Distribución de probabilidad continua Una distribución de probabilidad continua es aquella en la que la variable aleatoria que la define X es continua; o sea, es producto de una medición y no del conteo. El dominio de la variable aleatoria continua X es infinito. Distribución de probabilidad continua Una distribución de probabilidad continua es aquella en la que la variable aleatoria que la define X es continua; o sea, es producto de una medición y no del conteo. El dominio de la variable aleatoria continua X es infinito. Distribución Normal El mejor ejemplo de una variable aleatoria continua es la variable aleatoria normal. Distribución de probabilidad continua Una distribución de probabilidad continua es aquella en la que la variable aleatoria que la define X es continua; o sea, es producto de una medición y no del conteo. El dominio de la variable aleatoria continua X es infinito. Distribución Normal El mejor ejemplo de una variable aleatoria continua es la variable aleatoria normal. Características: (i) La gráfica es conocida como la campana de Gauss (ii) Es simétrica (iii) Los valores tienden a agruparse alrededor de la media (iv) La media, la mediana y la moda son iguales (v) El área bajo la curva o de parte de la curva es igual a la probabilidad deseada. Gráfica de una distribución de probabilidad continua. = mediana = moda p(X) = 1 2 " X− 1 − " 2 e 2 e es la constante 2.71828… es la constante 3.14159... es la media ´n esta ´ndar " es la desviacio X es cualquier valor de la variable aleatoria continua y −∞ < X < +∞ Ya que e y π son constantes, la probabilidad de una variable aleatoria depende sólo de la media y la desviación estándar. Para valores diferentes de μ y σ se producen distribuciones de probabilidad normal distintas. Ejemplo: Ya que e y π son constantes, la probabilidad de una variable aleatoria depende sólo de la media y la desviación estándar. Para valores diferentes de μ y σ se producen distribuciones de probabilidad normal distintas. Ejemplo: Ya que e y π son constantes, la probabilidad de una variable aleatoria depende sólo de la media y la desviación estándar. Para valores diferentes de μ y σ se producen distribuciones de probabilidad normal distintas. Ejemplo: Las distribuciones A y la B tienen igual μ pero distintas σ Ya que e y π son constantes, la probabilidad de una variable aleatoria depende sólo de la media y la desviación estándar. Para valores diferentes de μ y σ se producen distribuciones de probabilidad normal distintas. Ejemplo: Las distribuciones A y la B tienen igual μ pero distintas σ Las distribuciones A y la C tienen igual σ pero distintas μ Ya que e y π son constantes, la probabilidad de una variable aleatoria depende sólo de la media y la desviación estándar. Para valores diferentes de μ y σ se producen distribuciones de probabilidad normal distintas. Ejemplo: Las distribuciones A y la B tienen igual μ pero distintas σ Las distribuciones A y la C tienen igual σ pero distintas μ Las distribuciones B y la C tienen diferentes μyσ La expresión matemática p(X) = 1 2 " 1 X− − " 2 e y tediosa, por lo tanto, es mejor utilizar 2 es complicada X− Z= " conocida como fórmula de transformación, que convierte cualquier variable aleatoria normal X en una variable aleatoria normal estandarizada Z. La expresión matemática p(X) = 1 2 " 1 X− − " 2 e y tediosa, por lo tanto, es mejor utilizar 2 es complicada X− Z= " conocida como fórmula de transformación, que convierte cualquier variable aleatoria normal X en una variable aleatoria normal estandarizada Z. Cualquier conjunto de valores distribuidos normalmente pueden ser convertidos a la forma estandarizada, por lo cual para calcular la probabilidad deseada se utiliza la tabla de la distribución normal estandarizada acumulada. La expresión matemática p(X) = 1 2 " 1 X− − " 2 e y tediosa, por lo tanto, es mejor utilizar 2 es complicada X− Z= " conocida como fórmula de transformación, que convierte cualquier variable aleatoria normal X en una variable aleatoria normal estandarizada Z. Cualquier conjunto de valores distribuidos normalmente pueden ser convertidos a la forma estandarizada, por lo cual para calcular la probabilidad deseada se utiliza la tabla de la distribución normal estandarizada acumulada. Para comprobar la aplicación de la fórmula de transformación, se presenta el siguiente ejemplo: Cualquier el tiempo de descarga de una página Web conocida se distribuye normalmente con μ = 7 y σ = 2. Cualquier el tiempo de descarga de una página Web conocida se distribuye normalmente con μ = 7 y σ = 2. Para un tiempo de descarga de 1 s X=1 X− Z= " Z= 1−7 2 Z = −3 Para un tiempo de descarga de 3 s X = 3s X− " Z= 3−7 2 Z= Z = −2 Para un tiempo de descarga de 3 s X = 3s X− " Z= 3−7 2 Z= Z = −2 Para un tiempo de descarga de 5 s X = 5s X− " Z = 5−7 2 Z= Z = −1 etc. Por lo tanto, si se desea calcular la probabilidad de que el tiempo de descarga de la página sea menor a 9 s. Por lo tanto, si se desea calcular la probabilidad de que el tiempo de descarga de la página sea menor a 9 s. p(X < 9 ) = ? Z= 9−7 2 Z=1 P(X < 9 ) = P(Z < 1 ) Segu ´n la tabla P(Z < 1 ) = 0.8413 Por lo tanto, si se desea calcular la probabilidad de que el tiempo de descarga de la página sea menor a 9 s. p(X < 9 ) = ? Z= 9−7 2 Z=1 P(X < 9 ) = P(Z < 1 ) Segu ´n la tabla P(Z < 1 ) = 0.8413 Calcule las siguientes probabilidades p(7 < X < 9 ) = ? p(3 < X < 11 ) = ? p(1 < X < 13 ) = ? p(X < 3.5 ) = ? Calcule X para una probabilidad acumulada de 0.10 Calcule X para una probabilidad acumulada de 0.10 ¿Cuánto tiempo (segundos) deberá transcurrir antes de que el 10% de las descargas estén completas? Calcule X para una