Páginas de inicio (Páginas 140 y 141)
Probabilidad
Unidad
4
Para utilizar las cartas Zener, se sitúa a las dos
personas del experimento sin contacto visual y se
siguen los siguientes pasos:
el primer sujeto (el emisor) levanta una carta
del mazo, la observa, se concentra en la figura y
la anota en una planilla.
el segundo sujeto (el receptor) se concentra
en la carta que sacó el emisor y anota en una
planilla la figura que cree que el emisor está
mirando.
este proceso se realiza 25 veces hasta agotar
la cantidad de cartas y luego se cuentan los
aciertos del receptor, comparando las planillas
respectivas.
Karl Zener (1903-1964) fue un psicólogo que se interesó en el estudio de los
fenómenos extrasensoriales, como la telepatía. Desarrolló un método para estudiar
si una persona era capaz de adivinar la carta que se sacaría de un mazo, o si dos
personas eran capaces de transmitirse mentalmente el contenido de esa carta.
Inventó para esto las cartas Zener.
Un mazo de 25 cartas se forma con estas 5 cartas:
Los parapsicólogos que se dedican al estudio
de la telepatía utilizando estas cartas, afirman
que una persona que obtiene en promedio 5 o
más aciertos luego de varias repeticiones, puede
inferirse que tiene un grado de percepción
extrasensorial.
EN ESTA UNIDAD APRENDERÉ A...
Usar el modelo binomial
para analizar situaciones
o experimentos.
Determinar la función de probabilidad de una
variable aleatoria discreta.
Determinar la función
distribución de probabilidad.
Calcular probabilidades
condicionales.
Determinar la gráfica de una función de
probabilidad y de distribución de probabilidad.
ACTIVIDAD
En grupos de cuatro integrantes realicen las siguientes actividades.
Calcular del valor esperado.
Relacionar la función de distribución de
probabilidad teórica y experimental.
Calcular la media, varianza y desviación típica
a partir de distribuciones de probabilidad.
Santillana Bicentenario
Resolver problemas mediante
el cálculo de probabilidades.
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1.
Para simular esta experiencia, creen sus propias cartas Zener en cartulina u hojas del cuaderno, construyendo 5 cartas de cada
figura para tener las 25 necesarias. Luego, sigan las instrucciones descritas anteriormente y anoten los resultados en una planilla.
Realicen esta experiencia 8 veces (intercambiando el lugar de emisor y receptor) y calculen el promedio de los aciertos.
2.
Según tus resultados, ¿tienes poderes extrasensoriales? Justifica.
3.
Para simular esta experiencia, mediante un software, ingresa el código MM3143 (sigue las instrucciones para realizar las
simulaciones). Realiza esta simulación 100, 200 y 500 veces. ¿Cuál es tu conclusión respecto al punto 2? ¿Crees que con 5
aciertos se puede afirmar que una persona tiene poderes extrasensoriales?
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Santillana Bicentenario
Presentación de la unidad
Esta unidad se enmarca en el Nivel 6 de los Mapas de Progreso de Datos y Azar. El estudiante debe ser
capaz de producir información aplicando la distribución binomial, verificar mediante el uso de recursos
digitales la proximidad entre la distribución teórica de una variable aleatoria y la correspondiente gráfica
de frecuencias en experimentos aleatorios discretos, y resolver problemas de cálculo de probabilidad
condicional.
Los aprendizajes anteriormente descritos progresan considerando cuatro dimensiones que se
desarrollan de manera interrelacionada. A continuación se muestra un cruce entre estas dimensiones y
los Objetivos Fundamentales Verticales y Contenidos Mínimos Obligatorios:
Procesamiento de datos. Se refiere a las habilidades para
clasificar, organizar, resumir y representar datos en distintos
formatos, tales como tablas y gráficos.
Modelar un conjunto de datos a partir de la distribución
binomial.
Interpretación de información. Se refiere a las habilidades
para analizar críticamente y para obtener información a partir
de datos organizados en tablas y gráficos.
Producir información aplicando la distribución binomial.
Santillana Bicentenario
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Comprensión del azar. Se refiere a la comprensión y uso
de un lenguaje de probabilidades, y a la habilidad para
determinar la probabilidad de ocurrencia de eventos,
en forma experimental y teórica, a partir de fenómenos
aleatorios y el análisis de sus resultados.
Verificar, haciendo uso de recursos digitales, la proximidad
entre la distribución teórica de una variable aleatoria y la
correspondiente gráfica de frecuencias en experimentos
aleatorios discretos.
