MATEMATICAS 1º ESO PRIMER CICLO

8
Letras y símbolos
Matemáticas 1º ESO
290
1.
Codificación y
descodificación
2.
Expresiones aritméticas y
algebraicas
3.
Regularidad y generalización
4.
Cálculos combinados
5.
Valores numéricos
Letras y símbolos
1. Codificación y descodificación
 LA CAJA REGISTRADORA
En algunos comercios tienen cajas registradoras que, además de las teclas con los números y con las
operaciones aritméticas, tienen otras teclas que pueden programarse para que escriban el precio de
los productos que venden con más frecuencia. Esto facilita mucho el trabajo del cajero. Por ejemplo,
si el cajero tiene que escribir el precio de una ración de paella, no tiene que acordarse de lo que vale y
apretar las teclas de los números, sólo tiene que apretar la tecla “paella”.
¿Qué teclas hay que apretar para sacar la cuenta de una persona que ha comido un tercio de
cerveza, una ración de paella, pan y un café?.
¿Y para sacar la cuenta de un grupo de personas que se han tomado 4 tercios de cerveza?.
Invéntate lo que han tomado un grupo de amigos y escribe cómo se calcula la cuenta.
 CÓDIGOS
1) Descubre el código de la frase secreta:
CHITUCHINO CHISACHIBES CHITRACHIDU CHICIRCHIES CHITACHIFRA CHISE
2) Describe el código si para conseguir una frase secreta convertimos la frase:
“NOS COMUNICAREMOS EN UN LENGUAJE EXCLUSIVO”
en esta otra:
“O USIV EXCL UAJE LENG ENUN EMOS ICAR OMUN NOSC”
Sabiendo que el código es el anterior, traduce la siguiente frase secreta:
“CTAS STRA ASAB EIDE IOND ICAC OMUN EDEC GUAJ NLEN AESU GEBR ELAL”
3) Descubre el código sabiendo que la codificación de la frase:
“ESTE LENGUAJE ES ALTO SECRETO”
es: 5, 20, 21, 5 - 12, 5, 14, 7, 22, 1, 10, 5 - 5, 20 - 1, 12, 21, 16 - 20, 5, 3, 19, 5, 21, 16
291
Matemáticas 1º ESO
4) Podemos inventarnos códigos, asociando a cada letra un gráfico:
Sabiendo que : M A T E M A T I C A S 
a) decodifica la siguiente frase:
b) Codifica la frase:
“ESTO ES CADA VEZ MÁS DIVERTIDO”
 VENTANAS
Diseña ventanas rectangulares cuyo perímetro sea 4 metros.
Completa la tabla siguiente:
Base
Altura
Perímetro
1’5
0’5
2  1’5 + 2  0’5 = 4
1
a
b
=4
La última expresión que relaciona la base y la altura de cualquier rectángulo de
perímetro 4 es una fórmula.
292
Letras y símbolos
 FÓRMULAS
Las fórmulas son expresiones que representan relaciones entre medidas. Aquí tienes algunas:
A = ba
Área del rectángulo = base por altura
P = 2b + 2a
Perímetro del rectángulo = 2 veces la base más 2 veces la anchura.
E = vt
Espacio recorrido = velocidad por tiempo empleado
C = np
Coste = número de piezas por precio unitario
Escribe tú ahora fórmulas en cada uno de los casos que siguen:
1) Un rectángulo tiene 8 cm. de base y 4 cm. de altura. Calcula su área.
2) Un rectángulo tiene 7 cm. de base y a cm. de altura. Expresa su área.
3) Un rectángulo tiene 6 cm. de base y x cm. de altura. Expresa su perímetro.
4) Si haces un viaje durante 3 horas a 90 km / h, ¿qué distancia has recorrido?.
5) Expresa la distancia recorrida si llevas x horas viajando a 90 km / h. Expresa también la distancia
recorrida cuando lleves 2 horas más.
6) Vas a la papelería y compras 2 lápices a x euros. cada uno y 3 libretas a y euros. cada una.
Expresa el coste total de tu compra.
 MÁQUINAS
1) Observa la siguiente máquina:
Si entra el número 5, ¿qué número sale de la máquina?. Completa la siguiente tabla:
ENTRADAS
5
SALIDAS
11
7
2
100
30
50
293
Matemáticas 1º ESO
¿Qué relación tiene el número que entra en la máquina con el número que sale?. ¿Cómo
expresarías matemáticamente esa relación?.
2) Una máquina programada somete al número que entra al siguiente proceso: multiplicar por 2,
sumar 4, multiplicar por 5, dividir entre 10 y restar 2. Expresa algebraicamente el proceso.
3) Expresa algebraicamente las sucesivas transformaciones y resultados que sufre un número al
pasar por la siguiente máquina:
4) Comprueba que estas dos máquinas son equivalentes. Es decir, si en ambas entra un mismo
número, ambas entregan el mismo resultado:
Codifica algebraicamente los resultados finales obtenidos al introducir en cada una el número x.
