５ｌｏｇ（Ｄ２１０６/４９）
＝１６．８＋５ｌｏｇＤ
写真システム北極星の周りの９６星（周極星）のセットが標準星。 (IAU1922)
Pg : photographic magnitude
0.43 μｍ
Pv : photovisual magnitude
0.54 μｍ
ＵＢＶシステム＝最も広く使われていた。
H.L.Johnson and W.W.Morgan, 1953, Ap.J. 117, 313-352
Ｕ Corning 3384
３５０ｎｍ
Ｂ Corrning 5030 + Schott GG13
+
Ｖ Corning 9863
1P21 フォトマル４３０ｎｍ
（ＲＣＡ）
５５０ｎｍ
UBV Response CurveとA0型星のスペクトル（
透
過
率
Ｕ
3,000
B
4,000
V
5,000
λ(A)
A0星
6,000
）
ＵＢＶシステムの標準星
ゼロ等の決定 (次ページの
αLyr
V
B-V Sp.
0.03
0.00 A0V
）
V
B-V
γUMa 2.45
109 Vir 3.75 -0.01 A0V
γ Oph 3.72 0.04 A0V
Sp.
0.00 A0V
α CrB 2.23 -0.02 A0V
HR 3314 3.89 -0.01 A0V
Ｂ－Ｖ＝-2.5 log (B出力/Ｖ出力）+1.040、
Ｕ－Ｂ＝-2.5 log (Ｕ出力/Ｂ出力）- 1.120
A0V ６星のカラーの平均値＝Ｕ－Ｂ＝Ｂ－Ｖ＝０
UBV Primary Standard Stars
V
α Ari
B-V Sp.
V
2.00
1.151 K2III
HR 875
β Cnc 3.52
1.480 K4III
η Hya
β Lib
2.62
-0.111 B8V
α Ser
ε CrB
4.15
1.227 K3III
10 Lac 4.88
）
(次ページの
-0.203 O9V
5.17
4.30
B-V
0.084
-0.185
Sp.
A1V
B3V
2.66
1.165
K2III
τ Her
3.89
-0.155
B5IV
HR8832
5.57
1.010
K3V
UBV 標準星
Ｈ．Ｊｏｈｎｓｏｎ in Basic Astronomical Data 1963
０
１
２
K2III
K2III
B8V
３
K4III
B5IV
４
５
K3III
B3V
O9V
A1V
６
－０．４
０
K5V
１
１．６
標準星と色補正（１）
二つの観測システム
Ａ：標準（例えばＪｏｈｎｓｏｎ）
感
度
Ａ
Ｂ
Ｂ：例えばハワイ
があった時
ＡとＢでは同じバンドでも感度曲線が異なる。
赤い星（長波長側が強い）
青い星（短波長側が強い）
λ
λＡ
λＢ
図の赤い星と青い星は、Ａシステムでは同じ等級だが、Ｂシステムでは異なる等
級となる。
Ｂシステムの観測値をＡ（標準）システムでの値に直す必要がある。
標準星と色補正（２）
ｍＡ－ｍＢ
感
度
Ａ
Ｂ
星１
星１
星１
星２
β
星２
λ
０
１
カラー（Ｂ－Ｖ）Ａ
λＡ
λＢ
ｍＡ＝ｍＢ＋α（Ｂ－Ｖ）Ａ＋β
普通、１次式を仮定して補正する。
αを決めるためには、（Ｂ－Ｖ）Ａが青（≒０）と赤（≒１．５）の両方欲しい。
ーー＞標準星がＯ，Ｂ，Ａ型（青星）とＫ型（赤星）から選ばれている。
UBVシステムの拡大
RIJKLMN Johnson/Mitchell 1962 Comm.Lunar Plantary Lab.1,73
Johnson et al. 1966 Comm.Lunar Plantary Lab.4,99
バンド R
I
0.7
0.9
λc
J
K
L
M
N
Q
1.25
2.2
3.4
4.9
10.2
20.0
Cousins 1976, Mem.RAS 81, 25
バンド Rc
0.638
λc
H (1.63μ)
注意
Ic
0.797
Glass 1974 MNAS SA,33, 53
λ（Ｒ）＝0.7μ、λ（Ⅰ）＝0.9μ、
λ（Ｒｃ）＝0.66μ、 λ（Ⅰｃ）＝0.81μ
実際の観測にはもっと大きな標準星表を使う。
ＵＢＶＲｃＩｃ
JHK
Ｌａｎｄｏｌｔ１９９２、Astron.J. １０４，３４０
Ｅｌｉａｓ et al. １９８２、AJ, 87, 1029.
