Ficha_Sistema2x2

1
Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Una ecuación de primer grado con dos incógnitas expresa la relación existente
entre dos valores desconocidos.
▼ EJEMPLO
En la siguiente balanza, no conocemos ni el peso de una pelota (x) ni el del
dado (y):
Pero podemos afirmar que:
45 g
3x + y = 45
Observa que el par de valores x = 10, y = 15 hace cierta la igualdad:
3 · 10 + 15 = 45
Decimos entonces que ese par de valores es una solución de la ecuación. Sin
embargo, la solución no es única. Observa que hay otros pares que también
verifican la igualdad:
x=5 °
¢ 3 · 5 + 30 = 45
y = 30£
x=8 °
¢ 3 · 8 + 21 = 45
y = 21 £
Por tanto, si quisiéramos determinar los pesos de una pelota y del dado, necesitaríamos más datos.
En realidad, dando a x un valor cualquiera, se obtiene un valor correspondiente para y; es decir, la ecuación tiene infinitas soluciones.
ax + by = c
donde a, b y c son valores conocidos.
• Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas reciben el nombre de
ecuaciones lineales.
• Una solución de una ecuación lineal es un par de valores que hace cierta la
igualdad.
• Una ecuación lineal tiene infinitas soluciones.
Actividades
1 Averigua cuáles de los siguientes pares de valores son
soluciones de la ecuación 3x – 4y = 8.
°x = 4
a) ¢
£y = 1
°x = 3
b) ¢
£y = 2
°x = 0
c) ¢
£ y = –2
°x = 1
d) ¢
£ y = –1
° x = –4
e) ¢
£ y = –5
°x = 3
f )¢
£ y = 1/4
2 Busca tres soluciones diferentes de esta ecuación:
2x – y = 5
3 Copia y completa en tu cuaderno la tabla, con soluciones de la ecuación 3x + y = 12.
x
y
0
3
9
5
0
–1
–3
18
4 Reduce a la forma general las siguientes ecuaciones:
a) 2x – 5 = y
b) y = x + 1
2
x–y x–1
=
c) x – 3 = 2(x + y)
d)
3
5
© GRUPO ANAYA, S.A. Matemáticas 2.° ESO. Material fotocopiable autorizado.
Forma general
Toda ecuación lineal puede escribirse
en la forma
UNIDAD
7
Representación gráfica de una ecuación lineal
Para obtener distintas soluciones de una ecuación lineal, se suele despejar una de
las incógnitas y dar valores a la otra.
Los valores se recogen, ordenados, en una tabla.
Tomemos, por ejemplo, la ecuación relativa a la balanza de la página anterior:
3x + y = 45
9
Y
Despejamos y.
40
y = 45 – 3x
9
30
Dando distintos valores a x, obtenemos los correspondientes de y.
x
0
5
10
15
20
–5
…
y
45
30
15
0
–15 60
…
20
10
X
–20 –10
10
20
–10
Al representar estos valores en el plano, quedan
alineados en una recta.
• Cada ecuación lineal tiene una recta asociada en el plano.
• Cada punto de esa recta representa una de las infinitas soluciones de la ecuación lineal.
Y
10
8
6
Ejercicio resuelto
4
Representar gráficamente la ecuación 3x – 2y – 6 = 0.
2
• Despejamos y para construir la tabla de valores:
X
© GRUPO ANAYA, S.A. Matemáticas 2.° ESO. Material fotocopiable autorizado.
–6 –4 –2
2
4
6
8
–2
3x – 2y – 6 = 0
–4
3x – 6 = 2y
–6
y = 3x – 6
2
3x – 6
y=—
2
–8
–10
x
–6
–4
–2
0
2
4
6
…
y
–12 –9
–6
–3
0
3
6
…
• A la izquierda puedes ver la representación gráfica.
Actividades
5 Completa la tabla para cada ecuación y representa la
recta correspondiente (hazlo en tu cuaderno).
a) x – y = 0 8 y = x
b) x – 2y = 2 8 y = x – 2
2
x
y
–6
–4
–2
0
2
4
6
…
…
6 Representa gráficamente.
a) 2x – y = 1
b) 2x + y = 1
c) y = x + 3
2
d) y = x – 1
2
e) x + 3y = 3
f ) 2x – 3y – 3 = 0
115
2
Sistemas de ecuaciones lineales
°ax + by = c
• Dos ecuaciones lineales forman un sistema: ¢
£a'x + b'y = c'
• La solución del sistema es la solución común a ambas ecuaciones.