¿Dirías que la igualdad
2x
2 x3
1
es cierta para cualquier valor de x ?.
3
3
 MÁS MÁQUINAS
1) Escribe las expresiones algebraicas correspondientes a los siguientes diagramas y redacta su
funcionamiento:
2) Dadas las siguientes expresiones algebraicas:
a) a+ h
b) 2 n
c) 2 n + 1
d) b - 1
construye las tablas correspondientes para los valores de las letras: 1, 3, 5, 7, 8’3, 15, 10’5, 100,
9’7, 999.
294
Letras y símbolos
2. Expresiones aritméticas y algebraicas
 EXPRESIONES ARITMÉTICAS
1) Busca el número de salida y la expresión aritmética correspondiente:
Según los resultados obtenidos: ¿qué podrías decir de las máquinas a) y c) ?.
2) Busca el número de salida y la expresión aritmética asociada al siguiente diagrama:
3) Los siguientes diagramas tienen errores. ¡Búscalos!.
4) Completa las expresiones aritméticas y dibuja el diagrama asociado:
a) [ ( 7 + 8 ) : 5  - 1 = 
b) ( 1 + 2 ) x ( - 1 ) = 6
c) [ ( 5 x 3 ) + 15  - 10 = 
d) ( 8 x 5 ) + ( 8 x 3 ) = 
5) Explica cómo se obtiene el resultado en los siguientes diagramas y generaliza:
295
Matemáticas 1º ESO
 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1) Busca la salida y redacta el funcionamiento de cada máquina.
2) Diseña los diagramas y redacta el funcionamiento de las máquinas que, con entradas m y n, nos
den las siguientes expresiones de salida:
a) m  (n  2)
b) (m  2)  (n  3)
c) (m + 3)  n
 DE COMPRAS
Vas a la papelería y compras dos bolis y tres libretas. ¿Cómo puedes escribir cuánto dinero te has
gastado?.
Tu amiga va después a la papelería y compra dos lápices y tres libretas. Escribe el dinero que se ha
gastado. Escribe ahora lo que os habéis gastado entre los dos.
Escribe cuál es el significado de cada una de las letras que has utilizado al contestar las preguntas
anteriores.
 MAS COMPRAS
Tu padre va al mercado y compra dos kilos de patatas, kilo y medio de ternera y un cuarto de kilo de
queso. Al volver a casa se da cuenta de que se ha quedado corto y a tu hermano le toca volver al
mercado para comprar un kilo de patatas, tres cuartos de kilo de ternera y media cuarta de mortadela.
Escribe primero lo que se ha gastado tu padre, luego lo que se ha gastado tu hermano, y para acabar
lo que se han gastado entre los dos.
¿Cuál es el significado de cada una de las letras que has utilizado?.
296
Letras y símbolos
 AREA FUELLE
Seguro que sabes expresar aritméticamente el área del rectángulo que sigue
Ahora le añadimos un trozo y obtenemos un nuevo rectángulo:
¿Sabrías expresar el área de este otro, que sabemos que es más largo pero no sabemos cuánto?.
 EDADES
Llamando x a la edad de una persona, expresa algebraicamente:
a) La edad que tendrá dentro de quince años.
b) La edad que tenía el año pasado.
c) Los años que faltan para que se jubile, a los 65 años.
d) La edad que tendrá cuando haya vivido otro tanto de lo vivido hasta ahora.
e) La edad que tendrá en el año dos mil diez.
 PAGA SEMANAL
Lee los enunciados y completa la tabla que sigue.
 Eva recibe, de paga semanal, x euros.
 A Leticia le faltan 100 euros para recibir el doble que Eva.
 Raquel recibe 500 euros más que Leticia.
PAGA SEMANAL
Eva
X
Leticia
Raquel
Entre las
tres
297
Matemáticas 1º ESO
 INFORMACIÓN NUMÉRICA
Para responder a cada una de las cuestiones que siguen, tendrás que utilizar números desconocidos,
representados por letras. Para no cansarte mucho, intenta resolver algunas:
1) ¿Qué número es uno más que el doble de q ?.
2) ¿Qué número es dos menos que la mitad de w ?.
2) La suma de dos números es quince. Un número es y. ¿Cuál es el otro número?.
4) La diferencia entre dos números es 6. El mayor es x. ¿Cuál es el otro número?.
5) La diferencia entre dos números es 10. El menor es s. ¿Cuál es el mayor?.
6) La mitad del número r es catorce.
7) Diez es dos unidades mayor que el doble del número z.
8) Veinte es 7 unidades menor que la mitad del número h.
9) Cuando incrementas un tercio del número x con 5 unidades, obtienes 9..
10) Cuando disminuyes nueve veces el número y con 6 unidades, obtienes 4.
11) La suma de tres números consecutivos es 69.
12) Si al triple de un número le quitamos 5, nos queda 16.
