形式言語とオートマトン 講義資料
ver.1.8 b(2013/4/24)
教科書
オートマトン 言語理論 計算論 Ⅰ （第２版）
J.ホップクロフト・R.モトワニ・J.ウルマン
授業資料
http://thales.philos.k.hosei.ac.jp/automaton/
何をする学問分野か？
次の1～３のための統一的な枠組み
1. 言語理論として：
プログラミング言語、通信プロトコル、知識表現
2. 計算論として：
計算の限界、計算の量
3. オートマトンとして：
アルゴリズムとその表現
他の科目との関係
• 計算量の理論（2年後期）
• コンパイラ（3年前期）
– 形式言語の応用分野
• コンパイラ演習（3年前期）
– コンパイラ作成
• プログラミング言語理論・設計（3年後期）
– プログラミング言語の基礎理論
学習の目標
•
•
•
•
オートマトンの概念を理解する（今日）
簡単なオートマトンが設計できる
正則表現が書ける
文法が表す言語が判る
以上に加えて、
• コンピュータに関する理論のトレーニング
• 情報・計算システムについて語るためのリテ
ラシー
例題
狼と山羊とキャベツをもった男が川の左岸から
右岸に舟で渡ろうとしている。
• 舟は小さいので３つのうち１つしか積めない。
• 男が見張っていないと…
– 狼は山羊を食べる
– 山羊はキャベツを食べる
３つの品物を右岸に運べるか？
YESならどうやって？NOならなぜ？
システムの記述
男M,狼W,山羊G,キャベツCを川の左右の岸に
応じてハイフン ー の左右に書く。
はじめ： MWGC ー
男が山羊を右岸に運ぶと、
WC ー MG
と変わる。この状態が変化する様子を次のよう
に表す
g
WC ー MG
MWGC ー
可能な遷移すべてを図示
＝状態遷移図
ｇ
MWGCー
m
WCーMG
ｇ
MWCーG
m w
CーMWG
w c
c
WーMGC
状態遷移図の性質
• 状態の数は有限
• 矢印（のラベル）の種類は有限
– （例の場合、g, m, w, c）
• したがって図全体として有限
（有限状態系）
• ゴールに至るラベルの列が答え
（一通りとは限らない！）
例からわかったこと
• 問題の答えは状態遷移図を描けば経路（の
存在）としてわかる。
• 与えられた手順（行為の列）が答えか否かは
そのとおり状態遷移図をたどっていけるか否
かでわかる。（解か否かを認識できる）
– 例： gmwwcgwmgは解か？
上のように状態遷移図を認識装置とみなしたも
のを（有限）オートマトンという。
レポート問題１
白石○３つと黒石●２つを横一直線にならべる。
真ん中の石を左、右の端に移動させる操作l , r
によって並べ替えることを考える。
○○○●●から始めて、白黒の色の並びが左
右対称になるように並べ替えたい。
1. 操作回数が最小の手順は何か？
2. rlllrrlrrlは解か？
言語との関係
• 解となる記号列全体はどのような集合か？
• 逆に、与えられた（有限とは限らない）集合の
要素だけを認識する方法は何か？
– C言語の正しいプログラムかどうかは有限オート
マトンで判定できるか否か？
記号列の集合＝（形式）言語
言語とオートマトン
言語を認識するオートマトンは？
オートマトンで
認識できる
言語の集合
有限オートマトン
の集合
オートマトンが認識する言語は？
通信プロトコルへの応用
“RFC793”
TCP接続状態遷移図
これからの内容
• 有限オートマトンと言語を取り扱うための数学
の準備
– 論理、集合、関係、グラフ、帰納法
• オートマトンと正則言語の等価性と変換方法
• オートマトンで認識できない言語
• もっと表現力豊かな言語～文法で表される言
語
数学的準備
•
•
•
•
•
•
•
記号列
集合
グラフ
帰納的定義
構造帰納法
論理
関係と関数
記号列
• 記号(symbol) ― 定義なしで用いる対象
• 記号列(string) ― 記号の有限個の並び.
語(word)ともいう。
例 a, b, cが記号のとき abbacは記号列
• 記号列w を構成する記号の数をw の長さといい
|w|であらわす。
例 記号列w がabbacであるとき|w|=5
• 長さが0である（記号がひとつもない）記号列のこ
とを e と書き、空語(empty word)と呼ぶ。 | e |=0
接頭語と接尾語
• 記号列w の先頭のいくつかの記号の並びからなる
語をw の接頭語(prefix)という。 w そのものと空語e
もまた w の接頭語である。
例 abbはabbacの接頭語。 abcはabbacの接頭語ではない
• 同様に、記号列w の末尾のいくつかの記号の並び
からなる語をw の接尾語(postfix)という。 w そのも
のと空語e もまた w の接尾語である。
• wの接頭語でwとは異なるものをw の真の(proper)
接尾語という
問 記号列abbacの接頭語をすべて挙げよ。
連接
• ２つの記号列u,v をこの順に繋げてできる新しい
記号列w をuとv の連接（concatenation）といいuv
であらわす。
例 hot とdogの連接はhotdog
（空白をあけてはいけない）
注：記号列wと空語の連接はw（eは連接の単位元）
we = e w = w
• 記号列wのn個の連接 ww … w をwnとかく
w0 = e と定義する
n個
言語
• 記号の有限集合をアルファベット(alphabet)と
いう。
例 {a,b,…z}, {0,1}はそれぞれアルファベット
• あるアルファベットに属する記号の列の集合
を言語(language)と呼ぶ。
注：空集合φもまたひとつの言語である。
{e }（空語１つだけからなる言語）と区別せよ
• アルファベットSに属する記号のすべての列
の集合をS *とかく。
言語の例 － 回文
• 前から読んでも後ろから読んでも同じになる
言葉を回文(palindrome)という。
例 たけやぶやけた
わたしまけましたわ
• 語wの記号の順序を逆にしたwRであらわす。
• アルファベットS 上の回文とは、
S *の要素wでwR = wとなるもの。
S = {0,1}上の回文全体は言語である。
集合
• 集合(set) 特定の性質をもつものの集まり
• x が集合A の要素(element)であることをx∈A 、そうでな
いないことは x∈Aとかく
/
• 集合Bの要素がすべて集合Aに含まれるとき、
BはA の部分集合(subset)であるといい、B ⊆Aとかく。
• 「xについて命題Pが成り立つ」ことをP(x)とかく
• P(x)となるx全体の集合を{x|P(x)}
また集合Aの要素xでP(x)となるもの全体の集合を
{x∈A |P(x)}のように書く。
例 {w∈S *| wR = w} S上の回文全体
• {f(x1,…, xn)|P(x1,…, xn)} P(x1,…, xn)となるx1,…, xn から
つくられるf(x1,…, xn)全体の集合
集合に対する演算
AとBを集合とする
A∪B={x | x∈A またはx∈B} （AとBの和, union）
A－B={x | x∈A かつx∈B}
/ （AとBの差, difference）
A∩B={x | x∈A かつx∈B}
（AとBの共通部分, intersection）
A×B ={(x, y)| x∈A, y∈B}
（AとBの直積, Cartesian product）
2A ={X|X⊆A} （ Aのべき集合, power set ）
問 A ={1, 2}, B={2, 3}として上の集合を求めよ。
言語に対する演算
A,B,Cを言語とする
AB={xy | x∈A, y∈B}
（AとBの連接）
ABC= A(BC) = (AB)C
An = AA…A (n個, n>0)
A0 ={e}
A*= A0 ∪ A1 ∪…=
∞
∪i=0
A
i
（Aの閉包）
問 A ={0, 1}, B={2}, C={2}として上の言語を求めよ。
グラフ
• グラフGは頂点（vertexまたはnode）の有限集
合Vと頂点の対で表される辺（edge）の有限集
合Eの組であってG=(V,E)で表される。
例 V={1,2,3,4,5}, E={(1,3), (3,4), (2,5), (2,2)}
のときグラフ(V,E)は
1
5
3
2
4
• グラフの頂点の列v1,v2,…vkが道(path)である
とは(v1,v2),(v2,v3),…(vk-1,vk)が辺であること。
有向グラフ
• 有向グラフはグラフの辺の向きを考慮したもので
やはりG=(V,E)で表す。辺の代わりに有向辺(arc)
といい、u→vのように書く。
• 有向グラフの頂点の列v1,v2,…,vkが道であるとは
v1→v2, v2→v3,…vk-1→vkが有向辺であること。
問 有向グラフ({x∈N|0<x<5},{i→j | i<j}) を図示せ
よ。 （Nは自然数の集合）
• v1,v2,…,vkが(有向)グラフGの道であってv1=vkであ
るとき、道v1,v2,…,vkは閉路(cycle)であるという。
レポート問題３
1.
