SEÑALES Y SISTEMAS Clase 12

˜
SENALES
Y SISTEMAS
Clase 12
Carlos H. Muravchik
20 de Abril de 2015
Hab´ıamos visto:
1. Representacion de SLIT; diagramas en bloque.
2. Sistemas lineales con entradas aleatorias.
Y se vienen:
I
´ a la Transformada de Fourier
Introduccion
I
TF de pulso gaussiano.
I
Propiedades. Simetr´ıas. Pares transformados usuales.
´ y similaridad.
Linealidad, Translacion
I
I
I
´ pares: escalon,
´ seno, coseno, peine.
Mas
´
Derivacion.
´
Analisis
frecuencial
´
Motivacion
I
I
I
I
I
´ sobre funciones periodicas
´
Aprovecha intuicion
´ en multiplicacion
´ punto a punto
Convierte convolucion
´
Describe como
se reparte la energ´ıa
´ (casi) biun´ıvoca entre 2 dominios (“puntos de
Relacion
vista”)
´ (postgrado). Para
“Diagonaliza” el operador convolucion
SyS: en SLIT, entra un coseno y sale un coseno de la
misma frecuencia.
Transformada de Fourier
´
Definicion
Z
∞
Directa F (s) =
Z−∞
∞
Inversa f (x) =
f (x)e−j2πsx dx
F (s) = F{f (·)}(s)
F (s)ej2πxs ds
f (x) = F −1 {F (·)}(x)
−∞
I
Medida de parecido con sinusoides de frecuencia
conocida (por simplicidad, valor medio nulo e igual escala)
´
Intuicion:
I
I
Note s juega el papel de la frecuencia y x del tiempo
PERO x (o´ s) podr´ıa representar otra magnitud f´ısica
Existencia - Transformada de Fourier
Condiciones de Dirichlet
Se desean
1. F (s) = F{F −1 {F (·)}(x)}(s)
2. f (x) = F −1 {F{f (·)}(s)}(x)
´
Ya han visto en “Matematica
D, E, o similar” que si
R
I f es absolutamente integrable
|f | < ∞,
I f es de variacion
´ acotada y;
el # de discontinuidades finitas de f es finito, en cualquier
intervalo finito
+
(x − )
´ se asegura recuperar f (x )+f
.
por ejemplo, en 2. solo
2
I
Recurriendo a deltas de Dirac se puede agrandar la clase de
pares transformados que cumplen 1. y 2.
´ constante o en las periodicas.
´
Pensar en una funcion
Transformada de Fourier - Simetr´ıas 1
Z
∞
F (s) =
f (x)e−j2πsx dx
−∞
I
I
I
I
2πsx}
Como ej2πsx = cos
2πsx} +j sen
| {z
| {z
par
impar
f = p + n = pR + jpI + nR + jnI
F = P + N = PR + jPI + NR + jNI
R∞
y −∞ impar = 0
f
F
= p + n
l
l
= P + N
Transformada de Fourier - Simetr´ıas 2
Z
∞
F (s) =
f (x)e−j2πsx dx
−∞
I
I
2πsx}
Como ej2πsx = cos
2πsx} +j sen
| {z
| {z
par
impar
f = p + n = pR + jpI + nR + jnI ;
R∞
F = P + N = PR + jPI + NR + jNI ; y −∞ impar = 0
f =
F =
pR
+
−1
F ↓↑ F
PR
+
jpI
+
−1
F ↓↑ F
jPI
+
nR
+
−1
F ↓↑ F
jNI
+
jnI
F ↓↑ F −1
NR
? Si f es real ⇔ F es Herm´ıtica , o sea F (s) = F ∗ (−s)
Transformada de Fourier - Dualidad
Z
∞
F (s) =
f (λ)e−j2πsλ dλ
−∞
f =
F =
pR
+
F ↓↑ F −1
PR
+
jpI
+
F ↓↑ F −1
jPI
+
nR
+
F ↓↑ F −1
jNI
+
Dualidad:
1. f ⊃ F entonces f ∗ (x) ⊃ F ∗ (−s)
2. f ⊃ F entonces F (−x) ⊃ f (s)
I
´ F ⊃f
f par → F par entonces f ⊃ F y tambien
3. f ⊃ F entonces f (−x) ⊃ F (−s)
jnI
F ↓↑ F −1
NR
Pares Transformados 1
I
´
´ Por definicion,
Cajon:
u(t) ⊃ sinc(s) =
sinc(x) =
I
sen πx
⊃ u(s)
πx
por Dualidad-2
´
Exponencial unilateral: Por definicion,
e−αx u(x) ⊃
I
sen πs
πs
Delta de Dirac:
α − j2πs
1
= 2
;
α + j2πs
α + 4π 2 s2
R∞
−∞ δ(x)e
−j2πsx dx
δ(x) ⊃ 1
1
⊃ δ(s)
α>0
= 1 ⇒ F (s) = 1
por Dualidad-2
En forma directa, viola las conds. de Dirichlet!!