13) Tres es siete unidades menor que el doble del número.
 INFORMACIÓN CONDENSADA
Expresa lo más concisamente que puedas cada una de las siguientes informaciones:
(1) La edad de Roberto es cinco años menos que la de Alfonso.
(2) Antonio tiene 2000 euros más que Juan.
(2) Carmen supera a Concha en 3 años.
(4) Marisa tiene triple dinero que Eva.
(5) En una reunión hay dos chicas por cada tres chicas.
298
Letras y símbolos
 ¿QUIÉN TIENE RAZÓN?
Carlos y Rosa han descrito con letras una serie de situaciones de forma distinta y no han conseguido
ponerse de acuerdo sobre quién lo ha hecho bien.
1) El diccionario de francés es 100 céntimos. más barato que el inglés.
Carlos:
Rosa:
F - 100 = 1
I = 100 + F
2) El profesor de informática ha suspendido el doble de alumnos que el de inglés.
Carlos:
I=2I
Rosa:
I=
1
I
2
3) En el colegio hay 3 maestros por cada 5 maestras.
Carlos:
Rosa:
3 H = 5 M (H: maestros, M: maestras).
5 H = 3 M.
¿Quién tiene razón en cada caso?. ¿Se han equivocado los dos en algún caso?. ¿Cómo convencerías
al que lo ha hecho mal de su error?.
 ¿SON CORRECTAS?
1) Si el funcionamiento de una máquina es: suma las dos entradas y le resta tres unidades, ¿cuál de
las siguientes expresiones es su codificación en lenguaje algebraico?:
a+a-3
3a + b
x + (y - 3)
(a + b) - 3
2) De un rectángulo sabemos que uno de sus lados es 7’5 unidades de longitud. La codificación, en
lenguaje algebraico, de:
su perímetro es
su área es
a + 15
(7’5 + a)2
2 a + 7’5
2
(7’5 + a)
2 (x + 7’5)
7’5 a
299
Matemáticas 1º ESO
3) Si x es mi edad e y es la tuya, mi expresión “te doblo la edad” se expresaría por:
2x=y
x-y=2
2y
x=2y
4) Pedro y Juan son dos amigos que coleccionan sellos. Pedro le dice a Juan: “Te faltan tres para
tener el doble de sellos que tengo yo”. Juan le contesta: “Si llamo x al número de tus sellos, los
míos responden a la expresión 2 x - 3. ¿Es cierto lo que dice Juan?. Si no es así, ¿cuál es la
expresión?.
5) La edad de un padre es diez veces la edad del hijo. Si el hijo tiene x años: ¿cuál es la expresión de
la edad del padre?.
 LÁPICES Y CUADERNOS
Un lápiz cuesta x euros: Escribe el precio de 10 lápices, 5 lápices, 7 lápices.
Escribe el precio de dos lápices y un cuaderno de 10 euros. ¿Qué cantidad hay que pagar por tres
lápices y dos cuadernos?.
¿Cuánto habría que pagar al comprar 10 lápices y tres cuadernos si hacen una rebaja de 15 euros ?.
Si tu respuesta fuera 2 x, ¿qué pregunta te habríamos hecho?. ¿Y si fuera 2 x + 20 ?.
 SELLOS
Jorge tiene un número de sellos que representaremos por a. Indica el número de sellos que tienen sus
amigos:
 Pepe tiene la mitad que Jorge
 Juan tiene cinco sellos menos
 María tiene 100 sellos más que Jorge
 Julio tiene el doble que Jorge y tres sellos más
300
Letras y símbolos
 NÚMEROS
Tenemos un número desconocido que representamos por b. ¿Cuál es la expresión algebraica
correspondiente a:
 La suma del número con 3.
 El triple del número dado.
 El número anterior al que tenemos.
 El siguiente.
 Un número dos unidades mayor que el dado.
 Un número mitad del dado.
 Su doble menos tres unidades.
 Un número que se diferencie con el número dado en dos unidades.
 PERÍMETROS
Escribe una expresión para determinar el perímetro de las figuras siguientes:
Esta otra figura sin terminar de dibujar, pero sabemos que tiene n lados y que todos ellos miden lo
mismo, 2 cm.
301
Matemáticas 1º ESO
 MÁS PERÍMETROS
1) Calcula el perímetro de las siguientes figuras. Explica cómo lo haces:
2) Dibuja un rectángulo, sabiendo que su perímetro viene dado por la expresión algebraica 8 + 4  a
3) Si 4 x es la expresión del perímetro de un cuadrado, dibuja la figura y encuentra las dimensiones
de los cuadrados cuyo perímetro sea menor que 20.
 ÁREAS
1) ¿Cuál es la expresión del área de un rectángulo si sólo sabemos que una dimensión es 8 ?. ¿Y si
una de las medidas de los lados es 6 ?. ¿Y si no conocemos ninguna de las medidas de los lados
pero sabemos que uno de ellos mide tres unidades más que el otro?.