a,b,cを記号とする。記号列x,y,zをそれぞれabc,
bb,
abcab
と
す
る
と
き
、
|xyz|,|xxx|,|xeyeze|,|xjykzl|はいくらか？
2.
a,b,c,d を記号とし、A={a,b}, B={b,c,d}とする
とき、 次の言語の要素を書き下せ。
①
AAB
② {w∈A* | |w| < 5}
3.
V={0,1,2,3,4,5,6,7}, E={i→j | i, j ∈ V, j = i2%8 }と
するとき、
G=〈 V, E 〉を図示せよ。
（m%nはmをnで割った余りを表す。）
帰納的定義(inductive definition)
例 自然数の定義
• 0は自然数 [基礎(base)]
• 自然数nに1を加えたものn+1は自然数
[帰納ステップ(inductive step)]
• 上のようにして得られたものだけが自然数
木の帰納的定義
• 基礎: 頂点1個だけで有向辺を持たない有向
グラフは木であり、その根はその唯一の頂点。
• 帰納ステップ：１個の頂点rと、（ rを頂点とせ
ず、また互いに頂点を共有しない）有限個の
木T1,…,Tkの根はr1,rkをk本の有向辺r→r1,
…,r →rkで繋いで合成した有向グラフ
Tree(T1,…,Tk)は木で根はr
• 上のようにして構成した有向グラフだけが木
T0
Tree(T1,…,Tk)
r
r1
T1
r
…
ならば
…
rk
Tk
r1
…
rk
帰納法
数学的帰納法：
すべての自然数nに対して命題P(n)がなりたつことを
証明する方法
1. P(0)がなりたつ。
2. P(k)がなりたつと仮定すれば（帰納法の仮定）、
P(k+1)がなりたつ。
1,2から「すべての自然数nに対してP(n)がなりたつ」
ことが推論できる。
構造帰納法
• すべての木で「頂点の数は有向辺の数より１つ多い」こと
を証明する。
木Tについて上の「…」が成り立つことをP(T)と書く。
木Tの頂点の数をn(T)、有向辺の数をe(T)と書く。
帰納法による証明
基礎： P(T0) （∵ n(T0)=1, e(T0)=0）
帰納ステップ： P(T1), P(T2), …, P(Tk) ならばP(Tree(T1,…,Tk))
（∵ e(Tree(T1,…,Tk))= e(T1) +…+ e(Tk) + k
n(Tree(T1,…,Tk))= n(T1) +…+ n(Tk) + 1
= (e(T1) + 1) +…+ (e(Tk) + 1) + 1 (帰納法の仮定)
= e(T1) +…+ e(Tk) + k+ 1
これらからすべての木Tに対してP(T)と推論してよい。
レポート問題４
S ={0,1}のとき、
言語Lを次のように帰納的に定義する
1. e, 01, 10 はLの要素
2. x, yがLの要素のとき、 xyはLの要素
Lの要素はすべて0と1の数が同じであることを
構造帰納法で示せ。
レポート問題５
Sをアルファベットとする言語Lを
次のように帰納的に定義する
1. e∈L
2. a∈S、x∈Lのとき、 axはLの要素
このとき、 L = S*であることを示せ。
（ヒント） L ⊆ S*は自明。逆を長さに関する帰
納法で示せ。
論理
∀x.P(x) 「すべてのxについてP(x) 」
∃x.P(x) 「あるxについてP(x) 」
あるいは、
∀x∈A.P(x) 「Aのすべての要素xについてP(x)」
などと書く。
∀を全称限量子(universal quantifier)
∃を存在限量子(existential quantifier)という。
関係
• 集合AとBの間の（2項）関係とは AとBの直積
A×Bの部分集合のこと。
• A上の関係、というときはAとAの間の関係
R⊆A2のことを指す。
• Rが集合AとBの間の関係であるとき、
(a, b)∈Rであることを、（記号Rを演算子のよう
に用いて）aRbのように書く。
関数
集合AとBの間の関係 f は次の2条件を満たすとき
AからBへの関数（写像）であるといい、f : A → Bと書く。
（存在） ∀x∈A.∃y∈B. xfy
（唯一） ∀x∈A.∀y1∈B .∀ y2∈B . xfy1∧ xfy2 ⇒y1=y2
f : A → Bであるとき、
afbのかわりにf: a |→ bと書く。
afbとなるただ一つのb∈B をf (b)で表す。
集合Aをfの定義域、 Bをfの値域と呼ぶ。
関数f : A→Bは値域Bが明らかであるか、もしくは度外視する場合は
単にA上の関数という。
すすんだ用語：
関数f : A → Bにおいて、
集合X⊆Aに対して、{f (x)| x∈X} ⊆B をXのfによる像(image)といいf [X]で表す。
とくに定義域Aの像f [A]のことをIm(f)と書く。
（上の定義と異なり、Im(f)のことを値域と呼び、Bを終域と呼んで区別する立場もある。）
関数の定義から(存在)の条件を除いたものを部分関数（写像）と呼ぶ。
部分関数では{ x∈A | ∃y∈B. xfy }を定義域, Aを始域と呼んで区別する。
関数の帰納的定義
関数f :A → Bを集合(⊆A×B)として帰納的に定義するこ
とをいう。
大抵の場合、Aの帰納的定義におけるAの要素の定義と同時にf
によって対応づけられる値を定義するように変更すればよい。
例： 記号列に対してその長さを対応づける関数
f :S* → Nは次のように帰納的に定義される。
[基礎]
（e∈S*であって、） f(e) = 0
[帰納ステップ] a∈S, x∈S* のとき、
（ax∈S*であって、） f(ax) = f(x)+1
レポート問題６
S ={0,1}のとき、 Sの語wを引数とし、２進数と
解釈したときの値を返す関数 j :S*→N を
帰納的に定義せよ。（ 0以外で先頭の0は無
視し、 eに対する値は0とする。）
（0以外に0から始まる語はない）正しい２進数お
よびその値を定義するように上を修正せよ。
eも除外のこと。
有限オートマトン
決定性有限オートマトン（ＤＦＡ）Mは次の５つ組
で定義される。
M=<Q, S, q0, d, F>
Q : 状態(state)の有限集合
S : 入力アルファベット
q0 : 開始状態（初期状態とも） （∈ Q ）
d : Q×S → Q 遷移関数
d (q, a) =p は状態qのときaを読んだとき
次の状態がpであることを表す
F : 最終状態（受理状態とも）の集合 （⊆ Q ）
遷移表
遷移関数を表で表したものを遷移表という。
0
1
→ q0
q2
q0
* q1
q1
q1
q2
q2
q1
→は開始状態、＊は最終状態を表す
上の遷移表が表す遷移関数を図で表せ。
遷移関数
d (q, a) =pを図で表す。
p
a
q
状態遷移図