Determinar la probabilidad condicional de un suceso.
Resolver problemas aplicando el cálculo de probabilidad
condicional.
Razonamiento matemático. Se refiere a la habilidad para
resolver problemas, reconocer patrones, formular preguntas
pertinentes y hacer conjeturas a partir de datos o situaciones
en las que interviene el azar, así como a la capacidad para
argumentar acerca de la validez de respuestas a las preguntas
formuladas y acerca de las conjeturas propuestas.
A comienzos de los años noventa, la enseñanza de la probabilidad reposaba sobre la ley de Laplace
(casos favorables/casos totales) y como consecuencia se obligó a considerar siempre variables aleatorias
discretas, finitas sobre un conjunto de resultados uniformemente distribuidos (equiprobables).
Posteriormente, se incorporó el estudio de las funciones de probabilidad, pero manteniendo la
condición de equiprobabilidad, sobre todo cuando se comienza con el estudio de distribuciones de
probabilidad, como por ejemplo, la distribución binomial.
Sugerencias metodológicas
Para la actividad propuesta en las páginas iniciales, se sugiere que el docente les pida previamente a sus
alumnos y alumnas que lleven el mazo de las cartas Zener, conformadas por los cinco tipos de cartas
básicos que se muestran en la ilustración.
Evaluación diagnóstica (Páginas 142 y 143)
Sugerencias o remediales
• Para el indicador Comprender el concepto de varianza y desviación, se debe tener en cuenta que el
estudiante puede cometer error al no tener definidos los conceptos. Es decir, si el alumno o la alumna
se ha aprendido solamente la fórmula, puede caer en error. Se sugiere repasar los estadígrafos de
dispersión y también los de tendencia central y caracterizar un conjunto de datos a partir de estos
conceptos.
• Para el indicador Caracterizar el concepto de variable aleatoria, se sugiere presentar situaciones en
donde el estudiante deba identificar la variable aleatoria y explicitar el recorrido de la variable.
• Para el indicador Resolver problemas mediante la función de probabilidad, se sugiere recordar los conceptos
básicos de probabilidad y la propiedad de que la suma de todos los valores de la probabilidad asociada
es 1. Además, se recomienda recordar los conceptos principales de función.
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Santillana Bicentenario
• Para el indicador Resolver problemas de cálculo de probabilidades, se recomienda pedir a sus estudiantes
que justifiquen o expliciten el cálculo de la probabilidad. Se sabe que las probabilidades cuentan con
obstáculos didácticos intrínsecos, ya que los conceptos con los que se trabaja son de otra índole y,
sin embargo, se utiliza muchas veces las mismas notaciones que en la matemática tradicional. Puede
ser que los alumnos lleguen a una respuesta correcta, pero que no lo estén pensando de manera
2
adecuada. Por ejemplo, en la pregunta 10, pueden llegar a una respuesta correcta c m pensando en
3
que hay tres personas, Pablo, Matías e Isabel, y que dos de ellas deben sentarse juntas, por lo tanto, si
2
el alumno lo piensa como una fracción sería . Es decir, llegó a una respuesta correcta, pero con un
3
razonamiento erróneo. Se sugiere realizar un pequeño repaso de las técnicas combinatorias.
Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta (Páginas 144 y 145)
Sugerencias metodológicas
• Estas páginas y las siguientes están enfocadas a abordar el OFV Relacionar y aplicar los conceptos de
variable aleatoria discreta, función de probabilidad y distribución de probabilidad, en diversas situaciones
que involucran experimentos aleatorios. Por ello, se definen la función de probabilidad y la función
de distribución para variables aleatorias discretas y se relacionan utilizando el mismo experimento
aleatorio.
• Esta sección tiene dos conceptos importantes en los que se debe detener: variable aleatoria y función
de probabilidad. Se sugiere que el docente dé tiempo para la comprensión de los conceptos y para
la manipulación, y aproveche la riqueza de registros semióticos para poder atender a los distintos
estilos cognitivos de los alumnos y las alumnas y a la creación de esquemas mentales.
• Se sugiere describir las variables aleatorias mediante diagramas y las funciones de probabilidad de
manera analítica, como una tabla o de un gráfico de barras, para que los estudiantes sean capaces
de transitar de un registro a otro, leer e interpretar la información.
• Además, propóngales que realicen la actividad de la página 145 en parejas, para que discutan,
conjeturen, validen y/o refuten. Se debe dar tiempo para que los alumnos realicen los experimentos,
de manera concreta y presencial, y que trabajen a su ritmo la resolución de los problemas.
