電気回路第1スライド3-1
電気回路第1 第3回
ーホィートストンブリッジー
目次
２前回の復習
３枝路電流法と網目電流法
４網目電流法が便利
５ホィートストンブリッジ
６枝路電流法で解析
７網目電流法で解析
８方程式を解いて
９ブリッジの平衡条件
10直流電力
11今日のまとめ
付録 シラバス（再掲）
1つ前のスライド
枝路電流法と網目電流法
i2
電気回路第1 第3回
i1
枝路電流法
次のスライド
接点から接点までの電流を
考える方法
i3
網目電流法
接点を通過する電流を考え、
電流連続の法則を満たし、
電流の数が少なく有利
ーホィートストンブリッジー
前回の復習
電気回路第1スライド3-2-1
電流の法則 は
I1
前回はキルヒホッフの法則２つを学習しました。
I5
I2
I4 I ＋ I
I1 ＋I2 ＋I3 I3
4
5
流入電流の和＝流出電流の和
①キルヒホッフ電流の法則、流入電流の和が流出の和。
②ループでこの起電力や抵抗の電圧変化はゼロ。
？ ！
？マークをクリックすると、
より詳細な説明をします。
ここでは、再構成した前
回のまとめを示します。
！マークはわかっていて
暇なときなど、もっと発展
的な内容を説明します。
ここでは、前回の演習問
題の解答を示します。
1つ前のスライド
枝路電流法と網目電流法
i2
電気回路第1 第3回
i3
i1
網目電流法
接点を通過する電流を考え、
電流連続の法則を満たし、
電流の数が少なく有利
ーホィートストンブリッジー
前回の復習
電流の法則
枝路電流法
次のスライド
接点から接点までの電流を
考える方法
電気回路第1スライド3-2-2
電圧の法則 は
I1
I5
I2
I4 I ＋ I
I1 ＋I2 ＋I3 I3
4
5
流入電流の和＝流出電流の和
①キルヒホッフ電流の法則、流入電流の和が流出の和。
②ループでこの起電力や抵抗の電圧変化はゼロ。
－E3－I3R3 …
ループを
回って ＝０
電圧の変化はゼロ
？ ！
？マークをクリックすると、
より詳細な説明をします。
ここでは、再構成した前
回のまとめを示します。
！マークはわかっていて
暇なときなど、もっと発展
的な内容を説明します。
ここでは、前回の演習問
題の解答を示します。
前回の復習
電流の法則
網目電流法が便利
岐路電流法
電圧の法則
網目電流法
各網目に
電流を
設定します。
I1
I5
I2
I4
I4 ＋ I5
I1 ＋ I2 ＋ I3 I3
流入電流の和＝流出電流の和
８本の電流
と方程式
－E3－I3R3 …
ループを
回って ＝０
４本の電流
でよく、連続
の方程式も
満たします。
電圧の変化はゼロ
枝路電流法と網目電流法
電気回路第1スライド3-3-1
この道を通過する車の進路を
今度は実際の回路を解析するため、 このように考えると 入った車
どのように電流を設定するか考えます。 の合計と 出た車 の合計が
等しくなります。
とりあえず、イントロは前回の
道路の絵を用います。
①電流の設定方法。交差点に向かうルートを考える。
②左右に曲がる黄色い道と上向きの道も考えられる。
③左から右に行く車も表現でき、電流連続も満たす。
④各接点から接点までの道より便利。
？
なぜこの3つの電流で
よいのか？
前回の復習
電流の法則
網目電流法が便利
岐路電流法
電圧の法則
各網目に
電流を
設定します。
I1
I5
I2
I4
網目電流法
I4 ＋ I5
I1 ＋ I2 ＋ I3 I3
流入電流の和＝流出電流の和
－E3－I3R3 …
ループを
回って ＝０
８本の電流
と方程式
電圧の変化はゼロ
４本の電流
でよく、連続
の方程式も
満たします。
枝路電流法と網目電流法
この道を通過する車の進路を
i2
このように考えると 入った車
電気回路第1スライド3-3-2
i1
i3
①電流の設定方法。交差点に向かうルートを考える。
②左右に曲がる黄色い道と上向きの道も考えられる。
③左から右に行く車も表現でき、電流連続も満たす。
④各接点から接点までの道より便利。
の合計と 出た車 の合計が
等しくなります。
一方、 真っ直ぐな道の他に
曲がっていく道もありますが、
それらを含めて、 交差点を
通過する3本の道を考えよう。
？
なぜこの3つの電流で
よいのか？
前回の復習
電流の法則
網目電流法が便利
岐路電流法
電圧の法則
各網目に
電流を
設定します。
I1
I5
I2
I4
網目電流法
I4 ＋ I5
I1 ＋ I2 ＋ I3 I3
流入電流の和＝流出電流の和
－E3－I3R3 …
ループを
回って ＝０
８本の電流
と方程式
電圧の変化はゼロ
４本の電流
でよく、連続
の方程式も
満たします。
枝路電流法と網目電流法
この道を通過する車の進路を
i2
このように考えると 入った車
電気回路第1スライド3-3-3
i1
i3
①電流の設定方法。交差点に向かうルートを考える。
②左右に曲がる黄色い道と上向きの道も考えられる。
③左から右に行く車も表現でき、電流連続も満たす。
④各接点から接点までの道より便利。
の合計と 出た車 の合計が
等しくなります。
一方、 そうすると
真っ直ぐな道の他に
黄色のルートの組み合わせで
曲がっていく道もありますが、
車の動きが記述できる。
それらを含めて、
交差点を
左から右へ1台通過した場合
自動的に交差点（接点）を通過
i1＝－1、i3＝＋1と表せる。
通過する3本の道を考えよう。
するので電流連続を満たす。
？
なぜこの3つの電流で
よいのか？
前回の復習
電流の法則
網目電流法が便利
岐路電流法
電圧の法則
網目電流法
各網目に
電流を
設定します。
I1
I5
I2
I4
I4 ＋ I5
I1 ＋ I2 ＋ I3 I3
流入電流の和＝流出電流の和
－E3－I3R3 …
ループを
回って ＝０
８本の電流
と方程式
電圧の変化はゼロ
４本の電流
でよく、連続
の方程式も
満たします。
枝路電流法と網目電流法
こちらが、 枝路電流法 と言って、
i2
接点から接点までの電流を
電気回路第1スライド3-3-4
考える方法 です。
i1
i3
①電流の設定方法。交差点に向かうルートを考える。
②左右に曲がる黄色い道と上向きの道も考えられる。
③左から右に行く車も表現でき、電流連続も満たす。
④各接点から接点までの道より便利。
一方、 網目電流法 では、
接点を通過する電流を考え、
電流連続の法則を満たし、
電流の数が少なく有利 です。
？
なぜこの3つの電流で
よいのか？
枝路電流法と網目電流法
i2
i1
枝路電流法
接点から接点までの電流を
考える方法
i3
ホィートストンブリッジ
R1
R5
網目電流法
接点を通過する電流を考え、
電流連続の法則を満たし、
電流の数が少なく有利
R3
R2
R4
E
つぎに、例として、ホィートストンブリッジ
と呼ばれる回路を解析します。
このように抵抗を５つ接続した回路です。
一見すると簡単な抵抗の接続のようにみえますが、
抵抗の直列接続 でも 並列接続 でもありません。
そこで、枝路電流と網目電流を設定してみましょう。
網目電流法が便利
電気回路第1スライド3-4-1
枝路電流法
では、ちょっとした回路を考えて、網目電流を
設定するメリットを述べます。次の回路を考えます。
この回路の各枝（接点から接点まで）に電流を
設定しましょう。
８本の電流
枝路電流法では８本の電流が必要になります。
のように、 と方程式
ここでは、計算しませんが、 各接点で
電流連続の方程式を立てる必要があります。
①網目電流法のメリット。枝路電流は８個。
②網目電流法は、網目ごとに１個４本の電流だけ。
？
網目電流を設定すると
どうして式が減少する
のか？
枝路電流法と網目電流法
i2
i1
枝路電流法
接点から接点までの電流を
考える方法
i3
ホィートストンブリッジ
R1
R3
R5
網目電流法
接点を通過する電流を考え、
電流連続の法則を満たし、
電流の数が少なく有利
R2
R4
E
つぎに、例として、ホィートストンブリッジ
と呼ばれる回路を解析します。
このように抵抗を５つ接続した回路です。
一見すると簡単な抵抗の接続のようにみえますが、
抵抗の直列接続 でも 並列接続 でもありません。
そこで、枝路電流と網目電流を設定してみましょう。
