CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLÓGICO
INDUSTRIAL Y DE SERVICIOS No. 50
PROBABILIDAD Y
ESTADÍSTICA
Se sugiere al aspirante que trabaje arduamente en el desarrollo de las
actividades de aprendizaje, busque en otras fuentes de información, además
del presente material, busque la retroalimentación del profesor y recuerda
que para llegar a la meta necesitaras constancia y dedicación al 100% a tus
estudios de bachillerato.
abril 1
2015
CUADERNILLO
DE TRABAJO
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
PROBABILIDAD
Competencia: Conocer y aplicar los axiomas y teoremas de probabilidad en la
solución de problemas.
INTRODUCCIÓN
Sin tener en cuenta la profesión que se haya elegido, algo sí es seguro, en algún
momento se han de tomar decisiones. Con mucha frecuencia esto tendrá que
hacerse sin conocer todas las consecuencias de tales decisiones. Por ejemplo,
los inversionistas deben decidir sobre la conveniencia de invertir en una acción
en particular, con base en sus expectativas sobre rendimientos futuros. Los
empresarios al decidir comercializar un producto enfrentan la incertidumbre
sobre la posibilidad de éxito. En cada caso, como sucede con la mayoría de los
asuntos comerciales, se han de tomar decisiones sin toda la información
pertinente.
Todo esfuerzo por reducir el nivel de incertidumbre en el proceso de toma de
decisiones incrementa enormemente la probabilidad de que se tomen
decisiones más inteligentes y bien informadas. El propósito de esta unidad es
ilustrar las formas en las cuales puede medirse la posibilidad o probabilidad de
ocurrencia de eventos futuros.
2.1
TÉCNICAS DE CONTEO
En este tema se presentarán cuatro métodos, combinaciones, permutaciones,
escogencia múltiple y multiplicación, para determinar sin enumeración directa
el número de resultados posibles de un experimento particular o el número de
elementos de un conjunto particular.
2.1.1 Principio fundamental del conteo
Si un evento puede realizarse de n1 maneras diferentes, y si, continuando el
procedimiento, un segundo evento puede realizarse de n2 maneras diferentes,
y si, después de efectuados, un tercer evento puede realizarse de n3 maneras
diferentes, y así sucesivamente, entonces el número de maneras en que los
eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto:
n1  n2  n3 
(II.1)
Ejemplo 2.1 Supongamos que una placa de automóvil consta de dos letras
distintas seguidas de tres dígitos de los cuales el primero no es cero.
¿Cuántas placas diferentes pueden grabarse?
1
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
Solución: La primer letra puede colocarse de 26 maneras diferentes
(supuesto el alfabeto de 26 letras), la segunda letra de 25 maneras
diferentes (puesto que la letra grabada en la primer posición no puede
escogerse como segunda letra), para el primer dígito, para el primer
dígito hay nueve números, es decir nueve maneras, y para cada uno de
los otros dos dígitos 10 maneras. Por lo tanto pueden grabarse
26  25  9 10 10  585,000 ; por tanto se podrían formar 585,000 placas
diferentes.
2.1.2 Permutaciones
Si un orden es suficiente para constituir otro subconjunto de r objetos tomados
de un conjunto de n objetos entonces se trata de permutaciones. Una
permutación de los n objetos tomados r a la vez se define como
n
Pr 
n!
n  r !
(II.2)
Donde n! se lee “n factorial” y significa el producto de todos los números de 1 a
n. Por tanto 5!  5  4  3  2 1  120 . Por definición 0!  1.
Ejemplo 2.1 Hallar el número de palabras de tres letras diferentes que pueden
formarse con las letras: a, b, c, d, e, f.
Solución: Representemos las palabras de tres letras por tres cajas:
Ahora la primera letra puede escogerse de seis formas diferentes; en
seguida, la segunda letra se puede escoger de cinco formas diferentes; y
después de esto, la última letra se puede escoger de cuatro formas
diferentes. Escribamos cada número en su correspondiente caja como
sigue:
Aplicando la expresión II.2 se tiene:
6
P3 
6!
720

 120
6  3! 6
2
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Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
Por tanto se pueden formar 120 posibles palabras de tres letras sin
repetición.
2.1.3 Escogencia Múltiple
Muchos problemas del análisis combinatorio y, en particular, de probabilidad se
relacionan con la escogencia de una bola tomada de una urna que contiene
n bolas (o una carta de una baraja o una persona de una población). Cuando
escogemos una bola tras otra de una urna, r veces, definimos esta escogencia
como una prueba ordenada de tamaño r. Se consideran dos casos:
1. Pruebas con sustitución. En este caso cada bola escogida se regresa a la
urna antes de tomar la siguiente. Ahora puesto que hay n maneras
diferentes para escoger cada bola, según el principio fundamental del
conteo hay
(II.3)
n
n

n 


n  nr

r veces
pruebas ordenadas diferentes de tamaño r con sustitución.
2. Pruebas sin sustitución. Aquí la bola no se devuelve a la urna antes de
escoger la siguiente. Así no hay repeticiones en la prueba ordenada. O
sea que, una prueba ordenada de tamaño r sin sustitución es
simplemente una permutación r de objetos de la urna. Por consiguiente
hay
n
Pr 
n!
n  r !
(II.4)
pruebas ordenadas diferentes de tamaño r sin sustitución tomadas de un
grupo de n objetos.
Ejemplo 2.2 ¿De cuantas maneras se pueden escoger tres cartas sucesivas de
una baraja de 52 cartas, (1) con sustitución, (2) sin sustitución?
Solución: (1) si cada carta se regresa al naipe antes de escoger la
siguiente, entonces cada carta puede escogerse de 52 maneras
diferentes. Entonces hay 52 52 52  523  140,608 pruebas ordenadas
diferentes de tamaño tres con sustitución. (2) Por otra parte si no hay
sustitución, entonces la primera carta puede escogerse de 52 maneras
diferentes, la segunda carta tiene 51 maneras diferentes y la última carta
tiene 50 maneras diferentes, por tanto hay 52 P3  132,600 pruebas
ordenadas diferentes de tamaño tres sin sustitución.
3
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Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
2.1.4 Combinaciones
Supongamos que tenemos una colección de n objetos. Una combinación de
estos n objetos tomados r a la vez, o una combinación r, es un subconjunto de r
elementos. En otras palabras, una combinación r es una selección de r o de n
objetos donde el orden no se tiene en cuenta.
n!
(II.5)
n Cr 
r ! n  r !
Ejemplo 2.3 Considere que dados 10 productos, ¿cuántos subconjuntos de tres
productos podrían empacarse juntos y ofrecerse a los clientes? Si se considera
que el orden en el cual se ofrecen los tres productos no influirá en los clientes.
Solución: El número de combinaciones de 10 elementos tomados 3 a la vez es
10 C3  120 . Por tanto hay 120 paquetes de tres artículos que se pueden ofrece a
los clientes.
2.2
ENFOQUES DE PROBABILIDAD
La probabilidad es la posibilidad numérica de que ocurra un evento. La
probabilidad de un evento es medida por valores comprendidos entre 0 y 1.
Entre mayor sea la probabilidad de que ocurra un evento, su probabilidad
asignada estará más próxima a 1, mientras que la probabilidad de una
imposibilidad es 0, ésta se expresa como:
0  PE   1
(II.6)
El proceso que produce un evento es denominado experimento. Un
experimento es toda acción bien definida que conlleva a un resultado único
bien definido.
El conjunto de todos los posibles resultados para un experimento es el espacio
muestral representado por:
S  x1 , x 2 , , xn 
(II.7)
La teoría de la probabilidad ocupa un lugar importante en muchos asuntos de
negocios. Las pólizas de seguros de vida dependen de las tablas de mortalidad,
las cuales a su vez se basan en probabilidades de muerte en edades
específicas. Otras tasas de seguros tales como seguro de bienes raíces y de
automóviles se determinan de manera similar. La probabilidad también juega
un papel importante en la estimación del número de unidades defectuosas en
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Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
un proceso de fabricación, la probabilidad de recibir pagos sobre cuentas por
cobrar y las ventas potenciales de un nuevo producto.
Existen sólo tres formas generalmente aceptadas para enfocar: (1) modelo de
frecuencia relativa (o a posteriori), (2) modelo subjetivo y (3) modelo clásico (o a
priori).
El modelo de frecuencia relativa utiliza datos que se han observado
empíricamente, registra la frecuencia con que ha ocurrido algún evento en el
pasado y estima la probabilidad de que el evento ocurra nuevamente con
base en estos datos históricos. La probabilidad de un evento con base al
modelo de frecuencia relativa se determina mediante:
PE  
Número de veces que ha ocurrido el evento en el pasado
Número total de observaciones
(II.8)
El modelo subjetivo requiere establecer la probabilidad de algún evento con
base en la mejor evidencia disponible. En muchos casos esto puede ser apenas
una conjetura hecha sobre cierta base. El modelo subjetivo se utiliza cuando se
desea asignar probabilidad a un evento que nunca ha ocurrido. Por ejemplo la
probabilidad de que una mujer sea elegida como presidente de México,
debido a que no hay datos sobre los cuales confiar, deben analizar las
opiniones y creencias para obtener una estimación subjetiva.
De los tres métodos para medir la probabilidad, el modelo clásico es el que se
relaciona con mayor frecuencia con las apuestas y juegos de azar. La
probabilidad clásica de un evento E se determina mediante:
PE  
2.3
Número de formas en las que puede ocurrir un evento
Número total de posibles resultados
(II.9)
Axiomas de Probabilidad
2.3.1 Uniones, intersecciones y relaciones entre eventos
Un conjunto es una colección de objetos bien definida. Se asume que se han
identificado dos conjuntos A y B. Cada uno contiene numerosos elementos. Un
diagrama de Venn es una herramienta útil para mostrar la relación entre
conjuntos.
Intersección entre A y B A  B : es el conjunto de todos los elementos que están
tanto en A como en B. Los eventos A y B se les denomina eventos no disyuntos.
La figura 2.1(a) muestra el correspondiente diagrama de Venn.
5
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Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
Unión de A y B A  B : es el conjunto de todos los elementos que están en A o
en B. La figura 2.1(b) muestra el diagrama de Venn de la unión de dos eventos.
Figura II.1 Diagrama de Venn: (a) A intersección B y (b) A unión B
Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno
prohíbe la ocurrencia del otro.
Los eventos son independientes, si la ocurrencia de uno no tiene nada que ver
con la ocurrencia del otro.
Cuando se saca de un conjunto finito, dos eventos son independientes si y sólo
si se realiza el reemplazo. Sin embargo, si el primer elemento no se reemplaza
antes de sacar el segundo elemento, los dos eventos son dependientes.
2.3.2 Tablas de contingencia y tablas de probabilidad
Una tabla de contingencia permite examinar o comparar dos variables. De los
500 empleados de King Dynamics, Inc. 170 están clasificados como miembros
de personal administrativo, 290 como trabajadores de línea y 40 son auxiliares.
La tabla compara el género de los trabajadores y la clasificación que tienen
éstos.
Tabla II.1 Tabla de contingencia para King Dynamics
Clasificación de los empleados
Género
Administrativo
Línea
Auxiliar
Total
Hombres
120
150
30
300
Mujeres
50
140
10
200
Total
170
290
40
500
Una tabla de probabilidad puede crearse dividiendo cada una de las entradas
de la tabla anterior entre el total, 500 trabajadores. Los resultados se ven en la
tabla.
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Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
Tabla II.2 Tabla de probabilidad para King Dynamics
Clasificación de los empleados
Género
H
Mujeres M
Hombres
Total
Administrativo
S 
Línea
 0.24
150
500
50
500
 0.10
170
500
 0.34
120
500
L
Auxiliar
 A
Total
 0.06
300
500
 0.60
10
500
 0.02
200
500
 0.40
40
500
 0.08
500
500
 1.00
 0.30
30
500
140
500
 0.28
290
500
 0.58
Los valores en las márgenes de la tabla se llaman probabilidades marginales.
Por ejemplo, la probabilidad de seleccionar un trabajador de línea de manera
aleatoria es
PL  0.58
y la probabilidad de seleccionar un hombre es
PM  0.60
Las probabilidades conjuntas en las celdas de la estructura principal de la tabla
muestran la probabilidad de la intersección entre dos eventos. Por ejemplo, la
probabilidad de seleccionar un trabajador que sea parte del personal
administrativo y que sea hombre, es
PH  S   0.24
Una probabilidad marginal se encuentra como la suma de las probabilidades
conjuntas correspondientes. Por tanto
PH  PH  S  PH  L  PH  A  0.24  0.30  0.06  0.60
2.3.3 Probabilidad condicional
Es la probabilidad de que el evento A ocurra, dado que el evento B ya ocurrió.
Se denota como PA|B y se lee la “probabilidad de A dado B”. La formula
general para calcular la probabilidad condicional, es la siguiente:
PA|B 
P A  B 
PB
(II.10)
Para ilustrar la aplicación de la expresión III.10, retomemos la tabla de
probabilidades de King Dynamics, se puede observar que la probabilidad de
que un trabajador tomado aleatoriamente sea hombre es
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Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
PH  0.60
sin embargo, si se desea calcular la probabilidad de que el trabajador sea
hombre dado que es un miembro del personal administrativo PH| S  se puede
hallar así
PH  S  0.24
PH| S  