0
q2
0
1
開始
q0
1
q1
0,1
オートマトンが受理する言語
ＤＦＡが受理する言語の直観的な説明
入力記号列を w=001001 とする
0
0
1
0
0
q2
1
0
q0 q2 q 2 q1 q1 q1 q1
0
開始
q0
1
q1
1
受理状態に導く語全体の集合を
DFA Mの受理する言語と定義する。
0,1
遷移関数の拡張
入力記号列（の接頭語）を読んだときの状態を返
す関数dˆ: Q×S* → Qを次のように帰納的に定
義する。(☞入力記号列の長さに関する帰納法)
（基礎）
dˆ(q, e) =q
（帰納ステップ） dˆ(q, xa) = d (dˆ(q, x), a)
ただしa∈S, x∈S*とする。
拡張された遷移関数の計算
dˆ(q0, 001001) = d (dˆ(q0, 00100), 1)
= d (d (dˆ(q0, 0010), 0), 1)
= d (d (d (dˆ(q0, 001), 0), 0), 1)
…
= d (d (d (d (d (dˆ(q0, 0), 0), 1), 0), 0), 1)
= d (d (d (d (d (d (dˆ(q0, e), 0), 0), 1), 0), 0), 1)
= d (d (d (d (d (d (q0, 0), 0), 1), 0), 0), 1)
= d (d (d (d (d (q2, 0), 1), 0), 0), 1)
…
= q1
受理言語の定義
DFA A=<Q, S, d, q0, F>
が受理する言語L(A)は次で定義される。
L(A) ={w∈S*|dˆ(q0, w)∈F}
(受理状態に導く入力記号列全体の集合)
また言語Lは、あるDFA Aを用いてL = L(A)
とかけるとき正則（regular）であるという。
正則な言語を正則言語（regular language）と呼ぶ
正則言語の例
接頭語01を持つ語（∈{0,1}*）全体の集合は正則
か？ ヒント：定義より当該言語を受理する
DFAが存在すれば正則。
q2
1
0
開始
0
q0
q1
0,1
1
q3
0,1
レポート問題７
次の言語を受理するＤＦＡを設計せよ。
1. 0と１が交互に並ぶ語全体。ただし、e, 0,1も
この言語の語であるものとする。
2. １がちょうど３回現れる語全体
3. ２進数とみなせる列全体
4. （やや難）３で割り切れる２進数全体
正則言語の例その２
接尾語01を持つ語全体の集合は正則か？
q2
0
1
開始
q0
q1
0,1
これはDFAではない！
非決定性
DFAを変更して同じ入力記号に対して（0個を含
む）複数の状態のいずれかに遷移可能にな
るようにする。
このように変更された有限オートマトンを
非決定性有限オートマトン
p
（Nondeterministic FA, NFA）と呼ぶ。 a
NFAの状態遷移図では
同一ラベルの辺が
q
a
複数出てよい。
r
NFAの定義
DFAからの変更点は遷移関数dのみ
d : Q×S → 2Q
d(q, a) =P（⊆Q）は状態qでaを読んだとき
次の状態がPの任意の要素pになり得ること
を表す。
言い換えれば、 d(q, a) は状態qでa読んだとき
に遷移できる行き先全体の集合
NFAの例
M=<{q0, q1, q2}, {0, 1}, d, q0, {q2}>
d
q1
φ
{q2}
* q2
φ
φ
1
開始
q0
1
{q0}
→ q0
q1
0
0
{q0 , q1}
q2
0,1
NFAが受理する言語
直観的な説明
NFAは入力記号を読むたびに可能な遷移のう
ちどれか1つを選んで遷移する。
うまく選んで、入力記号列を読み終わった直後
に受理状態に居るようにできればその入力は
受理される。
受理される記号列全体の集合をそのNFAの
受理する言語という。
NFAが受理する言語の例
末尾が01であるような語全体を受理するNFA
q2
0
1
開始
q0
q1
0,1
このNFAがw=1001を受理することを確かめよ。
遷移関数の拡張（NFA版）
入力記号列（の接頭語）を読んだときの状態を返
す関数dˆ: Q×S* → 2Qを次のように帰納的に定
義する。(☞入力記号列の長さに関する帰納法)
（基礎）
dˆ(q, e) ={q}
（帰納ステップ） dˆ(q, xa) =
ただしa∈S, x∈S*とする。
∪ d (p, a)
p∈dˆ(q, x)
拡張された遷移関数の意味
#
#
Q
Q
d : 2 ×S → 2 を d (P, a)
=∪ d (p, a)
p∈P
で定義すると、（帰納ステップ）の右辺は
∪ d (p, a) = d#(dˆ(q, x), a)
p∈dˆ(q, x)
のように書ける。
問１ DFA版のものと比較せよ。
問２ dˆ(q, x)={p1, …, pn}のとき上の式をp1, …,
pnを用いて表せ。
NFAが受理する言語
厳密な定義
NFA A=<Q, S, d, q0, F>
が受理する言語L(A)は次で定義される。
L(A) ={w∈S*|dˆ(q0, w)∩F≠φ}
平たく言えば…
dˆ(q0, w)は、 wを読んで行ける状態全ての集合。
L(A)は「各ステップで遷移先をうまく選べば受理状
態に行ける入力記号列全体の集合」
問 例のNFAについてdˆ(q0, 1001)∩F≠φを確か
めよ
NFAとDFAの等価性
• オートマトンの２つのクラスは片方のクラスに
属すオートマトンの受理言語が他方に属す
オートマトンでも受理できるとき、等価である、
という。 以下でNFAとDFAが等価であること
を示す。
DFA
NFA
MD L(MN)=L(MD )
MN
サブセット構成
サブセット構成(subset construction):
NFA N=<QN, S, dN, q0, FN>が与えられたとき
L(N) を受理するDFA D=<QD, S, dD, {q0}, FD>
を次のようにして構成する。
QDはQNの部分集合全体（ QNのべき集合）
FDはQNの部分集合SでS∩FN≠φを満たすもの
全体の集合
S （⊆QN）とa∈Sに対して、
dD(S, a)=∪ dN (p, a)
p∈S
サブセット構成の例題
次を繰り返す。
1. 左欄が空でない行について表を埋める
2. 左欄にない集合が出たら左欄に追加
→{q0}
0
{q0, q1}
1
開始
0
q0
q1
1
q2
0,1
サブセット構成で得られる遷移図
• ノードのラベル（名前）として集合を使うと構成
過程がわかりやすいが最終的には必要ない。
• ラベルを通常の記号に付け替えて遷移図を
完成せよ。
サブセット構成の正当性
サブセット構成によってNFA N=<QN, S, dN, q0, FN>から