網目電流法が便利
枝路電流法
電気回路第1スライド3-4-2
一方、
網目電流法 では
この回路で、
８本の電流
と方程式
①網目電流法のメリット。枝路電流は８個。
②網目電流法は、網目ごとに１個４本の電流だけ。
？
網目電流を設定すると
どうして式が減少する
のか？
各網目に
電流を
設定します。
４本の電流
でよく、連続
の方程式も
満たします。
網目電流法が便利
岐路電流法
枝路電流法で解析
網目電流法
各網目に
電流を
設定します。
８本の電流
と方程式
４本の電流
でよく、連続
の方程式も
満たします。
R1
R3
I1
I3
R5
I2
I4
I5
R2
R4
I0
E
電圧源のところの I0
６つの岐路電流
各抵抗 に流れる、I1、I2、I3、I4、I5
に対して
電流連続の法則
電圧平衡の法則
I0 ＝ I1＋ I2
－I R －I R ＋ I2R2＝0
６つの 1 1 5 5
I1 ＝ I3＋ I5 方程式
－I1R1－I3R3＋I4R4＋I2R2＝0
E－I2R2－I4R4＝0
I2 ＋ I5 ＝ I4
ホィートストンブリッジ
R1
R3
R5
電気回路第1スライド3-5-1
つぎに、例として、ホィートストンブリッジ
と呼ばれる回路を解析します。
このように抵抗を５つ接続した回路です。
一見すると簡単な抵抗の接続のようにみえますが、
R2
R4
抵抗の直列接続 でも 並列接続 でもありません。
E
①ホィートストンブリッジを。直列でも、並列でもない。
②枝路電流法や網目電流法で解析を試みましょう。
？ ！
R5 がなければ当たり前
の並列接続です。
全く余談ですが、最も簡単
な例として抵抗5個のこの
回路を選んだ理由です。
網目電流法が便利
岐路電流法
枝路電流法で解析
網目電流法
各網目に
電流を
設定します。
８本の電流
と方程式
４本の電流
でよく、連続
の方程式も
満たします。
R1
R3
I1
I3
R5
I2
I4
I5
R2
R4
I0
E
電圧源のところの I0
６つの岐路電流
各抵抗 に流れる、I1、I2、I3、I4、I5
に対して
電流連続の法則
電圧平衡の法則
I0 ＝ I1＋ I2
－I R －I R ＋ I2R2＝0
６つの 1 1 5 5
I1 ＝ I3＋ I5 方程式
－I1R1－I3R3＋I4R4＋I2R2＝0
E－I2R2－I4R4＝0
I2 ＋ I5 ＝ I4
ホィートストンブリッジ
R1
R3
R5
電気回路第1スライド3-5-2
つぎに、例として、ホィートストンブリッジ
と呼ばれる回路を解析します。
このように抵抗を５つ接続した回路です。
一見すると簡単な抵抗の接続のようにみえますが、
R2
R4
E
抵抗の直列接続 でも 並列接続 でもありません。
そこで、枝路電流と網目電流を設定してみましょう。
①ホィートストンブリッジを。直列でも、並列でもない。
②枝路電流法や網目電流法で解析を試みましょう。
？ ！
R5 がなければ当たり前
の並列接続です。
全く余談ですが、最も簡単
な例として抵抗5個のこの
回路を選んだ理由です。
ホィートストンブリッジ
R1
R3
R5
R2
R4
E
網目電流法で解析
つぎに、例として、ホィートストンブリッジ
と呼ばれる回路を解析します。
このように抵抗を５つ接続した回路です。
一見すると簡単な抵抗の接続のようにみえますが、
抵抗の直列接続 でも 並列接続 でもありません。
そこで、枝路電流と網目電流を設定してみましょう。
R1
R3
R5
i1のループ:
（R1＋R5＋R2）i1＋（R1＋R2）i2－R2i3＝0
i2のループ:
（R1＋R2）i1＋（R1＋R2＋R4＋R3）i2－（R4＋R2）i3＝0
R2
R4
E
i3のループ:
－R2i1－（R2＋R4）i2＋（R2＋R4）i3＝E
枝路電流法で解析
R1
I1
R5
I2
枝路電流法では、
R3
電圧源のところの I0 のほかに
６つの枝路電流
I3
各抵抗に流れる、 I1、I2、I3、I4、I5 があります。
}
I4
I5
R2
電気回路第1スライド3-6-1
R4
I0
E
①枝路電流法で、電圧源にI0からR5まで６本の電流
②電流連続の法則から、左隅の点でI0＝I1＋I2。
③上の点、下の点でも同様の式。
④電圧平衡の式を加えます。
⑤合計６本の式で解けるはず。
？
一応まとめておきます。
ホィートストンブリッジ
R1
R3
R5
R2
R4
E
網目電流法で解析
つぎに、例として、ホィートストンブリッジ
と呼ばれる回路を解析します。
このように抵抗を５つ接続した回路です。
一見すると簡単な抵抗の接続のようにみえますが、
抵抗の直列接続 でも 並列接続 でもありません。
そこで、枝路電流と網目電流を設定してみましょう。
R1
R3
R5
i1のループ:
（R1＋R5＋R2）i1＋（R1＋R2）i2－R2i3＝0
i2のループ:
（R1＋R2）i1＋（R1＋R2＋R4＋R3）i2－（R4＋R2）i3＝0
R2
R4
E
i3のループ:
－R2i1－（R2＋R4）i2＋（R2＋R4）i3＝E
枝路電流法で解析
R1
R3
I1
I3
R5
I2
I4
I5
R2
電気回路第1スライド3-6-2
電圧源のところの I0 のほかに
６つの枝路電流
各抵抗に流れる、 I1、I2、I3、I4、I5 があります。
これらの関係式ですが、
この点に 入る電流 が
電流連続の法則から
出る電流 の合計と等しい。
I0 ＝ I1＋ I2
}
R4
I0
E
①枝路電流法で、電圧源にI0からR5まで６本の電流
②電流連続の法則から、左隅の点でI0＝I1＋I2。
③上の点、下の点でも同様の式。
④電圧平衡の式を加えます。
⑤合計６本の式で解けるはず。
？
一応まとめておきます。
ホィートストンブリッジ
R1
R3
R5
R2
R4
E
網目電流法で解析
R1
つぎに、例として、ホィートストンブリッジ
と呼ばれる回路を解析します。
このように抵抗を５つ接続した回路です。
R3
R5
i1のループ:
（R1＋R5＋R2）i1＋（R1＋R2）i2－R2i3＝0
i2のループ:
（R1＋R2）i1＋（R1＋R2＋R4＋R3）i2－（R4＋R2）i3＝0
一見すると簡単な抵抗の接続のようにみえますが、
抵抗の直列接続 でも 並列接続 でもありません。
そこで、枝路電流と網目電流を設定してみましょう。
R2
R4
E
i3のループ:
－R2i1－（R2＋R4）i2＋（R2＋R4）i3＝E
枝路電流法で解析
R1
R3
I1
I3
R5
I2
I4
I5
R2
R4
I0
E
電気回路第1スライド3-6-3
電圧源のところの I0 のほかに
６つの枝路電流
各抵抗に流れる、 I1、I2、I3、I4、I5 があります。
これらの関係式ですが、
この点に 入る電流 が
電流連続の法則から
出る電流
の合計と等しい。
I0 ＝ I1＋ I2
同様に、 この接点について
となりますし、この接点 でも、
I1 ＝ I3＋ I5
となります。
I ＋ I ＝I
}
2
①枝路電流法で、電圧源にI0からR5まで６本の電流
②電流連続の法則から、左隅の点でI0＝I1＋I2。
③上の点、下の点でも同様の式。
④電圧平衡の式を加えます。
⑤合計６本の式で解けるはず。
5
4
？
一応まとめておきます。
ホィートストンブリッジ
R1
R3
R5
R2
R4
E
網目電流法で解析
R1
つぎに、例として、ホィートストンブリッジ
と呼ばれる回路を解析します。
このように抵抗を５つ接続した回路です。
R3
R5
i1のループ:
（R1＋R5＋R2）i1＋（R1＋R2）i2－R2i3＝0
i2のループ:
（R1＋R2）i1＋（R1＋R2＋R4＋R3）i2－（R4＋R2）i3＝0
一見すると簡単な抵抗の接続のようにみえますが、
抵抗の直列接続 でも 並列接続 でもありません。
そこで、枝路電流と網目電流を設定してみましょう。
R2
R4
E
i3のループ:
－R2i1－（R2＋R4）i2＋（R2＋R4）i3＝E
枝路電流法で解析
R1
R3
I1
I3
R5
I2
I4
I5
R2
R4
I0
E
電気回路第1スライド3-6-4
電圧源のところの I0 のほかに
６つの枝路電流
各抵抗に流れる、 I1、I2、I3、I4、I5 があります。