 0.71
PS 
0.34
2.3.4 Las dos reglas de la probabilidad
Para calcular la probabilidad de eventos más complejos utilizaremos la regla de
la multiplicación y la regla de la adición. Cada una se utiliza para propósitos
específicos.
2.3.4.1
Regla de la multiplicación
El propósito de la regla de la multiplicación es determinar la probabilidad del
evento conjunto PA  B . Es decir, que para encontrar la probabilidad de A y B,
simplemente se multiplican sus respectivas probabilidades. El procedimiento
exacto depende de si A y B son dependientes o independientes.
Los eventos A y B son independientes si PA  PA|B . Es decir, la probabilidad
de A es la misma bien se considere o no el evento B. De igual forma, si A y B son
independientes, si PB  PB| A
Para eventos independientes la probabilidad de dos eventos se vuelve:
PA  B  PA  PB
(II.11)
Si los eventos son dependientes, entonces, por definición, se debe considerar el
primer evento al determinar la probabilidad del segundo. Es decir, la
probabilidad del evento B depende de la condición que A ya haya ocurrido. Se
necesita del principio de probabilidad condicional. La probabilidad de los
eventos conjuntos A y B:
PA  B  PA  PB| A
(II.12)
Retornando a la tabla de probabilidad para King Dynamics, tabla II.2, se
observa que la probabilidad marginal de la segunda fila muestra claramente
que
PM  0.4
sin considerar si el trabajador es miembro administrativo, línea o auxiliar. Sin
embargo, la probabilidad conjunta de que sea mujer y miembro de línea
PM  L  0.28
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Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
También se puede calcular esta probabilidad utilizando la expresión II.12
PM  L   PM  PL|M
el último término es
anteriormente como
probabilidad
PL| M 
condicional,
la
cual
se
determinó
PL  M 0.28

 0.7
PM
0.4
entonces
PM  L   PM  PL|M  0.4  0.7  0.28
Aunque el uso de una tabla II.2 puede simplificar el cálculo de probabilidad,
existen ejemplos en los cuales es muy difícil la creación de una tabla, por lo
tanto se requiere el uso de las fórmulas.
2.3.4.2
Regla de la adición
La regla de la adición se utiliza para determinar la probabilidad del evento A o
B, PA  B .
La probabilidad de que ocurra el evento A o B para eventos que no son
mutuamente excluyentes, si ambos pueden ocurrir al mismo tiempo, se
determina por medio de la siguiente expresión:
PA  B  PA  PB  PA  B
(II.13)
En el ejemplo de King Dynamics, la probabilidad de que un empleado sea
trabajador hombre o un trabajador de línea es:
PM  L   PM  PL  PM  L   0.4  0.58  0.28  0.7
La probabilidad del evento A o del evento B cuando los eventos son
mutuamente excluyentes se determina por:
PA  B  PA  PB
(II.14)
De la tabla II.2 de King Dynamics, los eventos de que un empleado sea
trabajador hombre o un trabajador mujer son mutuamente excluyentes.
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Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1. CUESTIONARIO
Calificación:
1. Utiliza la palabra, algunas se repiten, o enunciado que complete el espacio en
blanco:












acción
cero
conjunto
enfoque clásico
evento
experimento
frecuencia
relativa
probabilidad
resultado
resultados
subjetivo
uno










datos
empíricamente
enfoque
frecuencia
muestral
número de formas en las
que puede ocurrir un
evento
número de veces que ha
ocurrido el evento en el
pasado
número
total
de
observaciones
número total de posibles
resultados
pasado










afecta
condiconal
dependientes
excluyentes
independientes
nada
no
ocurran
ocurrencia
otro
Históricamente se han desarrollado tres enfoques conceptuales para definir la probabilidad y
determinar valores de probabilidad:

__________________________________________

__________________________________________

__________________________________________
La _________________ es la posibilidad numérica de que ocurra un evento. La ______________ de
un evento es medida por valores comprendidos entre ____ y _____.
El proceso que produce un ____________ es denominado ____________. Un experimento es toda
_________ bien definida que conlleva a un ____________ único bien definido.
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Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
El _____________ de todos los posibles ______________ para un _____________ es el espacio
___________ representado por: s   x1 , x2 ,
, xn 
El ____________ de ____________ relativa utiliza datos que se han observado ______________,
registra la frecuencia con que ha ocurrido algún _____________ en el _____________ y estima la
probabilidad de que el ________________ ocurra nuevamente con base en estos ____________
históricos. La probabilidad de un evento con base al modelo de _________________ relativa se
determina mediante:
P( E ) 
De los tres métodos para medir la probabilidad, el modelo clásico es el que se relaciona con
mayor frecuencia con las apuestas y juegos de azar. La probabilidad clásica de un evento E se
determina mediante:
P( E ) 
Se dice que dos o más eventos son mutuamente _________________ si la _________________ de
uno prohíbe la ocurrencia del _________________. Esto es, si no pueden ocurrir al mismo tiempo.
Dos o más eventos son ___________ excluyentes cuando es posible que _________________ al
mismo tiempo.
Los eventos son _________________, si la ocurrencia de uno _____ tiene _________________ que ver
con la _________________ del otro. Dos eventos son _________________ cuando la ocurrencia o no
ocurrencia de un evento _________________ a la probabilidad de _________________ del otro
evento.
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Cbtis No. 50
Cuando
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
dos
eventos
_________________
son
dependientes,
se
emplea
el
concepto
de
probabilidad
para designar la probabilidad de ocurrencia del evento relacionado. La
expresión P  B | A indica la probabilidad de que ocurra el evento B dado que ya ha ocurrido
el evento A. La formula general para calcular la probabilidad condicional, es la siguiente:
P

|

P

P

 

Probabilidad de eventos
2. Para cada una de las siguientes situaciones, indique cuál de los enfoques de la
probabilidad (el clásico, el de frecuencias relativas o el subjetivo) sería más útil para
determinar el valor de probabilidad requerido.
a. La probabilidad de que haya un golpe de estado el próximo año.
______________________________
b. La probabilidad de obtener ya sea un 1 o un 6 en un solo lanzamiento de un
dado de seis caras. _________________________________
c. La probabilidad de que una persona aleatoriamente elegida entre las que
visitan una gran tienda departamental realice una compra en esa tienda.
_________________________________________
3. Una bolsa contiene 4 canicas rojas y 3 azules. Si se saca una canica de la bolsa al
azar, ¿cuál es la probabilidad de sacar una canica azul?
4. Se escoge aleatoriamente una persona vestida de rojo de un grupo de 5 personas
que visten de rojo y 4 personas que visten de azul.
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Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
5. Se escoge una pelota de tenis verde de una bolsa que contiene 4 pelotas verdes, 7
amarillas y 5 blancas.
6. Determine el valor de probabilidad aplicable a cada una de las siguientes
situaciones.
a. La probabilidad de accidentes industriales en una industria en particular en un
plazo anual. Una muestra aleatoria de 10 empresas, las cuales emplean a un
total de 8000 personas, reportó la ocurrencia de 400 accidentes industriales
durante un periodo reciente de 12 meses.
b. La probabilidad de acertar a un número ganador en un juego de ruleta. Los
números de la rueda incluyen un 0, 00 y del 1 al 36.
c. La probabilidad de que un establecimiento de franquicia de comida rápida sea
financieramente exitoso. El probable inversionista obtiene datos de otras
unidades del sistema de franquicias, estudia el desarrollo de la zona residencial
en la que estará ubicado el establecimiento y considera el volumen de ventas
requerido para garantizar el éxito financiero con base en la inversión de capital
requerida y los costos operativos. En general, el inversionista juzga que hay un
80% de posibilidades de que el establecimiento sea financieramente exitoso y
20% de que no lo sea.
7. La siguiente tabla muestra el número de computadoras vendidas diariamente por
una tienda minorista
Número de
computadoras
vendidas
Número de días
0
12
1
43
2
18
3
20
4
25
Probabilidad
13
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
Determine la probabilidad de que el número de computadoras que se vendan el día de hoy
sea:
a. 2
b. Menos de 3
c. Más de 1
d. Por lo menos 1
8. Un importador de cristal irlandés de Nueva York recibe envíos de cajas de tres
artículos. La siguiente tabla muestra los datos para las últimas 100 cajas indicaron el
número de artículos dañados que había en cada caja.
Número de defectos
Número de cajas
Probabilidad
0
40

1
27

2
21

3
12

Determine la probabilidad de que el número de artículos defectuosos sea:
a. 2
b. Menos de 3
c. Más de 1
d. Ninguno
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Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
Probabilidad con técnicas de conteo
Si un orden es suficiente para constituir otro subconjunto de r objetos tomados de un conjunto
de n objetos entonces se trata de permutaciones. Una permutación de los n objetos tomados r
a la vez se define como
n
Pr
n!
 n  r !
9. Calcula las permutaciones para los siguientes valores de n y r:
n6 r 3
n4 r2
n  10 r  4
Supongamos que tenemos una colección de n objetos. Una combinación de estos n objetos
tomados r a la vez, o una combinación r, es un subconjunto de r elementos. En otras palabras,
una combinación r es una selección de r o de n objetos donde el orden no se tiene en cuenta.
n
Cr
n!
r ! n  r  !
10. Calcula las combinaciones para los siguientes valores de n y r:
n6 r 3
n4 r2
n  10 r  4
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Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
11. Un caso reciente en la corte del condado de Madison, Kentucky, sobre las
prácticas de contratación de una compañía de teléfonos local. La compañía
planeó contratar 3 nuevos empleados. Había 8 candidatos para los cargos, 6 de los
cuales eran hombres. Los 3 que fueron contratados eran hombres. Un cargo por
discriminación de sexo se impuso contra la compañía. ¿Cómo decidiría usted?
12. Diez unidades de producción se seleccionan de una línea de producción. Tres de
estas 10 son defectuosas. Si deben sacar 5 de las 10, ¿cuál es la probabilidad de
que 2 sean defectuosas?
13. Un representante de ventas debe visitar seis ciudades durante un viaje.
a. Si en la zona geográfica por visitar hay 10 ciudades, ¿cuántas diferentes
agrupaciones de seis ciudades susceptibles de ser visitadas por el representante
de ventas hay?
b. Supongamos que en la zona geográfica que visitará el representante de ventas
hay 10 ciudades y, además, que la secuencia en la que serán programadas las
visitas a la seis ciudades elegidas también es de importancia. ¿Cuántas
secuencias son posibles para las seis ciudades asignadas?
14. De las ciudades mencionadas en el problema anterior, supongamos que seis de
ellas son en realidad mercados primarios del producto en cuestión mientras que las
otras cuatro son mercados secundarios. Si el vendedor elige aleatoriamente las seis
ciudades por visitar, ¿cuál es la probabilidad de que:
a. Cuatro de ellas sean mercados primarios y dos mercados secundarios
b. Las seis resulten ser mercados primarios
16
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
15. Los cinco individuos que componen la dirección de una pequeña empresa
manufacturera serán sentados juntos en un banquete. Determine la probabilidad
de que el grupo de tres directivos elegido a partir de los cinco incluya a:
a. Un directivo en particular
b. Dos directivos en particular
c. Tres directivos en particular
Tablas de probabilidades conjuntas
16. La revista Forbes (febrero de 1997) clasificó las 120 ciudades de estados unidos de
acuerdo con la calidad de vida, con base en parte del porcentaje de empleados
que tenían título universitario. Los resultados se ven en la siguiente tabla de
contingencia parcial, en donde A es menos del 15% con título universitario, B es del
15 al 20% con título universitario y C es más del 20% con título universitario. Realice
una tabla de probabilidad y responda las preguntas que se presentan en la
siguiente tabla.
Porcentaje
con título
universitario
A
B
C
Total
Tabla 1. Clasificación de la revista Forbes para las 120 ciudades de EU
Calidad de vida
Pobre (P)
Bueno (G)
Excelente (E)
Total
10
20
40
20
20
10
60
17
20
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Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
Tabla 2. Tabla de probabilidad para las 120 ciudades de EU
Porcentaje
con título
universitario
Pobre (P)
Bueno (G)
Excelente (E)
Total
A
B
C
Total
Los valores en las márgenes de la tabla se llaman _______________________. La probabilidad de
seleccionar una ciudad con menos del 15% de empleados con título universitario es:
P( A)  ________
y la probabilidad de seleccionar un empleado con nivel de vida excelente es:
P( E)  ________
Las probabilidades conjuntas en las celdas de la estructura principal de la tabla muestran la
probabilidad de la ________________ entre dos eventos. Por ejemplo, la probabilidad de
seleccionar una ciudad con calidad de vida pobre y del 15 al 20% de sus empleados con titulo
universitario, es:
P( P  B)  __________
Mientras que la notación
P( E  C )
se lee como _______________________________
_____________________________________________________________________________
y da:
P( E  C) : _______________
Una probabilidad marginal se encuentra como la suma de las probabilidades conjuntas
correspondientes.
18
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
Probabilidad condicional
Es la probabilidad de que el evento A ocurra, dado que el evento B ya ocurrió. Para ilustrar la
aplicación de la probabilidad condicional, retomemos la tabla 2 de probabilidades, se puede
observar que la probabilidad de que una ciudad tomada aleatoriamente tenga más del 20%
de sus empleados con titulo universitario es:
P C  
Sin embargo, si se desea calcular la probabilidad de que la ciudad cuente con más del 20% de
sus empleados con titulo universitario dado que su nivel de vida es excelente se puede hallar
así:
P C | E  

Regla de la multiplicación
El propósito de la regla de la multiplicación es determinar la probabilidad del evento conjunto

P A

B . Es decir, que para encontrar la probabilidad de A y B, simplemente se multiplican
sus respectivas probabilidades. El procedimiento exacto depende de si A y B son dependientes
o independientes.
Los eventos A y B son independientes si


P  A  P A B . Es decir, la probabilidad de A es la
misma bien se considere o no el evento B. De igual forma, si A y B son independientes, si