DFA D=<QD, S, dD, {q0}, FD>を構成したとき
L(D) =L(N)が成り立つ。
[証明] dˆD ({q0},w) = dˆN (q0, w) を示す
|w|に関する帰納法：
(基礎) dˆD({q0},e) = dˆN(q0, e) = {q0}
(帰納) dˆD({q0},xa) = dD (dˆD({q0}, x), a) ( dˆDの定義)
= dD (dˆN(q0, x), a) (帰納法の仮定)
=∪ dN(p, a)
p∈dˆN(q0, x)
= dˆN (q0, w)
(dDのサブセット構成)
ˆNの定義)
(d
等価性
• 言語LがあるDFAで受理されるための必要十
分条件はLがあるNFAで受理されること。
[証明]あるDFAで受理⇒あるNFAで受理
だけ言えばよい。次のようにd Dからd Nを構成
dD (q,a) =p のときd N (q,a) = {p}
問い 受理状態について確認せよ。
NFAの拡張：e 動作
＋－符号つき10進数(整数)を受理するNFA
開始
1, …, 9
＋,－
0, 1, …, 9
0
符号がない場合もあるとすると
1, …, 9
開始
＋,－
1, …, 9
0
これをもっと簡単に書きたい。
0
0, 1, …, 9
e 動作を含むNFA
e 動作を含むNFA(e -NFA) A=<Q, S, q0, d, F>
はNFAの遷移関数を次のように変更して定義
される。
変更前 d : Q×S → 2Q
変更後 d : Q×(S∪{e }) → 2Q
遷移図では
が許される。
e
この図が表す遷移をe -遷移という。
e -NFAの例
符号がない場合もありうる＋－符号つき10進
数(整数)を受理するe -NFA
開始
＋, －, e
1, …, 9
0
0, 1, …, 9
遷移関数を拡張するための準備
q∈Qのe-閉包（e -closure） ECLOSE(q)⊆Qを
次のように帰納的に定義する。
基礎： q∈ECLOSE(q)
帰納： p∈ECLOSE(q)かつr∈d (p, e)ならば
r∈ECLOSE(q)
ECLOSE(q)はqからe -遷移だけをたどって到達でき
る状態すべての集合である。
e-閉包の例
e
e
2
e
3
6
1
e
b
4
5
a
ECLOSE(1)={1,2,3,4,6}
ECLOSE(2)={2,3,6}
ECLOSE(4)={4}
e
7
遷移関数の拡張（e -NFA版）
dˆ: Q×S* → 2Qを次のように帰納的に定義する
（基礎）
dˆ(q, e) = ECLOSE(q)
（帰納ステップ） dˆ(q, xa) =
∪
ECLOSE(r)
r∈∪d (p, a)
ˆ
p∈d (q, x)
ただしa∈S, x∈S*とする。
上の定義でたとえば
dˆ(q, x)={p1, …, pk},∪ki=1d(pi,a)={r1,…,rm}
とすると、帰納ステップの右辺は∪mj=1ECLOSE(rj)
(参考) 見通しをよくする記法
#
NFAのときと同様にd : 2Q×(S∪{e}) → 2Q を
#
d (P, a) =∪ d (p, a)
p∈P
と定義し、さらに、
#
ECLOSE (R)=∪ECLOSE(r)
r∈R
のように書くことにすると、帰納ステップの右辺は
ECLOSE#(d#(d(q, x), a))
e -NFAの受理する言語
e -NFA A=<Q, S, d, q0, F>が受理する言語は
L(A) ={w∈S*|dˆ(q0, w)∩F≠φ}
で定義される。
（e無しの）NFAとの相違点はdˆがe -NFA版の
拡張された遷移関数dˆ: Q×(S∪{e })*→ 2Q
である点のみ。
e -NFAとDFAの等価性
e -NFA E=<QE, S, dE, q0, FE>が与えられたとき,
Eが受理する言語L(E) と同じ言語を受理するDFA
D=<QD, S, dD, qD, FD>を次のようにして構成する。
QDはQEの部分集合SのうちS=∪ECLOSE(p)なるもの全体
p∈S
qD=ECLOSE(q0)
FDはQEの部分集合SでS∩FE≠φを満たすもの全体の集合
S （⊆QE）とa∈Sに対して、
∪
dD(S, a)=
ECLOSE(r)
r∈∪ dE(p, a)
p∈S
(Sの要素から出発してaで遷移した後,e-遷移だ
けで到達できる状態全体の集合)
（参考）問 前ページの記法で右辺を書き直せ。
e -NFAとDFAの等価性 (1/2)
e -NFA E=<QE, S, dE, q0, FE>から前頁にしたがって
DFA D=<QD, S, dD, ECLOSE(q0), FD>を構成したとき
L(D) =L(E)が成り立つ。
[証明] dˆD (ECLOSE(q0),w) = dˆE (q0, w) を示す
|w|に関する帰納法：
(基礎) dˆD(ECLOSE(q0),e) = dˆE(q0, e) = ECLOSE(q0)
(帰納) dˆD(ECLOSE(q0),xa) = dD (dˆD(ECLOSE(q0), x), a)
= dD (dˆE(q0, x), a) (帰納法の仮定)
∪ECLOSE( )
=
r
r∈∪ dE(p, a)
(dDの構成)
p∈dˆE(q0, x)
= dˆE (q0, xa)
ˆEの定義)
(d
e -NFAとDFAの等価性 (2/2)
DFA D=<Q, S, dD, q0, F>に対して同じ言語を受
理するe -NFA Eが存在する。
[証明] E=<Q, S, dE, q0, F>ただし
dE(q, a) = {dD(q, a)}
（a∈S）
dE(q, e) = φ
とすればよい。
e -NFAからDFAを構成する方法
NFAから構成する方法（サブセット構成）で得ら
れる遷移先集合の各要素のe -閉包の和集合
を遷移表エントリとして表を埋めていく。
a
d(p1, a)∪…∪d(pk, a)
ECLOSE(q0)
…
…
…
…
…
{p1, …, pk}
{s1, …, sn}
={r1, …, rm}
ECLOSE(r1)∪…
∪ECLOSE(rm)
={s1, …, sn}
e -NFA→DFA構成の例
下のe -NFAと等価なDFAを求めよ。
1
1, e
0
1
開始
0
0
1
1, e
2
1
オートマトンの利用法：字句認識
符号つきの整数および小数を認識するe -NFA
（0から始まる整数は0だけ。符号なしも可）
問 入力ファイルが上記の数を含むか否かを調
べるCプログラムを作成せよ。
正則表現
正則表現（または正規表現ともいう。regular
expression, RegExp）はオートマトンが受理す
る言語を簡便に表す方法（一種の言語）であ
り、以下の性質をもつ。（証明はあとで。）