• En necesario que el docente haga hincapié en que la función de probabilidad es para variables
aleatorias discretas y que la suma de sus valores es siempre 1. La función de probabilidad para
variables aleatorias continuas se denomina función de densidad.
• Se recomienda mostrar a los estudiantes ejemplos de funciones de probabilidad no simétricas y
con variables aleatorias aplicadas a fenómenos de la realidad.
Santillana Bicentenario
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Función de distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta (Páginas 146 y 147)
Sugerencias metodológicas
• Solicite a los estudiantes que comparen la función de probabilidad y la función de distribución
de probabilidades, analizando las diferencias gráficas y conceptuales. Acláreles que la función
de distribución es la función de probabilidad acumulada y que su gráfica siempre es una curva
creciente; asimismo que no confundan esta función con la frecuencia acumulada.
• Explique en la pizarra cada una de las representaciones con las que se puede trabajar: gráfica,
analítica, tabular o por medio de diagrama. Los alumnos y las alumnas deben transitar y saber
interpretar la información entregada en cada uno de los distintos registros.
• Las actividades sugeridas en la página 147, fomentan la comprensión de los conceptos estudiados,
por lo tanto, es importante que los estudiantes las realicen de manera individual y luego compartan
sus resultados en equipos de tres personas.
Uso de software (Páginas 148 y 149)
Sugerencias metodológicas
• Estas páginas abordan el CMO Explorar la relación entre la distribución teórica de una variable aleatoria
y la correspondiente gráfica de frecuencias, en experimentos aleatorios discretos, haciendo uso de
simulaciones digitales. Para ello se utilizó una planilla de cálculo en donde se simularon 100, 5.000
y 10.000 extracciones de una ficha de dominó, usando el mismo experimento aleatorio con el que
comenzó la unidad.
• Se sugiere además, que se incentive el uso de software en el trabajo personal de los alumnos y las
alumnas y que puedan realizar la misma actividad propuesta incrementando la cantidad de datos.
Valor esperado, varianza y desviación estándar (Páginas 152 a 155)
Sugerencias metodológicas
• Estas páginas están enfocadas al CMO Aplicación e interpretación gráfica de los conceptos de valor
esperado, varianza y desviación típica o estándar de una variable aleatoria discreta. Para ello se trabajan
los conceptos por separado y se entregan las fórmulas para su cálculo. Luego, se integran y se
interpretan gráficamente en la caracterización de una variable aleatoria.
• Se sugiere al docente comenzar con ejemplos, como los promedios ponderados de la PSU, o de
las calificaciones de un curso y, de esta manera, entender las probabilidades como pesos que se le
asignan a la variable aleatoria.
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Santillana Bicentenario
• La posible dificultad para este contenido es que los estudiantes logran realizar los cálculos, pero no
comprenden los conceptos, lo que genera obstáculos didácticos por falta de conceptualización.
Se sugiere, en lo posible, explicar la fórmula de la esperanza haciendo una analogía con la fórmula
del promedio, y en el caso de la varianza, hacer una analogía con el cálculo de las distancias o
diferencias entre el promedio (esperanza) y los datos.
• La varianza y la desviación estándar son estadígrafos para medir la variabilidad de la variable aleatoria.
La varianza indica el grado de dispersión que tiene la variable respecto del promedio; sin embargo,
al estar elevada al cuadrado, muchas veces no se puede interpretar, porque está en unidades de
medida distinta a la variable original (por ejemplo, si la variable original es una distancia medida en
metros, la varianza estará en metros cuadrados), por lo tanto, se utiliza la desviación estándar.
• Lo importante es que los alumnos y las alumnas logren realizar actividades donde puedan interpretar
los datos y no solo calcular estos estadígrafos. Para esto se recomienda que el docente promueva
el trabajo en equipo. Por ejemplo, se pueden generar grupos dentro del curso, que se entrevisten
entre ellos y luego cada uno analiza los datos. Se logran interacciones, discusiones, compromiso
con el trabajo y se contribuye a desarrollar aspectos transversales de la educación.