P  B  P B A

Para eventos independientes la probabilidad de dos eventos se vuelve:
19
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)


B  P  A P  B 
P A
Si los eventos son dependientes, entonces, por definición, se debe considerar el primer evento al
determinar la probabilidad del segundo. Es decir, la probabilidad del evento B depende de la
condición que A ya haya ocurrido. Se necesita del principio de probabilidad condicional. La
probabilidad de los eventos conjuntos A y B:

P A

B  P  A P  B | A
Regla de la adición
La regla de la adición se utiliza para determinar la probabilidad del evento A o B,

P A

B .
La probabilidad de que ocurra el evento A o B para eventos que no son mutuamente
excluyentes, si ambos pueden ocurrir al mismo tiempo, se determina por medio de la siguiente
expresión:

P A
    P   P A
B P
B

En el ejemplo de Forbes, la probabilidad de que una ciudad tenga un nivel de vida bueno o
que más del 20% de sus empleados tengan titulo universitarios es:
P

  P
  P
  P

La probabilidad del evento A o del evento B cuando los eventos son mutuamente excluyentes
se determina por:

P A
    P 
B P
De la tabla 2 de Forbes, los eventos de que una ciudad tenga una calidad de vida pobre o una
calidad de vida excelente son mutuamente excluyentes.
20
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Competencia: Conocer e identificar las diferentes funciones de distribución de
probabilidad, para su aplicación en la solución de problemas.
INTRODUCCIÓN
Una variable aleatoria es una variable cuyo valor es el resultado de un evento
aleatorio. Se supone que se lanza una moneda tres veces y se anota el número de
caras que se obtienen. Los posibles resultados son 0 caras, 1 cara, 2 caras, o 3 caras. La
variable aleatoria es el número de caras que se obtienen, y los posibles resultados son
los valores de la variable aleatoria. Como segundo ejemplo, los pesos de envío del
agua mineral en contenedores oscilaban aleatoriamente entre 10 a 25 libras. Los pesos
reales de los contenedores, en libras, son los valores de la variable aleatoria "peso".
Tal y como lo sugieren estos dos ejemplos, las variables aleatorias pueden ser discretas
o continuas. Una variable aleatoria discreta puede asumir sólo ciertos valores, con
frecuencia números enteros, y resulta principalmente del conteo. El número de caras
en el experimento del lanzamiento de la moneda es un ejemplo de una variable
aleatoria discreta. Los valores de la variable aleatoria se restringen sólo a ciertos
números: 0, 1, 2, y 3. El resultado del lanzamiento de un dado, el número de camiones
que llegan por hora al puerto de carga, y el número de clientes que están en fila para
sacar sus libros favoritos, son otros ejemplos de variables aleatorias discretas.
Una variable aleatoria continua resulta principalmente de la medición y puede tomar
cualquier valor, al menos dentro de un rango dado. Los pesos del agua mineral es un
ejemplo, debido a que los contenedores pueden tomar cualquier valor entre 10 y 25
libras. Otros ejemplos de variables aleatorias continuas incluyen la estatura de los
clientes en una tienda de ropa, los ingresos de los empleados en un centro comercial
local y el tiempo transcurrido entre la llegada de cada cliente a la biblioteca. En cada
caso, la variable aleatoria puede medirse con cualquier valor, incluyendo fracciones
de la unidad. Aunque las unidades monetarias no pueden dividirse en un número
continuo o infinito de subdivisiones (el dólar puede subdividirse sólo 100 veces),
comúnmente se tratan como distribuciones continuas de probabilidad.
21
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
Una distribución de probabilidad es un despliegue de todos los posibles resultados de
un experimento junto con las probabilidades de cada resultado. La probabilidad de
que la variable aleatoria 𝑋 tome algún valor específico, 𝑥., se escribe 𝑃(𝑋 = 𝑥). El valor
esperado de una variable aleatoria discreta es la media ponderada de todos los
posibles resultados en los cuales los pesos son las probabilidades respectivas de tales
resultados.
3.1 Distribuciones de probabilidad binomial
En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que
mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes de Bernoulli
con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.
En las empresas se tienen situaciones donde se espera que ocurra o no un evento
específico. Éste puede ser de éxito o fracaso.
La distribución binomial se utiliza en situaciones cuya solución tiene dos posibles
resultados. Ejemplos:






Al nacer un bebé puede ser varón o mujer.
En el deporte un equipo puede ganar o perder.
En pruebas de cierto o falso sólo hay dos alternativas.
Un tratamiento médico puede ser efectivo o inefectivo.
La meta de producción o ventas del mes se pueden o no lograr.
En pruebas de selección múltiple, aunque hay cuatro o cinco alternativas, se
pueden clasificar como correcta o incorrecta.
Propiedades de un experimento de Bernoulli



En cada prueba del experimento sólo hay dos posibles resultados: éxitos o
fracasos.
El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados
obtenidos en pruebas anteriores.
La probabilidad de un suceso es constante, la representamos por p, y no
varía de una prueba a otra. La probabilidad del complemento es 1- p y la
representamos por q .
22
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
Función de probabilidad binomial se expresa como:
P  X ;n, p   n C X p X 1  p 
n X
donde :
P  X ;n, p   probabilidad de X-éxitos, dadas n y p
n  número de observaciones
p  probabilidad de éxitos
1  p  probabilidad de fracasos
X  número de éxitos en la muestra  X  1,2,
,n 
La media y desviación estándar de la distribución se definen como:
  E X   n p
  n  p  1  p 
1. Grafique la distribución binomial para los siguientes valores:
n3
p  0.25 x  0,1, 2,3
x
0
1
2
3
P(X=x)
23
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
Distribución binomial
0.5
0.4
P(X)
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
Número de éxitos (X)
2. La probabilidad de que cierta clase de componente pase con éxito una
determinada prueba de impacto es 0.75. Encuentre la probabilidad de que
exactamente 2 de los siguientes 4 componentes que se prueban pasen la prueba.
3. La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad de la
sangre es 0.4. Si se sabe que 15 personas han contraído esta enfermedad, ¿cuál es
la probabilidad de que: a) sobrevivan entre 3 y 8 personas, b) sobrevivan
exactamente 5 personas y c) al menos 10 sobrevivan.
4. En pruebas realizadas a un amortiguador para automóvil se encontró que el 20%
presentaban fuga de aceite. Si se instalan 20 de estos amortiguadores, hallar la
probabilidad de que: a) 4 salgan defectuosos, b) más de 5 tengan fuga de aceite,
c) de 3 a 6 amortiguadores salgan defectuosos y d) determine el promedio y la
desviación estándar de amortiguadores con defectos.
x
P(X=x)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
24
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
11
12
13
14
15
x
P(X=x)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
25
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
Distribución binomial
0.3
0.25
P(X)
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Número de éxitos (X)
Distribución binomial
0.25
0.2
P(X)
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Número de éxitos (X)
26
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
3.2 Distribución de Poisson
En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de
probabilidad discreta. Expresa la probabilidad de un número k de eventos ocurriendo
en un tiempo fijo, si estos eventos ocurren con una frecuencia media conocida y son
independientes del tiempo discurrido desde el último evento. Se dice que existe un
proceso de Poisson si podemos observar eventos discretos en un área de oportunidad –
un intervalo continuo (de tiempo, longitud, superficie, etc.) – de tal manera que si se
reduce lo suficiente el área de oportunidad o el intervalo,



La probabilidad de observar exactamente un éxito en el intervalo es constante.
La probabilidad de obtener más de un éxito en el intervalo es 0.
La probabilidad de observar un éxito en cualquier intervalo es estadísticamente
independiente de la de cualquier otro intervalo.
Utilidad:




La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son
impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el total de
posibles resultados.
Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultado
discreto.
Es muy útil cuando la muestra o segmento, n, es grande y la probabilidad de
éxitos p es pequeña.
Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye
dentro de un segmento dado como por ejemplo distancia, área, volumen o
tiempo definido.
Esta distribución se aplica en situaciones como:







La llegada de un cliente al negocio durante una hora.
Las llamadas telefónicas que se reciben en un día.
Los defectos en manufactura de papel por cada metro producido.
Los envases llenados fuera de los límites por cada 100 galones de producto
terminado.
El número de pacientes que llegan al servicio de emergencia de un hospital en
un intervalo de tiempo.
El número de glóbulos blancos que se cuentan en una muestra dada.
El número de partos triples por año
27
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
La expresión matemática para la distribución de Poisson para obtener 𝑋 éxitos, dado que se espera 1
éxito es:
e  X
P  X ;  
X!
P  X ;    la probabilidad de X eventos en un área de oportunidad
  número de eventos esperado (media)
X  número de eventos
5. Grafique la distribución de Poisson para los siguientes valores:
  1, 4,10 x  0,1, 2,3,..., 20
X
P(X=x)
P(X=x)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
28
P(X=x)
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
19
20
Distribución de Poisson
0.4
0.35
0.3
P(X)
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
X
6. Un comerciante de verduras tiene conocimiento de que el 3% de la caja está
descompuesta. Si un comprador elige 100 verduras al azar, encuentre la
probabilidad de que: (a) las 4 estén descompuestas y (b) de 1 a 3 estén
descompuestas.
7. En pruebas realizadas a un amortiguador para automóvil se encontró que el 0.04
presentaban fuga de aceite. Si se instalan 150 de estos amortiguadores, hallar la
probabilidad de que: (a) 4 salgan defectuosos, (b) más de 5 tengan fuga de
aceite, y (c) de 3 a 6 amortiguadores salgan defectuosos.
8. Si 8 de 100 viviendas violan el código de construcción. ¿cuál es la probabilidad de
que un inspector de viviendas, que selecciona aleatoriamente a 50 de ellas,
descubra que: (a) ninguna de las casas viola el código de construcción, (b) una
viola el código de construcción y (c) dos violan el código de construcción.
9. El número de pacientes que llega a un hospital sigue una distribución de Poisson. Si
el número promedio es de 120 por hora, ¿cuál es la probabilidad de que en un
minuto lleguen por lo menos 3 pacientes?
10. Se sabe que 10 es el número promedio de camiones tanque de aceite que llegan
por día a una cierta ciudad portuaria. Las instalaciones del puerto pueden atender
cuando mucho a 15 camiones tanque en un día. ¿Cuál es la probabilidad de que
en un determinado día se tengan que regresar los camiones tanque?
29
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
11. En un estudio de un inventario se determinó que, en promedio, la demanda por un
artículo en particular en una bodega era 5 veces al día. ¿Cuál es la probabilidad
de que en un determinado día este artículo sea requerido: (a) más de 5 veces y (b)
ni una sola vez?
12. El profesor Bradley anima a sus estudiantes de estadística a "actuar de forma
prudente" consultando al tutor si tienen alguna pregunta mientras se preparan para
el examen final. Parece que la llegada de los estudiantes a la oficina del tutor se
ajusta a una distribución de Poisson, con un promedio de 5.2 estudiantes cada 20
minutos. El profesor Bradley está preocupado porque si muchos estudiantes
necesitan los servicios del tutor, puede resultar un problema de congestión.
a) El tutor debe determinar la probabilidad de que cuatro estudiantes lleguen
durante cualquier intervalo de 20 minutos, lo cual podría causar el problema de
congestión que teme el profesor Bradley. Si la probabilidad excede el 20%, se
contratará un segundo tutor.
b) El tutor debe calcular la probabilidad de que más de cuatro estudiantes
lleguen durante algún período de 20 minutos. Si es mayor que el 50%, las horas
de oficina del tutor se aumentarán, permitiendo a los estudiantes extender el
horario en las que vienen a ver al tutor.
c) Si la probabilidad de que más de siete estudiantes lleguen durante un período
cualquiera de 30 minutos excede 50%, el mismo profesor Bradley ofrecerá tutoría
adicional.
13. A un conmutador de la oficina principal de la compañía llegan llamadas a un
promedio de dos por minuto y se sabe que tienen distribución de Poisson. Si el
operador está distraído por un minuto, cuál es la probabilidad de que el número de
llamadas no respondidas sea:
a.
¿Cero?
b.
¿Por lo menos una?
c.
¿Entre 3 y 5, inclusive?
14. Un proceso de fabricación utilizado para hacer artefactos plásticos Incas presenta
una tasa de defectos de 5 por cada 100 unidades. Las unidades se envían a los
distribuidores en lotes de 200. Si la probabilidad de que más de 3 salgan
defectuosos supera el 30%, usted planea vender en su lugar, camisetas Grateful
Dead. ¿Cuál artículo agregará usted al inventario?
30
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
15. Usted compra partes para bicicleta de un proveedor en Toledo que tiene 3
defectos por cada 100 partes. Usted está en el mercado para comprar 150 partes
pero no aceptará una probabilidad de más del 50% de que más de dos partes sean
defectuosas. ¿Usted le compraría a dicho proveedor?
3.3 Distribución normal
Una de las herramientas de mayor uso en las empresas es la utilización de la curva
normal para describir situaciones donde podemos recopilar datos. Esto nos permite
tomar decisiones que vayan a la par con las metas y objetivos de la organización.
Utilidad:





Se utiliza muy a menudo porque hay muchas variables asociadas a fenómenos
naturales que siguen el modelo de la normal.
Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una
especie, por ejemplo: tallas, pesos, diámetros, distancias, perímetros,...
Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco,
o de una misma cantidad de abono
Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un
mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen
Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de
adaptación a un medio,...
La función de distribución:




Puede tomar cualquier valor (-∞ , +∞ )
Hay más probabilidad para los valores cercanos a la media m
Conforme nos separamos de µ, la probabilidad va decreciendo de igual forma
a derecha e izquierda (es simétrica).
Conforme nos separamos de µ, la probabilidad va decreciendo dependiendo la
desviación típica
31
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
La expresión matemática para la distribución normal:
1  X   