1. オートマトンが受理する言語はすべて正則表
現で表すことができる。
2. 逆に、正則表現で表した言語はオートマトン
で受理することができる。
以下で正則表現Eの表す言語をL(E)と書く。
正則表現の定義
正則表現とその表す言語は次のように帰納的に定義される。
基礎：
1. 定数e, φは正則表現で、L(e)={e}, L(φ)=φ
2. aが記号のとき、aは正則表現でL(a)={a}
帰納：
1. E, Fが正則表現のとき、E+Fは正則表現で
L(E+F)=L(E)∪L(F)
2. E, Fが正則表現のとき、EFは正則表現で
L(EF)=L(E)L(F)
3. Eが正則表現のとき、E*は正則表現でL(E*)=L(E)*
4. Eが正則表現のとき、(E)は正則表現でL((E))=L(E)
演算子の結合順位
帰納的定義に現れる演算子の結合は
*, 連接, +
の順に強い。例えば、
L(E+FG*) = L(E+(F(G*)))
= L(E)∪L(F)L(G)*
注：集合および言語の演算子の結合順位は上から強い順に、
1. *, べき
2. 連接
3. ∪, ∩, －
正則表現定義の早見表
正則表現 E
e
φ
a
E+F
EF
E*
(E)
L(E)
{e}
φ
{a}
L(E)∪L(F)
L(E)L(F)
L(E)*
L(E)
演算子の結合は上から弱い順
（＋が最も弱く、 * が最も強い。）
正則表現が表す言語の例
01*+1が表す言語
L(01*+1)=L(01*)∪L(1)
=L(0)L(1*)∪L(1)
=L(0)L(1)*∪L(1)
={0}{1}*∪{1}
={0}{e,1,11,111,…}∪{1}
={0,01,011,0111,…}∪{1}
「1個の0の後に1だけが0個以上続く語および1」
レポート問題８
次の条件を満たす語全体からなる言語をそれぞ
れ正則表現で表せ。（S={0,1}）
•
•
•
•
0がちょうど3回現れる。
条件なし。（すべての語）
0が3回以上現れる。
同じ記号が3つ以上連続しない。
正則表現の略記法
E? = e + E (0回か1回)
問 前頁の正則表現を略記法で書け。
有限オートマトンと正則表現の等価性
有限オートマトンが受理する言語のクラスと正
則表現で表わされる言語のクラスは等しい。
クラスAの任意の言語がクラスBに属すことを
A
B
のように記すと、
e-NFA
NFA
RegExp
DFA
DFAが受理する言語は正則表現で表される
（証明）DFA Aの状態を{1, 2, …, n}とする。
kより大きい状態を経由せずに状態iから状態jに至る経路
に沿ってラベルをつなげたもの全体を表す正規表現
Rij(k)は次のように帰納的に定義できる。（経路の両端
ijはkを越えてもよい。）
[基礎] (i≠jの場合)
1.
2.
3.
Rij(0)=f (辺i→jがないとき)
Rij(0)=a (辺i→jはaをラベルとするものだけ)
Rij(0)=a1+a2+…+am(辺i→jのラベルはa1, …, am)
(i=jの場合)
1.
2.
3.
Rij(0)=e (辺i→iがないとき)
Rij(0)=e+a (辺i→iはaをラベルとするものだけ)
Rij(0)=e+a1+a2+…+am(辺i→jのラベルはa1, …, am)
（証明つづき）
[帰納] Rij(k)=Rij(k-1)+Rik(k-1)(Rkk(k-1))*Rkj(k-1)
Rik(k-1)
i
Rkk(k-1)
k
Rkj(k-1)
…
k
j
Rij(k-1)
これをもちいて、受理言語を表す正則表現は
R1f1(n)+…+R1fp(n)
と書ける。ただし{ f1, …, fp}は受理状態の集合
状態消去法（１/３）
R11
q1
Q1
.....
.....
S
p1
R1m
P1
s
Pm
Qk
qk
Rkm
pm
Rk1
状態消去法（２/３）
q1
R11+Q1S*P1
.....
.....
Rk1+QkS*P1
qk
p1
R1m+Q1S*Pm
Rkm+QkS*Pm
pm
状態消去法（３/３）
すべての受理状態qについてqと開始状態以外
を消去する。
R
S
U
開始
(R+SU*T)*SU*
T
開始
R
R*
得られた正規表現をすべて＋でつなぐ。
状態消去法の適用例
次のDFAが受理する言語を正則表現で表せ。
3
0
開始
1
1
1
0
1 4
1
2
0
0
3
0
1
1
1
0
0
1
1
1 4
1
1
1
2
2
3
0
1
0
10*1
1
3
0
10*1
10*1
0
0
1
1 4
1
10*1
3
z=10*1
z
3
0
0
z
1
1
0
4
1 4
0
3
z
3
0
1
z+01
0
3
01
00
3
(z+0(00)*(z+01))*0(00)*
1
00
1
3
z
3
0
1
z
1
0
0
1
0
3
1 4
4
z+0z
1
00
00
1+0z
4
1
0
4
1
0z
00
0z
4
(z+0z+00(00)*(1+0z))*00(00)*
0
z
00
4
z=10*1, y=0(00)*として以上をまとめると、
(z+y(z+01))*y+(z+0z+0y(1+0z))*0y
McNaughton-Yamadaの構成法(1/2)
正則表現からe-NFAを構成する方法
N(R)
– 正則表現Rがあらわす言語を受理し、
– 受理状態が一つだけで、開始状態へ入る辺、最
終状態から出る辺がないもの。
N(R)
McNaughton-Yamadaの構成法(2/2)
N(R)の帰納的定義 4. N(R+S)
1. N(f)
e
e
2. N(e)
e
N(S)
e
N(R)
e
5. N(RS)
N(R)
3. N(a)
e
N(R)
e
N(S)
e
a
6. N(R*)
e
e
山田先生の業績
• McNaughton-Yamada construction(1960)
– オートマトン理論の基礎理論
• Real-Time computation(1962)
– 計算量理論を創始
• Tessellation automata(1971)
– セル構造オートマトン初期の研究
• T-code (1980’s)
– 無連想打鍵方式による日本語入力の発明
山田 尚勇
(1930-2008)
適用例
(10+01)* であらわされる言語を受理するe-NFA
を構成せよ。
正則表現の応用１：字句解析生成系
lex, flex
delim
ws
letter
digit
id
number
%%
{ws}
if
then
else
{id}
{number}
[ \t]
{delim}+
[A-Za-z]
[0-9]
{letter}({letter}|{digit})*
{digit}+(\.{digit}+)?(E[+|-]?{digit}+)?