Interpretación gráfica del valor esperado y varianza de una variable aleatoria (Páginas 156 y 167)
Sugerencias metodológicas
• Se mencionó anteriormente que los conceptos matemáticos/estadísticos se aprenden conforme a
la diversidad de representaciones y el tránsito sobre las mismas. En este sentido, la estadística y la
probabilidad son áreas provistas de conceptos y situaciones que pueden representarse de distintas
maneras y todas ellas se complementan. Por ejemplo, el alumno o la alumna puede saber la fórmula
de la varianza o del valor esperado, incluso puede calcularlos correctamente; sin embargo, el
concepto de varianza se va construyendo cuando los estudiantes someten los resultados al análisis
de los datos. Por lo tanto, en la medida en que los alumnos y las alumnas resuelvan problemas,
calculen estadígrafos, construyan e interpreten gráficos, y entreguen soluciones pertinentes,
podrán formar esquemas conceptuales que les permitan utilizar su conocimiento en el desarrollo
de competencias. Además, es importante que puedan inferir información desde un gráfico. Por lo
tanto, se debe incentivar el uso de softwares y planillas de cálculo.
• Aclarar a los estudiantes que para la esperanza se utiliza el símbolo µ y para la desviación estándar σ.
Ampliación de contenidos
Algunas propiedades de la varianza son:
• Var(X) $ 0
• Var(aX + b) = a2Var(X) siendo a y b números reales cualesquiera. De esta propiedad se deduce que
la varianza de una constante es cero, es decir, Var(b) = 0.
• Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y), donde Cov(X, Y) es la covarianza de X e Y.
• Var(X – Y) = Var(X) + Var(Y) – 2Cov(X, Y), donde Cov(X, Y) es la covarianza de X e Y.
Santillana Bicentenario
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Se recuerda que la covarianza es una medida de dispersión que mide la relación lineal o dependencia
que existe entre dos variables. Es decir:
• Si Cov (X, Y) > 0, hay dependencia directa (positiva), es decir, a grandes valores de X corresponden
grandes valores de Y.
• Si Cov (X, Y) = 0, se interpreta como la no existencia de una relación lineal entre las dos variables
estudiadas.
• Si Cov (X, Y) < 0, hay dependencia inversa o negativa, es decir, a grandes valores de X corresponden
pequeños valores de Y.
Es importante tener en cuenta que existe una varianza muestral (cuando está dividida en n – 1) que
es un estimador insesgado de la varianza de la población, pero difiere ligeramente y, para valores
grandes de n, la diferencia es irrelevante, de la varianza poblacional (vista en esta unidad) que traslada
directamente la varianza de la muestra a la de la población.
Modelo de distribución binomial (Páginas 160 a 163)
Sugerencias metodológicas
• En estas páginas se aborda el OFT Aplicar el concepto de modelo probabilístico para describir
resultados de experimentos binomiales y el CMO Uso del modelo binomial para analizar situaciones o
experimentos, cuyos resultados son dicotómicos: cara o sello, éxito o fracaso o bien cero o uno. Por ello se
trabaja primero con el experimento de Bernoulli y luego con la distribución binomial.
• Es importante aclarar a los estudiantes que a pesar de que se habla de la distribución binomial, nos
estamos refiriendo a una función de probabilidad y no a una función de distribución.
• En este apartado se trata el coeficiente binomial, el cual se justifica en el anexo que se encuentra
al final del texto, para que el docente pueda trabajarlo con sus alumnos y alumnas previamente o
durante el tratamiento de este contenido.
• Para introducir a este contenido, realizar el experimento de extraer al azar bolitas de una caja, y
luego plantearles las siguientes preguntas: ¿qué pasa si este evento se hace sin reponer la bolita?
¿Se obtiene el mismo modelo de distribución de probabilidad?
• Se recomienda mostrar situaciones que no se modelen a través de una distribución binomial,
para que el estudiante pueda diferenciarlas de otras y caracterizarlas para comprender mejor este
concepto.
• El docente podría mencionar a los estudiantes que la esperanza de una variable aleatoria que
distribuye binomial es np donde n es el número de experimentos y p la probabilidad de éxito.
Además la varianza corresponde a np(1 – p). Estos datos podrían facilitar el cálculo de algunos
ítems en la fichas de reforzamiento y profundización.
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Santillana Bicentenario
Ampliación de contenidos
• La distribución de probabilidad de Poisson es el límite de una distribución binomial, ya que: dada
una distribución binomial B(n, p) si: n tiende a infinito y p tiende a 0 de tal manera que np tiende a
una constante k, entonces, la distribución binomial tiende a una distribución Poisson de parámetro
k, P(k). Además, toda distribución de Poisson se puede aproximar por una distribución normal, de
media 0 y varianza 1, debido al teorema central del límite.