 
2
 
1
2
f  X ;  ,  
e 
 2
donde :
  es la media
  es la desviación
estándar
  3.14159
X  es cualquier valor
de la variable
continua
F(X)=P  X  k 
16. Grafique la distribución normal para los siguientes valores:   50   5,10, 20
P(X)
Distribución normal
0.1
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
20
40
60
X
32
80
100
120
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
17. Dada una distribución normal, encuentre el área bajo la curva que cae
a. a la izquierda de z  1.43
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-3.4
-3
-2.6
-2.2
-1.8
-1.4
-1
-0.6
-0.2
0.2
0.6
1
1.4
1.8
2.2
2.6
3
3.4
0
b. a la derecha de z  0.89
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-3.4
-3
-2.6
-2.2
-1.8
-1.4
-1
-0.6
-0.2
0.2
0.6
1
1.4
1.8
2.2
2.6
3
3.4
0
c.
entre z  2.16 y z  0.65
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-3.4
-3
-2.6
-2.2
-1.8
-1.4
-1
-0.6
-0.2
0.2
0.6
1
1.4
1.8
2.2
2.6
3
3.4
0
d. a la izquierda de z  1.39
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-3.4
-3
-2.6
-2.2
-1.8
-1.4
-1
-0.6
-0.2
0.2
0.6
1
1.4
1.8
2.2
2.6
3
3.4
0
e.
a la derecha de z  1.96
33
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-3.4
-3
-2.6
-2.2
-1.8
-1.4
-1
-0.6
-0.2
0.2
0.6
1
1.4
1.8
2.2
2.6
3
3.4
0
f.
entre z  0.48 y z  1.74
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-3.4
-3
-2.6
-2.2
-1.8
-1.4
-1
-0.6
-0.2
0.2
0.6
1
1.4
1.8
2.2
2.6
3
3.4
0
18. Dada una distribución normal con media igual a 50 y desviación estándar igual a
10, encuentre la probabilidad de que X asuma un valor entre 45 y 62.
z
x

0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-3.4
-3
-2.6
-2.2
-1.8
-1.4
-1
-0.6
-0.2
0.2
0.6
1
1.4
1.8
2.2
2.6
3
3.4
0
19. Los siguientes datos representan la duración de vida en segundos de 50 moscas,
sometidas a un nuevo atomizador en un experimento de laboratorio controlado:
17
12
16
13
7
20
14
18
7
10
10
6
8
18
5
19
9
13
7
14
23
13
3
10
15
13
6
32
4
10
12
7
9
27
9
19
10
7
19
6
18
13
10
16
7
a) determine el porcentaje de vida de las moscas entre 10 y 20 segundos,
b) más de 23 segundos,
34
24
7
11
8
15
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
c) menos de 10 segundos.
20. TelCom Satellite presta servicios de comunicación a los negocios del área
metropolitana de Chicago. Los funcionarios de la compañía han aprendido que la
transmisión satélite promedio es de 150 segundos, con una desviación estándar de
15 segundos. Los tiempos parecen estar distribuidos normalmente.
Para estimar de manera apropiada la demanda del cliente por sus servicios y
establecer una estructura de tarifas que maximice las utilidades corporativas,
TelCom debe determinar qué tan probable es que algunas llamadas se presenten.
El director de servicios desea que usted proporcione estimados de la probabilidad
de que una llamada dure:
a.
b.
c.
d.
Entre 125 y 150 segundos.
Menos de 125 segundos.
Entre 145 y 155 segundos.
Entre 160 y 165 segundos.
21. Como ingeniero constructor usted compra bolsas de cemento de un promedio de
50 libras, con una desviación estándar de 5.2 libras. Debe que usted tuvo el
accidente escalando una montaña, el médico le dijo que no levantara nada que
pesara más de 60 libras ¿debería usted cargar una bolsa?
CONTENIDO DE LA ESTADÍSTICA
Competencia: El estudiante determinará el contenido de la estadística dentro del área
de conocimiento de su profesión.
INTRODUCCIÓN
A medida que aumenta la complejidad de nuestro mundo, se hace cada vez más
difícil tomar decisiones inteligentes y bien documentadas. Con frecuencia tales
decisiones deben tomarse con mucho menos que un conocimiento adecuado y
experimentando una gran incertidumbre. Sin embargo, las soluciones a estos
problemas son esenciales para nuestro bienestar e incluso para nuestra supervivencia
final. Continuamente estamos recibiendo presiones debido a problemas económicos
35
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
como una inflación galopante, el sistema tributario engorroso, etc. Todo nuestro tejido
económico y social está amenazado por la contaminación ambiental, la deuda
pública onerosa, la tasa de criminalidad que siempre va en aumento y las
impredecibles tasas de interés. Esta unidad aportara una visión general sobre lo que es
la estadística y como puede utilizarse.
1.1 OBJETO DE LA ESTADÍSTICA
La Estadística se ocupa de la recolección, agrupación, presentación, análisis e
interpretación de datos, por tanto, la estadística es un método científico que pretende
sacar conclusiones a partir de unas observaciones hechas.
El objetivo básico de la estadística es hacer inferencia acerca de una población
basada en la información contenida en una muestra. Inferir significa predecir, suponer,
asegurar. Es decir se pretende establecer inferencia acerca de una población.
Entendiendo a la población como un conjunto de individuos, organismos o entes
inanimados de los cuales queremos conocer alguna o algunas características para
que nos ayuden a tomar una decisión u obtener alguna conclusión de suma
importancia.
La Estadística actual es el resultado de la unión de dos disciplinas que evolucionaron
de forma independiente hasta confluir en el siglo XIX:
• el Cálculo de Probabilidades, que nació en el siglo XVII como la teoría matemática
de los juegos de azar,
• la “Estadística”, o ciencia del Estado, que estudia la descripción de datos, y que tiene
unas raíces más antiguas, de hecho, tan antiguas como la humanidad (censos de
población). La interacción de ambas líneas de pensamiento da lugar a la ciencia que
estudia cómo obtener conclusiones de la investigación empírica mediante el uso de
modelos matemáticos.
Resumiendo la Estadística actúa como disciplina puente entre los modelos
matemáticos y los fenómenos reales. Un modelo matemático es una abstracción
simplificada de una realidad más compleja y siempre existirá una cierta discrepancia
36
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
entre lo que se observa y lo previsto por el modelo. La Estadística proporciona una
metodología para evaluar y juzgar estas discrepancias entre la realidad y la teoría.
1.2 RAMAS DE LA ESTADÍSTICA
La estadística es la ciencia que tiene que ver con la (1) recolección, (2) organización,
(3) presentación, (4) análisis, e (5) interpretación de datos. Las dos principales ramas
del análisis estadístico son:

Estadística descriptiva, es el proceso de recolectar, agrupar y presentar datos
de una manera tal que describa fácil y rápidamente dichos datos.

Estadística inferencial involucra la utilización de una muestra para sacar alguna
inferencia o conclusión sobre la población de la cual hace parte la muestra.
1.3 ESTADÍSTICA EN LA INVESTIGACIÓN
Virtualmente cada área de la investigación científica seria puede beneficiarse del
análisis estadístico. Para quien formula las políticas económicas y para quien asesora al
presidente y otros funcionarios públicos sobre procedimientos económicos apropiados,
la estadística ha demostrado ser una herramienta valiosa. Las decisiones sobre las tasas
tributarias, los programas sociales, el gasto de defensa y muchos otros asuntos pueden
hacerse de manera inteligente tan sólo con la ayuda del análisis estadístico. Los
hombres y mujeres de negocios en su eterna búsqueda de la rentabilidad, consideran
que la estadística es esencial en el proceso de toma de decisiones. Los esfuerzos en
control de calidad, minimización de costos, combinación de productos e inventarios, y
una gran cantidad de otros asuntos empresariales, pueden manejarse efectivamente a
través del uso de procedimientos estadísticos comprobados.
Para quienes están en el área de la investigación de mercados, la estadística es de
gran ayuda en el momento de determinar qué tan probable es que un producto
nuevo sea exitoso. La estadística también es muy útil para evaluar las oportunidades de
inversión por parte de asesores financieros. Los contadores, los jefes de personal y los
fabricantes encuentran oportunidades ilimitadas de beneficiarse con el uso del análisis
37
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
estadístico. Incluso un investigador en el campo de la medicina, interesado en la
efectividad de un nuevo medicamento, considera la estadística una aliada
imprescindible.
Recuerde su Jefe espera que usted haga dos cosas: (a) tomar decisiones y (b)
solucionar problemas; estos dos cometidos pueden lograrse a través de la aplicación
de procedimientos estadísticos.
1.3.1 La aplicación universal de la estadística
Los problemas complejos que enfrenta el mundo actual requieren soluciones
cuantitativas. Si usted no está en capacidad de aplicar la estadística y otros métodos
cuantitativos a muchos de los problemas comunes que sin duda se le presentarán,
estará en gran desventaja en el mercado laboral.
Casi todas las áreas del saber requieren del pensamiento estadístico. Las disciplinas de
estudios que dependen ampliamente del análisis estadístico, incluyen –pero no se
limitan a–, marketing, finanzas, economía e investigación de operaciones. Los principios
aprendidos en contabilidad y gerencia administrativa también se basan en la
preparación estadística.
Los analistas financieros y económicos con frecuencia se basan en sus habilidades
cuantitativas para proporcionar soluciones a problemas difíciles. La compresión de los
principios financieros y económicos permitirá aplicar las técnicas estadísticas para
hallar soluciones viables y tomar decisiones.
Bien sea que las aspiraciones profesionales tiendan hacia la industria privada, el
servicio público, el gobierno, a hacia otra fuente de retribución remunerada, la
experiencia académica será más completa si se adquiere una sólida formación en
fundamentos de análisis estadístico.
1.3.2 Gerencia de calidad total
38
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
A medida que la competencia mundial se intensifica, surge, de parte de los negocios,
un esfuerzo por promover la calidad de sus productos. Este esfuerzo, conocido
ampliamente como Gerencia de Calidad Total (Total Quality Management, TQM), tiene
como propósito central la promoción de las cualidades del producto que el
consumidor considera importantes. Tales atributos van desde la ausencia de defectos
hasta el servicio eficiente y la respuesta rápida a las posibles quejas del consumidor.
Hoy día, la mayoría de los grandes negocios, así como también muchos negocios
pequeños, tienen departamentos de Control de Calidad (Quality Control, QC) cuya
función es recolectar datos sobre el desempeño y solucionar problemas de calidad.
Así, la TQM representa un área creciente de oportunidades para quienes tienen
conocimientos en estadística.
La TQM involucra el uso de equipos integrados conformados por ingenieros, expertos
en marketing, especialistas en diseño, estadísticos, y otros profesionales que pueden
contribuir a la satisfacción del cliente. La formación de estos equipos, denominada
Despliegue de la Función de la Calidad (Quality Function Deployment, QFD), está
diseñada para reconocer y agenciar las inquietudes de los consumidores. Los
especialistas actúan conjuntamente para promover la calidad del producto y para
que supla de manera efectiva las necesidades y preferencias del consumidor.
Los círculos de control de calidad constan de un grupo pequeño de empleados
(generalmente entre 5 y 12) que se reúnen regularmente para solucionar problemas
relacionados con el trabajo. Con frecuencia se conforman tanto con trabajadores en
línea como con representantes de la gerencia; los miembros de estos círculos de
calidad son todos de la misma área de trabajo y reciben capacitación formal en
control estadístico de calidad y en planeación de grupos. A través de discusiones
abiertas y del análisis estadístico, los círculos pueden lograr mejoras significativas en
diversas áreas que van desde el mejoramiento de la calidad, el diseño del producto, la
productividad y los métodos de producción, hasta la reducción de costos y seguridad.
Uno de los elementos más importantes del TQM es un conjunto de herramientas y
métodos estadísticos utilizados para promover el Control Estadístico de Calidad
(Statistical Quality Control, SQC). Tales herramientas ayudan a organizar y analizar
datos para efectos de solucionar problemas.
39
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
Hablando en términos generales, el SQC está diseñado para asegurar que los
productos cumplan con unas normas y especificaciones mínimas de producción. Este
objetivo con frecuencia se promueve a través del uso del muestreo de aceptación, el
cual es parte integral del SQC. El muestreo de aceptación implica probar una muestra
aleatoria de productos existentes para determinar si se debe aceptar o rechazar todo
el envío, o el lote. Esta decisión se basa en parte de un nivel de calidad aceptable
(Aceptable Quality Level, AQL), o número máximo de defectos que una empresa está
dispuesta a tolerar.
1.4 CONCEPTOS BÁSICOS
Toda rama de la investigación científica tiene su vocabulario propio y la estadística no
es la excepción, las definiciones y expresiones que siguen son esenciales para la
compresión de cómo se realizan las pruebas estadísticas.
1.4.1 Población y parámetros
Población: Es la recolección completa de todas las observaciones de interés para el
investigador. Una población puede ser finita o infinita.
Población finita: Es aquella que posee o incluye un número limitado de medidas y
observaciones. Se pueden listar los elementos en algún orden y en consecuencia
contarlos uno a uno hasta alcanzar el último.
Población infinita: Es infinita si se incluye un gran conjunto de medidas y observaciones
que no pueden alcanzarse en el conteo. Hipotéticamente no existe límite en cuanto al
número de observaciones que cada uno de ellos puede generar. Es conveniente
referirse a una población infinita cuando se habla de una población que no puede ser
numerada en un periodo razonable.
Parámetro: Es una medida descriptiva de la población total de todas las observaciones
de interés para el investigador.
40
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
1.4.2 Muestras y estadísticos
Muestra: Es una parte representativa de la población que se selecciona para ser
estudiada ya que la población es demasiado grande como para analizarla en su
totalidad.
Estadístico: Elemento que describe una muestra y sirve como una estimación del
parámetro de la población correspondiente.
1.4.3 Variables
Variable: Es una característica de la población que se está analizando en un estudio
estadístico.
Tipos de variables:

Cualitativas, categóricas (o alfanuméricas): Pueden tomar valores no
cuantificables numéricamente. Se denomina categoría a cada uno de los
valores que toma la variable.