{}
{return(IF);}
{return(THEN);}
{return(ELSE);}
{yylval=install_id();return(ID);}
{ sscanf(yytext,"%d",&yylval);retur
n(NUM);}
"<"
{yylval=LT;return(RELOP);}
"<="
{yylval=LE;return(RELOP);}
"="
{yylval=EQ;return(RELOP);}
"<>"
{yylval=NE;return(RELOP);}
">"
{yylval=GT;return(RELOP);}
">="
{yylval=GE;return(RELOP);}
%%
int install_id(){
/* 変数名を記号表に登録して表のエントリへの
ポインタを返す */
/* ここにコードを書け */
/*
注）この関数が呼び出されたとき、
字句の先頭はyytext、字句の長さは
yyleng
に入っている。
（ここではこの変数で参照できる。）
number {digit}+(\.{digit}+)?(E[+|-]?{digit}+)?
number {digit}+
*/
return 0;
}
int install_num(){
sscanf(yytext,"%d",&yylval);
}
正則表現の応用２：検索コマンド
egrep ‘正則表現’ ファイル名
% egrep ‘yy+|return’ foo.l
正則言語の性質
1. 言語が正則でないことの証明方法：反復補題
2. 最小のオートマトン：Myhill-Nerodeの定理
正則言語でないこと
L01={0n1n| n≧1}
L01が状態数kのDFA Aで受理されると仮定する。
入力が0n1n (n>k) のとき、n個の0を読むうちに２
度訪れる状態が少なくとも１つある。（i個目とj
個目とする。i≠j）
0i1iと0j1iを考える。0iを読み終えた状態と0jを読
み終えた状態は同じなのでその後の入力1i
が同じなら到達する状態も同じ。これは矛盾。
反復補題
反復補題（ポンプの補題、pumping lemma）
Lを正則言語とする。このとき、Lに依存する
定数nで次の条件を満たすものが存在する。
条件: |w|≧nを満たす任意の記号列w∈Lは次の
(1)～(3)を満たす3個の部分列の連接w=xyz
に分解できる。
(1) y≠e
(2) |xy|≦n
(3) ∀k ≧0 に対して、xykz∈L
反復補題の証明
Lが状態数nのDFA Aで受理されると仮定する。
wを長さn以上の任意の文字列∈Lとする。w=a1a2…am
(m≧n)とする。 i=0,…,mに対して記号をi個読み終
えた時の状態をpiと書くことにする。すなわち、
pi=dˆ(q0, a1a2…ai) (i=1,…,m).
p0=dˆ(q0, e) (i=0).
状態は全部でn個だったからp0,…,pmのうちには同じも
のが少なくとも2つある。これらをpi,pjとする。(pi=pj)。
x=a1a2…ai
y=ai+1…aj
z=aj+1…am
とせよ。これらは条件(1)～(3)を満たす。（示せ。）
条件を満たすこと（ヒント）
y=ai+1…aj
a1
p0=q0
p1
x=a1a2…ai
pi=pj
pm
z=aj+1…am
反復補題の応用
L01={0m1m| m≧1}は正則でない
[反復補題を用いた別証]
L01が正則言語であると仮定する。反復補題中
の条件を満たす数をnとする。
w=0n1nとすると |w|=2n≧nであり、かつL01の要
素であるから |xy|≦n, y≠eとなるx,yによって
w=xyzと分解できて、∀k ≧0 に対してxykz∈L01と
なるはず。
ところが、|xy|≦n, y≠eであるならばy=0l (l>0)。
このときxy2zは0の方個数がl個多くなり矛盾。
同値関係
集合A上の関係～⊆A×Aは次を満たすとき、同
値関係であるという。
（a～b ⇔ (a,b)∈～）
1. （反射律）a～a
2. （対称律）a～bならばb～a
3. （推移律）a～bかつb～cならばa～c
同値関係～によってa～bであるとき、aとbは同
値である、あるいは、aはbと同値であるとい
う。
同値類と同値類集合
～が集合A上の同値関係であるときa∈Aに対して、aと同
値であるもの全体の集合をaの属する同値類といい、
[a]と書く。すなわち、
[a]={b∈A|a～b}
Aのすべての要素aにわたって[a]を集めてできる集合をA
の～による同値類集合あるいはAの～による商（集
合）いい、A/～と書く。すなわち、
A/～={[b]|b∈A}
同値類の個数すなわち同値類集合の要素数を同値関係
～の指数（index）という。
集合A上の同値関係R,QについてRの各同値類がQの同
値類に含まれるとき（部分集合であるとき）RはQの細
分である、という。
同値類の性質
～が集合A上の同値関係であるとき, a,b∈Aに
対して次が成り立つ。（示せ。）
• a～b ならば[a]=[b]
• a～b でないならば[a]∩[b]=f
状態集合上の同値関係
1つのDFAの状態集合上の同値関係≡を次で定義す
る。
p≡q ⇔
すべての入力列wに対してdˆ(p, w)とdˆ(q, w)はどち
らも受理状態であるかどちらも受理状態でない。
（関係≡が実際に同値関係であることを確かめよ。）
同値でない状態の対は区別可能であるという。
wが(p, q)が区別可能であることの証拠であるとき、す
なわち、dˆ(p, w)、dˆ(q, w)の片方だけが受理状態で
あるとき、wは(p, q)を区別するという。
同値な状態の例
0
1
開始
A
0
B
1
E
1
1
0
C
D
0
1
0
1
1
F
1
G
0
0
H
0
対(C,G), (A,G),(A,E)について区別可能性を調べよ。
区別可能性の特徴づけ
DFA A=<Q, S, d, q0, F> における区別可能な対
をすべて見つける再帰アルゴリズムの基礎
基礎：状態pが受理状態で状態qが受理状態でな
いならば対(p, q)は区別可能
再帰：ある入力文字a対してr=d(p, a)とs=d(q, a)
が区別可能ならば対(p, q)は区別可能
問 上の基礎、再帰について対(p, q)を区別する
記号列は何か？
穴埋めアルゴリズム
状態の対の表について、区別可能な対に×印
をつけるアルゴリズム
1. 片方だけが受理状態の欄に×印をつける。
2. ×印がついた対の状態の各々に同じ記号
で入る矢印を逆にたどってそれぞれp, qに
行けば(p, q)に×印をつける。
穴埋めアルゴリズムの実行
×: 第0ステップ
×: 第1ステップ
×: 第2ステップ
B
C
D
E
F
G
H
×
× ×
× × ×
× × ×
× × ×
×
× × × × × ×
×
× × × × ×
A B C D E F G
穴埋めアルゴリズムの正当性
定理： 穴埋めアルゴリズムで×印がつかない状態の対
は同値。（区別可能なものはすべて×印がつく。）
[証明]区別可能であるにもかかわらず×印がつかない対
が存在すると仮定する。列w=a1a2…anをそのような対の
どれかを区別する列で長さ最小のものとし、wが区別す
る対を(p, q)とする。
wはeではあり得ない。dˆ(p, e)=p, dˆ(q, e)=qのどちらかだ
けが受理状態なら基礎で×印がつけられたはず。）ゆえ
n≧1
a2…anは(r, s)=(dˆ(p, a1), dˆ(q, a1))を区別する。（示せ。）
a2…anはwよりも短いので(r, s)は×印されている。
(r, s)が×印されていればアルゴリズムの次の再帰ステッ