2) Halla la expresión del área de las siguientes figuras:
302
Letras y símbolos
2
3) Inventa la pregunta cuya contestación es ÁREA = A = a ( a + 2 ) cm .
4) Expresa el área de los siguientes triángulos:
a)
b) Sabiendo que la altura sobre una base mide el triple que dicha base.
c) Sabiendo que la altura es dos unidades mayor que la correspondiente base.
d) Sabiendo que la altura es la mitad de la base.
2
e) ¿Puede ocurrir que el área de un triángulo sea A = 4 a dm ?. En caso afirmativo, pinta y
redacta los datos del triángulo.
5) Dado el siguiente gráfico
busca el perímetro de los siguientes recintos coloreados:
6) Haz lo mismo que en el apartado anterior:
303
Matemáticas 1º ESO
 AREAS Y VOLÚMENES
1) Asocia las figuras geométricas de la izquierda con las expresiones algebraicas de la derecha.
2) Busca la expresión algebraica asociada a cada una de las siguientes regiones sombreadas:
3) En un cuadrado de lado x hemos dibujado un región, siendo la expresión algebraica asociada a su
perímetro: 4 x. Dibuja la región, sabiendo que también se cumple que la expresión algebraica de
2
.
su área es x / 4
304
Letras y símbolos
 COMPARA ÁREAS
Dado el gráfico siguiente:
a) Busca una expresión algebraica para el área de cada uno de los recintos rayados.
b) Compara las áreas de los recintos R1 y R5.
c) Compara las áreas de los recintos R2 y R4.
 TABLAS
1) Altura y área
Los datos de la tabla corresponden a distintos triángulos con la misma base. ¿Qué relación hay entre
la altura y el área de todos estos triángulos?. Escríbela utilizando una expresión algebraica.
Altura
Área
5
15
10
30
15
45
305
Matemáticas 1º ESO
2) Volúmenes de botellas
Una botella se está llenando de agua. En la tabla tienes indicada la altura alcanzada por el agua y la
cantidad de agua correspondiente. Encuentra una expresión algebraica que represente esos datos y
después añade más números a la tabla.
Cantidad (litros)
Altura (cm)
0’1
2’26
0’2
4’52
0’5
11’31
0’75
16’98
1
22’64
3) Espacio y tiempo.
Unos amigos se van de viaje en coche. La tabla nos indica la distancia que habían recorrido en
función del tiempo transcurrido. Escribe la fórmula correspondiente.
Tiempo (horas) Espacio (km)
1/4
22’5
1/2
45
3/4
67’5
1
90
 MÁS TABLAS
¿Cuál es la expresión algebraica asociada a cada una de las siguientes tablas?.
a)
1
3
2
b)
10
7
4
18
15
10
12
3
0
100 199
25
27
603
600
250 499
29
31
1000 997
131 261
541
500 999
538
c)
1
1
2
3
 IGUALDADES ALGEBRAICAS
A las igualdades en las que intervienen letras se les llama igualdades algebraicas
1) Escribe la igualdad asociada a cada uno de los siguientes diagramas. Expón en el cuaderno de
trabajo tus razonamientos. ¿Hay alguna igualdad que no sea algebraica?. Estudia, en cada caso, si
puede entrar cualquier número o no.
306
Letras y símbolos
2) Traza el diagrama correspondiente a cada una de las siguientes igualdades algebraicas e investiga
si puede tener o no cualquier entrada:
3 a = 12;
p : 5 = 370;
2
p = p + 2;
a - x = 5;
3
a +3=2a-1
3) Las igualdades con letras surgen en multitud de situaciones. Por ejemplo, interpretando gráficas.
Asociadas a este diagrama están las igualdades
2 + 7 = 9 (numérica)
2 a + 7 a = 9 a ( con letras )
¿Qué representa la letra a ?. ¿Qué significado tiene la igualdad 2 a + 7 a = 9 a ?. ¿Qué valores de a
2
son posibles para que su área sea 18 cm ?. ¿Y para que su área sea nueve veces a ?.
4) Explica e indica la igualdad algebraica asociada a cada uno de los siguientes diagramas.
307
Matemáticas 1º ESO
5) Encuentra el diagrama asociado a cada una de las siguientes igualdades algebraicas. Explica tus
razonamientos.
2 x  1 = 13
9=
3
x+1
5
1
=0
3
3(a+2)7=5
2x
a 1
3 a
2
22 x  4 = y + 2
 EN FORMA SIMBÓLICA
Lee atentamente los siguientes enunciados y expresa, caso de que sea posible, la condición en forma
simbólica:
a) El perímetro de un triángulo isósceles es 15 m.
b) Mi edad es superior a la tuya.
b) El volumen de un cubo es su arista al cubo.
c) He andado el doble de kilómetros que tú.
d) El doble de un número es menor que 10.
e) Dos números se diferencian en tres unidades.
f) El área de un cuadrado de lado a no coincide con el área de un rectángulo de lados: 2 m, 3 m.
g) Me he comprado un libro y un bolígrafo, gastándome 10,50 euros.
h) Si me das un paquete de chicles, te dejo los apuntes de matemáticas.
i) Un número es mayor que su mitad en diez unidades.
