変数分離法による三次元二群拡散方程式の解法(7): 横断面漏洩法との比較 Solution of Three-dimensional Two-group Diffusion Equation by Separation of Variables (7): Comparison of Transverse Leakage Method with Separation of Variables 株式会社ナイス江連秀夫目的前回までの発表： ① 炉定数が均質な体系内では拡散方程式の解法に変数分離法の適用が可能。三次元→一次元化。 ② 二領域では一次元二群拡散方程式は解析解が求められる。これを適用して三次元の解析解 ③ 解の構成要素は明確に物理的解釈ができる。今回の発表：ノードの境界での漏れを用いる横断面漏洩法と変数分離法との解の類似性について。 2 三次元二群拡散方程式の解法  D      0 2 0 D  D   1  0 D2     1  1 f     12   2 f      (1) (2)  2  ノード側面dydzについて積分 Z軸 d 2 (x) D  (x)  L(x) (3) 2 dx (x, y, z)dydz (x)   4 y  z L(x)z L(x)ｙ  L1 (x)   L(x)   L ( x )  2  (4) X軸  (x) Y軸一次元斉次方程式(3)の解：基本解+特解 1 (x)  a sin x  b cosx  c sinh x  d coshx  1p (x) (5) 2 (x)  ap sin x  bp cosx  cq sinh x  dq coshx  p2 (x) (6) 1 s 1 s 1 sh 1 sh qD L ( x )  D L ( x )  pD L ( x )  D p 1 1 2 2 1 1 2 L 2 ( x) 1 (x)  (7) qp  qD  ( x)  p 2 1 s 1 1 1 s 2 2   1 sh 1 1 1 sh 2 2  L (x)  D L (x) p  pD L (x)  D L (x) q (8) qp a,b,c,d:任意定数 p,q：結合係数 λ,μ：特性方程式(3)の解 Ls (x), Lsh (x) : 基本解(sin, cos),(sinh,cosh)に対する漏洩の特解 4 ノード境界の中性子流境界での連続則,平均中性子束が既知の条件から  j1 J       j 1 j1  ( 2  H 2 )   j (1  H1 ) (9)  j  PjTj j1  j  PjCj 1 G j  S j j1Fj  C j Pj1E j  H j (10 ) P,T,Δ,C,S:ノード境界での連続則から求められるマトリックス例: 1  cos 2 cosh 2  1 1 1  P   p q   D1  D1       D2 p D2q      2   2    S   1  cos 2 cosh 2  1  q p  2 2   G:特解のノード平均中性子束 F,E:特解のノード境界の中性子流、中性子束ノードの中性子バランス J x  J y  J z    0   （11）   (iK  iKm ) 1 Ki i  Hi  (iK  iKm ) 1 Kim iKm  HiKm   2 K Kx , y,z m1, 1  i m d i m   i g i    i i  0 （12） 1   1  i g i  2   2  K   H i 1 i Hi  i i  1K  1K   i m d i m  2K   2K i   H  i  ' Ki  i  K 1   i    i (13) : Correction value 6 三次元二群拡散方程式の階差式  1i  x, y,z  i2  x,y,z  m1,1 im 1     i i2m 1im  d1im  i di2m i2m  i i    k i 1 1 1 1  i   1  ii  1     m1,1 i im 1    （14）   i2m 1im  i d1im  di2m i2m     i   g i 2 （15） 2 1  i  1  ii 1 2  i i i i i i 1 k 2  g1  g2  2  1 k1  i i i   1  i i 1  i    p 1  i i 1  i     k 22  2   p 1  1   （16）変数分離から導かれる特性方程式  X1 (x)Y1 ( y)Z1 (z)     X(x)Y(y)Z(z)    X2 (x)Y2 (y)Z2 (z)   J y  Jz  Y(y)Z(z)dydz  x   X  X  X  4 y z        D      0 2 d2 X  D 2  x X  0 dx  J D B    i  X1 i 1 2 i 1f i 1  i 12 i 1y,z    i 2f D B   i 2 1f  1      12  2 i 2 J i 2 y,z Xi2 0     2  2f 変数分離係数 Ξ,Γ:隣接ノードの中性子束、中性子流を相互関係づけるマトリックス i m i 1  J1i y,z  (    ) i i m K K    Ji  Ji  i im      .  K K  i  y z K 2 K  y,z m1, 1 J 2 y , z     8 まとめ横断面漏洩法を適用した場合、三次元二群拡散方程式の解は変数分離法の解の構成要素を補正した類似形式で表される。前者は非斉次、後者は斉次拡散方程式、後者は、前者の特性方程式に変数分離係数を加算した方程式である。今後はこれまでの知見を基に、変数分離法の数学的と炉物的との命題を整理し、それらの関連、背景を明らかにしたい。 9 中性子の挙動 Node i+m Node i m 1K d (ｇ1) Fast neutron αi Fission Fission Thermal neutron d 2i Km (ｇ2) Thermal neutron Fast neutron Fast neutron d1iK m Fission (ｇ1) d 2i Km Thermal neutron ：ノード法，近代ノード法では考慮されていない。 Node i+m Fast neutron flux ：反射体中で零、無し Fast neutron i (ｇ2) Thermalization βi Thermal neutron  i m 1K (θ1)  2i Km (θ2)  i m 1K (θ1)  2i Km (θ2) Thermal neutron flux Fast neutron Thermalization Thermal neutron Fast neutron Thermalization Thermal neutron ：流入 ( ):流出 10  1 1    22 1  22 1     (a  b )  2   2  4 c2   2 2 2 2 2 4    2  2    3 2  2  3 2  2   G2    p q   22 1   22 1    2 2   2  2 (α2  β2 )  2 2  4 ｐ 2   2  4 ｑ 2 γ2   3 2  2       2  2  3    2 2         2c a 2c  a2  2  42  22  42 2 2 2  2 E2    a2  a2 2c 2  2c 2      2  4 p2    2   4 2  2  2  2    D2 1 1  1 2  22   2  F2     p2 q2  D   22 2 2    2  2   b 2     2         q 2             11 関数展開による特解の解法 5 gp (x)   c gpf p (x) p0 f p (x) : Legendre polynomial cgpは gp (x)を拡散方程式に代入して同類項が零である条件より求められる。同様に拡散方程式の解も求められている。 12 Decoupling Equation d 2 (x) 1 1 1 1   P D  P  ( x )  P D L(x) 2 dx  1 (x)    0 1 1    (x)  P(x) (x)   P D P     0   1 (x)  1 1  12 12  P   p , q   2  D 2 2  2  D2 2 p q 1f  2f D1 B  1    0.  ω  12 D 2 B2   2 2