▼ EJEMPLO
Y
°3x – y = 3
Las dos ecuaciones siguientes forman un sistema: ¢
£ x – 2y = – 4
Observa las tablas de soluciones de cada ecuación:
(2, 3)
x – 2y = –4
X
3x – y = 3
°x = 2
solución del sistema: ¢
£y = 3
x – 2y = – 4 8 y = x + 4
2
3x – y = 3 8 y = 3x – 3
Solución
x
–1
0
1
2
3
…
x
–2
0
2
4
6
…
y
–6
–3
0
3
6
…
y
1
2
3
4
5
…
°x = 2
que satisface ambas ecuaciones.
La solución del sistema es el par de valores ¢
£y = 3
Observa, en la representación gráfica, que las dos rectas pasan por el punto
(2, 3); es decir, se cortan en dicho punto.
La solución de un sistema de ecuaciones lineales coincide con el punto de corte
de las rectas que representan a las ecuaciones.
Casos especiales
SISTEMAS CON INFINITAS SOLUCIONES
Las ecuaciones son incompatibles.
Las rectas son paralelas.
Las ecuaciones son equivalentes.
Las rectas se superponen.
°x – 2y = 2
Por ejemplo: ¢
£x – 2y = 6
° x– y=2
Por ejemplo: ¢
£2x – 2y = 4
x–y=2
x – 2y = 2
x – 2y = 6
2x – 2y = 4
Actividades
1 Representa gráficamente y escribe la solución.
°x + y = 4
a) ¢
£x – y = 2
116
° y = 2 + x/2
b) ¢
£ y = 4 – x/2
2 Representa gráficamente.
° x–y=3
a) ¢
£2x + y = 0
°2x – 3y – 6 = 0
b) ¢
£2x + y + 2 = 0
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SISTEMAS SIN SOLUCIÓN
UNIDAD
7
3
Método algebraico para la resolución de sistemas lineales
Vamos a aprender una técnica para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Consiste en obtener, a partir de las dos ecuaciones, otra ecuación con una sola
incógnita. Resuelta esta, es fácil obtener el valor de la otra incógnita.
Método de sustitución
Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones y la expresión obtenida se
sustituye en la otra ecuación.
Ejercicio resuelto
3x – y = 3
x + 2y = 8
x=2
y=3
°3x – y = 3
Resolver por sustitución este sistema: ¢
£ x + 2y = 8
a) Despejamos, por ejemplo, x en la segunda ecuación:
°3x – y = 3
¢
£ x + 2y = 8 8 x = 8 – 2y
b) Sustituimos la expresión obtenida en la primera ecuación:
3x – y = 3 °
– 2y) – y = 3
¢ 8 3(8
123
x = 8 – 2y £
c) Ya tenemos una ecuación con una sola incógnita. La resolvemos:
3(8 – 2y) – y = 3 8 24 – 6y – y = 3 8 7y = 21 8 y = 21 8 y = 3
7
d) Sustituimos el valor y = 3 en la expresión obtenida al despejar x, y calculamos:
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x = 8 – 2y 8 x = 8 – 2 · 3 8 x = 2
°x = 2
Solución del sistema 8 ¢
£y = 3
Actividades
1 Resuelve por sustitución y comprueba que obtienes
las soluciones que se adjuntan abajo.
°y = x
°x = 2y
a) ¢
b) ¢
£ 2x – y = 3
£x + 3y = 10
°y = x + 1
c) ¢
£ 3x – 2y = 7
° y = 2x – 5
d) ¢
£ 4x – y = 9
° x + 2y = 1
c) ¢
£2x + 3y = 4
SOLUCIONES
a) x = 3
y=3
2 Resuelve por sustitución y comprueba las soluciones
que se ofrecen.
° x + 2y = 11
°2x + y = 1
a) ¢
b) ¢
£3x – y = 5
£5x – 3y = 0
° x– y=3
d) ¢
£ 7x – 3y = 5
SOLUCIONES
b) x = 4
y=2
c) x = 9
y = 10
d) x = 2
y = –1
a) x = 3
y=4
b) x = 3
y=5
c) x = 5
y = –2
d) x = –1
y = –4
117

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