probabilidad acumulada de 0.10 ¿Cuánto tiempo (segundos) deberá transcurrir antes de que el 10% de las descargas estén completas? Observando la tabla se puede verificar que: para Z = −1.28, p(Z ) = 0.1003 siendo 0.1003 es el valor más cercano a 0.10 Calcule X para una probabilidad acumulada de 0.10 ¿Cuánto tiempo (segundos) deberá transcurrir antes de que el 10% de las descargas estén completas? Observando la tabla se puede verificar que: para Z = −1.28, p(Z ) = 0.1003 siendo 0.1003 es el valor más cercano a 0.10 Calcule X para una probabilidad acumulada de 0.10 ¿Cuánto tiempo (segundos) deberá transcurrir antes de que el 10% de las descargas estén completas? Observando la tabla se puede verificar que: para Z = −1.28, p(Z ) = 0.1003 siendo 0.1003 es el valor más cercano a 0.10 X = ?s X− " − 1.28 = X − 7 2 Z= − 2.56 = X − 7 X = 7 − 2.56 X = 4.44 s Calcule los valores de X que incluyan el 95% de los tiempos de descarga. La masa de los paquetes de un cereal de desayuno tiene una distribución normal con una media de 750 g y desviación estándar de 25 g. (a) Encuentre la probabilidad de que un paquete escogido al azar tenga masa (i) menos de 740 g; (ii) al menos 780 g; (iii) entre 740 g y 780 g. (b) Dos paquetes son elegidos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos paquetes tengan una masa que es menos de 740 g? (c) La masa de 70% de los paquetes es más de x gramos. Encuentra el valor de x. En un país llamado Tallopia, la altura de los adultos tiene una distribución normal con una media de 187,5 cm y una desviación estándar de 9.5 cm. (a) ¿Qué porcentaje de adultos en Tallopia tienen una altura superior a 197 cm? (b) Una puerta estándar en Tallopia está diseñado de modo que el 99% de los adultos tienen un espacio de al menos 17 cm por encima de la cabeza al pasar por una puerta. Halle la altura de una puerta estándar en Tallopia. Escriba su respuesta al cm más cercano. Una empresa fabrica aparatos de televisión. Ellos afirman que el tiempo de vida de un conjunto se distribuye normalmente con una media de 80 meses y la desviación estándar de 8 meses. (a) ¿Qué proporción de los televisores se descomponen en menos de 72 meses? (b) (i) Calcular la proporción de conjuntos que tienen una vida útil entre 72 meses y 90 meses. (ii) ilustre esta proporción con el sombreado adecuado en un boceto de una curva de distribución normal. (c) Si un conjunto se rompe en menos de x meses, la empresa reemplazará sin costo alguno. Se reemplaza el 4% del juego. Encuentre el valor de x. Se afirma que las masas de una población de leones se distribuyen normalmente con una masa media de 310 kg y una desviación estándar de 30 kg. (a) Calcule la probabilidad de que un león seleccionados al azar tenga una masa de 350 kg o más. (b) La probabilidad de que la masa de un león se encuentra entre a y b es 0,95, donde a y b son simétricas alrededor de la media. Encuentre el valor de a y de b. El gráfico muestra una curva normal de variable aleatoria X, con media y desviación estándar. " Se sabe que P(X m 12) = 0.1 (a) La región sombreada A es la región bajo la curva donde X m 12. Escriba el área de la región de sombra A. También se sabe que P(X [ 8) = 0.1 (b) Encuentra el valor de (c) Muestre que "=1 (d) Calcule P(X [ 11) , justifique su respuesta. El tiempo que tarda un estudiante en terminar una tarea dada sigue una distribución normal, de media 20 min. y desviación típica 1.25 min. (a) Se elige un estudiante al azar. Halle la probabilidad de que el estudiante termine la tarea en menos de 1.25 min. (b) La probabilidad de que un estudiante tarde entre k min. y 21.8 min. es igual a 0.3. halle el valor de k. El coeficiente Intelectual (IQ) en una determinada población se distribuye normalmente con una media de 100 y una desviación estándar de 15. (a) ¿Qué porcentaje de población tiene un IQ entre 90 y 125? (b) Si dos personas son elegidos al azar de la población, ¿cuál es la probabilidad de que ambos tengan el coeficiente intelectual superior a 125? (c) El IQ medio de un grupo aleatorio de 25 personas que sufren de un cierto desorden del cerebro resultó ser 95,2. ¿Es esto suficiente evidencia, en el nivel de significancia de 0.05, que las personas que padecen el trastorno tienen, en promedio, un coeficiente intelectual inferior a la totalidad de la población? Indique su hipótesis nula y su hipótesis alternativa, y explique su razonamiento. www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com CENTRO DE DIDÁCTICA Y DISEÑO GRÁFICO www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com " CEDIGRAF " www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com Matemática * Prbbldwww.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com Distribución Normal www.aprendomatematicas.com Ejercicios www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com 1. Dada una distribución normal con = 0 y " = 1, ¿cuál es la probabilidad de que: www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com (a) Z sea menor que 1.57? www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com (b) Z sea mayor que 1.84? www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com (c) Z esté entre 1.57 y 1.84? www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com (d) Z sea menor que 1.57 o mayor que 1.84? www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com (e) Z esté entre -1.57 y 1.84?www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com (f) Z sea menor que -1.57 o mayor que 1.84? www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com (g) Entre cuáles dos valoreswww.aprendomatematicas.com de Z (distribuidos simétricamente alrededor de la