Nominales: si no existe ningún orden entre las categorías de la variable.
Ejemplos, el grupo sanguíneo (A ,B ,AB, O); el color de los ojos (azules,
verdes, marrones, negros).
Binarias: aquéllas que sólo toman dos valores posibles (sí/no,
presencia/ausencia de cierto carácter), dentro de las nominales. Ejemplo:
el sexo, ser fumador, tener carné de conducir, ser daltónico.
Ordinales: cuando existe un cierto orden entre las categorías de la
variable. Ejemplo: el nivel de estudios (sin estudios, básicos, medios,
superiores), el grado de miopía (ausencia, bajo, medio, alto).
41
Cbtis No. 50

Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
Cuantitativas
(o
numéricamente.


numéricas):
Pueden
tomar
valores
cuantificables
Discretas: si solamente toman valores aislados (generalmente enteros).
Suelen corresponder a conteos. Ejemplos, el número de hermanos, el número
de cafés/día, el número de multas/año.
Continuas: potencialmente puede tomar cualquier valor numérico dentro de
un intervalo o de una unión de intervalos. Ejemplos, el tiempo de reacción a
un cierto medicamento, el peso de un individuo, la longitud del caparazón
de una tortuga.
1.4.4 Métodos de muestreo
Gran parte del trabajo de un estadístico se realiza con muestras. En la práctica no va a
ser posible estudiar todos los elementos de la población, por varias razones:




El estudio puede implicar la destrucción del elemento (estudio de la vida media
de una partida de bombillas, estudio de la tensión de rotura de unos cables).
Los elementos pueden existir conceptualmente, pero no en realidad (población
de piezas defectuosas que producirá una máquina en su vida útil).
Puede ser inviable económicamente (muy costoso) estudiar a toda la
población.
El estudio llevaría tanto tiempo que sería impracticable e incluso las propiedades
de la población podrían variar con el tiempo.
Por tanto debe seleccionarse una muestra de la población, calcular el estadístico de la
muestra, y utilizarlo para estimar el parámetro correspondiente de la población.
1.4.4.1 Muestreo aleatorio simple
Una muestra es aleatoria simple cuando:
1. cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser escogido en
forma individual,
2. las observaciones se realizan con reposición, de manera que la población es
idéntica en todas las extracciones.
42
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
Comentarios:


La condición (1) asegura la representatividad.
La condición (2) se impone por simplicidad: si el tamaño de la población N es
grande con respecto al tamaño muestral n, es prácticamente indiferente realizar
el muestreo con o sin reposición.
¿Cómo se realiza? Se utilizan las tablas de números aleatorios: se enumeran los
elementos de la población del 1 al N y se toman números aleatorios de tantas cifras
como tenga N. El valor del número aleatorio indicará el elemento a seleccionar.
1.4.4.2 Muestreo Estratificado
Los elementos de la población se dividen en grupos homogéneos o estratos según la
característica más importante (por ejemplo, según el sexo, la edad, la profesión, etc.).
Para esto:


se asigna un número de elementos a cada estrato,
dentro de cada estrato se seleccionan los elementos por muestreo aleatorio
simple.
Si hay k estratos de tamaños N1 , ,Nk , de manera que N  N1    Nk , la
composición de la muestra será n  n1    nk , donde el número de elementos se
pueden determinar de dos formas distintas:
1. proporcionalmente al tamaño de cada estrato:
ni  n
Ni
N
2. proporcionalmente a la variabilidad de cada estrato:
43
(I.1)
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
ni  n
 i Ni
(I.2)
k
 N
i 1
i
i
donde σi es una medida de la variabilidad del estrato i-ésimo.
1.4.4.3 Muestreo por conglomerados
Hay situaciones en que ni el muestreo aleatorio simple ni el estratificado son aplicables.
En estos casos es habitual que los elementos de la población se encuentren agrupados
en conglomerados, de los cuales sí que se sabe cuántos hay. (Por ejemplo, la
población se distribuye en provincias, los habitantes de una ciudad se distribuyen en
barrios, etc.).
Si puede suponerse que cada conglomerado es una muestra representativa de la
población total respecto de la variable de estudio, podemos:


seleccionar al azar algunos de estos conglomerados,
dentro de cada conglomerado, analizar:
a) todos sus elementos,
b) una muestra aleatoria simple de sus elementos.
Inconveniente, si los conglomerados son heterogéneos entre ellos, puesto que sólo se
analizan algunos de ellos, la muestra final puede ser no representativa de la población.
Las ideas de estratificación y conglomerado son opuestas:


La estratificación funciona mejor cuánto mayor sean las diferencias entre
estratos, pero es necesario que los estratos sean homogéneos internamente.
Los conglomerados funcionan mejor cuánto menores sean las diferencias entre
ellos, pero deben ser muy heterogéneos internamente, es decir, dentro de cada
conglomerado debe estar incluida toda la variabilidad de la población.
44
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
La regla general que se aplica a todos los procedimientos de muestreo es que
cualquier información previa tiene que utilizarse para subdividir la población y asegurar
una mayor representatividad de la muestra. Una vez que los grupos homogéneos han
sido definidos, la selección dentro de ellos debe realizarse por muestreo aleatorio
simple.
La exactitud de toda estimación es de enorme importancia. Esta exactitud depende
en gran parte de la forma como se tomó la muestra, y del cuidado que se tenga para
garantizar que la muestra proporcione una imagen confiable de la población. Sin
embargo, con mucha frecuencia se comprueba que la muestra no es del todo
representativa de la población y resultara un error de muestreo.
Existen dos causas posibles del error de muestreo. La primera fuente del error de
muestreo es el azar en el proceso del muestreo. Debido al factor azar en la selección
de elementos de la muestra, es posible seleccionar sin darse cuenta, elementos que
sean anormalmente grandes o inusualmente pequeños, produciendo una
subestimación del parámetro. En cualquiera de los dos casos, ha ocurrido un error de
muestreo.
Una forma más seria de error de muestreo es el sesgo muestral. El sesgo muestral ocurre
cuando hay alguna tendencia a seleccionar determinados elementos de muestra en
lugar de otros. Si el proceso de muestreo se diseña de manera incorrecta y tiende a
promover la selección de demasiadas unidades con una característica en especial, a
expensas de las unidades que no tienen dicha característica, se dice que la muestra
está sesgada.
El sesgo, es el grado de asimetría que presenta un histograma o polígono de
frecuencias. Si el histograma está cargado a la izquierda, el sesgo tiene un valor
negativo. En cambio cuando esta más cargado a la derecha, el sesgo toma un valor
positivo. Si el sesgo adquiere un valor nulo, significa que el histograma es simétrico.
1.4.5 Escalas de medida
45
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
Las variables pueden clasificarse con base en su escala de medida. La manera en que
se clasifican las variables afecta en gran parte la forma como se utilizan en el análisis.
Las variables pueden ser (1) nominales, (2) ordinales, (3) de intervalo, o (4) de razón.
1.4.5.1 Mediciones en escala nominal
Una medida nominal se crea cuando se utilizan nombres para establecer categorías
dentro de las cuales las variables pueden registrarse exclusivamente.
Por ejemplo, el sexo puede clasificarse como “hombre” o “mujer”. Se podría codificar
también con un “1” o “2”, pero los números servirían tan sólo para indicar las categorías
y no tendría significado numérico. Es importante recordar que una medida en escala
nominal no indica ningún orden de preferencia, sino que simplemente establece una
disposición categórica en la cual se puede ubicar cada observación.
Existen escalas nominales tanto para datos cuantitativos como cualitativos. Una escala
nominal para datos numéricos asigna números a las categorías para distinguirlas.
1.4.5.2 Medidas en escalas ordinales
Son las que clasifican las observaciones en categorías con un orden significativo.
A diferencia de una medida en escala nominal, una medida en escala ordinal si
muestra un ordenamiento o secuencia de los datos. Es decir, que las observaciones se
clasifican con base en algunos criterios. Hay quien clasifica sus productos como
“buenos”, “mejores” y “los mejores”. Las encuestas de opinión con frecuencia utilizan
una medida en escala ordinal como “totalmente de acuerdo”, “de acuerdo”, “sin
opinión”, “en desacuerdo”, y “en total desacuerdo”.
Al igual que con los datos nominales, los números pueden utilizarse para ordenar los
rangos. Y al igual que con los datos nominales, la magnitud de los números no es
46
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
importante; el rango depende sólo del orden de los valores. Por ejemplo se pueden
utilizar los rangos de “1”, “2” y “3”, o “1”, “3” y “12” para este asunto. Las diferencias
aritméticas entre valores carecen de sentido. Un producto con rango “2” no es dos
veces mejor que uno de rango “1”.
1.4.5.3 Medidas en escala de intervalo
Medidas en una escala numérica en la cual el valor de cero es arbitrario pero la
diferencia entre valores es importante. Los datos de intervalo son cuantitativos por
necesidad; una escala de intervalo no siempre tiene un punto cero.
En una escala de intervalo las variables se miden de manera numérica, y al igual que
los datos ordinales, llevan inherente un rango u ordenamiento. Sin embargo, a
diferencia de los rangos ordinales, la diferencia entre los valores es importante. Por eso,
las operaciones aritméticas de suma y resta, son significativas.
1.4.5.4 Medidas en escala de razón
Medidas numéricas en las cuales cero es un valor fijo en cualquier escala y la
diferencia entre valores es importante. Con datos medidos en una escala de razón, se
puede determinar cuantas veces es mayor una medida que otra.
La escala de razón se basa en un sistema numérico en el cual el cero es significativo.
Por tanto las operaciones de multiplicación y división también toman una
interpretación racional. Una escala de razón se utiliza para medir muchos tipos de
datos que se encuentran en el análisis empresarial. Variables tales como costos,
rentabilidad y niveles de inventario se expresan como medidas de razón. Por ejemplo,
una firma con una participación en el mercado del 40% tiene dos veces más
participación que una firma con una participación en el mercado del 20%. Las
medidas tales como peso, tiempo y distancia también se miden en una escala de
razón, ya que cero es significativo y un artículo que pesa 100 libras tiene la mitad del
peso de un artículo que pesa 200 libras.
47
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
Batería 1 de ejercicios:
1. Describa en sus propios términos la diferencia entre una población y una muestra;
entre un parámetro y un estadístico.
2. ¿Cuál es la diferencia entre una variable cuantitativa y una variable cualitativa. Dé
ejemplos.
3. Diferencie entre una variable continua y una variable discreta. Dé ejemplos de
cada una.
4. Seleccione una población cualquiera que sea de su interés. Identifique variables
cuantitativas y cualitativas de esa población que puedan seleccionarse para ser
estudiadas.
5. Analice si las siguientes variables son discretas o continuas:
a. Número de cursos que los estudiantes de su colegio están cursando este
semestre.
b. Número de pases atrapados por el beisbolista Tim brown, receptor de los LA
Raiders.
c. Peso de los compañeros de equipo de Tim Brown.
d. Peso del contenido de las cajas de cereal.
e. Número de libros que usted leyó el año pasado.
6. ¿En cuál escala de medida puede expresarse cada una de estas variables?
Explique sus respuestas.
a. Los estudiantes clasifican a su profesor de estadística sobre una escala de
“terrible”, “no tan malo”, “bueno”, “maravilloso” y “dios griego”.
b. Los estudiantes en una universidad están clasificados por profesión, tales como
marketing, administración y contaduría.
c. Los estudiantes están clasificados por cursos utilizando los valores 1, 2 , 3, 4 y 5.
d. Agrupar mediciones de líquidos en octavo, cuarto y galón.
e. Edades de los clientes.
48
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
COMPETENCIA: El estudiante aplicará las técnicas de estadística descriptiva a un
conjunto de datos mediante el uso de modelos tabulares y gráficos, con el fin de
describir dicho conjunto y utilizar dicha información en el proceso de toma de
decisiones.
Organización y representación de datos
Distribución de frecuencias tabulares y gráficas
Medidas de tendencia central
Medidas de dispersión, asimetría y kurtosis
Medidas de posición
49
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
INTRODUCCIÓN
Casi todos los trabajos que se hacen en estadística comienzan con el proceso de
recolección de datos necesarios para formar con ellos un conjunto que se utilizará en
el estudio. Para propósitos generales, se adoptará la suposición conveniente de que
esta labor, con frecuencia tediosa, ya ha sido realizada y que los datos están
disponibles.
Esta recolección de datos originales revela muy poco por sí sola. Es extremadamente
difícil determinar el verdadero significado de un grupo de números que simplemente se
han registrado en un papel. Nuestra labor es organizar y describir tales datos de
manera concisa y significativa. Para determinar su significancia, los datos se organizan
de manera que, con un simple vistazo, se pueda tener una idea de lo que pueden
decirnos.
1.5 ORGANIZACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE DATOS
Pueden utilizarse varias herramientas básicas para describir y resumir un conjunto
grande de datos. La manera más simple, pero quizás la más significativa, es la serie
ordenada. Una serie ordenada simplemente enumera tales observaciones en orden
ascendente o descendente. Está proporciona alguna agrupación al conjunto de
datos; por ejemplo, se puede ver de inmediato los valores extremos. Sin embargo la
utilidad de una serie ordenada es limitada. Las herramientas que resultan de particular
utilidad para organizar los datos incluyen tablas de frecuencia que colocan los datos
en clases específicas y diversos gráficos que pueden proporcionar una representación
visual de los datos.
Los siguientes datos son los ingresos de 60 ejecutivos de marketing para empresas de
Estados Unidos. Los datos están expresados en miles de dólares. Supóngase que se
desea analizar, ¿Cuál es el ingreso promedio de los ejecutivos de marketing?, ¿Cuál
50
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
sería el ingreso mínimo y máximo?, etc. Los resultados obtenidos se muestran en el
siguiente cuadro de datos:
58
64
79
74
69
71
65
55
73
40
76
76
74
38
62
54
79
75
72
50
89
34
56
69
56
31
47
62
64
74
45
65
71
79
38
69
46
57
69
61
67
45
85
61
69
62
77
77
51
69
34
39
87
71
79
39
66
36
50
73
La forma en la que se presentaron los datos dificulta la obtención de la respuesta a
tales interrogantes. Conviene, pues, organizar los datos de tal modo que proporcionen
información resumida y más clara sobre el proceso.
Los métodos estadísticos de organización de datos ofrecen para ello las técnicas de
agrupación de los mismos en intervalos o categorías de clases, formando distribuciones
de frecuencias. Cabe aclarar que a los intervalos se les llama indistintamente intervalos
de clase, clases, categorías de clase o categorías.
1.6 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS TABULARES Y GRÁFICAS
Cuando se tiene un problema en donde la muestra contenga más de 30 datos se
emplea el método de datos agrupados para obtener el histograma y las ojivas
correspondientes. El procedimiento para organizar los datos en distribuciones de
frecuencias se describe a continuación:
1. La tabla de datos se ordena de menor a mayor.
2. Se determina la tabla de frecuencias, distribución de frecuencias simples, en la cuál
se determinan los siguientes valores:
a. Se obtiene el número de datos n ,
51
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
b. Se obtiene el rango R  valor mayor - valor menor ,
c. Se obtiene el numero de intervalos, éste en la tabla de frecuencias
determina el numero de renglones y en el histograma determina el numero
de rectángulos o barras, el cuál está definido por la siguiente ecuación:
Ni  3.32 log n
(I.3)
el resultado debe ser un numero entero por lo que si hay una fracción se
redondea el resultado.
d. Se determina el tamaño del intervalo por medio de:
Ti 
R
Ni
(I.4)
en el histograma representa el ancho del rectángulo. El resultado se trabaja
con un solo decimal. Si el resultado del rango tiene decimales, entonces se
recorre el punto hasta hacerlo un número entero antes de sacar el tamaño
del intervalo.
Criterio para determinar el tamaño del intervalo:
d.1 No se aceptan resultados enteros
d.2 No se aceptan decimales entre 0.1  0.4
d.3 Solo se aceptan decimales entre 0.5  0.9
d.4 Si el resultado obtenido de aplicar la expresión I.4 cae en el caso d.1 o
d.2 entonces el número de intervalos se disminuye una unidad, Ni  1 y se
calcula el Ti , si éste es rechazado, entonces ahora se aumenta en una
unidad el número de intervalos, Ni  1 y se calcula el Ti . Si no se acepta el
52
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
resultado, entonces al número de intervalos original se le restan o se le suman
dos unidades y así sucesivamente hasta que sea aceptado el resultado.
Cuando el resultado sea aceptado entonces queda definido el número de
intervalos; para sacar el tamaño de intervalos finalmente se redondea el
resultado aun número entero y se coloca el punto en su posición original.
e. Intervalo de clase: este intervalo está formado por dos valores, los cuales son
la frontera inferior fi  y la frontera superior fs  . La frontera inferior empieza
con el valor más pequeño y se le va sumando, suma a suma, el valor del
tamaño del intervalo. El total de valores en la frontera inferior es igual al
número de intervalos. La frontera superior toma como primer valor el
segundo valor de la frontera inferior restándole una décima, centésima,
milésima o entero según la unidad a trabajar. También se irán sumando a los
resultados el valor del tamaño del intervalo.
f.
Marca de Clase: es el punto medio del intervalo de clase dado por
M.C. 
fi  f s
2
(I.5)
g. Intervalos reales: estos se obtienen del intervalo de clase de la siguiente
forma
g.1
Si se trabajan enteros se resta a fi cinco décimas (0.5) y se suma a f s
cinco décimas (0.5),
g.2
Si se trabajan décimas (ej. 20.3) se resta a fi cinco centésimas (0.05)
y se suma a f s cinco centésimas (0.05), y
g.3
Si se trabajan centésimas (ej. 5.67) se resta a fi cinco milésimas
(0.005) y se suma a f s cinco milésimas (0.005).
53
Cbtis No. 50
Probabilidad y estadística (Matemáticas aplicadas)
h. Frecuencia absoluta f  : es el número de datos contenidos en determinado
intervalo, se obtiene de la tabla de datos ordenados.
i.
Frecuencia absoluta relativa fr  :
fr 
j.
f
n
(I.6)
Frecuencia acumulada fa  : suma acumulada de las frecuencias absolutas
de cada uno de los intervalos, la frecuencia acumulada “menor que” suma
primero del primer intervalo al último  y la frecuencia acumulada “mayor
que” suma del último intervalo al primero  .
k. Frecuencia acumulada relativa far  :
far 
fa
n
(I.7)
La tabla I.1 muestra un resumen de las columnas que forman la tabla de frecuencias
derivada de los pasos antes mencionados. Cabe mencionar que fi1 se lee de la
siguiente manera: frontera inferior de la clase 1(o límite inferior de la clase 1), es decir el
número indica la clase a la que pertenece el valor que será colocado en esa casilla.
54
Tabla I.1. Bosquejo general de la tabla de frecuencias.
Clase
Marca de Clase
Límites de clase
fs
fi
Límites reales de clase
M.C.
Fi
Fs
f f
M.C.1  i1 s1
2
34
 0.5

