5 加法定理

§6.5
加法定理
加法定理は重要な定理です．その証明はやや面倒なので次節で述べます．
定理（正弦と余弦の加法定理）
任意の一般角 α と β とについて，
sin(α ± β) = sin α cos β ± cosα sin β （複号同順）.
cos(α ± β) = cosα cos β ∓ sin α sin β （複号同順）.
例題
一般角 θ について sin θ =
4
3
, cos θ =
とする．次の式の値を求める：
5
5
sin(θ + 30◦ ) , √cos(θ + 30◦) ．
3
1
．正弦の加法定理より，
cos30◦ =
, sin 30◦ =
2
2
√
3 3 41
sin(θ + 30 ) = sin θ cos30 + cosθ sin 30 =
+
5 2
52
√
4+3 3
=
.
10
余弦の加法定理より，
√
4 3 31
−
cos(θ + 30◦ ) = cosθ cos 30◦ − sin θ sin 30◦ =
5 2
52
√
3−4 3
終
=
.
10
√
7
3
問題 6.5.1
一般角 θ について sin θ =
とします．次の式の値を
, cosθ =
4
4
◦
◦
求めなさい： sin(θ + 60 ) , cos(θ + 60 ) ．
◦
例題
◦
一般角 θ について sin θ =
◦
2
, cosθ < 0 とする．次の式の値を求める：
3
sin(θ − 60◦ ) , cos(θ − 60◦) ．
(sin θ)2 + (cosθ)2 = 1 なので，
(cosθ)2 = 1 − (sin θ)2 = 1 −
2
2
4
5
= 1− =
,
3
9
9
cosθ < 0 なので
r
√
5
5
.
cos θ = −
=−
9
3
√
3
1
◦
◦
．正弦の加法定理より，
また， cos60 =
, sin 60 =
2
2
√ √
5
3
21
◦
◦
◦
sin(θ − 60 ) = sin θ cos60 − cosθ sin 60 =
− −
32
3
2
√
2 + 15
.
=
6
余弦の加法定理より，
√
√
51 2 3
◦
◦
◦
cos(θ − 60 ) = cosθ cos 60 + sin θ sin 60 = −
+
3 2 3 2
√
√
2 3− 5
=
.
6
問題 6.5.2
一般角 θ について cosθ = −
終
3
, sin θ < 0 とします．次の式の値を求
4
めなさい： sin(θ − 30◦) , cos(θ − 30◦ ) ．
加法定理から次の定理が導かれます（次の節で証明します）．
定理 6.5
任意の一般角 θ について，
sin(θ + 90◦) = cosθ ,
cos(θ + 90◦) = − sinθ .
この定理は次のように考えても分かります． xy 座標平面において，原点 O を中心
にして点 P = (a , b) を 90◦ だけ回転させた点を P′ とおきます．このとき，次の図
のように， P′ = (−b , a) となります．
y
P′
y
a
b
P = (a , b)
P = (a , b)
O
−b
−b
a x
y
b
a
a
P′
O
−b
O
x
a
P = (a , b)
x
b
a
P′
線分 OP は始線 Ox に対する角度 θ の線
y
分で， OP = 1 とします．定理 6.4.4 より
P
P = (cos θ , sinθ) .
1
点 P′ は点 P を 90◦ だけ回転させた点です
P′
から，始線 Ox に対する線分 OP′ の角度は
角度 θ + 90◦
角度 θ
1
θ + 90◦ で， OP′ = 1 ．定理 6.4.4 より
P′ = cos(θ + 90◦ ) , sin(θ + 90◦ ) .
O
x
従って，
cos(θ + 90◦ ) , sin(θ + 90◦ ) = P′ = (−b , a) ,
(a , b) = P = (cos θ , sin θ) .
これより， cos(θ + 90◦ ) = −b , b = sin θ なので， cos(θ + 90◦ ) = − sinx ．また，
sin(θ + 90◦ ) = a , a = cos θ なので， sin(θ + 90◦) = cosθ ．
例題
次の値を求める： sin 120◦ , cos120◦ , tan 120◦ ．
定理 6.5 の公式 sin(θ + 90◦) = cosθ , cos(θ + 90◦) = − sin θ を用いる．
√
3
sin 120◦ = sin(30◦ + 90◦ ) = cos 30◦ =
,
2
1
cos 120◦ = cos(30◦ + 90◦) = − sin 30◦ = − .
2
また，
√
sin 120◦
=
tan 120◦ =
cos 120◦
問題 6.5.3
3
√
2
=− 3 .
1
−
2
終
次の値を求めなさい： sin 150◦ , cos 150◦ , tan 150◦ ．
正接の加法定理もあります．
定理（正接の加法定理）
任意の一般角 α と β とについて， tan α , tan β 及び，
tan(α + β) または tan(α − β) の値があるとき，
tan(α + β) =
例題
tan α + tan β
,
1 − tan α tan β
tan(α − β) =
tan α − tan β
.
1 + tan α tan β
一般角 θ について tan θ = 5 とする．次の式の値を求める： tan(θ + 60◦ ) ,
tan(θ − 60◦ ) ．分母に根号が現れるときは分母を有理化する．
正接の加法定理を用いる．
√ √ √
5+ 3 1+5 3
tan θ + tan 60◦
5+ 3
√ √ =
√ tan(θ + 60 ) =
=
1 − tan θ tan 60◦
1−5 3 1+5 3
1−5 3
√
√
√
√
√
20 + 26 3
5 + 25 3 + 3 + 5 3 2
5 + 26 3 + 15
=
−
=
=
√ 2
1 − 75
74
12 − 5 3
√
10 + 13 3
=−
.
37
√ √ √
5− 3 1−5 3
tan θ − tan 60◦
5− 3
◦
√ =
√ √ =
tan(θ − 60 ) =
1 + tan θ tan 60◦
1+5 3
1+5 3 1−5 3
√
√
√
√
√
5 − 25 3 − 3 + 5 3 2
5 − 26 3 + 15
20 − 26 3
=
=
=−
√ 2
1 − 75
74
12 − 5 3
√
13 3 − 10
.
=
37
◦
問題 6.5.4
一般角 θ について tan θ = 2 とします．次の式の値を求めなさい：
tan(θ + 30 ) , tan(θ − 30◦ ) ．分母に根号が現れるときは分母を有理化しなさい．
◦
終

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