ディジタル信号処理
Digital Signal Processing
第１７講
ＦＦＴ
Fast Fourier transform
高速フーリエ変換
高速フーリエ変換
• 高速フーリエ変換（ Fast Fourier Transform, FFT）と
は、離散フーリエ変換 (Discrete Fourier Transform,
DFT) を計算機上で高速に計算するアルゴリズム。
逆変換をIFFT (Inverse FFT) という。
• 高速フーリエ変換といえば一般的には1965年、ジェイ
ムズ・クーリー (J. W. Cooley) とジョン・テューキー (J.
W. Tukey) が発見したとされ，Cooley-Tukey型FFTア
ルゴリズムを呼ぶ。しかし、1805年ごろにガウスが同様
のアルゴリズムを独自に発見していたといわれている。
信州大学工学部・井澤裕司先生
URL:
http://laputa.cs.shinshu-u.ac.jp
/~yizawa/InfSys1/basic/chap7
/index.htm
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http://laputa.cs.shinshu-u.ac.jp
/~yizawa/InfSys1/basic
/index.htm
原理の簡単な説明(Wikipedia)
• 離散フーリエ係数は、exp( -2 π ｊ / N ) を使うと、次のように
表せる。
3．2式に当る
記号はテキスト
と違う
例えば、N = 4 のとき、離散フーリエ係数は行列を用いて表現すると
入力列を添字の偶奇で分けて、以下のように変形する。
2行目と3行目
行の入れ替え
（係数列はこう
なる）
すると、サイズ2のFFTの演算結果を用いて表現でき、サイズの分割ができる。
また、この分割手順を図にすると蝶のような図になることから、バタフライ演算と
も呼ばれる。
バタフライ演算は、計算機上ではビット反転で実現される。DSPの中には、この
バタフライ演算のプログラムを容易にするため、ビット反転アドレッシングを備え
ているものがある。
5.4 高速フーリエ変換
（FFT : Fast Fourier Transform）
5.4.1 基数２のFFT
DFTの式
■ビット反転の関係
5.4.2 混合基数FFT
5.4.3 高速フーリエ逆変換
計算の高速化
計算量を減せば早く答が得られる
• 式をそのまま行うと膨大な計算量になる
• 計算量を大幅に減少させるアルゴリズムを高速フー
リエ変換（fast Fourier transform : FFT ）という
• 基本的な考え方：
① データ数 Ｎ を ２p にする
② 計算順序を変える
③ 偶数番のデータと奇数番のデータ
(n=1,2,3,・・・・,N/2-1)
x0(n)=x(2n)
・・・偶数番
x1(n)=x(2n+1) ・・・奇数番
高速フーリエ変換の計算手数
• データの並べ替えは無視する
• 積和演算の回数は，r個の積和演算をq回行い，さら
にこれをp回繰り返すことになる
• N＝q･r＝２pであるから，Nだけで表すと演算回数＝
N･log2N
• 演算回数比η＝FFT／DFT＝ N･log2N／N2
• Nが大きいときFFTの高価は顕著に表れる
高速フーリエ変換のメリット
次の例で考えてみる
• Ｎ＝８
• 鋸歯状波
• 離散時間信号 x(0)=0,x(1)=1,x(2)=2,x(3)=3,
x(4)=4,x(5)=5,x(6)=6,x(7)=7
• 離散フーリエ変換の式（３．２）式・・標準式
• X（ｋ）・・・ｋ＝０～７を求める操作を考える
• 離散フーリエ変換では
X(k)の計算
• X(k)=Σx(n)･exp(-j･2･π･k･n / N)を展開して
• Ｘ(k)={ｘ(0)･exp(-j･2･π･k･0 / 8)
+ｘ(1)･exp(-j･2･π･k･１ / 8)
+ｘ(2)･exp(-j･2･π･k･2 / 8)
+ｘ(3)･exp(-j･2･π･k･3 / 8)
+ｘ(4)･exp(-j･2･π･k･4 / 8)
+ｘ(5)･exp(-j･2･π･k･5 / 8)
+ｘ(6)･exp(-j･2･π･k･6 / 8)
+ｘ(7)･exp(-j･2･π･k･7 / 8)}
• Ｃ言語では，複素計算ができないので，
exp(-j2πkn/N)=cos(2πkn/N)-jsin(2πkn/N)
と実数部，虚数部別々に計算しなければならない
Ｘ(k)にオイラーの公式を当てはめ
Ｘ(k)={ｘ(0)･exp(-j2πk0/8)+ｘ(1)･exp(-j2πk１/8)+ｘ(2)･exp(-j2πk2/8)