Fi1  fi1   0.05 ej . 56.7
0.005 78.34

34
 0.5

Fs1  f s1   0.05 ej . 56.7
0.005 78.34

fi1  Vm
34
 1

56.7
 0.1
f s1  fi 2  
ej .
 0.01 78.34
0.001 1.235
2
fi 2  fi1  Ti
fs2  fs1  Ti
f f
M.C.2  i 2 s2
2
 0.5

Fi 2  fi 2   0.05
0.005

 0.5

Fs2  f s2   0.05
0.005

3
fi 3  fi 2  Ti
fs3  fs2  Ti
f f
M.C.3  i 3 s3
2
 0.5

Fi 3  fi 3   0.05
0.005

 0.5

Fs3  f s3   0.05
0.005






1

Ni
Frecuencia
f
f1
f2
f3

Frecuencia
Relativa
fr
% 
f
fr1  1  100%
n
f2
fr 2 
 100%
n
f
fr 3  3  100%
n

Frecuencia Acumulada
Menor que …
Menos de …
fa
Frecuencia Acumulada
Mayor que …
… o más
fa


fa1  f1
fa1  f1  f2  f3  
fa2  f1  f2
fa2  f2  f3  
fa3  f1  f2  f3
fa3  f3  


55
Frecuencia Acumulada
Relativa
Menor que …
Frecuencia Acumulada
Relativa
Mayor que …
f
far1  a1  100%
n
fa2
far 2 
 100%
n
f
far 3  a3  100%
n
f
far1  a1  100%
n
fa2
far 2 
 100%
n
f
far 3  a3  100%
n


far   % 
far   % 
Los gráficos también son métodos útiles para describir conjunto de datos. Un
histograma coloca las clases de una distribución de frecuencia en el eje horizontal y las
frecuencias en el eje vertical. Su objetivo es revelar detalles y patrones que no se
pueden discernir fácilmente de los datos originales.
Aplicando la metodología antes mencionada (paso 1 y 2: de a hasta d.4) a los datos
no agrupados de ingresos de ejecutivos de marketing se obtienen los siguientes valores
para determinar el número de clases:
n
60
valor menor
31
valor mayor
89
R
58
Ni
5.90
Ti
9.67
De acuerdo a los resultados obtenidos, como el valor del tamaño de intervalo resulto
un decimal entre 0.5 y 0.9 el número de intervalos calculado se acepta y se redondean
las cantidades correspondientes, por tanto la tabla de frecuencias constara de seis
clases con un tamaño de intervalo de 10, como se muestra en la tabla I.2.
En la tabla I.2 se ilustran los datos agrupados de la muestra de los ingresos de 60
ejecutivos de marketing en seis intervalos de clase donde: fi y fs es la frontera inferior y
superior, respectivamente, MC es la marca de clase, Fi y Fs es la frontera real inferior y
superior, respectivamente, f es la frecuencia y fr es la frecuencia relativa, fa < y fa > es
la frecuencia acumulada “menor que” y “mayor que”, respectivamente y finalmente
far es la frecuencia acumulada relativa.
La tabla I.3 muestra la forma general de la tabla para construir el grafico de histograma
y polígono de frecuencias en la hoja de cálculo Excel, mientras que la figura I.1
muestra el grafico obtenido de los datos de los ingresos de 60 ejecutivos de marketing
mostrados en la tabla I.2.
56
Tabla I.2. Datos agrupados de los ingresos de 60 ejecutivos de marketing.
Clase
fi
fs
M.C.
Fi
Fs
f
fr (%)
fa <
fa >
far <
far >
1
31
40
35.5
30.5
40.5
9
15%
9
60
15%
100%
2
41
50
45.5
40.5
50.5
6
10%
15
51
25%
85%
3
51
60
55.5
50.5
60.5
7
12%
22
45
37%
75%
4
61
70
65.5
60.5
70.5
17
28%
39
38
65%
63%
5
71
80
75.5
70.5
80.5
18
30%
57
21
95%
35%
6
81
90
85.5
80.5
90.5
3
5%
60
3
100%
5%
60
100%
Tabla I.3 Datos utilizados para la construcción del Histograma y Polígono de Frecuencias
Fi
Fs
0
0
Vi
1
Fi1
Fs1
f
0
f1
2
Fi 2
Fs2
f2
fr 2
3
Fi 3
Fs3
f3
fr 3


0
0

0
T
Vi  Fi1  i
2
Vf
Último valor del
limite real superior
fr
% 
Clase
0
f r1
T
Vf  último valor del límite real superior  i
2
57
35%
18
9
20%
15%
10%
3
5%
0
25%
7
12%
6
30%
28%
30%
0
5%
Frecuencia Relativa
17
10%
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
15%
Frecuencia (ejecutivos)
Ingresos de ejecutivos de marketing para empresas en E.U.
0%
25.5
40.5
50.5
60.5
70.5
80.5
90.5
95.5
0
30.5
40.5
50.5
60.5
70.5
80.5
90.5
Lím ites Reales (m iles de dólares)
Histograma
Polígono
Figura I.1 Representación de los ingresos de ejecutivos de marketing en E.U. por medio
de un Histograma y Polígono de frecuencias.
Con frecuencia se desea determinar el número de observaciones que son “mayor
que” o “menor que” alguna cantidad. Esto puede lograrse con una distribución de
frecuencia acumulada “más de o mayor que” o una distribución de frecuencia
acumulada “menos de o menor que”.
La tabla I.4 ilustra los datos extraídos de la tabla de frecuencias para la construcción
del grafico de ojivas: “mayor que” y “menor que” utilizando la hoja de cálculo Excel, la
figura I.2 muestra el grafico obtenido de los valores de la tabla I.4. Por ejemplo, se
puede leer que de la clase uno 9 ejecutivos gana menos de $31,000 dólares y por otra
parte 60 ejecutivos gana $31,000 dólares o más.
Una distribución de frecuencia relativa expresa las frecuencias dentro de una clase
como un porcentaje del número total de observaciones.
58
Tabla I.4 Datos utilizados para la construcción de las Ojivas: “mayor que” y “menor que”.
Limites
Frontera
de clase
reales
Frecuencia
Acumulada
Menor que …
Menos de …
fa
Frecuencia
Acumulada
Mayor que …
… o más
fa

Frecuencia
Acumulada
Relativa
Menor que …
far   % 

Fi1
0
fa1
0
Fs1
fa1
fa2
far1
Fs2
fa2
fa3
far 2
Fs3
fa3

far 3


0

Frecuencia acumulada
70
60
95%
57
60
51
50
45
40
38
30
65%
39
80%
21
40%
60%
37%
25%
20
10
120%
100%
60 100%
15%
15
20%
9
0%
0
22
3
0
30.5
40.5
50.5
60.5
70.5
80.5
0
(%) Frecuencia
acumulada relativa
Grafica de Frecuencias Acumuladas "OJIVAS"
0%
90.5
Lím ites Reales (m iles de dolares $)
fa "menor que"
fa "mayor que"
far "menor que"
Figura I.2 Representación de los ingresos de ejecutivos de marketing en E.U. por
medio de Ojivas: “mayor que” y “menor que”.
La tabla I.5 ilustra los datos extraídos de la tabla de frecuencias para la construcción
del polígono de frecuencias suavizado por medio de la hoja de cálculo Excel, cabe
mencionar que en este grafico se puede observar como se distribuyen los datos de la
muestra y además en este se localizan las medidas de tendencia central y medidas de
dispersión, la figura I.3 muestra el grafico obtenido de los datos de la tabla I.2.
59
Tabla I.5 Datos utilizados para la construcción del polígono de frecuencias suavizado.
1
Fi1
Fs1
f
0
f1
2
Fi 2
Fs2
f2
3
Fi 3
Fs3
f3
Clase
Fi
Fs
0
0
Vi