プで(p, q)が×印されていなければならない。これは矛
盾。
穴埋めアルゴリズムの改良
d(p,a)=r, d(q,a)=s,r≠sのとき
(r,s)
(p,q)
のように矢印を書いておく。
×
×
×
O(n2)で穴埋めできる。
B
C
D
E
F
G
H
A B C D E F G
DFAの等価性
二つのDFA A,Bの状態遷移図を合成したものにつ
いて、A,Bそれぞれの開始状態p,qの区別可能性
を調べる。
区別可能でない（同値）ならばA,Bは等価。すなわち、
L(A)=L(B)
開始
開始
p
A
q
B
等価性決定手順の実行例
0
開始
開始
0
A
1
1
B
0
C
0
1
1
0
B
C
D
E
E
1
A B C D
D
DFAの最小化
DFA A=<Q, S, d, q0, F> の最小化は
B=<Q/≡, S, g, [q0], {[s]| s∈F}>
で与えられる。ここで
g :Q/≡×S → Q/≡
g ([q], a)=[d(q, a)]
gが定義可能であること：
p≡qであるとき[d(p, a)]=[d(q, a)]を背理法で示す。
wがd(p, a),d(q, a)を区別すると仮定すると、
awはp,qを区別するのでp≡qに反する。（矛盾）
最小化の例
開始
1
A,E
1
0
0
B,H
0
0
1
G
1
0
C
1
D,F
最小化の正当性
Mを最小化で得られたDFAとする。
Nを, Mと等価で状態数がMより少ないDFAとする。
開始
開始
a1a2…ak
a1a2…ak
p
M
q
N
MとNの合成で状態の区別可能性を調べると、
Mの任意の状態pはNのある状態qと区別不能。
Mの状態のほうが多いから、Nの状態のうち少なくとも１つ
q1はMの2状態p1,p2と区別不能。最小化ではすべての
状態は互いに区別可能のはずであり、矛盾。
語の同値関係と右不変性
言語Lに対してS*上の同値関係RLを次で定義する。
xRLy ⇔ どんなz∈S*に対してもxzとyzはどちらもLに
属すかどちらも属さない。
また、DFA M=<Q, S, d, q0, F> に対してS*上の同値関係
RMを次で定義する。（「同じ状態に導く」という関係。）
xRMy ⇔ dˆ(q0, x) = dˆ(q0, y)
S*上の同値関係Rは
xRy ⇒ xzRyz
を満たすとき、（連接に関して）右不変であるという。
RM, RLは右不変(示せ)。
同値類と細分
集合A上の同値関係R,Qについて
Rのどの同値類も、Qの同値類のいずれかに含
まれるとき、RはQの細分であるという。
主張： 集合A上の同値関係R,Qについて
RがQの細分すなわち、∀a∃b. [a]R ⊆ [b]Q ⇔ R⊆Q
証明：
（⇒）左 ⇒∀a∃b.（ [a]R ⊆ [b]Q ∧ a∈[b]Q ）
⇒∀a∃b. （ [a]R ⊆ [b]Q ∧ aQb ）
⇒∀a∃b. （ [a]R ⊆ [b]Q ∧ [a] Q= [b] Q ） (同値類の性質)
⇒∀a .
[a]R ⊆ [a]Q
このとき、
xRy ⇒y ∈[x]R ⇒y ∈ [x]Q⇒ xQy
（⇐）任意のaに対して
x∈[a]R ⇒xRa⇒(x,a) ∈R ⇒ (x,a) ∈ Q ⇒ xQa ⇒x ∈[a]Q ゆ
え、[a]R ⊆ [a]Q
したがって、bとしてa自体を選べばよい。
Myhill-Nerodeの定理
[定理]（Myhill-Nerode）つぎの１～３は同値。
1. L∈S*は有限オートマトンの受理集合である。
2. Lは右不変で有限の指数を持つ同値関係の
いくつかの同値類の和に等しい。
3. RLの指数は有限。
Myhill-Nerodeの定理の証明（1⇒2）
DFA M=<Q, S, d, q0, F>がLを受理するとする。
２つの語について「同じ状態に導く」という関係
RM は右不変な同値関係である。
LはF属する状態fに導く同値類の和である。
Myhill-Nerodeの定理の証明（2⇒3）
Eを右不変で指数有限の同値関係とし、LがEの
同値類の和であるとする。EがRLの細分であ
ることを示す。すなわち、xEy⇒xRLyをいう。
（細分の指数の方が大きいからこれがいえれ
ばRLの指数有限がいえたことになる。）
xEyと仮定する。Eは右不変であるから任意の
z∈S*についてxzEyzとなる。
ところでLがEの同値類の和であるからxzEyzな
らばxz,yzはいずれもLに属す（[w]∈Lのとき）
かいずれも属さない（それ以外）。
以上により、xRLy
Myhill-Nerodeの定理の証明（3⇒1）
M=<Q’, S, d’, q0’, F’>を次のように定める。
Q’はLのRLによる同値類集合L/RLとする。すなわち、
Q’=L/RL
d’: Q’×S* → Q’は次で定義する。（定義が矛盾な
いことはRLの右不変性から。）
d’([x], a)=[xa]
q0’=[e],F’={[x]|x∈L}とする。このとき
d’([e], w)∈F’ ⇔ w∈L
（確かめよ）
すなわちL=L(M)
Myhill-Nerodeの定理の応用：
正則でないこと
L={w∈{0,1}*|wは同数の0,1からなる}
[証明]
zを固定したとき、wzがLに属すか否かはw中の
0,1の個数の差だけで決まる。したがってRLによ
る同値類は0,1の個数の差が同じものである。
RLによる同値類集合はつぎのものからなる。
…,[1i],…,[11],[1],[e],[0],[00],[000],…,[0i],…
これらは互いに異なる類であってRLの指数は有
限ではない。よってMyhill-Nerodeの定理によ
りLは正則でない。
文脈自由文法
文脈自由文法(context free grammar, CFG)Gは 4つ組
< V,T,P,S>で規定されるここで、
1. Vは変数（あるいは非終端記号）の集合：
変数は記号列の集合に対応する。（後述）
2. Tは終端記号の集合
定義される言語に現れる記号の集合
3. S∈Vは開始記号
4. Pは生成規則の集合
生成規則は変数A∈Vと記号（∈V∪T）の列X1X1…Xnの組で
A→X1X1…Xn
のように書く。
通例文法といえば文脈自由文法を指す。
文法の例
G=<{P}, {0,1}, A, P>
Aの要素は次の5つ
P → e
P
P
P
P
→
→
→
→
0
1
0P0
1P1
文法が生成する言語
文法G=< V,T,P,S>において
記号列aに現れる非終端記号A（∈V）１つをある規則
A→X1X2…Xnを用いてX1X2…Xnに置き換えてbを得る操
作を導出とよびa ⇒bと書く。
aから始めて、導出を繰り返してbが得られるとき
a ⇒*bと書く。（０回含む）
Sから始めて導出を繰り返して得られる終端記号の列w全
体の集合を文法Gが生成する言語といい、L(G)で表す。
すなわち
L(G)={w∈T*|S ⇒*w}
文脈自由文法が生成する言語は文脈自由言語とよばれる。
必ずしも終端記号だけではない記号の列aについてS⇒*a
のとき、aを文形式という。
文法が生成する言語の例
前述の文法G=<{P}, {0,1}, A, P>で
P⇒0P0⇒01P10⇒010P010⇒0100010
により
0100010∈L(G)
L(G)は{0,1}上の回文全体
文法の略記法
規則の左辺（→記号の左側）が同じ規則が複数
ある場合、たとえば、giを記号列として
A → g1
A → g2
…
A → gn
がある場合これらをまとめて
A → g1 | g 2 | … | gn
のように書く。
問 回文の文法を上の略記法で書け。
最左(右)導出
• 導出の各書き換えステップで一番左（右）