 EQUIPAJES
En los viajes en avión se permite llevar hasta 20 kg. de equipaje, sin pagar ningún suplemento sobre
el billete. Por cada kg. de equipaje que exceda de 20, hay que pagar 2 euros. En el aeropuerto, el que
pesa los equipajes necesita calcular lo que tiene que pagar cualquier viajero. ¿Cómo puede adelantar
el trabajo?.
308
Letras y símbolos
3. Regularidad y generalización
 IMPARES Y PARES
1) El primer número impar es el 1, el 2º es el 3, el 3º es el 5. ¿Cuál será el 42º ?. Si no quieres tener
que contar hasta llegar al 42º, necesitas escribir una expresión algebraica que te ayude a
resolverlo. Inténtalo.
2) Prueba ahora con los números pares.
 CUADRADOS
Observa y construye las siguientes figuras:
1) ¿Cuántos palillos se necesitan para construir cada figura?. Completa la siguiente tabla:
c
p
cuadrados 1
palillos
4
2
3
4
5
6
7
2) ¿Cuántos palillos necesitamos para formar 10 cuadrados?. ¿Y 100 cuadrados?. ¿Y n cuadrados?.
3) ¿Podría formarse una figura con 99 palillos?. ¿Y con 301?. En caso afirmativo, indica el número de
cuadrados que tendrían.
 PENTÁGONOS
De la siguiente secuencia de pentágonos, formula todas las preguntas que se te ocurran. Escríbelas
en tu cuaderno e intenta responderlas razonadamente.
309
Matemáticas 1º ESO
 PALILLOS
Continúa esta serie de figuras:
y completa la siguiente tabla:
Nº de orden de la figura
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
Nº de palillos
¿Cómo cuentas los palillos que utilizas para formar cada figura?.
¿Cuántos palillos necesitas para construir la 8ª figura?. ¿Y la 10ª ?.
¿Cuántos palillos se necesitan para construir cualquier figura?. Por ejemplo la “enésima” (n).
 TRIANGULOS
Continúa esta serie de figuras:
y completa la siguiente tabla:
Nº de orden de la figura
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
Nº de palillos
¿Cómo cuentas los palillos que utilizas para formar cada figura?.
¿Cuántos palillos necesitas para construir la 8ª figura?. ¿Y la 10ª ?.
¿Cuántos palillos se necesitan para construir cualquier figura?. Por ejemplo la “enésima” (n).
310
Letras y símbolos
 POLICUBOS
Construye las siguientes figuras:
¿Cuántos cubitos necesitas para construir una “H” con cuatro cubitos en la barra horizontal?.
Imagina primero. Si lo necesitas utiliza policubos para comprobar tu conjetura.
¿Cuántos cubitos tendrá una “H” con la barra horizontal formada por 5 cubitos?. ¿Y con 6, 10, 100
cubitos?.
¿Podrías explicar la forma de calcular el número de cubitos necesarios para construir una “H” con “n”
cubitos en la horizontal?. Intenta escribir una fórmula.
Nota.- Cuando escribimos “barra” nos referimos a los cubos coloreados.
 ELES
Continúa la siguiente serie:
y completa la siguiente tabla:
Nº de orden de la figura
1
2
3
4
5
6
Nº de cubitos
¿Qué haces para calcular el número de cubitos de cada figura?.
¿Cuántos cubitos necesitas para construir la 10ª “L” ?. ¿Y la 20ª ?.
¿Cuántos cubitos necesitas para construir la “enésima” “L” ?.
311
Matemáticas 1º ESO
 CERCOS
Imagina un cuadrado. ¿Cuántos cuadrados iguales que él necesitas para rodearlo por completo,
formando otro cuadrado?.
¿Cuántos cuadrados necesitas para rodear, de la misma manera, el nuevo cerco?. ¿Y para el
siguiente?...
¿Podrías escribir una fórmula para calcular el número de cuadrados que empleamos para formar
cualquier cerco?.
 REGULARIDADES
1) Continúa esta serie numérica:
6, 10, 14, 18, 22, ...
¿Observas alguna regularidad?.
¿Qué número ocupa el lugar 250 de la serie?.
2) Con los policubos, construye “torres” con 1 cubo, 2 cubos, 3 cubos, 4 cubos, ...
Anota la superficie exterior de cada una de las “torres”.
¿Qué superficie exterior tendrá una “torre” construida con 250 cubos?