0
Último valor del
limite real superior
Vf
0
Polígono de Frecuencias Suavizado
20
Frecuencia (Ejecutivos)
18
18
17
16
14
12
10
9
8
6
4
7
6
3
2
0
0
25.5
0
40.5
50.5
60.5
70.5
80.5
90.5
95.5
Lím ites Reales (Miles de Dolares $)
Figura I.3 Representación de los ingresos de ejecutivos de marketing en E.U. por
medio de un polígono de frecuencias suavizada.
1.7 Medidas de tendencia central
Los datos, al igual que los estudiantes, se congregan alrededor de sus puntos de
encuentro favoritos. Parece que los estudiantes acuden en masa a sitios tales como
partidos de fútbol, fraternidades, bares populares y otros sitios de reunión y en raras
ocasiones hasta la biblioteca. De igual forma, los números parecen disfrutar de la
compañía de otros números y están propensos a reunirse alrededor de un punto
central denominado medida de tendencia central o más comúnmente, media. Una
medida de tendencia ubica e identifica el punto alrededor del cual se centran los
datos.
60
Un conjunto de datos puede ser rápidamente descrito de manera sucinta con un solo
número.
1.7.1 La media
La media toma en cuenta la frecuencia y los puntos medios de cada clase, la siguiente
expresión calcula la media de un conjunto de datos agrupados
Ni
x
 fi MCi
i 1
n
(I.8)
donde
x es la media muestral,
fi es la frecuencia de la i-ésima clase,
MCi es la marca de clase de la i-ésima clase,
N i es el número de intervalos, y
n es el número de datos.
1.7.2 La mediana
Primero debe hallarse la clase que contiene a la mediana, para esto se debe cumplir el
siguiente criterio
fa 
61
n
2
(I.9)
Este criterio se debe verificar en cada clase empezando desde el primer intervalo de
clase hasta el último intervalo de clase. La clase que cumpla con la condición se le
llamará clase mediana. La expresión que calcula la posición del valor que se
encuentra a la mitad del conjunto de datos es la siguiente
n

  faA 
~ F  2
  Ti
x
i
f






(I.10)
donde
Fi es la frontera inferior real de la clase que contiene a la mediana,
faA es la frecuencia acumulada anterior a la clase que contiene a la mediana,
f es la frecuencia de la clase que contiene a la mediana, y
Ti es el tamaño del intervalo.
1.7.3 La moda
Ya que por definición la moda es la observación que ocurre con mayor frecuencia, se
hallará en la clase que tenga la frecuencia más alta, llamada la clase modal. Para
estimar la moda en el caso de datos agrupados, se utiliza la siguiente ecuación:
 1 
  Ti
x  Fi  
ˆ
  1  2 
donde:
Fi es la frontera inferior real de la clase modal,
 1 es la diferencia de la frecuencia de la clase modal menos anterior,
 2 es la diferencia de la frecuencia de la clase modal menos la siguiente, y
Ti es el tamaño del intervalo.
62
(I.11)
La media es la medida más común de tendencia central. Se presta para mayor
manipulación e interpretación algebraica. Desafortunadamente se ve afectada por
valores extremos o atípicos, y a diferencia de la mediana, puede ser sesgada por las
observaciones que están muy por encima o muy por debajo de ésta. Debido a que la
mediana no se ve afectada por valores extremos, representa mejor el conjunto de
observaciones. La moda también es menos afectada por valores atípicos, sin
embargo, si no hay moda, o si el conjunto de datos es bimodal, su uso puede ser
confuso.
Esto no implica que una medida sea necesariamente mejor que las otras. La medida
que se seleccione depende de la naturaleza de los datos o de la forma como se
utilicen los datos.
1.8 Medidas de dispersión, asimetría y kurtosis
Para describir un conjunto de datos se ha observado que es de utilidad ubicar el
centro del conjunto de datos. Pero identificar una medida de tendencia central rara
vez es suficiente. Una descripción más completa del conjunto de datos puede
obtenerse si se mide que tan dispersos están los datos alrededor de dicho punto
central. Esto es precisamente lo que hacen las medidas de dispersión, indican cuánto
se desvían las observaciones alrededor de su media.
1.8.1 El rango
La medida de dispersión más simple y menos útil es el rango o recorrido. El rango es
simplemente la diferencia entre la observación más alta y la más baja. Su ventaja es
que es fácil de calcular. Su desventaja es que considera sólo dos de los cientos de
observaciones que hay en un conjunto de datos.
1.8.2 Varianza y desviación estándar
La varianza y la desviación estándar son medidas de dispersión mucho más útiles,
proporcionan una medida más significativa sobre el punto hasta el cual se dispersan las
observaciones alrededor de su media.
63
Si los datos están agrupados en una tabla de frecuencia, la varianza y la desviación
estándar muestral pueden calcularse respectivamente como
s2 
 Ni

  f MC 
i
i
Ni

i 1


2
 fi MCi 
n
i 1
2
n 1
s   var ianza
(I.12)
(I.13)
donde
s 2 es la varianza de la muestra,
s es la desviación estándar de la muestra, y
MCi2 es la marca de clase de la i-ésima clase elevada al cuadrado
1.8.3 Asimetría
1.8.3.1 La distribución normal y la regla empírica
La desviación estándar puede utilizarse para sacar ciertas conclusiones si el conjunto
de datos en cuestión está distribuido normalmente. Una distribución normal es una
distribución de datos continuos (no discreto) que produce una curva simétrica en
forma de campana, como la que se muestra en la figura I.4.
64
Se asume que se tiene un número grande de observaciones, si los datos están
distribuidos normalmente, una gráfica de la frecuencia con la cual ocurre cada
observación tomará la forma de la figura I.4. Las observaciones en cada extremo
ocurrirán relativamente de forma poco frecuente, pero las observaciones que están
más cerca de la mitad ocurrirán con una frecuencia alta, por tanto se produce la
curva simétrica en forma de campana. La observación modal es la que ocurre con
mayor frecuencia y por tanto está en el pico de la distribución. En una distribución
normal la media, mediana y la moda son todas iguales.
Figura I.4 Distribución normal.
La regla empírica se ilustra gráficamente en la figura I.5, ésta específica que:
 68.3% de las observaciones están dentro de más o menos una desviación
estándar de la media ( v mínimo  x  1s y v máximo  x  1s ),
 95.5% de las observaciones están dentro de más o menos dos desviaciones
estándar de la media ( v mínimo  x  2s y v máximo  x  2s ), y
 99.7% de las observaciones están dentro de más o menos tres desviaciones
estándar de la media ( v mínimo  x  3s y v máximo  x  3s ).
Es importante recordar que la regla empírica describe el área total bajo la curva
normal que se encuentra dentro de un rango dado.
65
Si las observaciones están altamente dispersas, la curva en forma de campana se
aplanará y se esparcirá. La kurtosis mide el grado de agudeza de una distribución, está
se clasifica como curva leptokurtica (delgada), curva mesokurtica (intermedia) y curva
platikurtica (aplanada).
Figura I.5 La distribución normal y la regla empírica.
1.8.3.2 Sesgo (medidas de asimetría)
No todas las distribuciones son normales, algunas están sesgadas a la izquierda o a la
derecha como se muestra en la figura I.6, en ambos casos, la moda por es por
definición la observación que ocurre con mayor frecuencia. Por tanto, está en el pico
de la distribución. Sin embargo, como se dijo anteriormente, por su naturaleza la media
se ve más afectada por las observaciones extremas. Por tanto, es jalada en la
dirección del sesgo, más de lo que está la mediana, la cual está en algún sitio entre la
media y la moda.
El sesgo es el grado de asimetría y puede medirse con el coeficiente de sesgo de
Pearson
S k1 
Sk2 
xˆ
x
s
~
3x  x
s
66
(I.14)
(I.15)
Si Sk1 y Sk 2  0 , los datos están sesgados a la izquierda (-), si Sk1 y Sk 2  0 , los datos
están sesgados a la derecha (+); si Sk1 y Sk 2  0 están distribuidos normalmente.
Figura I.6. Distribuciones sesgadas.
1.8.3.3 Coeficiente de variación (dispersión relativa)
Cuando se consideran dos o más distribuciones que tienen medias significativamente
diferentes, o que están medidas en unidades diferentes, es peligroso sacar
conclusiones respecto a la dispersión sólo con base a la desviación estándar, recuerde
no se puede mezclar perros con gatos.
Por tanto, con frecuencia debemos considerar el coeficiente de variación (C.V.), el
cual sirve como medida relativa de dispersión. El coeficiente de variación determina el
grado de dispersión de un conjunto de datos relativo a su media por medio de la
siguiente expresión
C.V . 
s
 100%
x
(I.16)
1.9 Medidas de posición
Aunque la varianza y la desviación estándar son las medidas de dispersión más útiles en
análisis estadístico, existen otras técnicas con las cuales puede medirse la dispersión de
un conjunto de datos. Estas medidas adicionales de dispersión son los cuartiles, los
deciles y los percentiles.
67
Cada conjunto de datos tiene tres cuartiles que lo dividen en cuatro partes iguales. El
primer cuartil es ese valor debajo del cual clasifica el 25% de las observaciones, y sobre
el cual puede encontrarse el 75% restante. El segundo cuartel es justo la mitad. La
mitad de las observaciones están por debajo y la mitad por encima. El tercer cuartel es
el valor debajo del cual está el 75% de las observaciones y encima del cual puede
encontrarse el 25% restante.
Primero debe hallarse las clases que contienen al primer, segundo y tercer cuartel, para
esto se debe cumplir el siguiente criterio, respectivamente
 localización del primer cuartIl
fa 
n
4
(I.17)
fa 
2n
4
(I.18)
 localización del segundo cuartil
 localización del tercer cuartIl
fa 
3n
4
(I.19)
Estas condiciones se deben verificar en cada clase empezando desde el primer
intervalo de clase hasta el último intervalo de clase. Las expresiones que calculan la
posición de cada cuartil son las siguientes
n