Pares Transformados 2
I
´
Signo: ¿Modulo
integrable? No!
Camino intuitivo: calcular e−σ|x| sgn(x); σ > 0, y luego
hacer σ → 0
1
1
En forma directa F{e−σ|x| sgn(x)}(s) = σ+j2πs
− σ−j2πs
entonces, haciendo σ → 0
sgn(x) ⊃
1
−j
=
jπs
πs
j
⊃ sgn(s)
πx
I
por Dualidad-2
´
´ ¿Modulo
Escalon:
integrable? No! requiere deltas (media
6= 0).
´ por la
Camino intuitivo: ¿como antes? No funcionara,
media.
Truco: u(x) = 12 (1 + sgn(x))
Necesitamos: Linealidad de la Transformada
Pulso Gaussiano 1
Es simplemente una forma de pulso “redondeado”.
´
Definicion:
pg (x) = e−πx
2
I
x = ±1 donde cambia la concavidad. Ver en escala lineal.
I
Pulso con soporte infinito. Ver en escala logar´ıtmica.
Pulso Gaussiano 2
I
Con la escala adecuada, su TF es el mismo pulso
gaussiano.
Z ∞
Z ∞
2
2
Pg (s) =
e−πx e−j2πsx dx =
e−(πx +j2πsx) dx =
−∞
Z−∞
∞
2
2
2
=
e−π(x +j2sx−s ) e−πs dx =
−∞
Z ∞
2
2
2
= e−πs
e−π(x+js) dx = e−πs
−∞
I
observe el truco de “completar a un cuadrado perfecto” y
usar que
Z ∞
1
2
2
√
e−(x−µ) /2σ dx = 1
2πσ 2 −∞
I
´
El pg tiene el mismo grafico
que una fdp gaussiana de
1
2
media cero y varianza σ = 2π
Pares Transformados 2
I
´
Signo: ¿Modulo
integrable? No!
Camino intuitivo: calcular e−σ|x| sgn(x); σ > 0, y luego
hacer σ → 0
1
1
− σ−j2πs
En forma directa F{e−σ|x| sgn(x)}(s) = σ+j2πs
entonces, haciendo σ → 0
sgn(x) ⊃
1
−j
=
jπs
πs
j
⊃ sgn(s)
πx
I
por Dualidad-2
´
´ ¿Modulo
Escalon:
integrable? No! requiere deltas (media
6= 0).
´ por la
Camino intuitivo: ¿como antes? No funcionara,
media.
Truco: u(x) = 12 (1 + sgn(x))
Necesitamos: Linealidad de la Transformada
Linealidad
´ expandir los pares transformados. Dar forma
Motivacion:
˜
sencilla para transformar, a senales
aparentemente
“complicadas”.
´ u(x) = 12 (1 + sgn(x))
Ejemplo: escalon
Linealidad: si a, b ∈ C; f ⊃ F y g ⊃ G
af + bg ⊃ aF + bG
Sigue el ejemplo:
U(s) = 21 (F{1}(s) + F{sgn(·)}(s)) =
δ(s)
2
+
1
j2πs
´
Translacion
Si g(x) ⊃ G(s), y
d ∈R
g(x − d) ⊃ e−j2πsd G(s)
ej2πxd G(−x) ⊃ g(s − d)
por Dualidad-2.
