ESTADISTICA Y PROBABILIDAD (Sesión 2)

ESTADISTICA Y PROBABILIDAD (Sesi´on 2)
MsC. Gabriel Enr´ıquez
Universidad Tecnol´
ogica Equinoccial
23 de abril de 2015
MsC. Gabriel Enr´ıquez (UTE)
PROBABILIDAD Y ESTAD´ISTICA
23 de abril de 2015
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Conteo de puntos muestrales
En muchos casos debemos ser capaces de resolver un problema de
probabilidad mediante el conteo del n´
umero de puntos en el espacio
muestral, sin listar realmente cada elemento.
Regla de multiplicaci´on
Si una operaci´on se puede llevar a cabo en n1 formas, y si para cada una
de ´estas se puede realizar una segunda operaci´
on en n2 formas, entonces
las dos operaciones se pueden ejecutar juntas de n1 · n2 formas.
Ejemplo 1
¿Cu´antos puntos muestrales hay en el espacio muestral cuando se lanza un
par de dados una vez?
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Ejemplo 2
Un urbanista de una nueva subdivisi´
on ofrece a los posibles compradores
de una casa elegir entre Tudor, r´
ustica, colonial y tradicional el estilo de la
fachada, y entre una planta, dos pisos y desniveles el plano de
construcci´on. ¿En cu´antas formas diferentes puede un comprador ordenar
una de estas casas?
Ejemplo 3
Si un miembro de un club que tiene 22 integrantes necesitara elegir un
presidente y un tesorero, ¿de cu´antas maneras diferentes se podr´ıa elegir a
ambos?
Regla de multiplicaci´on generalizada
Si una operaci´on se puede ejecutar en n1 formas, y si para cada una de
´estas se puede llevar a cabo una segunda operaci´
on en n2 formas, y para
cada una de las primeras dos se puede realizar una tercera operaci´on en n3
formas, y as´ı sucesivamente, entonces la serie de k operaciones se puede
realizar en n1 · n2 · . . . · nk formas.
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Ejemplo 4
Sam va a armar una computadora y para comprar las partes tiene que
elegir entre las siguientes opciones: dos marcas de circuitos integrados,
cuatro marcas de discos duros, tres marcas de memorias y cinco tiendas
locales en las que puede adquirir un conjunto de accesorios. ¿De cu´antas
formas diferentes puede Sam comprar las partes?
Ejemplo 5
¿Cu´antos n´
umeros pares de cuatro d´ıgitos se pueden formar con los d´ıgitos
0, 1, 2, 5, 6 y 9, si cada d´ıgito se puede usar s´
olo una vez?
Permutaci´on
Es un arreglo de todo o parte de un conjunto de objetos.
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Para cualquier entero no negativo n, n!, denominado ”n factorial”se define
como
n! = n(n − 1) . . . (2)(1),
con el caso especial de 0! = 1.
Teorema 1
El n´
umero de permutaciones de n objetos es n!
Teorema 2
El n´
umero de permutaciones de n objetos distintos tomados r a la vez es
n Pr
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=
n!
(n − r )!
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Ejemplo 6
En un a˜
no se otorgar´a uno de tres premios (a la investigaci´on, la
ense˜
nanza y el servicio) a algunos de los estudiantes, de un grupo de 25,
de posgrado del departamento de estad´ıstica. Si cada estudiante puede
recibir un premio como m´aximo, ¿cu´antas selecciones posibles habr´ıa?
Ejemplo 7
En un club estudiantil compuesto por 50 personas se va a elegir a un
presidente y a un tesorero. ¿Cu´antas opciones diferentes de funcionarios
son posibles si
1
no hay restricciones;
2
A participar´a s´olo si ´el es el presidente;
3
B y C participar´an juntos o no lo har´an;
4
D y E no participar´an juntos?
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Teorema 3
El n´
umero de permutaciones de n objetos ordenados en un c´ırculo es
(n − 1)!.
Teorema 4
El n´
umero de permutaciones distintas de n objetos, en el que n1 son de
una clase, n2 de una segunda clase,. . . , nk de una k−´esima clase es
n!
.
n1 !n2 ! · · · nk !
Ejemplo 8
Durante un entrenamiento de f´
utbol americano colegial, el coordinador
defensivo necesita tener a 10 jugadores parados en una fila. Entre estos 10
jugadores hay 1 de primer a˜
no, 2 de segundo a˜
no, 4 de tercer a˜
no y 3 de
cuarto a˜
no, respectivamente. ¿De cu´antas formas diferentes se pueden
arreglar en una fila si lo u
´nico que los distingue es el grado en el cual
est´an?
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Teorema 5
El n´
umero de formas de partir un conjunto de n objetos en r celdas con n1
elementos en la primera celda, n2 elementos en la segunda, y
as´ı sucesivamente, es
n!
n
=
,
n1 , n2 , . . . , nr
n1 !n2 ! · · · nr !
donde n1 + n2 + . . . + nr = n.
Ejemplo 9
Un hotel va a hospedar a siete estudiantes de posgrado que asisten a una
conferencia, ¿en cu´antas formas los puede asignar a una habitaci´on triple y
a dos dobles?
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Teorema 6
El n´
umero de combinaciones de n objetos distintos tomados de r a la vez
es
n!
n
=
r
r !(n − r )!
Ejemplo 10
Un ni˜
no le pide a su madre que le lleve cinco cartuchos de Game − Boy TM
de su colecci´on de 10 juegos recreativos y 5 de deportes. ¿De cu´antas
maneras podr´ıa su madre llevarle 3 juegos recreativos y 2 de deportes?
Ejemplo 11
¿Cu´antos arreglos diferentes de letras se pueden hacer con las letras de la
palabra STATISTICS?
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Bibliograf´ıa
Walpole,R., Myers, R., Myers, S. y Ye, K.(2012)
Probabilidad y estad´ıstica para ingenier´ıa y ciencias
Pearson Educaci´
on, Novena edici´
on M´exico
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