+ｘ(3)･exp(-j2πk3/8)+ｘ(4)･exp(-j2πk4/8)+ｘ(5)･exp(-j2πk5/8)
+ｘ(6)･exp(-j2πk6/8)+ｘ(7)･exp(-j2πk7/8)}
= [ｘ(0)･{cos(2πk0/8)-j･sin(2πk0/8)}
+ｘ(1)･{cos(2πk1/8)-j･sin(2πk1/8)}
+ｘ(2)･{cos(2πk2/8)-j･sin(2πk2/8)}
+ｘ(3)･{cos(2πk3/8)-j･sin(2πk3/8)}
+ｘ(4)･{cos(2πk4/8)-j･sin(2πk4/8)}
+ｘ(5)･{cos(2πk5/8)-j･sin(2πk5/8)}
+ｘ(6)･{cos(2πk6/8)-j･sin(2πk6/8)}
+ｘ(7)･{cos(2πk7/8)-j･sin(2πk7/8) }]
Ｘ(0)の計算
• k=0だから・・・cos(0)=1,sin(0)=0となり，
簡単に計算できて
Ｘ(0)= { 28+j 0 } = + 28.0 + j 0.00
|Ｘ(0)|= 28.0
となる
• 同様にＸ(1)～Ｘ(7)を求めると
Ｘ(1)～Ｘ(7)を計算すると
•
•
•
•
•
•
•
•
Ｘ(0)= + 28.0 + j 0.00
Ｘ(1)= - 40.0 + j 9.68
Ｘ(2)= - 40.0 + j 4.0
Ｘ(3)= - 40.0 + j 1.68
Ｘ(4)= - 40.0 + j 0.00
Ｘ(5)= - 40.0 - j 1.68
Ｘ(6)= - 40.0 - j 4.0
Ｘ(7)= - 40.0 - j 9.68
|Ｘ(０)|= 28.0
|Ｘ(1)|= 41.2
|Ｘ(2)|= 40.2
|Ｘ(3)|= 40.0
|Ｘ(4)|= 40.0
|Ｘ(5)|= 40.0
|Ｘ(6)|= 40.2
|Ｘ(7)|= 41.2
これまでに要した計算回数
x(n)=0の場合もカウントして
• Ｘ(0)の実部・・・cosをN回，N項の和，1/N倍
• Ｘ(0)の虚部・・・sinをN回，N項の和，1/N倍
• これをk=0～N-1までＮ回繰り返し計算する
•
•
•
•
•
合計
cos を N×Ｎ回
sin を
N×Ｎ回
和を
２×N×Ｎ回
1/N倍 を ２×Ｎ回
p
ＦＦＴでは N=2 =qr
• Nが 2p となるようにすると
• 2分割 → ４分割 → ・・・
•
•
•
•
•
すべてのkについて集計すると
cos を (N×N)/2＋N回
sin を
(N×N）/2＋N回
和を
(N×N)回
1/2倍 を (２×N)回
計算量（積和演算回数）の比較
N=２pの場合
• DFT : N2回
• FFT ： N（log2N）/2回
• 計算回数比＝DFT/FFT
FFTアルゴリズム
そのまえにアルゴリズムってなーに
• algorithm：算法
• ある特定の問題を解いたり、課題を解決した
りするための計算手順や処理手順のこと。こ
れを図式化したものがフローチャートであり、
コンピューターで処理するための具体的な手
順を記述したものがプログラムである。イラン
の数学者・天文学者、アル＝フワーリズミー
にちなむ。
再帰性アルゴリズム
そのまえに再帰性ってなーに
• 再帰: recursion
①あるものについて記述する際に、記述しているものそれ自身への参照が、
その記述中にあらわれることをいう。定義において、再帰があらわれている
ものを再帰的定義という。数学的帰納法との原理的な共通性から、数学で
は「帰納」を使うことがある。
②他にrecurrenceの訳や、reflectionの訳（再帰代名詞、再帰動詞。
③また、社会学で、対象に対する言及がその対象自体に影響を与えることとして「再
帰」が使われることがある。
• recursive
[形] 1 繰り返し用いられる, 回帰できる. 2 《数》帰納［再帰］的な.
• 再帰呼出し recursive call リカーシブルコール
プログラミング技法の一。コンピュータのプログラム
を実行中に、あるルーチンや関数が自分自身を呼
び出して実行すること。無限に自分自身を呼び出さ
ないよう、正常に機能させる手続きを必要とする。階
乗やフィボナッチ数列の計算などに利用される。
X(q区分,r点データ列)を与えて，q区分のr
点DFT列X’を作成する
N=qrとする
非再帰性アルゴリズム
• 質問はありませんか？
• 今日はここまで
• ごきげんよう
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