電流連続の法則 一方、
電圧平衡の法則
これらの関係式ですが、
この点に
電流連続の法則から
入る電流 がから、
出る電流
の合計
I0 ＝ I1＋ I2
同様に、
この接点について
＋
＋と等しい。
－
R左上のループで
（符号に注意）
I5R
I2 R2 ＝0
R55の電圧降下
1Iでの電圧降下
1R1 －
となりますし、この接点
I1 ＝ I3＋ I5
次に少し大きめのループ
（電流は－
）の電圧降下
I4R4＋Iでも、
－
I1R－
2R2＝0
1 I3RI32＋
となります。
－I R －I R ＝0
I ＋ I ＝I
Eさらに下のループでは、
}
2
①枝路電流法で、電圧源にI0からR5まで６本の電流
②電流連続の法則から、左隅の点でI0＝I1＋I2。
③上の点、下の点でも同様の式。
④電圧平衡の式を加えます。
⑤合計６本の式で解けるはず。
5
4
？
一応まとめておきます。
2 2
4 4
ホィートストンブリッジ
R1
R3
R5
R2
R4
E
網目電流法で解析
つぎに、例として、ホィートストンブリッジ
と呼ばれる回路を解析します。
このように抵抗を５つ接続した回路です。
一見すると簡単な抵抗の接続のようにみえますが、
抵抗の直列接続 でも 並列接続 でもありません。
そこで、枝路電流と網目電流を設定してみましょう。
R1
R3
R5
i1のループ:
（R1＋R5＋R2）i1＋（R1＋R2）i2－R2i3＝0
i2のループ:
（R1＋R2）i1＋（R1＋R2＋R4＋R3）i2－（R4＋R2）i3＝0
R2
R4
E
i3のループ:
－R2i1－（R2＋R4）i2＋（R2＋R4）i3＝E
枝路電流法で解析
R1
R3
I1
I3
R5
I2
I4
I5
R2
R4
I0
E
電気回路第1スライド3-6-5
電圧源のところの I0 のほかに
６つの枝路電流
各抵抗に流れる、 I1、I2、I3、I4、I5 があります。
に対して
電流連続の法則
電圧平衡の法則
これらの関係式ですが、
この点に
電流連続の法則から
入る電流 が
I0 ＝ I1＋ I2
－I1R1－I5R5 ＋ I2R2 ＝0
６つの
I1 ＝ I3＋ I5 方程式－I1R－
＝0
1 I3R3 ＋I4R4＋I2R2
I2 ＋ I5 ＝ I4
E －I2R2 －I4R4 ＝0
①枝路電流法で、電圧源にI0からR5まで６本の電流
②電流連続の法則から、左隅の点でI0＝I1＋I2。
③上の点、下の点でも同様の式。
④電圧平衡の式を加えます。
⑤合計６本の式で解けるはず。
}
？
一応まとめておきます。
枝路電流法で解析
R1
R3
I1
I3
R5
I2
I4
I5
R2
R4
I0
E
電圧源のところの I0
６つの岐路電流
各抵抗 に流れる、I1、I2、I3、I4、I5
に対して
電流連続の法則
電圧平衡の法則
I0 ＝ I1＋ I2
－I R －I R ＋ I2R2＝0
６つの 1 1 5 5
I1 ＝ I3＋ I5 方程式
－I1R1－I3R3＋I4R4＋I2R2＝0
E－I2R2－I4R4＝0
I2 ＋ I5 ＝ I4
方程式を解いて
R1
R3
E
R5i1＝
ただし
R4
Δ＝
R2
Δ
（R2R3－R1R4）
R1＋R2＋R5
R1＋R2
－R2
R1＋R2
R1＋R2＋R3＋R4 －R2－R4
－R2
－R2－R4
R2＋R4
E
網目電流法で解析
R1
R3
i1
R5 i2
R2
i3
電気回路第1スライド3-7-1
網目電流を、 先ほど電圧平衡の式を立てる際に
使ったループに設定しましょう。
すなわち、
左上の小さいループ を i1
少し大きめのループ を i2
下のループ を i3
とします。
R4
E
①網目電流を先ほどの電圧平衡のループi1,i2,i3。
②電流連続の法則を満たし、左接点で入っただけ出る。
③他の点でも同様。
④i1～i3のループで、電圧平衡の式を解けば良い。
⑤R1を流れる電流、⑥R5を流れる電流、
⑦R2を流れる電流を考え、⑧i1のループの電圧平衡。
⑨i2,i3も考え、3本の連立方程式がえられる。
！ ！
網目電流の設定方法に
ついて。
テブナンの定理を用いた
別解について
枝路電流法で解析
R1
R3
I1
I3
R5
I2
I4
I5
R2
R4
I0
E
電圧源のところの I0
６つの岐路電流
各抵抗 に流れる、I1、I2、I3、I4、I5
に対して
電流連続の法則
電圧平衡の法則
I0 ＝ I1＋ I2
－I R －I R ＋ I2R2＝0
６つの 1 1 5 5
I1 ＝ I3＋ I5 方程式
－I1R1－I3R3＋I4R4＋I2R2＝0
E－I2R2－I4R4＝0
I2 ＋ I5 ＝ I4
方程式を解いて
R1
R3
E
R5i1＝
ただし
R4
Δ＝
R2
Δ
（R2R3－R1R4）
R1＋R2＋R5
R1＋R2
－R2
R1＋R2
R1＋R2＋R3＋R4 －R2－R4
－R2
－R2－R4
R2＋R4
E
網目電流法で解析
R1
R3
i1
R5 i2
R2
i3
R4
E
電気回路第1スライド3-7-2
網目電流を、 先ほど電圧平衡の式を立てる際に
使ったループに設定しましょう。
左上の小さいループ を i1
少し大きめのループ を i2
下のループ を i3
とします。
i1～i3は電流連続の法則を満たします。
左の接点
例えば、 では、 i1は 流入し、そのまま流出します。
流入しただけ 流出します。
i2も
i3も 同様で、
や 流入し、流出します。
①網目電流を先ほどの電圧平衡のループi1,i2,i3。
②電流連続の法則を満たし、左接点で入っただけ出る。
③他の点でも同様。
④i1～i3のループで、電圧平衡の式を解けば良い。
⑤R1を流れる電流、⑥R5を流れる電流、
⑦R2を流れる電流を考え、⑧i1のループの電圧平衡。
⑨i2,i3も考え、3本の連立方程式がえられる。
！ ！
網目電流の設定方法に
ついて。
テブナンの定理を用いた
別解について
枝路電流法で解析
R1
R3
I1
I3
R5
I2
I4
I5
R2
R4
I0
E
電圧源のところの I0
６つの岐路電流
各抵抗 に流れる、I1、I2、I3、I4、I5
に対して
電流連続の法則
電圧平衡の法則
I0 ＝ I1＋ I2
－I R －I R ＋ I2R2＝0
６つの 1 1 5 5
I1 ＝ I3＋ I5 方程式
－I1R1－I3R3＋I4R4＋I2R2＝0
E－I2R2－I4R4＝0
I2 ＋ I5 ＝ I4
方程式を解いて
R1
R3
E
R5i1＝
ただし
R4
Δ＝
R2
Δ
（R2R3－R1R4）
R1＋R2＋R5
R1＋R2
－R2
R1＋R2
R1＋R2＋R3＋R4 －R2－R4
－R2
－R2－R4
R2＋R4
E
網目電流法で解析
R1
R3
i1
R5 i2
R2
i3
R4
E
電気回路第1スライド3-7-3
網目電流を、 先ほど電圧平衡の式を立てる際に
使ったループに設定しましょう。
左上の小さいループ を i1
少し大きめのループ を i2
下のループ を i3
とします。
i1～i3は電流連続の法則を満たします。
左の接点 では、 i1は 流入し、そのまま流出します。
i2も i3も あるいは、 他の接点も 同様です。
①網目電流を先ほどの電圧平衡のループi1,i2,i3。
②電流連続の法則を満たし、左接点で入っただけ出る。
③他の点でも同様。
④i1～i3のループで、電圧平衡の式を解けば良い。
⑤R1を流れる電流、⑥R5を流れる電流、
⑦R2を流れる電流を考え、⑧i1のループの電圧平衡。
⑨i2,i3も考え、3本の連立方程式がえられる。
！ ！
網目電流の設定方法に
ついて。
テブナンの定理を用いた
別解について
枝路電流法で解析
R1
R3
I1
I3
R5
I2
I4
I5
R2
R4
I0
E
電圧源のところの I0
６つの岐路電流
各抵抗 に流れる、I1、I2、I3、I4、I5
に対して
電流連続の法則
電圧平衡の法則
I0 ＝ I1＋ I2
－I R －I R ＋ I2R2＝0
６つの 1 1 5 5
I1 ＝ I3＋ I5 方程式
－I1R1－I3R3＋I4R4＋I2R2＝0
E－I2R2－I4R4＝0
I2 ＋ I5 ＝ I4
方程式を解いて
R1
R3
E
