数学 I 第 10 回 ベクトル II
2015 年 6 月 17 日
担当：佐藤 純
問題 1 2 つの 3 次元空間ベクトル ⃗a, ⃗b に対し，|⃗a × ⃗b| = |⃗a||⃗b| sin θ を示せ．
ただし，ベクトル ⃗a, ⃗b のなす角を θ とする．
問題 2 三角形 OAB の 3 辺の長さを a = OA, b = OB, c = AB とし，面積を S とする．
(2-1) ∠AOB = θ とすると，
1
S = ab sin θ
2
と書けることを示せ．
−→
−→
−→
(2-2) ⃗a = OA, ⃗b = OB, ⃗c = BA とすると，⃗c = ⃗a − ⃗b と書けることを用いて，
余弦定理
c2 = a2 + b2 − 2⃗a · ⃗b = a2 + b2 − 2ab cos θ
を示せ．
(2-3) s =
a+b+c
とすると，
2
S=
√
s(s − a)(s − b)(s − c)
となることを示せ．
問題 3 3 次元空間内の 4 点 A, B, C, D の座標を, A:(1, −3, 2), B:(−1, 1, −2), C:(3, 0, 1), D:(2, −1, 2) と
する．
(3-1) 三角形 ABC の面積を求めよ．
(3-2) 四面体 ABCD の体積を求めよ．

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