• Se sugiere al docente realizar un taller al final de la unidad, en equipos de dos o tres personas,
donde se les planteen tres problemas:
• el primero, relacionado con una distribución binomial, para que comprendan el modelamiento
de las situaciones. En el mejor de los casos, se pretende que n sea pequeño, con el objetivo de
que no apliquen la fórmula, si no que hagan el procedimiento paso a paso.
• el segundo, relacionado con una distribución de Poisson, pero sin que el alumno sepa que
existe otra distribución de por medio, sino que mediante el monitoreo y un buen proceso de
devolución, puedan desarrollar el problema reconociendo las dificultades que se presentan
y respondiendo a la pregunta: ¿esta distribución tiene las características de una distribución
binomial?
• el tercero, a modo de desafío, que los alumnos trabajen con un software estadístico y grafiquen
la distribución de probabilidad, identificando ciertas características de la distribución normal.
Probabilidad condicional (Páginas 164 y 165)
Sugerencias metodológicas
• En estas páginas se aborda el OFT: Comprender el concepto de probabilidad condicional y aplicarlo en
diversas situaciones que involucren el cálculo de probabilidades, y el CMO: Resolución de problemas, en
diversos contextos, que implican el cálculo de probabilidades condicionales y sus propiedades. Por ello,
se trabaja la probabilidad condicional a través de un ejemplo teórico y otro aplicado y luego se
complementa con la sección de Ejercicios resueltos y Preparando la PSU.
• Una posible dificultad que se puede presentar es que los estudiantes confundan la probabilidad
condicional con una probabilidad conjunta, es decir, que dos sucesos ocurran al mismo tiempo,
y por lo tanto, confunden la fórmula que hay que utilizar. Por esta razón, se sugiere resaltar las
diferencias entre ambas probabilidades realizando ejemplos como el que sigue:
Dentro del conjunto de los chilenos, ¿será lo mismo…
escoger a una persona que fuma (A) y que tiene cáncer (B)?
escoger a una persona que, dado que fuma (A), se le produjo un cáncer (B)?
Luego, formalizar que las probabilidades de ocurrencia de los sucesos son distintas:
P(A y B) es distinto que P(B\A).
Santillana Bicentenario
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• Asimismo, un posible error, pero en menor medida, es la confusión con el concepto de eventos
incompatibles. Para evitarlo presente el siguiente ejemplo:
Evento A: hoy llueve.
Evento B: hay nubes.
Evento C: juan canta.
Evento D: hoy no llueve.
Algunos análisis que se pueden hacer son:
si hay nubes, hay más probabilidad de que llueva. Por lo tanto, se podría dar una relación de
condicionalidad. Pero no es lo mismo que determinar la probabilidad de que llueva y que haya
nubes, puesto que esta probabilidad es 1. Siempre que llueva va a haber por lo menos una nube.
El evento A y el evento D son incompatibles, puesto que no puede llover y no llover a la vez.
Los eventos A y C son independientes, no hay relación alguna entre que Juan cante y que llueva.
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Santillana Bicentenario
Ficha de trabajo n° 1
Reforzamiento unidad 4
Nombre:
Curso:
Fecha:
Objetivos:
Caracterizar funciones de probabilidad de variables aleatorias discretas.
Unidad 4
Se tiene un dado de cuatro caras (tetraedro regular), con números marcados del 4 al 7. Se designa la variable aleatoria X: suma
de los números del dado al lanzarlo dos veces.
1. Determina el recorrido de la v. a. X.
2. Determina la función de probabilidad de la v. a. X.
3. Grafica la función de probabilidad de la v. a. X.
4. ¿Qué características tiene esta función de probabilidad?
Santillana Bicentenario
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Ficha de trabajo n° 2
Reforzamiento unidad 4
Nombre:
Curso:
Fecha:
Objetivos:
Calcular funciones de distribución de probabilidad de variables aleatorias. Graficar funciones de distribución de probabilidad
de variables aleatorias.
Determina lo pedido de acuerdo al siguiente enunciado.
2
Unidad 4
La función de probabilidad de la variable aleatoria X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} está dada por f(x) = nx .
1. Determina el valor de n, para que f sea, efectivamente, una función de distribución de probabilidad.
2. Calcula P(x = 5).
3. Calcula P(x ≤ 4).
4. Calcula P(x ≥ 6).
5. Calcula P(3≤ x ≤ 8).
6. Tabula y grafica la función de distribución de probabilidad de la v. a. X.
Tabla
Gráfico
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Santillana Bicentenario
Ficha de trabajo n° 3
Reforzamiento unidad 4
Nombre:
Curso:
Fecha:
Objetivos:
Calcular el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de variables aleatorias dadas.