 BLOQUES
A la vista de las siguiente figuras, explica cómo se van formando las distintas configuraciones:
Configuración 1
Configuración 2
Configuración 3
1) Dibuja las dos siguientes configuraciones. Completa la siguiente tabla:
Configuración
1
2
Número de cubos
2
4
3
4
5
6
2) ¿Cuántos cubos tendrá la configuración 100 ?. Busca una fórmula que sirva para calcular el
número de cubos si conocemos el número de configuración.
312
Letras y símbolos
 CIRCULOS Y ESTRELLAS I
Observa la siguiente secuencia:
1) Dibuja los dos términos que vendrían a continuación.
2) Completa la siguiente tabla.
x
CÍRCULOS
1
y
ESTRELLAS
3
2
3
4
5
3) ¿Cuántas estrellas habrá si el número de círculos es 100 ?. ¿Y si es 1000 ?. Dibuja el esquema de
la máquina que transforme el número de círculos en el número de estrellas correspondiente. Si el
número de círculos es x, ¿cuántas estrellas habrá?.
 ESTRELLAS Y CÍRCULOS II
Nos dicen que x = y + 1 es la ley o fórmula para obtener el número de estrellas x conociendo el
número de circulos y, o bien para obtener el número de círculos x sabiendo el de estrellas y.
1) Completa la tabla:
x
ESTRELLAS
y
CÍRCULOS
7
1
1000
5
982
2) Dibuja los seis primeros términos de la secuencia gráfica.
3) Inventa otra secuencia gráfica con los elementos decorativos que quieras y que responda a la
fórmula y = x + 2.
4) Comprueba si la fórmula x = 2 y  1 nos proporciona la relación entre puntos y cuadrados de la
siguiente secuencia gráfica:
 CÍRCULOS Y ESTRELLAS III
313
Matemáticas 1º ESO
1) Explica cómo se construye la secuencia gráfica.
2) Nos dicen que las siguientes igualdades algebraicas c = 2 e + 2
e=
c-2
2
son fórmulas
que nos proporcionan el número de círculos si conocemos el número de estrellas y, la segunda, el
número de estrellas si conocemos el número de círculos. ¿Son válidas las fórmulas?. Explica
cómo lo compruebas.
 CÍRCULOS Y ESTRELLAS IV
1) Explica cómo se forman o construyen las siguientes secuencias:
2) ¿Es cierta la igualdad algebraica e - 2 c = 0 para alguna de las dos anteriores secuencias ?.
Explica tus razonamientos.
 EL BOSQUE
En un bosque hemos plantado por cada cuatro pinos, un almendro y tres encinas. Si hemos plantado
x pinos, y almendros y z encinas:
a) ¿Pueden tomar las variables x, y, z cualquier valor?. Razona tu respuesta.
b) Estudia si es posible reducir las tres variables a una sola.
c) ¿Cuántos árboles hemos podido plantar?.
314
Letras y símbolos
4. Cálculos combinados
 SUMAS Y RESTAS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1) Completa la siguiente tabla:
a
b
c
2
7
5
50
27
13
3
3
3
14
a+b+c a+b (a+b)+c b+c a+(b+c)
9
200 100
0’1
5
0’1
0’1
2’7
7’3
0’1
9’3
5’9
0’1
8’8
1’5
¿Es válida la expresión a + b + c = ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ?.
2) Completa la siguiente tabla:
a
b
c
100
30
10
40
20
5
110’5
9’7
3’2
9
2
1’6
72’7
15
12’1
a-b (a-b)-c b-c a-(b-c)
Averigua si son ciertas las siguientes igualdades:
a-(b+c)=a-b-c=(a-b)-c
a-(b-c)=a-b+c=(a-b)+c
(a+b)-c=a+(b-c)
3) Simplifica las siguientes expresiones:
1) b + 1 + 7 + 4
2) 8 + 3 + c + 0
3) (a + 3) + 2 + 1 + 2
4) a - (1 + a) + 3
5) x - ( 1 + x ) + x + 0
6) 15 - (3 - p) - 10
7) 200 - (b + 100) - 50
8) 30 - (a + 0) + 60 + a + b
9) 31 + 17 - 8 + c - (15 + 32)
10) x - ( x - y ) + z
315
Matemáticas 1º ESO
 COMPRAS
Un archivador cuesta x euros y una caja de rotuladores lo mismo que un archivador. Marta va a la
librería y compra a archivadores y b cajas de rotuladores.
¿Qué significado tiene a-x ?. ¿Y ab ?. ¿Qué significa a + b ?.
¿Cuál de las siguientes expresiones nos indica el el precio total de la compra ?:
a + bx
abx
(a + b)x
ax + bx
 SUMAS Y PRODUCTOS
1) Convierte en suma los siguientes productos. Comprueba las igualdades.
10( 3 + 2)
5( 8 + 3 )
0’5( 1 + 7’3 )
9(a + b + c)
2) Convierte en producto las siguientes sumas:
23+28
54+34+74
0’1  3 + 0’1  2 + 0’1  6
3) En las siguientes sumas, extrae factor común si es posible. Comprueba las igualdades que
obtengas.