その他のシステム（１）
Stromgren 4-color system
uvby
１９６０年代
バルマー不連続、金属量、温度をより正確に測る。Ａ－Ｆ型星向き
B
Ｕ
V
透
過
率
A0星
ｕ
0.3
ｖ
0.4
u: 完全にバルマージャンプより短波長側。
b：メタル吸収の影響をＢほどは受けない。
y: 基本的にはＶと同じで、巾が狭い。
ｂ
ｙ
0.5
0.6
λ(μ)
その他のシステム（２）
ｍ１＝（ｖ－ｂ）－（ｂ－ｙ）：
Stromgren 4-color system 続き
金属量
ｃ１＝（ｕ－ｖ）－（ｖ－ｙ）：バルマー不連続
ｂ―ｙ：温度
ＤＤＯｓｙｓｔｅｍ
ＭｃＣｌｕｒｅ１９７６ＡＪ８１、１８２
Ｇ，Ｋ型星
３５フィルター
B
Ｕ
V
４－ｃｏｌｏｒのｕ
３８フィルター
透
過
ｖより金属吸収によい率
４１フィルター
A0星
48
ＣＮバンド測定
45
38 41
35
４２，４５，４８
42
連続光
0.3
0.4
0.5
0.6
λ(μ)
その他のシステム（３）
ＤＤＯ続き
（３５－３８）カラー：バルマージャンプ
（３８－４２）カラー：金属量
（４２－４５）カラーと（４５－４８）カラー：重力と温度
Thuan-Gunn システム
Ｔｈｕａｎ／Ｇｕｎｎ１９７６ PASP 88, 543
市街地の水銀線と夜光の[OI]線を避ける。
B
Ｕ
基準星は。
ＣＤ＋１７４７０８
（Ｇ型矮星）
透
で、この星の
過
g=9.50
率
g-r=u-v=v-g=0
と独特の定義。
V
A0星
u
v
g
r
0.3
0.4
0.5
0.6 λ(μ)0.7
その他のシステム（４）
ＡＢ等級
Fν(０等)＝３６３１Jy
SDSSで採用
ＡＢ＝－2.5 log [fν/3631Jy]= 8.900－2.5 log [fν(Jy)]
旧来のゼロ等がＡＢで何等になるか？
Ｆ(mag=０,ν)
バンド
U
B
V
Rc
Ic
J
H
K
L
M
N Q
λ(μ) 0.366 0.438 0.545 0.641 0.798 1.22 1.63 2.19 3.45 4.8 10.6 21
Fo(Jy) 1790 4063 3636 3064 2416 1590 1020 640 290 170 36 9.4
AB
0.768 -0.122 –0.002 0.184 0.442 0.897 1.378 1.885 2.744 3.324 5.009 6.467
０等フラックス（１）
単純には、αＬｙｒ (A0型）のフラックス＝０等
０等がＩＡＵ(International Astronomical Union)１９２２年総会で定義された時代は
写真等級で、光電管、ＣＣＤは存在しなかった。
ーー＞同じバンドでも、研究者によって、有効波長、０等フラックスが異なる。
現在ではＣＣＤ画像の星像のカウントを規準に測光する。
ゼロ等のフラックスは、多数の標準星のセット＋精密な大気モデルから、
例えば、Ｖ（ベガ）＝０．０３、Ａ０Ｖ星のカラー＝０として決める。