Unidad 4
Resuelve los siguientes ejercicios aplicando las fórmulas de valor esperado y varianza. Justifica tus respuestas.
1. En una bolsa hay 15 bolitas numeradas: ocho bolitas con un 1, cinco bolitas con un 3 y dos bolitas con un 8. El experimento
consiste en sacar una bolita y ver qué número tiene. Determina el valor esperado, la varianza y la desviación estándar del
experimento.
Valor esperado
Varianza
Desviación estándar
2. Calcula el valor esperado y la desviación estándar de la variable aleatoria correspondiente a los valores obtenidos al lanzar un
dado equilibrado. ¿Qué puedes concluir?
Valor esperado
Desviación estándar
Conclusiones
Santillana Bicentenario
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Ficha de trabajo n° 4
Reforzamiento unidad 4
Nombre:
Curso:
Fecha:
Objetivos:
Utilizar la distribución binomial en el cálculo de probabilidades.
Unidad 4
A partir del experimento: “Un niño lanza siete monedas a la vez”, responde.
1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras?
2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 5 caras?
3. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 7 caras?
4. ¿Cuál es la probabilidad de obtener a lo más 4 caras?
5. ¿Cuál será la cantidad de caras esperadas al lanzar las 7 monedas de una vez?
6. ¿El experimento es distinto si se lanza una moneda siete veces seguidas? Justifica tu respuesta.
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Santillana Bicentenario
Ficha de trabajo n° 5
Profundización unidad 4
Nombre:
Curso:
Fecha:
Objetivos:
Interpretar el valor esperado y la desviación estándar en la resolución de problemas.
Unidad 4
Determina lo pedido de acuerdo con el siguiente enunciado.
Una empresa vende teléfonos celulares. Durante un mes se recolectan datos sobre la cantidad de celulares que se venden
diariamente y se obtiene la función de probabilidad f(x) donde x es la v.a: número de celulares vendidos en un día.
x
0
1
2
3
4
5
6
f(x)
0,07
0,1
0,25
0,3
0,2
0,07
0,01
1. Determina el valor esperado y la desviación estándar de la variable aleatoria.
Valor esperado
Desviación estándar
2. Realiza el gráfico de la función de probabilidad.
3. Interpreta la afirmación: el 95% de los datos quedan acumulados en el intervalo µ ± 2σ.
Santillana Bicentenario
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Ficha de trabajo n° 6
Profundización unidad 4
Nombre:
Curso:
Fecha:
Objetivos:
Calcular la probabilidad condicional de un evento utilizando un diagrama de árbol.
Se consideran dos cajas. La primera, contiene 4 bolitas azules y 3 bolitas negras. La segunda, contiene 2 bolitas azules y 5 negras. Todas
las bolitas tienen el mismo peso, textura y porte, es decir, son indistinguibles al tocarlas. Se lanza un dado de seis caras, si se obtiene 3
o 5, se saca una bolita al azar de la primera caja. Si no, se saca una bolita al azar de la segunda caja. Se definen los eventos:
A: la bolita sacada es azul.
B: al tirar el dado se obtiene 3 o 5.
c
1. Calcula P(B) y P(B ).
c
2. Calcula P(A/B) y deduce P(A /B).
c
c
c
3. Calcula P(A/B ) y deduce P(A /B ).
4. Por medio de un diagrama de árbol, deduce P(A).
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99 |
Santillana Bicentenario
Unidad 4
Calcula lo pedido basándote en el siguiente enunciado.
Ficha de trabajo n° 7
Profundización unidad 4
Nombre:
Curso:
Fecha:
Objetivos:
Resolver problemas mediante probabilidad condicional.
Unidad 4
Responde las preguntas a partir del siguiente enunciado.
En una fábrica de neumáticos, el 2% de los artículos salen defectuosos. La unidad de control rechaza el 3% de los neumáticos buenos
y el 95% de los defectuosos.
1. ¿Cuál es la probabilidad de que un neumático defectuoso sea aceptado?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que un neumático bueno sea rechazado?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que la unidad de control cometa un error?
4. ¿Cuál es la probabilidad de que un neumático sea aceptado por la unidad de control?
Santillana Bicentenario
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100 |
Ficha de trabajo n° 8
Profundización unidad 4
Nombre:
Curso:
Fecha:
Objetivos:
Determinar una función de probabilidad dadas ciertas condiciones.