の非終端記号の書き換えのみをおこなう
導出を最左（右）導出という。
• 最左導出でa1からのa2の導出ができると
き
a1 ⇒*lm a2
などとかく。
• S ⇒* lm aなるaを左文形式という。aは非終
端記号を含んでもよい。
最左導出の例
１桁の数 0, 1と２種類の変数x, yのみの和および
積でつくる式全体は次の文法で生成される。
E → I | E+E| E*E | (E)
I→x|y|0|1
E ⇒lm E+E⇒lm E*E+E ⇒lm I*E+E ⇒lm x*E+E ⇒lm x*I+E
⇒lm x*y+E ⇒lm x*y+I ⇒lm x*y+1
構文木
• 導出を、どの非終端記号を書き換えるかの順序
を捨象して木であらわしたものを構文木という。
• 構文木の各節点は非終端記号、葉は終端記号、
根は開始記号。
• 各節点の子の並びはその節の非終端記号の書
き換えにもちいた生成規則の右辺。
構文木の例
E
E
E
E
E
*
I
I
x
y
I
+
1
曖昧さ
2つ以上の構文木をもつ文を生成する文法は
曖昧であるという。
注 文が構文木を２つ持つことは最左（右）導
出が2つあることと同じ。
問 前述の式の文法でx*y+1の構文木をもう１
つ作れ。
応用１：括弧のバランス
開いた括弧が必ず閉じるとき、また閉じる括弧
には必ず開く括弧が対応するとき、括弧のバ
ランスが取れているという。
括弧だけからなる文で括弧のバランスが取れ
たものは次の文法Gbalで表される。
Gbal : B→BB | (B) | e
問い
()((())()) の導出を求めよ。
応用２：パーサー生成器
プログラム言語などの言語の構文を解析して構文木
に翻訳することを構文解析という。
構文解析器（parser）を１から作成することは労力を要
するが文法から自動的にparserを生成する技術が
ある。
YACCプログラムは文法を入力としコンパイラの一部
であるparserのCコードを出力する。
YACCのように言語仕様（文法など）を入力としコンパ
イラ（の一部）を得るプログラムはコンパイラ・コンパ
イラと呼ばれる。
主要なプログラミング言語で使えるコンパイラ・コンパ
イラが開発されている。（ml-yacc, javaccなど）
YACC
yaccの構文
• →のかわりに : を使う。
• 左辺は必ずまとめて右辺を | でつなぐ。
• 各変数ごとの規則は ; で区切る。
• 終端記号は ’ で囲む。
• そのほか詳細は例を参考にせよ。
yacc＆lex(flex)の使い方
lex、yaccのソースを格納したファイルをそれぞれcalc.l, calc.yとする。
シェルから
C:\> flex calc.l
C:\> yacc calc.l
C:\> cc y.tab.c –lfl
宿題 http://thales.philos.k.hosei.ac.jp/automaton/calcから上
のファイルをダウンロードして上の作業を行い、生成されたプ
ログラムの動作を確かめよ。
応用３：XML/DTD
XML（Extensible Markup Language）は意味
内容を記述する。
XMLの一部であるDTD（Document-Type
Definition,文書型定義）は意味が了解された
語をもとに表現形式（CFL）を定義する。
DTDの形式
• DTDは次の形式である。
<!DOCTYPE DTDの名前 [
要素の定義のリスト（並び）
]>
• 要素の定義は次の形式である。
<!ELEMENT 要素の名前 (要素の記述)>
• 要素の記述は要素の名前と特別の項
\#PCDATAを記号とする正則表現で和（|）、
連接(,)、および繰り返し（*,+,?）が使える。
DTDの例
<!DOCTYPE PcSpec [
<!ELEMENT PCS (PC*)>
<!ELEMENT PC (MODEL,PRICE,CPU,RAM,DISK+)>
<!ELEMENT MODEL (\#PCDATA)>
<!ELEMENT PRICE (\#PCDATA)>
<!ELEMENT CPU (MANF,MODEL,SPEED)>
<!ELEMENT MANF (\#PCDATA)>
<!ELEMENT SPEED (\#PCDATA)>
<!ELEMENT RAM (\#PCDATA)>
<!ELEMENT DISK (HARDDSK | CD | DVD)>
<!ELEMENT HARDDISK ()>
<!ELEMENT SIZE (\#PCDATA)>
<!ELEMENT CD (SPEED)>
<!ELEMENT DVD (SPEED)>
]>
PcSpecに従うXML文書
<PCS>
<PC>
<MODEL>4560</MODEL>
<PRICE>$2295</PRICE>
<CPU>
<MANF>Intel</MANF>
<MODEL>Pentium</MODEL>
<SPEED>800MHz</SPEED>
</CPU>
<RAM>256</RAM>
<DISK><HARDDISK>
<MANF>Maxtor</MANF>
<MODEL>Diamond</MODEL>
<SIZE>30.5Gb</SIZE>
</HARDDISK></DISK>
<DISK><CD>
<SPEED>32x</SPEED>
</CD></DISK>
</PC>
<PC>
…
</PC>
</PCS>
言語と機械
言語
表現
受理機械
正則言語
正則表現
（RegExp）
有限オートマトン
(FA)
文脈自由言語
(CFL)
文脈自由文法
(CFG)
プッシュダウン
オートマトン
（PDA）
プッシュダウンオートマトン
プッシュダウンオートマトン(Pushdown Automaton,
PDA)は次で定義される。
P=<Q,S,G,d,q0,Z0,F>:
Q: 状態の集合
S: 入力記号の集合G: スタック記号の集合
d : Q×(S∪{e})×G→2Q×G* 遷移関数
(p, g)∈d(q, a, X)の意味
状態はpに遷移し、スタックの上端の記号Xをgに置
き換えてよい。g=YZならZがYの下。
q0: 開始状態∈Q
Z0: 開始記号（底記号）
F: 受理状態の集合⊆Q
遷移にともなうスタック操作の図
(p, YZ)∈d(q, a, X)による遷移:
(q, aw, Xb) |- (p, w, YZb)
…
…
a
X
q
Y
Z
Z0
Z0
a
p
PDAの受理言語
P=<Q,S,G,d,q0,Z0,F> をPDAとする。
{w|∃q∈F (q0,w,Z0) |-* (q,e,a) }
をPが最終状態で受理する言語と呼び、L(P)と
書く。
{w| (q0,w,Z0) |-* (q,e,e) }
をPが空スタックで受理する言語と呼び、N(P)と
書く
受理言語の等価性
定理
L=L(P)ならば L=N(P1)となるPDA P1が存在する。
逆に
L=N(P)ならば L=L(P2)となるPDA P2が存在する。
PDAとCFGの等価性
定理
任意のPDA P に対してL(P)=L(G)となるCFG
G が存在する。
定理
任意のCFG Gに対してL(G)を受理するPDAが
存在する。
発展科目
• 計算量の理論（2年後期）
– 一般の計算モデル
• コンパイラ（3年前期）
– 言語の字句を正則表現、構文を文法で記述
• コンパイラ演習（3年前期）
– コンパイラ作成：オートマトン設計、構文解析
• プログラミング言語理論・設計（3年後期）
– 論理と計算の基礎的素養をもっていることが望ま
しい。
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