R5i1＝
ただし
R4
Δ＝
R2
Δ
（R2R3－R1R4）
R1＋R2＋R5
R1＋R2
－R2
R1＋R2
R1＋R2＋R3＋R4 －R2－R4
－R2
－R2－R4
R2＋R4
E
網目電流法で解析
R1
R3
i1
R5 i2
R2
i3
電気回路第1スライド3-7-4
網目電流を、 先ほど電圧平衡の式を立てる際に
使ったループに設定しましょう。
iしたがって、
1～i3のループで、電圧平衡の式を解けばよい。
まず、i1のループ で考えよう。
R4
E
①網目電流を先ほどの電圧平衡のループi1,i2,i3。
②電流連続の法則を満たし、左接点で入っただけ出る。
③他の点でも同様。
④i1～i3のループで、電圧平衡の式を解けば良い。
⑤R1を流れる電流、⑥R5を流れる電流、
⑦R2を流れる電流を考え、⑧i1のループの電圧平衡。
⑨i2,i3も考え、3本の連立方程式がえられる。
！ ！
網目電流の設定方法に
ついて。
テブナンの定理を用いた
別解について
枝路電流法で解析
R1
R3
I1
I3
R5
I2
I4
I5
R2
R4
I0
E
電圧源のところの I0
６つの岐路電流
各抵抗 に流れる、I1、I2、I3、I4、I5
に対して
電流連続の法則
電圧平衡の法則
I0 ＝ I1＋ I2
－I R －I R ＋ I2R2＝0
６つの 1 1 5 5
I1 ＝ I3＋ I5 方程式
－I1R1－I3R3＋I4R4＋I2R2＝0
E－I2R2－I4R4＝0
I2 ＋ I5 ＝ I4
方程式を解いて
R1
R3
E
R5i1＝
ただし
R4
Δ＝
R2
Δ
（R2R3－R1R4）
R1＋R2＋R5
R1＋R2
－R2
R1＋R2
R1＋R2＋R3＋R4 －R2－R4
－R2
－R2－R4
R2＋R4
E
網目電流法で解析
R1
R3
i1
電気回路第1スライド3-7-5
R1 に流れる電流は、 ii11のループ
と i2のループ
+i2 と表せる。
は関与しますが、
は関与しない。
電圧降下は、 i(i
3のループ
1+i2)R1 となる。
R5 i2
R2
i3
R4
E
①網目電流を先ほどの電圧平衡のループi1,i2,i3。
②電流連続の法則を満たし、左接点で入っただけ出る。
③他の点でも同様。
④i1～i3のループで、電圧平衡の式を解けば良い。
⑤R1を流れる電流、⑥R5を流れる電流、
⑦R2を流れる電流を考え、⑧i1のループの電圧平衡。
⑨i2,i3も考え、3本の連立方程式がえられる。
！ ！
網目電流の設定方法に
ついて。
テブナンの定理を用いた
別解について
枝路電流法で解析
R1
R3
I1
I3
R5
I2
I4
I5
R2
R4
I0
E
電圧源のところの I0
６つの岐路電流
各抵抗 に流れる、I1、I2、I3、I4、I5
に対して
電流連続の法則
電圧平衡の法則
I0 ＝ I1＋ I2
－I R －I R ＋ I2R2＝0
６つの 1 1 5 5
I1 ＝ I3＋ I5 方程式
－I1R1－I3R3＋I4R4＋I2R2＝0
E－I2R2－I4R4＝0
I2 ＋ I5 ＝ I4
方程式を解いて
R1
R3
E
R5i1＝
ただし
R4
Δ＝
R2
Δ
（R2R3－R1R4）
R1＋R2＋R5
R1＋R2
－R2
R1＋R2
R1＋R2＋R3＋R4 －R2－R4
－R2
－R2－R4
R2＋R4
E
網目電流法で解析
R1
R3
i1
R5 i2
電気回路第1スライド3-7-6
R1 に流れる電流は、 i1+i2 と表せる。
電圧降下は、
R次に、
5 に流れる電流は、 i1 のみで、
電圧降下は、
R2
i3
(i1+i2)R1 となる。
i1R5
R4
E
①網目電流を先ほどの電圧平衡のループi1,i2,i3。
②電流連続の法則を満たし、左接点で入っただけ出る。
③他の点でも同様。
④i1～i3のループで、電圧平衡の式を解けば良い。
⑤R1を流れる電流、⑥R5を流れる電流、
⑦R2を流れる電流を考え、⑧i1のループの電圧平衡。
⑨i2,i3も考え、3本の連立方程式がえられる。
！ ！
網目電流の設定方法に
ついて。
テブナンの定理を用いた
別解について
枝路電流法で解析
R1
R3
I1
I3
R5
I2
I4
I5
R2
R4
I0
E
電圧源のところの I0
６つの岐路電流
各抵抗 に流れる、I1、I2、I3、I4、I5
に対して
電流連続の法則
電圧平衡の法則
I0 ＝ I1＋ I2
－I R －I R ＋ I2R2＝0
６つの 1 1 5 5
I1 ＝ I3＋ I5 方程式
－I1R1－I3R3＋I4R4＋I2R2＝0
E－I2R2－I4R4＝0
I2 ＋ I5 ＝ I4
方程式を解いて
R1
R3
E
R5i1＝
ただし
R4
Δ＝
R2
Δ
（R2R3－R1R4）
R1＋R2＋R5
R1＋R2
－R2
R1＋R2
R1＋R2＋R3＋R4 －R2－R4
－R2
－R2－R4
R2＋R4
E
網目電流法で解析
R1
R3
i1
R5 i2
R2
i3
R4
E
電気回路第1スライド3-7-7
R1 に流れる電流は、 i1+i2 と表せる。
電圧降下は、
(i1+i2)R1 となる。
R5 に流れる電流は、 i1 のみで、
電圧降下は、 i1R5
の全部だが、
R次に、
－ i3 となり、
+ i 2、
2 に流れる電流は、 i1、
逆になるので、
i3のみ 電流の向きが
電圧降下は、
(i1+i2－i
3)R2
①網目電流を先ほどの電圧平衡のループi1,i2,i3。
②電流連続の法則を満たし、左接点で入っただけ出る。
③他の点でも同様。
④i1～i3のループで、電圧平衡の式を解けば良い。
⑤R1を流れる電流、⑥R5を流れる電流、
⑦R2を流れる電流を考え、⑧i1のループの電圧平衡。
⑨i2,i3も考え、3本の連立方程式がえられる。
！ ！
網目電流の設定方法に
ついて。
テブナンの定理を用いた
別解について
枝路電流法で解析
R1
R3
I1
I3
R5
I2
I4
I5
R2
R4
I0
E
電圧源のところの I0
６つの岐路電流
各抵抗 に流れる、I1、I2、I3、I4、I5
に対して
電流連続の法則
電圧平衡の法則
I0 ＝ I1＋ I2
－I R －I R ＋ I2R2＝0
６つの 1 1 5 5
I1 ＝ I3＋ I5 方程式
－I1R1－I3R3＋I4R4＋I2R2＝0
E－I2R2－I4R4＝0
I2 ＋ I5 ＝ I4
方程式を解いて
R1
R3
E
R5i1＝
ただし
R4
Δ＝
R2
（R2R3－R1R4）
Δ
R1＋R2＋R5
R1＋R2
－R2
R1＋R2
R1＋R2＋R3＋R4 －R2－R4
－R2
－R2－R4
R2＋R4
E
網目電流法で解析
R1
R3
i1
R5 i2
電気回路第1スライド3-7-8
R1の電圧降下は、(i1+i2)R1
R5の電圧降下は、i1R5
R2の電圧降下は、(i1+i2－i3)R2
これらを合計して、i1 のループでの電圧降下は、
R2
i3
R4
E
(i1+i2)R1 + i1R5 + (i1+i2－i3)R2 ＝ ０ です。
より、
（iが平衡しますから、
R
R35で整理して、
＋R2）i1＋（R1＋R2）i2－R2i3＝0
1、i
2、i
1＋
①網目電流を先ほどの電圧平衡のループi1,i2,i3。
②電流連続の法則を満たし、左接点で入っただけ出る。
③他の点でも同様。
④i1～i3のループで、電圧平衡の式を解けば良い。
⑤R1を流れる電流、⑥R5を流れる電流、
⑦R2を流れる電流を考え、⑧i1のループの電圧平衡。
⑨i2,i3も考え、3本の連立方程式がえられる。
！ ！
網目電流の設定方法に
ついて。
テブナンの定理を用いた
別解について
枝路電流法で解析
R1
R3
I1
I3
R5
I2
I4
I5
R2
R4
I0
E
電圧源のところの I0
６つの岐路電流
各抵抗 に流れる、I1、I2、I3、I4、I5
に対して
電流連続の法則
電圧平衡の法則
I0 ＝ I1＋ I2
－I R －I R ＋ I2R2＝0
６つの 1 1 5 5
I1 ＝ I3＋ I5 方程式
－I1R1－I3R3＋I4R4＋I2R2＝0
E－I2R2－I4R4＝0
I2 ＋ I5 ＝ I4
方程式を解いて
R1
R3
E
R5i1＝
ただし
R4