2  4 + 2  10
5 + 10 + 5  3
3+52
2+4+23
4) Completa las igualdades comprobándolas con una tabla de valores o gráficamente:
3x+6=3(x+
ab+2a=a
)
(ax)
=5a+5x
4(2+a+b)=42+
5) Observa el siguiente gráfico. ¿Qué igualdad algebraica nos ofrece?. Comprueba tu afirmación con
una tabla de valores. Interprétala y expresa con tus palabras el significado de la misma.
316
Letras y símbolos
Propiedades de la suma y del producto:
Conmutativa
a+b=b+a
ab=ba
Asociativa
(a+b)+c = a+(b+c)
(a  b)  c = a  (b  c)
Distributiva del producto respecto a la suma: a  (b + c) = a  b + a  c
a  b + a  c = a  (b + c)
Sacar factor común:
 PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
1) Aplicando la propiedad distributiva, busca otra expresión algebraica equivalente:
1) (a + 10) 2
2) 3  2 + 3  h
3) (a + 1) a
4) 8 + 4  x
5) x  (x - 1)
6) a  a + 2  a
7) 5  a + 7 a
8) a  p - p
9) a  (a + 3 + c)
10) 3  x - 3  y
11) a  (12 - a)
12) 2  a + 2
2) Simplifica las siguientes expresiones. Indica en cada caso la propiedad que aplicas:
1) a  1 + a  2 + a  3
2) a  (b + 1) + b  (0 - a)
3) a  b  0 + a  b  1 - a
4) a + b  (a - b ) + b
2
2
 OPERACIONES COMBINADAS
1) Explica el orden de ejecución de las siguientes operaciones combinadas:
a+bc
h  (m / n)
(a + b)  c
a-b+c
p/qr
xy/z
x - (y + z)
a  (b - c)
2) Quita los paréntesis necesarios en las siguientes expresiones algebraicas:
(a  b) / c
a + (b  c)
m - (p  c)
(m + n) / p
a - (b + c)
3) Indica, en las siguientes expresiones, la primera operación que se ejecutaría:
x  (y  z)
mn+p
x / (y + z)
a/b
2
x+p:q
4) Explica el orden de ejecución de las operaciones en las siguientes expresiones:
mn-p
2
a +b
m+n:p
(a + b)
2
a/b+c
2
a  (n - p)
2
a -b
317
Matemáticas 1º ESO
5) Indica en cuál o cuáles de las siguientes expresiones algebraicas es innecesario el paréntesis:
(a + m)  n
(a + m) - n
a + (m  n)
(a  b) + m
a  (b + m)
a / (b + c)
(a + b) - c
a + (b - c)
6) Busca expresiones algebraicas equivalentes a las dadas pero sin paréntesis:
(a + m)  n
(a + m) - n
(a  b) + c
a - (b + 2)
(a + 2)  a
3  (a - b)
 ENTEROS CONSECUTIVOS
Imagina tres números enteros consecutivos. Súmalos.
Prueba con otros. ¿Qué resultados obtienes?.
Intenta explicar lo que ocurre en todos los casos.
¿La regla que has encontrado es válida cualquiera que sean los números elegidos?.
 CALCULADORA
Utiliza tu calculadora para realizar las siguientes operaciones:
2 + 3 4
14 + 16 / 2 + 3
5 + 34 - 1
43+2
52-8
76-22
4  9 2 - 2
15 / 2 + 3
Compara tus resultados con los de tus compañeros.
318
Letras y símbolos
 CALCULOS COMBINADOS
Realiza mentalmente las siguientes operaciones:
4 + (7  2) =
4  (9  3 - 2)
(15 - 3) / 2 =
7  (6 - 2)=
15 / (2 + 3) =
(3  5) - (2  7) =
12+15-(2+3+5) =
(13+7) / (7-2) =
Hazlo ahora con la calculadora.
 ¿COMO EFECTUARLO?
Este es un juego para dos jugadores.
El primero dice una secuencia de números y operaciones e indica el resultado final.
Por ejemplo:
2 + 3  4 = 20
El compañero ha de escribirlo utilizando los paréntesis necesarios para que sea cierto.
Así, en el ejemplo anterior:
(2 + 3)  4 = 20
Luego se intercambian los papeles.
 LA OPERACIÓN SECRETA
Sólo el profesor va a utilizar la calculadora. Si tú le dices cualquier número, el te dirá el resultado que
aparece en su calculadora, al aplicarle la “operación secreta”.
Se trata de que adivines qué hace tu profesor con la calculadora.
 ¡ADIVINA MI NÚMERO!
Este es un juego para dos o más personas. Una de ellas piensa un número, lo multiplica por dos, le
suma uno y dice el número que resulta. Las otras han de adivinar el número que había pensado.
319
Matemáticas 1º ESO
 ¡ADIVINA MI REGLA!
Se trata de un juego para dos o más personas. Una de ellas piensa un regla, del estilo “cada número
que me dan lo multiplico por 2 y le sumo 1”.