  faA 
  Ti
Q1  Fi   4
f






(I.20)
 2n

 faA 

  Ti
Q 2  Fi   4
f






(I.21)
68
 3n

 faA 

  Ti
Q 3  Fi   4
f






(I.22)
donde
Fi es la frontera inferior real de la clase que contiene al cuartil,
faA es la frecuencia acumulada anterior a la clase que contiene al cuartil,
f es la frecuencia de la clase que contiene al cuartil, y
Ti es el tamaño del intervalo.
Una medida única de dispersión es el rango intercuartílico (R.I.). La mitad de las
observaciones se clasifican dentro de este rango. Consta del 50% de la mitad de las
observaciones y corta el 25% inferior y el 25% superior de los puntos de datos. Como
resultado, le R.I. proporciona una medida de dispersión que no está muy influenciada
por unas cuantas observaciones extremas.
R.I.  Q3  Q1
(I.23)
Los deciles separan un conjunto de datos en 10 subconjuntos iguales, y los percentiles
en 100 partes. El primer decil es la observación debajo de la cual se encuentra el 10%
de las observaciones, mientras que el 90% restante se encuentra encima de éste. El
primer percentil es el valor debajo del cual se encuentra el 1% de las observaciones, y
el resto están encima de éste. Todo conjunto de datos tiene 9 deciles y 99 percentiles.
69
Batería 2 de ejercicios:
1. Determinación del número de intervalos N i  y tamaño del intervalo Ti  . Considere
los siguientes datos:
a.
b.
c.
d.
e.
n  50
n  35
n  35
n  30
n  30
y
y
y
y
y
R  52
R  820
R  82.01
R  90.1
R  194
1. Un conjunto de datos contiene 100 observaciones; la más grande es 315 y la más
pequeña es 56.
a. ¿Cuántas clases debería tener la tabla de frecuencias?
b. ¿Cuál es el intervalo de clase?
c. ¿Cuáles son los límites y puntos medios de cada clase?
2. En un estudio reciente sobre 500 graduados en administración de negocios, el
salario inicial más alto que se reportó fue de $27,500 dólares y el más bajo fue de
$19,900 dólares. Usted desea crear la tabla de frecuencias para analizar y
comparar estos datos con las ofertas de trabajo que usted ha recibido.
d. ¿Cuántas clases pondrán en su tabla de frecuencia?
e. ¿Cuál es el intervalo de clase?
f. ¿Cuáles son los límites y puntos medios de cada clase?
3. Los siguientes datos son los ingresos de 60 ejecutivos de marketing para empresas
de Estados Unidos. Los datos están expresados en miles de dólares.
58
64
79
74
69
71
65
55
73
40
76
76
74
38
62
54
79
75
72
50
89
34
56
69
56
31
47
62
64
74
45
65
71
79
38
69
46
57
69
61
70
67
45
85
61
69
62
77
77
51
69
34
39
87
71
79
39
66
36
50
73
g. Construya una tabla de frecuencia para los datos. Tenga mucho cuidado en
la selección de sus intervalos de clase. Muestre las frecuencias acumulativas
y relativas para cada clase. ¿Qué conclusión puede sacar de la tabla?
h. Presente y explique una distribución de frecuencia acumulada “más que” y
una distribución “menor de”.
4. Las edades de cincuenta de los directores ejecutivos de las mejores corporaciones
de la nación reportadas en la edición de la revista Forbes de la edición del 24 de
Mayo de 1997 aparecen en la siguiente tabla de frecuencias.
EDADES
Frecuencias
50
54
8
55
59
13
60
64
15
65
69
10
70
74
3
75
79
1
5. La misma edición de la revista Forbes también proporcionó datos sobre los salarios
en miles de dólares. Resulto la siguiente tabla de frecuencias:
Salario (en miles de dólares)
Frecuencias
90
439
9
440
789
11
790
1139
10
1140
1489
8
1490
1839
4
1840
2189
3
2190
2540
5
a. Calcule e interprete la media, mediana y la moda.
b. Calcule e interprete la varianza y la desviación estándar.
71
c. Construya el histograma y polígono de frecuencias.
d. Construya las ojivas.
e. Construya el polígono de frecuencias suavizado e indique sus resultados
(media, mediana, moda, sesgo, C.V. y C.A.) en éste.
f. ¿Los salarios están tan dispersos como las edades del problema anterior.
6. The Wall Street Journal describió una disputa entre la gerencia y el sindicato de
trabajo local respecto a la eficiencia y productividad de los trabajadores. La
gerencia argumentaba que a los empleados les tomaba más de 20 minutos
terminar cierto trabajo. Si se mide el tiempo de 85 empleados, arrojando los
resultados tabulados, con base en esta muestra, ¿la gerencia está en lo correcto?
Clase
Frecuencia
(número de minutos)
(número de empleados)
5
6
2
7
8
8
9
10
10
11
12
15
13
14
17
15
16
14
17
18
7
19
20
9
21
23
3
a. Calcule la media, mediana y la moda.
b. Calcule la varianza y la desviación estándar.
c. Construya el histograma y polígono de frecuencias.
d. Construya las ojivas.
e. Construya el polígono de frecuencias suavizado e indique sus resultados
(media, mediana, moda, sesgo, C.V. y C.A.) en éste.
72
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1. CONCEPTOS BÁSICOS
Calificación:
Completa los espacios en blanco:
1.
La ________________
________________
se ocupa de la __________________, __________________,
_________________, ________________ e ________________ de datos, por tanto, la estadística es un método
científico que pretende sacar conclusiones a partir de unas observaciones hechas.
2.
La Estadística actúa como disciplina puente entre los _______________ _______________ y los
_________________ __________________. Un ______________ _________________ es una abstracción
simplificada de una realidad más compleja y siempre existirá una cierta discrepancia entre lo que se
observa y lo previsto por el modelo.
3.
La __________________________ es la recolección completa de todas las observaciones de interés para
el investigador. Ésta puede ser ____________________ o _________________.
4.
El ____________________ es una medida ___________________ de la población total de todas las
____________________ de interés para el investigador.
5.
La _____________________ es una parte representativa de la __________________ que se selecciona para
ser _______________________ ya que la población es demasiado ________________ como para analizarla
en su totalidad.
6.
El ______________________ es el elemento que describe una _______________ y sirve como una estimación
del parámetro de la población correspondiente.
Grupo sanguíneo (A, B, AB, O+)
Completa el siguiente cuadro sinóptico:
Color de ojos (azul, negros, etc.)
Sólo toma dos valores posibles
Variable
Es una ________________________
de la población que se está
analizando
en
un
estudio
estadístico
Cuando existe un cierto orden
entre las categorías, por ejemplo:
(bajo, medio, alto)
Pueden tomar
valores no
cuantificables
numéricamente
Enteros: numero de hermanos,
número de multas/año.
Reales: peso de un individuo,
tiempo de reacción a un
medicamento.
Pueden tomar valores
cuantificables
numéricamente.
73
Busca la palabra que complete la oración en la sopa de letras:
7.
Las variables pueden clasificarse con base en su escala de ________________.
8.
Una medida en escala _________________ se crea cuando se utilizan ________________ para establecer
categorías dentro de las cuales las _________________ pueden registrarse exclusivamente. Es importante
recordar que ésta no indica ningún orden de preferencia, sino que simplemente establece una
disposición ______________________ en la cual se puede ubicar cada observación.
9.
Una medida en escala ________________, son las que ______________ las observaciones en categorías
con un orden significativo. Hay quien clasifica sus productos como “buenos”, “mejores” y “los mejores”.
10. En una escala de _______________ las variables se miden de manera ______________, y al igual que los
datos ordinales, llevan inherente un rango u ordenamiento. El valor de ______________ es arbitrario pero
la diferencia entre valores es importante.
11. En una escala de ________________, las medidas son numéricas, el cero es un valor _____________ en
cualquier escala y la diferencia entre valores es importante. Con datos medidos en una escala de
_________________, se puede determinar cuántas veces es mayor una medida que otra.
M
E
D
I
D
A
A
S
D
F
G
J
K
L
I
U
Y
T
I
W
D
X
A
G
V
O
U
O
C
I
E
A
F
Q
V
D
N
W
S
A
D
F
I
V
G
N
U
M
E
R
I
C
A
X
A
E
D
O
O
C
O
R
D
O
M
F
C
J
J
S
Y
R
L
O
R
R
A
Q
E
T
R
O
B
T
Y
K
O
E
U
A
S
C
R
D
E
D
C
V
S
D
R
S
P
Ñ
S
R
D
S
C
V
R
D
R
F
V
C
D
R
I
B
R
F
Y
O
Y
O
A
Q
U
I
I
P
R
E
W
E
A
M
N
R
E
Y
A
O
T
R
G
N
I
N
U
O
P
C
E
R
O
T
R
U
N
N
E
M
J
A
R
S
A
A
X
C
V
A
M
M
P
O
O
C
G
K
N
L
T
T
A
L
C
V
B
Z
I
N
C
L
A
L
O
J
L
L
O
Ñ
S
T
A
Y
K
I
N
J
R
T
M
A
74
R
Y
U
E
P
L
D
G
O
S
P
N
A
H
T
Y
I
S
I
N
I
S
J
I
F
M
N
B
H
D
L
H
Y
S
N
C
C
U
N
D
H
N
O
M
B
R
E
S
P
G
U
H
A
L
A
M
T
F
G
T
A
X
G
A
M
C
A
B
D
K
L
A
I
E
E
K
F
E
N
R
O
Z
O
H
L
N
I
M
E
S
V
R
R
G
D
R
O
A
N
O
N
A
A
M
O
N
R
I
B
I
V
H
A
V
M
Z
S
N
O
N
B
Y
S
H
T
F
J
D
J
J
S
A
I
B
I
N
O
K
R
U
H
J
Y
I
O
F
K
K
R
L
K
E
D
C
V
T
G
I
E
S
F
C
T
G
L
O
T
O
A
B
F
C
D
E
A
O
F
G
H
A
I
K
O
P
Y
J
K
L
T
M
N
O
F
Q
A
E
I
N
P
O
L
L
M
T
G
V
A
R
I
A
B
L
E
S
P
P
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 2. Número de intervalos Óptimo
Calificación:
Las edades de 50 integrantes de un programa de servicio social del gobierno son:
38
42
44
47
51
51
51
54
55
55
56
56
60
60
61
62
64
65
65
65
66
66
66
67
68
68
68
69
70
71
73
74
74
75
76
77
78
79
80
82
82
83
83
84
87
88
91
92
98
99
Use estos datos para construir la tabla de frecuencias con 7 y 13 intervalos iguales.
Suponga que el director de servicios sociales desea saber la proporción de participantes en el
programa que tienen entre 45 y 50 años de edad. ¿a partir de cuál distribución de frecuencias
relativas, de 7 o de 13 intervalos, puede estimar mejor la respuesta?
Valor menor =
Valor mayor =
Rango =
Caso 1: Ni = 7
Tamaño del intervalo 𝑇𝑖 =
Clase
fi
fs
M.C.
Fi
𝑅
𝑁𝑖
Fs
f
1
2
3
4
5
6
7
75
fr (%)
fa < q
fa > q
far < q
far > q
Caso 2: Ni = 13
𝑅
Tamaño del intervalo 𝑇𝑖 = 𝑁
Clase
fi
fs
M.C.
Fi
𝑖
Fs
f
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
76
fr (%)
fa < q
fa > q
far < q
far > q
Ojivas (Frecuencias acumuladas relativas)
100
90
80
70
60
%
50
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
50
60
LÍMITES REALES
77
70
80
90
100
110
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 3. Medidas de tendencia central y de dispersión en datos agrupados
Calificación:
1. Las edades de cincuenta de los directores ejecutivos de las mejores corporaciones de la nación reportadas en la edición de la revista Forbes de
la edición del 24 de Mayo de 1997 aparecen en la siguiente tabla de frecuencias.
clase
fi
fs
1
50
54
8
2
55
59
10
3
60
64
15
4
65
69
9
5
70
74
7
6
75
79
1
M.C.
Fi
Fs
f
fr
fa <
fa>
far<
far>
f*MC
f*MC2
Medidas de tendencia central:
Ni
x
 fi MCi
i 1
n
n

  faA 
~ F  2
  Ti
x
i
f






78
n
fa 
2
 1 
  Ti
x  Fi  
ˆ
  1  2 
Medidas de dispersión, asimetría y kurtosis:
s2 
 Ni

  f MC 
i
i
Ni


i 1


2
 fi MCi 
n
i 1
2
n 1
s   var ianza
S k1 
v mínimo  x  1s
v máximo  x  1s
v mínimo  x  2s
v máximo  x  2s
v mínimo  x  3s
C.V . 
v máximo  x  3s
3x  ~
x
Sk2 
s
xˆ
x
s
s
 100%
x
Medidas de posición:
fa 
n
4
n

  faA 
  Ti
Q1  Fi   4
f






2n
4
2n

 faA 
4
  Ti
f



fa 


Q 2  Fi  



79
3n
4
3n

 faA 
4
  Ti
f



fa 


Q 3  Fi  



Fi
Fs
f
%fr
NUMERO DE DIRECTIVOS
clase
1
2
3
4
5
6
16
35%
14
30%
12
25%
10
20%
8
15%
6
10%
4
5%
2
0
0%
44.5
49.5
54.5
59.5
64.5
74.5
69.5
EDAD (AÑOS)
79.5
fa <
fa >
far <
far >
NUMERO DE EJECUTIVOS
FR
50
100%
45
90%
40
80%
35
70%
30
60%
25
50%
20
40%
15
30%
10
20%
5
10%
0
49.5 80
0%
54.5
59.5
64.5
EDAD (AÑOS)
69.5
74.5
79.5
% DE EJECUTIVOS
OJIVAS
% DE DIRECTIVOS
EDADES DE LOS DIRECTIVOS DE LAS MEJORES CORPORACIONES EN E.U.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 4. Caso de estudio I
Calificación:
The Wall Street Journal describió una disputa entre la gerencia y el sindicato de trabajo local
respecto a la eficiencia y productividad de los trabajadores. La gerencia argumentaba que a
los empleados les tomaba más de 20 minutos terminar cierto trabajo. Si se mide el tiempo de 85
empleados, arrojando los resultados tabulados, con base en esta muestra, ¿la gerencia está en
lo correcto?
Clase
Frecuencia
(número de minutos)
(número de empleados)
5
6
2
7
8
8
9
10
10
11
12
15
13
14
17
15
16
14
17
18
7
19
20
9
21
22
3
a. Calcule la media, mediana y la moda.
b. Calcule la varianza y la desviación estándar.
c. Construya el histograma y polígono de frecuencias.
d. Construya las ojivas.
Conclusiones
81
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 5. Caso de estudio II
Calificación:
Los siguientes datos representan las declaraciones trimestrales de impuestos por ventas (en miles
de dólares), correspondientes al período que finalizó en marzo de 2004, enviados al contralor
del poblado Fair Lake por los 50 negocios establecidos en dicha localidad:
10.3
13.0
13.0
8.0
11.1
11.6
10.0
12.5
9.3
10.5
11.1
6.7
11.2
11.8
10.2
15.1
12.9
9.3
11.5
7.6
9.6
11.0
7.3
8.7
11.1
12.5
9.2
10.4
10.7
10.1
9.0
8.4
5.3
10.6
9.9
6.5
10.0
12.7
11.6
8.9
14.5
10.3
12.5
9.5
9.8
7.5
12.8
10.5
7.8
8.6
a. Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de esta población.
b. ¿Qué proporción de estos negocios tienen declaraciones trimestrales de
impuestos sobre ventas dentro de ±1, ±2 o ±3 desviaciones estándar de la
media?
c. Compare y encuentre las diferencias entre sus hallazgos con lo que cabría
esperar de acuerdo con la regla empírica. ¿le sorprenden los resultados
obtenidos en b)?
Conclusiones:
82
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 6. Caso de estudio III
Calificación:
Virginia Suboleski es una supervisora de mantenimiento de aeronaves. Una entrega reciente de
pernos por parte de un nuevo proveedor llamó la atención de uno de los empleados. Suboleski
envió 25 de esos pernos a un laboratorio de pruebas para determinar la fuerza necesaria para
romperlos. A continuación presentamos los resultados en miles de libras de fuerza:
147.8
119.9
142.0
125.0
151.1
137.4
133.3
130.8
128.9
125.7
125.2
142.3
129.8
142.0
126.3
141.1
138.7
141.2
118.6
140.9
a. Calcule la media, mediana y la moda.
b. Calcule la varianza y la desviación estándar.
c. Construya el histograma y polígono de frecuencias.
d. Construya las ojivas.
Conclusiones:
83
145.7
125.7
134.9
133.0
138.2

“Mariano Abasolo” ÁREAS Y ESPECIALIDADES

LOCAL 17 DE ABRIL 65p65

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Taller cuantiativa - Germán Isaac Sosa Montenegro

Matemáticas - instituto calmecac

sesion 17 - CECyT 3 - Instituto Politécnico Nacional

¿CÓMO APLICO LAS FUNCIONES PARA DETERMINAR EL

1. La Secretaría de Salud, interesada en hacer un estudio sobre el