Se lanza una moneda de $ 100 siete veces. Sea X la variable aleatoria correspondiente al número de veces que se obtiene cara,
después de los 7 lanzamientos.
1. ¿La variable aleatoria X tiene alguna distribución de probabilidad conocida? En caso afirmativo, ¿cuál sería? Justifica tu respuesta.
2. Determina la esperanza y la desviación estándar de X.
3. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 caras después de los 7 lanzamientos?
4. ¿Cuál es la probabilidad de obtener a lo más 6 caras después de los 7 lanzamientos?
5. Si se lanza n veces la moneda, ¿cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara luego de n lanzamientos?
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101 |
Santillana Bicentenario
Unidad 4
Determina lo pedido con respecto al siguiente enunciado.
Evaluación de la unidad 4
Nombre:
Curso:
Fecha:
Marca la alternativa correcta en cada una de las siguientes preguntas.
Unidad 4
1. Se define la variable aleatoria X: cantidad de caras
obtenidas exactamente, al lanzar 4 monedas. ¿Cuántos
elementos tiene el recorrido?
A. Solo I
B. Solo II
C. I y II
A. 4
D. I y III
B. 5
E. II y III
C. 12
D. 24
La función de probabilidad de la variable aleatoria
X = {3, 4, 5, 6} está dada por f(x) = kx. A partir de lo
anterior, responde las preguntas 4, 5, y 6.
E. No se puede determinar.
2. ¿Cuál es la varianza de las siguientes notas de una
alumna de quinto básico?
4. El valor de k es:
1
9
1
B.
18
5 – 6,2 – 4 – 5,5 – 5,8
A.
A. 0,125
B. 0,576
D. 18
E. Depende del valor que tome X.
C. 1
C. 0,758
D. 0,777
5. La probabilidad de que x = 4 es:
E. 0,8
1
9
2
B.
9
4
C.
9
A.
3. El gráfico muestra la función de probabilidad de una
variable aleatoria. Entonces, es cierto que:
f(X)
1/6
1
4
1
E.
2
D.
5/36
6. La probabilidad de que X sea menor o igual que 5 es:
1/9
1/12
A. 1
6
1
B.
3
5
C.
18
2
D.
9
2
E.
3
1/18
1/36
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 X
el valor esperado de la variable aleatoria es 7.
1
II. la varianza es .
36
III. la variable tiene una distribución asimétrica.
I.
Santillana Bicentenario
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102 |
Evaluación de la unidad 4
11. Aproximadamente, ¿cuál es la probabilidad de que dos
de ellos hayan visto la película?
En la siguiente tabla se muestra la cantidad de hijos que
una mujer puede tener en su vida y la probabilidad de
que esto ocurra.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
B. 0,2
C. 0,25
f(x) 0,1 0,15 0,3 0,24 0,1 0,045 0,03 0,025 0,01
D. 0,8
E. 1
A partir de lo anterior, responde las preguntas 7, 8 y 9.
7. La probabilidad de que una mujer tenga a lo más 3
hijos es:
A. 0,1
D. 0,79
B. 0,24
E. 0,89
1
Sean los sucesos A y B con probabilidades P(A) = y
5
1
1
P(B) = . Además, se tiene que P(A k B) = . A partir de
6
9
esto responde las preguntas 12, 13 y 14.
C. 0,55
12. Si el suceso B ha ocurrido, ¿cuál es la probabilidad de
que ocurra A?
8. Comúnmente, ¿cuántos hijos se espera que pueda tener
una mujer?
A. 2
D. 3
B. Entre 1 y 2
E. Entre 3 y 4
1
5
1
B.
9
5
C.
9
A.
C. Entre 2 y 3
9. ¿Con qué desviación estándar se distribuyen los datos?
A. 1,667
D. 3
B. 2,53
E. 9,18
E.
2
3
5
6
13. Si el suceso A ha ocurrido, ¿cuál es la probabilidad de
que ocurra B?
1
5
1
B.
9
5
C.
9
A.
C. 2,7791
El último impacto cinematográfico ha sido una película
que, en tres días de estreno, el 80% de la población ha
logrado verla. Según lo anterior y considerando un grupo
de cuatro amigos, responde las preguntas 10 y 11.
D.
D.
E.
2
3
5
6
14. Si los sucesos son independientes, ¿cuál es la
probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió B?
A. 0
10. ¿Qué característica tiene la distribución de esta
probabilidad?
1
5
1
C.
6
1
D.
9
E. Se necesita información adicional.
B.