Δ＝
R2
Δ
（R2R3－R1R4）
R1＋R2＋R5
R1＋R2
－R2
R1＋R2
R1＋R2＋R3＋R4 －R2－R4
－R2
－R2－R4
R2＋R4
E
網目電流法で解析
R1の電圧降下は、(i1+i2)R1
R3 i1のループ：
R1＋R5＋R2）i1＋（
R ＋R2）i2－R2i3＝0
R（5の電圧降下は、i
1R5 1
R1
i1
電気回路第1スライド3-7-9
R5 i2
R2
i3
R4
E
i2のループ：
R2の電圧降下は、(i
1+i2－i3)R2
同様に、
（R1＋R2）i1＋（R1＋R2＋R4＋R3）i2－（R4＋R2）i3＝0
これらを合計して、
ii11のループで
のループでの電圧降下は、
（
R
＋
R
＋
R
）
i
＋（
R
1
5
2
1
1＋R2）i2－R
2i3＝0
となるが、 電圧源 があるため、
電圧降下
i3のループ:
のループでは、
(i1+i2)R1 + i1R5 + (i1+i2－i3)R2 ＝ ０ より、
＝E
－R2i1－（R2＋R4）i2＋（R2＋R4）i3 が、電源電圧。
（R1＋R5＋R2）i1＋（R1＋R2）i2－R2i3＝0
①網目電流を先ほどの電圧平衡のループi1,i2,i3。
②電流連続の法則を満たし、左接点で入っただけ出る。
③他の点でも同様。
④i1～i3のループで、電圧平衡の式を解けば良い。
⑤R1を流れる電流、⑥R5を流れる電流、
⑦R2を流れる電流を考え、⑧i1のループの電圧平衡。
⑨i2,i3も考え、3本の連立方程式がえられる。
！ ！
網目電流の設定方法に
ついて。
テブナンの定理を用いた
別解について
ブリッジの平衡条件
網目電流法で解析
R1
R3
R5
i1のループ:
（R1＋R5＋R2）i1＋（R1＋R2）i2－R2i3＝0
R1
i2のループ:
G
（R1＋R2）i1＋（R1＋R2＋R4＋R3）i2－（R4＋R2）i3＝0
R2
R4
E
R2
i3のループ:
－R2i1－（R2＋R4）i2＋（R2＋R4）i3＝E
R3
iG
E
R4
このブリッジにおいて、検流形の電流iGは
iG＝
（R2R3－R1R4）
Δ
となり、平衡条件より
R1R4
R3＝ R
2
となって、R1、R2、R4の値がわかっていれば、
未知の抵抗R3の値を求めることができます。
方程式を解いて
R1
R3
R5
R2
E
電気回路第1スライド3-8-1
（前述のとおり、この回路は、
R1＋R2＋R5）i1＋（R1＋R2）i2－R2i3＝0
（R1＋R2）i1＋（R1＋R2＋R3＋R4）i2－（R2＋R4）i3＝0
－R2i1－（R2＋R4）i2＋（R2＋R4）i3＝E
で解析できますが、 実は R5 を流れる電流 i1を
求めたい回路です。
R4
E
①この回路は3本の方程式で解析。i1を求める。
②方程式を行列に書き換えます。
③分子を計算しE×(R2R3-R1R4)。
？ ！
行列を使った方程式の
解の公式について。
（結果のみです。）
なぜ、このような電流の
設定を用いたか？
ブリッジの平衡条件
網目電流法で解析
R1
R3
R5
i1のループ:
（R1＋R5＋R2）i1＋（R1＋R2）i2－R2i3＝0
R1
i2のループ:
G
（R1＋R2）i1＋（R1＋R2＋R4＋R3）i2－（R4＋R2）i3＝0
R2
R4
E
R2
i3のループ:
－R2i1－（R2＋R4）i2＋（R2＋R4）i3＝E
R3
iG
E
R4
このブリッジにおいて、検流形の電流iGは
iG＝
（R2R3－R1R4）
Δ
となり、平衡条件より
R1R4
R3＝ R
2
となって、R1、R2、R4の値がわかっていれば、
未知の抵抗R3の値を求めることができます。
方程式を解いて
R1
R3
R5i1＝
R2
R4
E
E
電気回路第1スライド3-8-2
（R1＋R2＋R5）i1＋（R1＋R2）i2－R2i3＝0
R1（前述のとおり、この回路は、
＋R02＋R5 0
R2 R ＋R ）i－－（
R2R ＋R ）i ＝0
1＋
R1＋R2）i1＋（R1R＋
R
0 2＋
30
4 2
2
4 3
R
＋
R
R
＋
R
＋
R
＋
R
－
R
－
R
0
ここに
1 R ）2i 0
3
4R ）i 0
2
4
－1R2i12－（R02＋
4 2＋（R2＋
4 3＝E
0
これを分母に
－R2E
R02＋R4 これを
E －R2E－R4
0 i1を
実は E
iで解析できますが、
R5 を流れる電流
1を求めますが、 方程式を行列で書くと、
E
R求めたい回路です。
R1＋R2
－R2
i01
0
1＋R2＋R5
R1＋R2
R1＋R2＋R3＋R4 －R2－R4 iE2 ＝ 0
E
－R2
－R2－R4
R2＋R4 i3
となります。 i1を求めるには、当然、行列式を使って、
①この回路は3本の方程式で解析。i1を求める。
②方程式を行列に書き換えます。
③分子を計算しE×(R2R3-R1R4)。
？ ！
行列を使った方程式の
解の公式について。
（結果のみです。）
なぜ、このような電流の
設定を用いたか？
ブリッジの平衡条件
網目電流法で解析
R1
R3
R5
i1のループ:
（R1＋R5＋R2）i1＋（R1＋R2）i2－R2i3＝0
R1
i2のループ:
G
（R1＋R2）i1＋（R1＋R2＋R4＋R3）i2－（R4＋R2）i3＝0
R2
R4
E
R2
i3のループ:
－R2i1－（R2＋R4）i2＋（R2＋R4）i3＝E
R3
iG
E
R4
このブリッジにおいて、検流形の電流iGは
iG＝
（R2R3－R1R4）
Δ
となり、平衡条件より
R1R4
R3＝ R
2
となって、R1、R2、R4の値がわかっていれば、
未知の抵抗R3の値を求めることができます。
方程式を解いて
R1
R3
R5i1＝
ただし
R4
Δ＝
として
R2
E
E
電気回路第1スライド3-8-3
（R1＋R2＋R5）i1＋（R1＋R2）i2－R2i3＝0
ここの
R1（前述のとおり、この回路は、
＋
R＋
R）5i ＋（R R＋
R＋
R2R ＋ですが、
02＋
1＋
2 R ＋R ）i－
R
R
R
－（
1 E2 （
1R2＋
1 ）（－
24R） －
3R ） 4 2
2 R4）i3＝0
（R
R
－
R
R
R
余因子
3
1
分子は、
1
2
2
4
R
＋
R
R
＋
R
＋
R
＋
R
－
R
－
R
{ R－（－
1 R ）2i ＋（3R ＋4R ）i ＝
2E 4}
E －1R20i12－（
＋
2
4R 2）（R ＋
2R ＋
4 R33＋R4）
－（R
R22ER3－R1R4）－R22－R14 2 R
2＋R4
実は R5 を流れる電流 i1を
Δ iで解析できますが、
1を求めますが、 方程式を行列で書くと、
R求めたい回路です。
R1＋R2
－R2
i1
0
1＋R2＋R5
R1＋R2
R1＋R2＋R3＋R4 －R2－R4 i2 ＝ 0
E
－R2
－R2－R4
R2＋R4 i3
となります。 i1を求めるには、当然、行列式を使って、
①この回路は3本の方程式で解析。i1を求める。
②方程式を行列に書き換えます。
③分子を計算しE×(R2R3-R1R4)。
？ ！
行列を使った方程式の
解の公式について。
（結果のみです。）
なぜ、このような電流の
設定を用いたか？
方程式を解いて
R1
直流電力
R3
E
R5i1＝
ただし
R4
Δ＝
R2
Δ
（R2R3－R1R4）
R1＋R2＋R5
R1＋R2
－R2
R1＋R2
R1＋R2＋R3＋R4 －R2－R4
－R2
－R2－R4
R2＋R4
E
E
E
抵抗で消費される電力を（一応）述べておきます。
E
I＝
E この回路で、抵抗Rには、電圧Eが加わって、
R
R の電流が流れています。この回路で消費される電力は、
電圧と電流を単純に掛け合わせたものなので、
R
E2
P＝EI＝ R ＝I2R
となります。
ブリッジの平衡条件
電気回路第1スライド3-9-1
先ほどのブリッジにおいて、電流i1は
i1＝
E
（R2R3－R1R4）
Δ
となりました。 ここで、 i1＝０ とすると、
R2R3－R1R4＝０
となって、 面白いことに R5に依存しません。
は出てきません。
①I1＝０となるのはR2R3-R1R4＝０のとき。