media) www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com estarán contenidos el 68.26% de todos los posibles valores Z. www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com (h) ¿Cuál es el valor de Z siwww.aprendomatematicas.com sólo el 2.5% de todos los posibles valores de Z son más www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com grandes? www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com 2. Dada una distribución normal con = 100 y " = 10. ¿Cuál es la probabilidad de qué: www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com (a) X > 75? www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com (b) X < 70? www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com (c) X < 80 o X > 110? www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com (d) el 80% de los valores www.aprendomatematicas.com estén entre los dos valores X www.aprendomatematicas.com (simétricamente distribuidos www.aprendomatematicas.com slrededor de la media)? www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com 3. Dada una distribución normal con = 50y " = 4. ¿Cuál es la probabilidad de que: www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com (a) X > 43? www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com (b) X < 42? www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com (c) el 5% de los valores son menores que X? www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com (d) el 60% de los valores www.aprendomatematicas.com estén entre los dos valores X www.aprendomatematicas.com (simétricamente distribuidos www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com slrededor de la media)? www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www. aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com [email protected] www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com CENTRO DE DIDÁCTICA Y DISEÑO GRÁFICO www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com " CEDIGRAF " www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com Matemática * Prbbldwww.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com 4. Una empresa determina que, en una base anual, la distancia recorrida por camión se www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com distribuye normalmente con una media de 50,0 mil millas y una desviación estándar de www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com 12.0 mil millas. www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com (a) ¿Qué proporción de camiones se espera que recorran entre 40.0 y 50.0 mil millas en el www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com año? www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com (b) ¿Qué porcentaje de camiones se espera que recorran por debajo de 30.0 o por arriba de www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com 60.0 mil millas en el año? www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com (c) ¿Cuántas millas habrán sido recorridas por al menos el 80%www.aprendomatematicas.com de los camiones? www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com 5. La fuerza de rompimiento www.aprendomatematicas.com de las bolsas de plástico usadaswww.aprendomatematicas.com para empacar productos se www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com distribuye normalmente con una media de 5 libras por pulgada cuadrada y una desviación www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com estándar de 1.5 libras por pulgada cuadrada. ¿Qué proporciónwww.aprendomatematicas.com de bolsas tienen una fuerza www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com de rompimiento de www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com (a) menos de 3.17 libras por pulgada cuadrada? www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com (b) al menos 3.6 libras por pulgada cuadrada? www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com (c) entre 5 y 5.5 libras por pulgada cuadrada? www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com (d) ¿Entre cuáles dos valores simétricamente distribuidas www.aprendomatematicas.com alrededor de la media se www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com encontrarán el 95% de las fuerzas de rompimiento? www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com 6. Un análisis estadísico de 1,000 llamadas de larga distancia relizadas desde las oficinas de www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com una empresa importadora indica que la duración de estas llamadas se distribuye www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com normalmente con una media de . = 240 segundos y " = 40 segundos www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com (a) ¿Cuál es la probabilida de www.aprendomatematicas.com que una llamada haya durado menos de 180 segundos? www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com (b) Cuál es la probabilida de que una llamada específica haya durado entre 180 y 300 www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com segundos? www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com (c) ¿Cuál es la probabilida de que una llamada haya durado entre 110 y 180 segundos? www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com (d) ¿Cuál es la duración de una llamada en particular si sólo el 1% de todas las llamadas www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com son más cortas? www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www. aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com [email protected] www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com www.aprendomatematicas.com
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