Ｆ(mag=０,ν)
バンド
U
B
V
Rc
Ic
J
H
K
L
M
N Q
λ(μ) 0.366 0.438 0.545 0.641 0.798 1.22 1.63 2.19 3.45 4.8 10.6 21
Fo(Jy) 1790 4063 3636 3064 2416 1590 1020 640 285 170 36 9.4
Bessell, Castelli,Plez 1998
Rieke,Lebofski,Low 1985
０等フラックス（２）
αＬｙｒ
αＬｙｒのスペクトルは１００００Ｋの黒体輻射に近い。
しかし、次の２点で黒体輻射からずれる。
ＩＲＡＳが採用した、Ｆｏ（ν）を近似する黒体フラックスと比較すると。
ＦＩＲＡＳ＝1.57 10-16 B(10,000K,ν)=2.09 10^3 [ x 3 /(exp x - 1) ] Jy
x= hν/kT=hc/kλT =1.4388/ λ(μｍ)(T/104K)
１）ＵＢＶバンドでずれが大きい。後の課で説明する。
２）下に示すように遠赤外でフラックス超過が見られる。ダスト円盤がついていた
バンド
U
B
V
Rc
Ic
λ(μ) 0.366 0.438 0.545 0.641 0.798
Fo(Jy) 1790 4063 3636 3064 2416
Vega
1736 3941 3527 2972 2343
ＦＩＲＡＳ 2420 2887 2951 2764 2397
12
25
60
100
41.5 11.0 9.5 7.7
28.3 6.73 1.19 0.43
4
log F(ν)
B V
(Jy)
R I
U
3
J
Fo(Vega)
H
F(IRAS)
K
L
2
1
0
-0.5
0
0.5
1
1.5 log λ(μ)
３．３．絶対等級
同じ星を距離Ｄ１とＤ２に置く。
Ｆ１＝Ｌ／４πＤ１２
ｍ１＝－２．５log (F１/Fo)
Ｆ２＝Ｌ／４πＤ２２
ｍ２＝－２．５log (F２/Fo)
m１-m２=－２．５log(Ｄ２／Ｄ１) ２＝５log（Ｄ１／Ｄ２）
絶対等級（ Absolute Magnitude ）＝距離１０ｐｃからの等級
記号は、見かけ等級：Ｖ、Ｋまたは、ｍＶ、ｍＫ
絶対等級：ＭＶ，ＭＫ
ある天体のｍとＭとの関係は、ｍ－Ｍ＝５log(D/10pc)
途中で光が吸収されると、見かけ等級ｍはＡ等大きくなるので、
ｍ－Ｍ＝５log(D/10pc)＋Ａ
ｍｏ＝ｍ＋Ａ＝吸収補正したみかけ等級
距離指数
ｍo－Ｍ＝(m－M)o=５log(D/10pc)＝５log D(pc) －５
距離指数（ Distance Modulus ）＝ (m－M)o ＝ＤＭ
例
２ＭＡＳＳサーベイはＫ＜１７まで観測できる。大マゼラン雲中のＲＲＬｙｒ
型変光星を２ＭＡＳＳで研究できるか？
典型的なＲＲＬｙｒ星はＡ－Ｆ型の準巨星で、ＭＫ＝０．５程度。
ＬＭＣの距離指数＝１８．５．
したがって、２ＭＡＳＳの観測には2等暗すぎる。
３．４．輻射等級