②検流形を入れます。
③iGに書き換え、検流形の大きい内部抵抗もOK。
④R3は残り３つの抵抗値で表される。
！
ブリッジを用いた抵抗
（ひいては多くの素子）
の測定のメリット。
方程式を解いて
R1
直流電力
R3
E
R5i1＝
Δ
ただし
R4
Δ＝
R2
（R2R3－R1R4）
R1＋R2＋R5
R1＋R2
－R2
R1＋R2
R1＋R2＋R3＋R4 －R2－R4
－R2
－R2－R4
R2＋R4
E
E
E
抵抗で消費される電力を（一応）述べておきます。
E
I＝
E この回路で、抵抗Rには、電圧Eが加わって、
R
R の電流が流れています。この回路で消費される電力は、
電圧と電流を単純に掛け合わせたものなので、
R
E2
P＝EI＝ R ＝I2R
となります。
ブリッジの平衡条件
R1
R3
G
R2
E
R4
電気回路第1スライド3-9-2
先ほどのブリッジにおいて、電流i1は
i1＝
E
（R2R3－R1R4）
Δ
となりました。 ここで、 i1＝０ とすると、
R2R3－R1R4＝０
となって、 面白いことに R5に依存しません。
は出てきません。
そこでこんな回路はどうでしょうか。
真中の抵抗
R5の代わりに検流形を入れました。
①I1＝０となるのはR2R3-R1R4＝０のとき。
②検流形を入れます。
③iGに書き換え、検流形の大きい内部抵抗もOK。
④R3は残り３つの抵抗値で表される。
！
ブリッジを用いた抵抗
（ひいては多くの素子）
の測定のメリット。
方程式を解いて
R1
直流電力
R3
E
R5i1＝
Δ
ただし
R4
Δ＝
R2
（R2R3－R1R4）
R1＋R2＋R5
R1＋R2
－R2
R1＋R2
R1＋R2＋R3＋R4 －R2－R4
－R2
－R2－R4
R2＋R4
E
E
E
抵抗で消費される電力を（一応）述べておきます。
E
I＝
E この回路で、抵抗Rには、電圧Eが加わって、
R
R の電流が流れています。この回路で消費される電力は、
電圧と電流を単純に掛け合わせたものなので、
R
E2
P＝EI＝ R ＝I2R
となります。
ブリッジの平衡条件
R1
R2
R3
G
iG
E
R4
電気回路第1スライド3-9-3
このブリッジにおいて、 検流形の電流
先ほどのブリッジにおいて、電流
i1は iGは
iG1＝
E
（R2R3－R1R4）
Δ
となりました。
、平衡条件（
ここで、
検流形に電流が流れない
i1＝０ とすると、 ）は
R2R3－R1R4＝０
となって、検流形の内部抵抗
面白いことに R5に依存しません。
は出てきません。
大抵MΩと大きいのですがこの回路の
そこでこんな回路はどうでしょうか。
真中の抵抗
R特徴のおかげで問題なく使えます。
5の代わりに検流形を入れました。
①I1＝０となるのはR2R3-R1R4＝０のとき。
②検流形を入れます。
③iGに書き換え、検流形の大きい内部抵抗もOK。
④R3は残り３つの抵抗値で表される。
！
ブリッジを用いた抵抗
（ひいては多くの素子）
の測定のメリット。
方程式を解いて
R1
直流電力
R3
E
R5i1＝
Δ
ただし
R4
Δ＝
R2
（R2R3－R1R4）
R1＋R2＋R5
R1＋R2
－R2
R1＋R2
R1＋R2＋R3＋R4 －R2－R4
－R2
－R2－R4
R2＋R4
E
E
ブリッジの平衡条件
R1
R2
R3
G
iG
E
R4
E
抵抗で消費される電力を（一応）述べておきます。
E
I＝
E この回路で、抵抗Rには、電圧Eが加わって、
R
R の電流が流れています。この回路で消費される電力は、
電圧と電流を単純に掛け合わせたものなので、
R
E2
P＝EI＝ R ＝I2R
となります。
電気回路第1スライド3-9-4
このブリッジにおいて、 検流形の電流
先ほどのブリッジにおいて、電流
i1は iGは
iG1＝
E
（R2R3－R1R4）
Δ
となりました。
よりi1＝０ とすると、 ）は
、平衡条件（
ここで、
検流形に電流が流れない
R1R
R14R4＝０ この式 を移項、R で割り
R2R3－
2
R3＝ R
2
となって、検流形の内部抵抗
面白いことに
R5に依存しません。
は出てきません。
となって、 大抵MΩと大きいのですがこの回路の
R1、 R2、 R4 の値がわかっていれば、
そこでこんな回路はどうでしょうか。
真中の抵抗
R特徴のおかげで問題なく使えます。
の代わりに検流形を入れました。
5R
未知の抵抗
3 の値を求めることができます。
①I1＝０となるのはR2R3-R1R4＝０のとき。
②検流形を入れます。
③iGに書き換え、検流形の大きい内部抵抗もOK。
④R3は残り３つの抵抗値で表される。
！
ブリッジを用いた抵抗
（ひいては多くの素子）
の測定のメリット。
今日のまとめ
ブリッジの平衡条件
R1
R3
G
R2
iG
E
R4
このブリッジにおいて、検流形の電流iGは
iG＝
E
（R2R3－R1R4）
Δ
となり、平衡条件より
R1R4
R3＝ R
2
となって、R1、R2、R4の値がわかっていれば、
未知の抵抗R3の値を求めることができます。
直流電力
網目電流を設定すると便利
ある程度複雑な
回路では、
網目電流を設定
すると、初めから
電流連続の法則
を満たし、方程式
が少なく便利。
R1
R2
ホィートストンブリッジ
平衡条件は、
R3
R2R3－R1R4＝０
であり、このとき
R5
R5には電流が
流れない。
R4
抵抗の測定に便
E
利な回路である。
電気回路第1スライド3-10-1
抵抗で消費される電力を（一応）述べておきます。
E
R
E
E
R
E
この回路で、抵抗Rには、 電圧Eが加わって、 I＝
R
の電流が流れています。この回路で消費される電力は、
電圧と電流を単純に掛け合わせたものなので、
P＝EI
①抵抗で消費される電力は電力の基本
②E2/RでもI2RでもＯＫ。
！
電力（実は仕事率）は
これでいいの？
今日のまとめ
ブリッジの平衡条件
R1
R3
G
R2
iG
E
R4
このブリッジにおいて、検流形の電流iGは
iG＝
E
（R2R3－R1R4）
Δ
となり、平衡条件より
R1R4
R3＝ R
2
となって、R1、R2、R4の値がわかっていれば、
未知の抵抗R3の値を求めることができます。
直流電力
網目電流を設定すると便利
ある程度複雑な
回路では、
網目電流を設定
すると、初めから
電流連続の法則
を満たし、方程式
が少なく便利。
R1
R2
ホィートストンブリッジ
平衡条件は、
R3
R2R3－R1R4＝０
であり、このとき
R5
R5には電流が
流れない。
R4
抵抗の測定に便
E
利な回路である。
電気回路第1スライド3-10-1
抵抗で消費される電力を（一応）述べておきます。
E
R
E
E
R
E
この回路で、抵抗Rには、 電圧Eが加わって、 I＝
R
の電流が流れています。この回路で消費される電力は、
電圧と電流を単純に掛け合わせたものなので、
E2 E
P＝EI ＝E ＝（IR）I
I2R
RR
となります。
①抵抗で消費される電力は電力の基本
②E2/RでもI2RでもＯＫ。
！
電力（実は仕事率）は
これでいいの？
直流電力
E
E
抵抗で消費される電力を（一応）述べておきます。
E
I＝
E この回路で、抵抗Rには、電圧Eが加わって、
R
R の電流が流れています。この回路で消費される電力は、
電圧と電流を単純に掛け合わせたものなので、
R
E2
P＝EI＝ R ＝I2R
となります。
スライドの終了
今日のまとめ
電気回路第1スライド3-11-1
網目電流を設定すると便利
ある程度複雑な
回路では、
網目電流を設定
すると、初めから
電流連続の法則
を満たし、方程式
が少なく便利。
①網目電流を設定すると電流連続を入れた電流。
②ブリッジはR2R3-R1R4＝０なる平衡条件。
③抵抗の精密測定に便利。
？ ！
はじめに戻ります。
次回までの演習問題です。
（時間中に解説できるか
大変不安ですが。）
直流電力
E
E
抵抗で消費される電力を（一応）述べておきます。
E
I＝
E この回路で、抵抗Rには、電圧Eが加わって、
R
R の電流が流れています。この回路で消費される電力は、
電圧と電流を単純に掛け合わせたものなので、