A. Es una distribución Bernoulli.
B. Es una distribución binomial.
C. Son sucesos independientes.
D. Son sucesos incompatibles.
E. Ninguna de las anteriores.
|
103 |
Santillana Bicentenario
Unidad 4
x
A. 0,15
Solucionario
Ficha de reforzamiento n°1
1. El recorrido es {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14} Unidad 4
2.
Z
]1
] 16
]1
]8
]
]3
] 16
]1
]
f (x) = P (X = x) = [ 4
]3
] 16
]
]1
]8
]1
]
] 16
]0
\
si X = 8
si X = 9
si X = 10
si X = 11
si X = 12
si X = 13
si X = 14
en cualquier otro caso.
3.
3/10
1/4
1/5
3/20
1/10
1/20
0
8
9
10
11
12
13
14
4. La función es simétrica con respecto al valor x = 11 y tiene forma de campana.
Ficha de reforzamiento n°2
1. n =
1
285
5
57
2
3. P (x # 4) =
19
46
4. P (x $ 6) =
57
2. P (x = 5) =
5. P (3 # x # 8) =
199
285
Santillana Bicentenario
|
104 |
x
F(x)
0
0
1
1/285
2
1/57
3
14/285
4
2/19
5
11/57
6
91/285
7
28/57
8
68/95
9
1
Unidad 4
6.
7.
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Ficha de reforzamiento n°3
1. Valor esperado: 2,6
2. Valor esperado: 3,5
Varianza: 5,3
Desviación estándar: 2,3
Desviación estándar: 1,7
Conclusión: El valor esperado y la desviación estándar están en concordancia con la función de probabilidad. Es igual de probable
obtener cualquiera de los valores que toma la variable aleatoria.
Ficha de reforzamiento n°4
21
128
21
2.
128
1
3.
128
99
4.
128
1.
5. Se espera obtener 3,5 caras.
6. Es igual, ya que si se lanza una moneda siete veces seguidas no existe una condicionalidad de los resultados anteriores.
|
105 |
Santillana Bicentenario
Solucionario
Ficha de profundización n°5
1. Valor esperado: 2,71
2.
Desviación estándar: 1,32
0,35
0,3
Unidad 4
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
3. El 95% de los datos quedan acumulados en el intervalo [0,07, 5,35]. Esto significa que lo que queda fuera de este intervalo tiene
una probabilidad no significativa.
Ficha de profundización n°6
1
1. P(B) = 3
4
2. P(A/B) = 7
c
2
3. P(A/B ) = 7
8
4. P(A) =
21
c
P(B ) =
2
3
3
7
c c
5
P(A /B ) =
7
c
P(A /B) =
2/7
Azul
5/7
Negra
2/7
Azul
5/7
Negra
4/7
Azul
3/7
Negra
2/7
Azul
5/7
Negra
4/7
Azul
3/7
Negra
2/7
Azul
5/7
Negra
1
1/6
1/6
1/6
1/6
2
3
4
1/6
5
1/6
6
Santillana Bicentenario
|
106 |
Ficha de profundización n°7
1.
2.
3.
4.
La probabilidad de que un neumático defectuoso sea aceptado es de 0,1%.
La probabilidad de que un neumático bueno sea rechazado es de 2,94%.
La probabilidad de que la unidad de control cometa un error es de 3,04%.
La probabilidad de que un neumático sea aceptado es de 95,16%.
Ficha de profundización n°8
2. Esperanza: 3,5
35
3.
128
4.
Unidad 4
1. Binomial, puesto que resulta de repetir un experimento (éxito-fracaso) siete veces.
Desviación estándar: 1,32
126
128
5. 1 –
n
2
n
Evaluación de la unidad 4
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
C
B
A
B
B
E
D
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
C
A
B
A
D
C
B
Bibliografía
• Misset, L. & Turner, J. & Lotz, E. (2004). Mathématiques, Déclic 2de. Editorial Hachette Education. ISBN: 978-2-01-135373-3
• Hanouch, B. & Choquer-Raoult, A. & Cocault, M. (2004) Math repères 2de. Editorial Hachette Education. ISBN: 978-2-01-135380-1
• Chevallard, Y. (1999). El análisis de las prácticas docentes en la teoría antropológica de lo didáctico. Recherches en didactique des
mathématiques. Vol 19. n°2. Pág. 221-266.
• Brousseau, G. (2007). Iniciación al estudio de la teoría de las situaciones didácticas. Libros del Zorzal. Buenos Aires.
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107 |
Santillana Bicentenario
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