Ejemplo: u(x) ⊃ sinc(s) entonces u(x − 1/2) ⊃ ejπs sinc(s)
Figura
´ escriba la relacion
´ directa de la TF pero con
Demostracion:
x − d en lugar de x y trabaje el factor exponencial.
Ver que F{u(x − 1/2)}(s) ≡ F{u(x) − u(x − 1)}(s).
Similaridad
O cambio de escala.
Si g(x) ⊃ G(s), y
a∈R
g(ax) ⊃
1
G(s/a)
|a|
Ejemplo: Si T > 0, entonces u(x/T ) ⊃ T sinc(sT )
Figura
I
I
? Si a > 1, f (ax) se encoge; pero F (s/a) se expande.
´ rapidas
´
Variaciones mas
dan contenido de mayores
frecuencias.
´ y Similaridad juntos
Translacion
g(ax − b) = g(a(x −
I
b
))
a
b
1
G(s/a)e−j2πs a
|a|
⊃
F Puede verse como si uno primero desplaza en b
G(s) 7→ e−j2πsb G(s)
y luego, al conjunto, le cambia la escala en a
e−j2πsb G(s) 7→
I
1 −j2πs(b/a)
e
G(s/a)
a
F No confundirse: NO es lo mismo que hacer primero un
´ de b.
cambio de escala de a y luego una traslacion
Pares Transformados - Usando las propiedades
I
´ Ya vimos, por linealidad,
Escalon:
u(x)
I
I
⊃
U(s) =
δ(s)
1
+
2
j2πs
Cuernos: (x) = 12 {δ(x + 1/2) + δ(x − 1/2)} y por L+T
o
1 n j2πs(1/2)
−j2πs(1/2)
(x) ⊃
e
+e
= cos(πs)
2
cos(πx) ⊃ (s)
por Dualidad-2.
Figura
Doblete: ↑↓(x) = 21 {δ(x + 1/2) − δ(x − 1/2)} y por L+T
1 j2πs(1/2)
{e
− e−j2πs(1/2) } = j sen(πs)
2
⊃ j ↑↓(s)
↑↓(x) ⊃
sen(πx)
por Dualidad-2.
Figura
Pares Transformados - Peine 1
↑↑↑(x) =
∞
X
δ(x − n) ⊃ ↑↑↑(s)
n=−∞
´
pero... ¿como?
Pares Transformados - Peine 2
I
I
´ falla (Lin. a un
Cualquier intento de usar la definicion
numero
infinito de sumandos; ¿converge?).
´
Si insistimos en usar L+T
↑↑↑(x) 7→
∞
X
e−j2πsn
n=−∞
I
que es una “serie formal”, pues no converge (como bien lo
sufrio´ el mismo Fourier!!)
´
Demostraremos con series de Fourier la Formula
de
Pascal
∞
X
e−j2πsn = ↑↑↑(s)
n=−∞
y eso lleva al resultado.
↑↑↑(x) ⊃ ↑↑↑(s)
´
Derivacion
Dominio ‘tiempo’. Si f ⊃ F entonces, si f es diferenciable,
df
(x) = f 0 (x) ⊃ j2πsF (s)
dx
Dominio ‘frecuencia’:
−j2πxf (x) ⊃ F 0 (s) =
dF
(s)
ds
´ usar expresiones directa e inversa.
Demostracion:
Ejemplo: Figuras
sen πs
πs
2 ↑↓(x) ⊃ j2πs sinc(s) = j2 sen πs
u(x) ⊃ sinc(s) =
Observar que al derivar, se incrementaron las altas
frecuencias.
´
Proximas
Clases
I
´
Convolucion.
I
˜ y bajo la convolucion.
´ Integracion.
´
Area bajo la senal
´ determin´ıstica: Propiedades. Energ´ıa.
Correlacion
´ como densidad de energ´ıa.
Interpretacion
´ Momentos
Rayleigh. Parseval. Modulacion.
I
I
I
I
´
Duracion-Ancho
de Banda
˜ anal´ıtica...
Centroide. Senal

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