R
E2
P＝EI＝ R ＝I2R
となります。
スライドの終了
今日のまとめ
網目電流を設定すると便利
ある程度複雑な
回路では、
網目電流を設定
すると、初めから
電流連続の法則
を満たし、方程式
が少なく便利。
①網目電流を設定すると電流連続を入れた電流。
②ブリッジはR2R3-R1R4＝０なる平衡条件。
③抵抗の精密測定に便利。
電気回路第1スライド3-11-2
R1
R2
ホィートストンブリッジ
平衡条件は、
R3 R2R3－R1R4＝０
であり、このとき
R5
R5には電流が
流れない。
R4
E
？ ！
はじめに戻ります。
次回までの演習問題です。
（時間中に解説できるか
大変不安ですが。）
直流電力
E
E
抵抗で消費される電力を（一応）述べておきます。
E
I＝
E この回路で、抵抗Rには、電圧Eが加わって、
R
R の電流が流れています。この回路で消費される電力は、
電圧と電流を単純に掛け合わせたものなので、
R
E2
P＝EI＝ R ＝I2R
となります。
スライドを終了します。
今日のまとめ
網目電流を設定すると便利
ある程度複雑な
回路では、
網目電流を設定
すると、初めから
電流連続の法則
を満たし、方程式
が少なく便利。
①網目電流を設定すると電流連続を入れた電流。
②ブリッジはR2R3-R1R4＝０なる平衡条件。
③抵抗の精密測定に便利。
電気回路第1スライド3-11-3
R1
R2
ホィートストンブリッジ
平衡条件は、
R3 R2R3－R1R4＝０
であり、このとき
R5
R5には電流が
流れない。
R4
抵抗の測定に便
E
利な回路である。
？ ！
はじめに戻ります。
次回までの演習問題です。
（時間中に解説できるか
大変不安ですが。）
電気回路第1スライド付録
付録：電気回路第1のシラバス
＜授業の特色＞
＜授業の内容＞
電気工学、電子工学、通信工学の基礎となり、電磁気学とな
らぶ最重要科目である。これから学習する専門科目の基礎な
ので、実際に回路が扱えるように、繰り返し講義、演習、試験
を行なう。また、各自のパソコンで利用できる講義データ（パ
ワーポイント形式）を配布し、これを用いて授業を進める。授
業では使用しないが、印刷物が必要な場合は、「電気回路」
（大下眞二郎著、共立出版）又は「詳解電気回路演習（上）」
（大下眞二郎著、共立出版）を参照されたい。なお、情報コン
セントのある共通教育61番教室で授業を行なうが、ネットワー
ク経由で遊んでいる者などは即刻退室させる。
第1章 電圧、電流
電圧、電流の意味、オームの法則、等価回路の意味（第1週）
第2章 直流回路
キルヒホッフの法則、枝路電流法と網目電流法（第2週）
網目電流方程式、ホィートストンブリッジ回路（第3週）
直流回路の演習（第4週）
第3章 正弦波交流
正弦波交流と実効値、位相（第5週）
インダクタンス回路、キャパシタンス回路（第6週）
RL並列回路、RC直列回路、RLC直列回路（第7週）
インピーダンス、力率、有効電力、無効電力（第8週）
第4章 ベクトル記号法
位相のずれた電圧、複素電圧、複素電流（第9週）
インピーダンス、位相、アドミッタンス（第10週）
複素電力、電力・力率の計算（第11週）
第5章 交流回路
RL回路、RC回路、RLC直列共振回路（第12週）
並列共振回路、相互誘導回路、交流ブリッジ（第13週）
復習と演習 （第14週）
＜授業の達成目標＞
電気回路第1では交流回路までを学習する。交流について、
位相差とその寄与を理解し、複素数のインピーダンスを用い
て解析できるようになることを最低限の目標とする。
＜評価方法＞
期末試験には原則として第2～5章より各1題ずつ出題する。
過去３年間の試験問題を公開し、これと同水準の別問題を出
題する。期末試験にて80点以上を優、65点以上を良とする。
また、試験の得点に出席回数（レポートの数）から9を引いた
ものを加えて50以上の者を可とする。期末試験で優とならな
かったものは、10月（予定）の追試験（本試験と同水準）を受
験することができ、より良かった方の成績で評定する。また、
カンニング防止のため、できるだけ１人ずつ異なる問題を与
えるが、答案等に多少でも疑義がある場合は０点と採点し、
追試験を受験させる。
!!
ここをクリックしてもとの
スライドに帰りましょう。
電気回路第1スライド付録
補足1：前回のまとめ
キルヒホッフの電流の法則
接点に流れ込む電流をI1 ～ Inとすると、
I1 + I2 + I3 +...+ In = 0
となります。
①
ポイントは、電流が電子の流れであって、接点に流
れ込んだ電子がなくなってしまわないということか
ら、入った電流はかならず、どちらか別の枝に流出
するということです。これは、
（入った電流の和）＝（出た電流の和） ②
となります。①式はこれをマイナスの電流を認める
ことで、全部流入する電流としますと、右辺ゼロで
すから、①式が得られると考えます。
キルヒホッフの電圧の法則
1つのループを回る方向に電圧源の電圧上昇と抵
抗による電圧降下（こちらはマイナス）を加えると電
圧の変化の合計はゼロになります。
ポイントは、（１）同じ場所の電圧は場所固有の値
ですから、1周りしても変化しないこと、（２）必ずぐる
っと回らないといけないので、閉じたループを考え
る必要があること、（３）方向が重要で、特に電流の
向きに抵抗では電圧が下がること、などでしょう。
!!
わかったら（でなくっても）
ここをクリックしてもとの
スライドに帰りましょう。
補足2：なぜこの3つの電流でよい
か？
電気回路第1スライド付録
１つの接点から４本の枝が出ているように見えます。
接点に入る電流をプラス、出る電流をマイナスとす
るなど、１本の枝に１つの電流を設定するとよいと
考えますと電流は４本となります。接点に流れ込む
電流を I1 、 I2 、 I3、 I４、 としますと、電流の法則か
ら、
I1 + I2 + I3 + I４ = 0
①
を満たす必要があります。方程式で苦労すると、変
数を１つ消去できますから、３本になります。
本編で、わざわざ前回の道路の絵を導入したのは、
各電流が（電荷を運ぶ電子が）接点を目指して走っ
ているというよりは、接点を経由してどちらかの枝
からどちらか別の枝へ流れると考えて良いことを示
しています。枝の数マイナス一本の電流を考えれ
ば良いことになります。
I1
I４
I2
I3
i2
i1
i3
!!
わかったら（でなくっても）
ここをクリックしてもとの
スライドに帰りましょう。
電気回路第1スライド付録
補足3：網目電流を設定すると方程式が減少する理由
網目電流を設定すると、例えば上の丸で囲ったて
んでは3本の網目電流が経由しますが、全部経由
して抜けていっているため、電流連続を自動的に
みたします。
右側の赤いループのように変更しても状況は変わ
りません。電圧平衡の方程式のみ考えてください。
!!
わかったら（でなくっても）
ここをクリックしてもとの
スライドに帰りましょう。
電気回路第1スライド付録
補足4：R5がなければ
A
R1
R2
R3
B
R4
E
R1 + R3
I
R2 + R4
E
R5 がなければ、左のようにすごく簡単な回路です。もちろん、
ご存知の人には、R1 と R3 が直列接続だと R1 + R3 の合成抵
抗（直列なので足せばよい。）。R2 と R4 が直列接続だと R2 +
R4 の合成抵抗です。これらが並列ですから、下の図のように
書き換えられて、合成抵抗は、
1
1
1
―― = ―――― + ――――
①
R
R1 + R3
R2 + R4
となります。もちろん電流 I に直して、
1
1
I = ―――― + ―――― E
②
R1 + R3
R2 + R4
(
)
となります。
ただしよく理解しているひとには、上の A 点と下の B 点
の電圧が同じ時、AB間には電流が
流れませんから、結果的にこれと同
じようになります。ちなみにこれは、
R1
R2
――――
= ――――
③
R1 + R3
R2 + R4
から本編の平衡条件の、
わかったら（でなくっても）
R1 R4 = R2 R3
④
ここをクリックしてもとの
が得られます。
スライドに帰りましょう。
!!
