黒体輻射 1. 黒体輻射 2. StefanのT4法則、 Wienの変位測 3. Rayleigh-Jeansの式 空洞中の電磁波の空間モード エネルギー等分配の法則 4. Wienの輻射公式 黒体輻射 1 1 2000K 6000K 光 強 0.5 度 光 強 0.5 度 5000K 1750K 0 4000K 1500K 1250K 0 2 1000K 4 波長(μm) 3000K 6 0 0 1 2 3 波数(10000cm‐1) 黒体輻射 StefanのT4法則 黒体輻射のパワー密度PはT4に比例する P T 4 1.35 10 cal cm s K 12 2 1 Wienの変位測 mT const. 4 空洞中の電磁波(光)の観測 L L L 弦の振動 定在波 L n Ax C sin x sin2t L n = 0, 1, 2, 3,・・・ 2L n c c n 2L 空洞中の電磁波(光)のモード x方向のモード y方向のモード z方向のモード z y x L nx n y nz Ax, y, z C sin x sin y sin L L L nx, ny, nz = 0, 1, 2, z sin2t 2次元の波のモード nx n y Ax, y C sin x sin y L L 1 0.5 2 0 -0.5 1.5 -1 0 1 0.5 0.5 1 1.5 2 0 2次元の波のモード 2 1 00.5 -0.5 -1 1.5 λy 1 0.5 y λx 0 0 0.5 1 1.5 2 x 1 1 x y 1 2 2 波はベクトル! モード 2次元の波のモード(正方形の場合) nx n y Ax, y C sin x sin y L L n , n の組でモードが決まる x y 3次元波のモード(立方体の場合) n Ax, y, z C sin x L n y nz x sin y sin L L z sin2t n , n , n の組でモードが決まる x y z 空洞中(3次元)の電磁波のモード nx n y nz Ax, y, z C sin x sin y sin L L L z sin2t nx, ny, nz = 0, 1, 2, 3,・・・ 2L y ny 2L x nx 2 2L z nz 1 1 1 x y z 1 2 2 波はベクトル! 空洞中の電磁波のモード c c 2 2 2 nx n y nz 2L nz 4 3 2 1 0 0 1 2 3 nx 空洞中の電磁波のモード (x方向だけを考える) 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 振動数が高い 2L n c c n 2L n 空洞中の電磁波のモード c c nx2 n 2y nz2 2L 2L c n x2 n 2y nz2 2L 半径 の球に含まれる格子点(モード)は c 全て振動数がνと小さいかまたは等しい。 空洞中の電磁波の空間モード 2L 半径 の球に含まれる格子点(モード)の数 c = 振動数がνよりも小さいモードの数N(ν) モードの数の計算 ・格子点当たりの体積は1 ・球の1/8だけを計算(nx, ny, xz≧0) ・偏光の自由度(縦偏光か横偏光か)は2 2 4 N 8 3 3 2 L 8 V 3 3 c c 3 V L3 周 波 数 ν ν+δν ν N(ν+δν) N(ν) モードの数 空洞中の電磁波の空間モード dN v N N D( ) d は振動数がν~ν+δνの範囲にあるモードの数 ここで dN v D 8V 3 d c 2 詳細平衡の定理 ・一定の時間が経過すると系の全ての部分の 温度が等しくなる(熱平衡状態)。 ・熱平衡状態では、系の全ての部分で光の 放出(輻射)と吸収がつり合う。 ・黒体の温度がTならば、輻射場(光の各モード) の温度もTとなる。 ・光の各モードは「振り子」に置き換えられる。 ・各「振り子」のエネルギーは温度Tでのボルツマン の分布p(ε)に従う。 kT p e モードあたりのエネルギー=kT 振動モード 各々の振動モードは、振り子に対応する! エネルギー 等分配の法則 1 K kT 2 1 K V kT 2 振り子 E K V kT ν 周 波 数 kT モードの数 Rayleigh-Jeansの式 振動数がνからν+dνの間にある 単位体積あたりの輻射のエネルギー kTD d 8 kT u d d 3 V c 2 1 光 強 0.5 度 0 0 波長λが短いと 実験に合わない! 1750K 2 6 4 波長(μm) Rayleigh-Jeansの式 2 8 kT u d d 3 c d c c c 2 d 2 d d 1 u d 8kT 4 d 光 強 0.5 度 0 0 1750K 2 6 4 波長(μm) Wienの輻射公式 根拠無しの直感! 8 ka a T u d e d 3 c 3 波長λが長いと 実験に合わない! 1 光 強 0.5 度 0 0 1750K 2 6 4 波長(μm) 問題1 Rayleigh-Jeansの式 8 2 kT u d d 3 c を波長λに関する式に変換せよ。 ヒント c 問題2 体積Vの空洞において、周波数がνより小さい 電磁波のモードの数は次式で与えられる。 2 4 N 8 3 3 2 L 8 V 3 3 c c 3 エネルギー等分配の法則からRayleigh-Jeansの式 8 2 kT u d d 3 c を求めよ。
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