見かけ輻射等級 Apparent Bolometric Magnitude ：
ｍBOL=－2.5 log [∫F(λ)dλ / FoBOL]＝－2.5 log (Ｆ / FoBOL)
FoBOL ：ｍＶ＝０のＦ３Ｖの星の全フラックス
＝２．５１０－８Ｗ／ｍ２
通常の等級はＡ０Ｖ星で決めるが、ここだけＦ３Ｖ星が登場する。
その理由は次の輻射補正で考える。
絶対輻射等級 Absolute Bolometric Magnitude
ＭＢＯＬは１０ｐｃから見た輻射等級。
輻射補正（１）
Ｆ＝ ∫Ｆ(λ)ｄλ＝共通
Vバンド
logλF(λ)
1
スペクトルＶ
Ｂ型
Ａ型
暗い
Ａ型やや明るい
Ｆ型
Ｍ型
明るい
暗い
B型
0
Ｆ型
Ｍ型
－１
－０．５
V
０
logλ(μ)
同じ総フラックス同士でＶ等級をくらべると、Ｆ３Ｖ型星が最も明るい。
そこで、Ｖ＝０のＦ３Ｖ星の輻射等級ｍＢＯＬ＝０と定めた。
すると、Ｖ＝０の星のｍＢＯＬは全て０より小となる。ｍＢＯＬ（Ｖ＝０）＝ＢＣと呼ぶ。
輻射補正（２）
輻射補正 Bolometric Correctionは、下式で定義される。
mBOL = ｍV+BC
ここに、見かけ輻射等級 Apparent Bolometric Magnitude ：
ｍBOL=-2.5log[∫F(λ)dλ/FoBOL]＝-2.5log(Ｆ/FoBOL)
FoBOL ：ｍＶ＝０のＦ３Ｖの星の全フラックス＝２．５１０－８Ｗ／ｍ２
ＢＣは、ｍＶと、あとカラー［Ｂ－Ｖ］か温度Ｔ程度の情報しかない天体の全フラッ
クスを推定するために使用される。
３．５．カラー
黒体輻射のカラー
カラー = Ｍ（λ１）－Ｍ（λ２）
＝-2.5 log[Ｆ（λ１）/Ｆo（λ１）] +2.5 log[Ｆ（λ2 ）/Ｆo（λ2）]
＝-2.5 log[Ｆ（λ１）/Ｆ（λ2 ）] +2.5 log[Ｆo（λ1 ）/Ｆo（λ2）]
＝-2.5 log[Ｆ（ν１）/Ｆ（ν2 ）] +2.5 log[Ｆo（ν1 ）/Ｆo（ν2）]
黒体輻射のカラー
[Ｂ－Ｖ]BB＝-2.5 log[B（T,B ）/ B（T,V ）] +2.5 log[Ｆo（B ） /Ｆo（V）]
Ｆ，Ｂを ν表示で計算すると、
Ｆo（ν＝B ）＝４０６３Ｊｙ，Ｆo（ν＝Ｖ）＝３６３６Ｊｙ
B（T, ν）=1.3338 10 ７ T(K) 3 [ Ｘ3 / (expＸ- 1) ] Jy
Ｘ＝1.4388/λ（μ)/T4
λ（Ｂ) ＝０.４４ λ（Ｖ) ＝０.５５
T4 ＝Ｔ／１０,０００
黒体輻射のカラー（続き）
したがって、 [Ｂ－Ｖ]BB＝－2.5 log[ｆ（ＸＢ）／ｆ（ＸＶ）]＋２.５ｌｏｇ（４０６３／３６３６）
ｆ（Ｘ）＝Ｘ３／［ｅｘｐ（Ｘ）－１］、ＸＢ＝1.4388/ ０.４４ /T4、
ＸＶ＝1.4388/ ０.５５ /T4
=-0.8３+ 2.5 log{[exp(3.27/T4)- 1] / [exp(2.616/T4)- 1]}
Ｕバンド（λ＝０.３５μｍ）も考えると、