Las demás personas le van diciendo números y el que conoce la regla va contestando, con el número
que obtiene cada vez al aplicarle su regla. Gana el primero que logra adivinar la regla.
NOTA.- Inicialmente el profesor es quien piensa la regla y toda la clase participa en cada partida. Un
alumno va anotando en la pizarra los números que piden los demás y los resultados que el profesor
indica, hasta que se enuncia la regla. Se comprueba si funciona y se pide la fórmula. En este nivel
pueden usarse relaciones del tipo:
x+
x
2
x
5
2
x +5
2
10x + 3
(expresiones lineales en x)
5. Valores numéricos
 LEE Y CALCULA
Dí qué operaciones hay que realizar para calcular las siguientes expresiones y en qué orden hay que
hacerlas.
1) 4 ( x + 2 )
2) 5 x
3) y - 4
4) 3 + 2 x
5) 5 z - 8
7) 4 ( 9 x - 2 )
8)
6) 7 ( 6 - 2 z )
y-x
z
9)
y
z+x
Calcula el valor de cada una de ellas si x = 3, y = 15, z = 2.
 VALORES NUMÉRICOS
1) Calcula el valor numérico que toma cada expresión algebraica para los valores que se indican en
cada caso:
a)
3
x , para x=8
4
b) 2 x + 3 y, para x = 5, y = -4
2
2) Comprueba, dando los valores a = 2 y b = 3, que la siguiente igualdad es cierta:
2
2
2
5a b+3a b=8a b
3) Calcula el valor numérico de:
(a - 2)4
para a = 2
( b + 3 )4 para b = 7
Explica cómo lo haces.
320
3
c) a +a +a , para a = 2
( b 3 ) + 1
para b = 10
(a-1):8
para a = 33
Letras y símbolos
 VALORES PARA N
Material: Un tablero con números del 1 al 100 por pareja. Un dado o ruleta decimal. 10 fichas de un
color para cada jugador. 10 cartas, con expresiones algebraicas, por jugador.
VALORES PARA N
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9 10
19 20
29 30
39 40
49 50
59 60
69 70
79 80
89 90
99 100
Reglas del juego:
Los jugadores, dos o tres, colocan frente a si su baraja, con las diez cartas destapadas.
Siguiendo un turno, tiran el dado y sustituyen el valor obtenido en la carta que elijan.
Se trata de conseguir un valor entero que esté en el tablero, teniendo en cuenta que una misma casilla
puede ser ocupada por un máximo de dos fichas.
Realizada la operación, se coloca la ficha en la casilla correspondiente y se retira la carta usada. Ésta
no podrá utilizarse hasta una nueva partida.
Si alguno de los jugadores observa que la operación es incorrecta, se anula la tirada y pasa el turno.
Gana quien coloque sus diez fichas, utilizando todas sus cartas.
Si en algún momento de una partida no es posible colocar más fichas, gana el que menos cartas
tenga en su poder.
COLECCIÓN DE TARJETAS
2n/0,5
1/3 n + 2n
3/4 n  0,5
1/4 n  n2
n 2  1/2 n
n4 / 2n
1/5 n + n2
1/2 n + n
2/3 n + 5
n3  3 n
321
Matemáticas 1º ESO
 EXPRESIONES ALGEBRAICAS EQUIVALENTES
Dos expresiones algebraicas se dicen equivalentes si al darle cualquier valor a la letra, ambas tienen
el mismo valor numérico. Por ejemplo, las expresiones a + 8 y (a + 10) - 2 son equivalentes y
escribimos a+8=(a+10)-2, ya que al darle un valor a la letra a obtenemos el mismo valor numérico en
ambas expresiones, como puedes comprobar en la siguiente tabla:
a
a + 8 (a + 10)-2
1
9
9
2
10
10
7
15
15
3
11
11
1000
1008
1008
Averigua si las siguientes parejas de expresiones algebraicas son o no equivalentes:
1) x + 2
2 + x;
2) (a + 3) - 2
a + 1;
3) (a + 2)3
a + 6;
4) (b + 3)4
4b + 12;
5) (a - 2)5
a - 10;
6) (a + 7)-5
2 + a;
7) (a + 8):2
a + 4;
8) (a + 8) - 2
(a + 9) - 3;
9) 2(a + 1)
2a + 2;
10) (b + 3)3
b + 9;
 SIMBOLOS
Empareja cada frase con su expresión simbólica:
1) El número par que sigue al que ocupa la posición n
a) 3 l = 2 b
2) El perímetro de un triángulo isósceles
b) x / 3 - y
3) Tengo tres bolígrafos por cada dos lápices
b) a  b = 10
4) La diferencia de dos números dividida entre 3.
d) 2 a + b
5) La tercera parte de un número, menos otro
d) 2 n + 2
6) El área de un rectángulo es 10 unidades cuadradas
.
322
f)
x-y
3

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