電気回路第1スライド付録
補足5：枝路電流法の解析
電流連続の法則
4つの接点で入った電流の和と出た電流の和が等
しいので、次の①～④の方程式が得られます。
電圧平衡の法則
抵抗での電圧降下を赤の矢印で示しました。小さ
いループ3つの電圧の変化を計算すると、
I1R1
I3R3
I1 ＝ I3＋I5 ②
I1
R1
I2
I0 ＝ I1＋I2 ①
R3
I5
R5
I0
－I1R1－I5R5+I2R2 = 0 ⑤
I3
I1
I4
I5
R2
I2
I3
I2R2
I0
I3＋I4 ＝ I0 ④
I4
E
I R + I R －I R = 0 ⑥
I5R5 4 4 5 5 3 3
R4
I2＋I5 ＝ I4 ③
ただし、次の①に②と③を代入すると、④式がえられ
ますから、実質的に有効な方程式は①～③の３つで
十分です。
I4R4
E
E－ I2R2－I4R4 = 0 ⑦
この３本の方程式が得られます。
!!
わかったら（でなくっても）
ここをクリックしてもとの
スライドに帰りましょう。
電気回路第1スライド付録
補足6：行列による方程式の解の公式
方程式を行列で表現
例えば、3元1次方程式、
①
②
③
a11x + a12y + a13z = b1
a21x + a22y + a23z = b2
a31x + a32y + a33z = b3
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
は、行列を用いて、
(
)( ) ( )
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
などと表されます。
もちろん、３元の場合には、クラメールの公式を用
いて、。
－a33a21a12－a31a22a13－a32a23a11
x
y
z
=
b1
b2
b3
⑥
④
a13a21a32 + a11a22a33 + a12a23a31
と表すことができる。
と計算していただいて結構です。
解の公式
④の解は、
b1 a12 a13
b2 a22 a23
b3 a32 a33
x
=
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
⑤
!!
わかったら（でなくっても）
ここをクリックしてもとの
スライドに帰りましょう。
発展1：前回からの演習課題の解答
[1] 次のように導線を3本ないし４本ある接点につないだ接点でそれぞれ電流をもとめなさい。
I2
7 [A]
12 [A]
I3
－7 [A]
7 [A]
14 [A]
7 [A]
I1
14 [A]
7 [A]
流れ込む電流の和が流れ出す電流。 同様に、I2 ＋14 = （－7）+ 7 より、
I1 = 7 + 12 = 19 [A]
I2 = －14 [A]。 （負号に注意）
全部流出、0 = I3 + 7+ 7＋14 より、
I3 = －28 [A]。
[2] つぎの各回路の未知電圧をもとめなさい。
抵抗では、電流の向きと逆にIRの電圧が発生します。これを図に示します。
あとはループを１回りして電圧がゼロです。
2 [Ω]
3 [V]
2 [Ω]
V2
1 [A]
2 [V]
3 [V]
2 [V]
2 [V]
V1
2 [V]
3 + 2－2 + V1 = 0 より
V1 = －3 [V]
2 [A]
4 [V]
1 [Ω]
2 [A]
1 [A]
2 [V]
2 [Ω]
V2 + 4－2－2－2 + 3 = 0 より
V2 = －1 [V]
!!
ここをクリックしてもとの
スライドに帰りましょう。
発展2：並列でも直列でもない回路
今回は抵抗の接続の公式を使ってすぐには答えの出ない、並列でも直列でもない回路を考えました。実はこ
の条件を満たすもっとも簡単な回路を引き合いにだしたのですが、もっと簡単な回路ができないことを示しま
す。抵抗2個は直列か並列に接続するしかありません。抵抗３つの場合も全部直列か全部並列のほかに、抵
抗をデルタ上に接続できます。しかし、どこに電圧をかけても、2個直列の抵抗ともう1っ個の並列の合成で簡
単に解析できます。
(3)
(4a)
(4b)
実は4つにしても(4a)のようにひし形にする他は、余計な枝を一本つけた(4b)の接続しかありません。(4a)はも
ちろん、直列どうしの並列などで解析できます。今日の回路は、抵抗5個接続ですが、余計な並列か直列を1
つつけるほかには下のような回路が考えられます。実のところどれもおなじ回路で、●のついていない接点に
電圧源をつなぐとブリッジ回路になります。
(5a)
(5b)
(5c)
!!
ここをクリックしてもとの
スライドに帰りましょう。
発展3：網目電流の設定方法について
網目電流の設定は、その名前からも想像がつくように各網に１個の電流を設定すると良いです。
ホィートストンブリッジですと、（１）のように設定するのが基本ですね。ですが、多少変更を加えて、
（１）
R1
R3
（２）
R1
R5
R2
R3
（３）
R1
R5
R5
R4
E
R2
R4
E
R3
R2
R4
E
（２）や（３）のようにしてあげてもOKです。本編では（２）を用いました。しかし、同じ３つのループを
っていても下の（４）は不可です。黄色のループは残りの２個の
作っ
ループに対して独立な変数とはなりません。
（４）
1
3
また、R3を流れる電流は全く解析されていな
い。（ゼロと思われている。）微妙なお話です
が注意ください。
5
R
R
R
R2
R4
E
!!
ここをクリックしてもとの
スライドに帰りましょう。
発展4：テブナンの定理を用いた解法
電気回路第2（第6章）で学習するテブナンの定理を用いると簡単に解けます。
（１）
R1
R3
R5
R2
[]
R4
E
電圧E0の方はAB間を開放するとよいです。ABを開放して電流を流さないと、ｒでは電圧が下がりませんから、
直列抵抗の分圧の法則より、
R3
R4
VA＝
E
VB＝
E
R1＋R３
R2＋R4
ですから、差を取って、Ｅは、
E0＝
R3
R1＋R３
－
R4
R2＋R4
E
!!
ここをクリックしてもとの
スライドに帰りましょう。
発展5：なぜこの網目電流を用いたか
（１）の網目電流ではなく、（２）の網目電流を用いた理由を考えましょう。
（１）
R1
R3
（２）
（２）の網目電流では、このようにR5を流れ
る電流が計算できます。
R1
R5
R2
R3
0
0
E
R5
R2
R4
E
R1＋R2
R1＋R2＋R3＋R4
－R2－R4
－R2
－R2－R4
R2＋R4
R1＋R2＋R5
R1＋R2
－R2
R1＋R2
R1＋R2＋R3＋R4 －R2－R4
－R2
－R2－R4
R2＋R4
R4
E
一方、（１）の網目電流では、このようにR5を流れる電流は2つの解の差をとってあげる必要があります。式自身は
上よりも多少やさしいと思いますが、今回はブリッジの平衡に注目するため、わざと（１）の回路を利用しました。
0
0
E
－R5
R3＋R4＋R5
－R4
－R2
－R4
R2＋R4
R1＋R2＋R5
－R5
－R2
0
0
E
－R2
－R4
R2＋R4
－
R1＋R2＋R5
－R5
－R5
R3＋R4＋R5
－R2
－R4
－R2
－R4
R2＋R4
R1＋R2＋R5
－R5
－R5
R3＋R4＋R5
－R2
－R4
－R2
－R4
R2＋R4
!!
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発展6：ブリッジを用いた抵抗測定など
従来の測定
従来の測定では、電流計といいますと、コイルに
電流を流してその磁界の強さを測る（可動コイル
形など）といった手法を用いました。この場合必ず
電流計に内部抵抗rがありますから、右の等価回
路を用いることになります。さらに、この r は電流
計のレンジ（何Aまで計れるモードで測定するか）
によって変化するとともに、温度や装置間のばら
つきで変化するため、電流を正確に測ることはで
きません。
ブリッジの利用
ブリッジを用いますと中の検流計の内部抵抗によ
らずこの電流がゼロになれば、
R3＝
R1R4
R2
とR3を求めることができます。したがって、可動コ
イルのような抵抗値の安定しない素子ではなく、
ちゃんとした抵抗で抵抗値を制御してあげて、計
測が可能となります。
未知抵抗Rx
電流計の等価回路
E
A
内部抵抗r
R1
R3
G
R2
R4
!!
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発展7：電力はこれでいいの？
電力は、電圧と電流の積または、二乗と抵抗値で、
E2
P＝EI＝ ―― ＝ I2R
①
R
と表されます。これは電流はたくさんの電子が動けばそれに比例してエネルギーのため必要で、電圧もエネ
ルギー差の大きいところを電子が駆け降りるといっぱい電力が放出されると考えていただいてよいです。
結果は二乗の式ですが、このようにエネルギー関連は二乗の式になりがちですね。もちろん、運動エネル
ギーの、
1
E＝ ―― mv2
②
2
も同じように考えられますね。今後の実験（学生実験を含むで）交流ですが、電圧を変えて電球をともしたり
します。このような場合は電圧がある程度低いときは、電力は電圧の二乗に比例します。もっと電圧が大きく
なると少し事情が異なるのですが、その理由については以前のスライドを参考に考えてみてください。
電力
電圧
!!
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発展8：次回までの演習課題
[1] 次の回路で、抵抗R3に電流が流れない条件を求めなさい。
R1
R2
R3
R5
R4
R6
R7
E
[2] 上の回路で、 R3、 R4ともに電流が流れないことはないことを示しなさい。
ただし、 R1～R7およびEはどれも0ではないとする。
!!
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