Ｆo（ν＝Ｕ）＝１７９０Ｊｙ、ＸＵ＝1.4388/ ０.３５ /T4
[Ｕ－Ｂ]BB
＝ー2.5 log[ｆ（ＸＵ）／ｆ（ＸＢ）]＋２.５ｌｏｇ（４０６３／１７９０）
=0.8９０+ 2.5 log{[exp(4.00/T4)- 1] / [exp(3.27/T4)- 1]}
Ｔ→∞では、Ｂν＝２ｋＴ（ｃ/ν）２＝２ｋＴ/λ２なので、
[B-V]=-2.5log(0.55/0.44)2+2.5log(4063/3636)＝-0.484+0.121=-0.363
[U-B]= -2.5log(0.44/0.36)2+2.5log(1790/4063)＝-0.436-0.890=-1.326
二色図（ＴｗｏＣｏｌｏｒＤｉａｇｒａｍ）
B0V
30,000
-1
10,000
U-B
6,000
0
A0V
4,000
G0V
黒体輻射
主系列星
1
0
B-V
3,000
M0V
1
2
問題３
出題１０月２５日提出１１月１日
Ａ，Ｂのどちらかに答えよ。天文学部生はなるべくＢを選ぶよう。
３－Ａ
温度Ｔの黒体輻射に対する輻射補正ＢＣを考えよう。ＢＣの定義は、
ｍｂｏｌ＝ｍｖ＋ＢＣであった。
ｍBOL=-2.5log[∫F(ν) dν/FoBOL]、ｍｖ＝ -2.5log[Fｖ(ν) /FoＶ]
なので、 F(ν) ＝ＢＢ（ν、Ｔ） ∫F(ν) dν ＝（σ/π）Ｔ４
Fｖ(ν) ＝３６３６Ｊｙ、 FoBOL ＝２．５１０－８Ｗ／ｍ２
を代入すればＢＣが求まるはずである。
下の表と同じ温度の黒体輻射スペクトルの輻射補正ＢＣを求め、星に対す
るＢＣと比較せよ。
Ｓｐ
B0
F0
M5
Ｔｅ
30,000
7,300
3,170
BC
-3.16
-0.09
-2.73
Ｂ．大マゼラン雲（ＬＭＣ）の星の近赤外色等級図（ＣｏｌｏｒＭａｇｎｉｔｕｄｅＤｉａｇｒａ
ｍ）
Ｃの
を示す。破線領域の縦に伸びた指は、銀河系内の様々な距離の星＋ＬＭ
青・黄超巨星である。Ａ－Ｂ－Ｃ－Ｄの系列はＬＭＣの赤色巨星枝である。
点
Ｊ－Ｋｓ
Ｋｓ
Ａ
０．８
１４．０
Ｂ
１．２
１１．１
Ｃ
１．９
１０．２
Ｄ
３．７
１１．２
Ｃ
バンド波長（μｍ）Ｆｏ（Ｊｙ）
Ｊ
１．２１５１６３０
Ｋｓ
２．１５７
Ｄ
Ｂ
６６７
ＬＭＣまでの距離は８０Ｋｐｃ
Ａ
Ａ－Ｂ－Ｃ－Ｄが黒体スペクトルを持つとして以下の問に答えよ。
（Ｂ－１）Ａ、Ｂ，Ｃ，Ｄの温度Ｔ（Ｋ）を推定せよ。
（Ｂ－２）Ａ－Ｂ－Ｃ－Ｄの系列を log T 対 log (L / Lo) のＨＲ図で表わせ。
log の底は１０．Ｌｏ＝３．８４５×１０２６Ｗである。
（Ｂ－３）Ａ－Ｄの星は漸近巨枝星（ＡＧＢ星）で、中心にＣ／Ｏ核を持ち、核の
質量Ｍｃと星の光度Ｌとの間にはＰａｃｚｙｎｓｋｉの関係
Ｌ／Ｌｏ＝５９，２５０（Ｍｃ／Ｍｏ）－３０，９５０
が成立する。
Ａ－ＤのＭｃを求めよ。（核はその後、白色矮星となる）

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