1
５月２５日：まず再度の予告．来週（６月１日）のこの時間に中間テストをやります．範囲は「テイラーの公
式」「²-δ 論法」（「無限大，無限小のオーダー」）くらいです．
「テイラーの公式」では，
「関数○○のテイラー展
開を第○項まで求めよ」程度の，簡単な問題しか出せないでしょう．
「良い演習書を紹介してほしい」との要望がありました．
「これ」というのは特にありませんが，いくつか挙げると，
• 三村征雄編「大学演習 微分積分学」（裳華房）— 僕はこれを使った．ちょっとムズイかもね．
• 蟹江，桑垣，笠原「演習詳説 微分積分学」（培風館）— なかなか良いが，はじめは難しく感じるかも．
• 杉浦ほか「解析演習」（東大出版会） — これもまあ，大変ではありますが，良い本．
• 鶴丸ほか「微分積分 — 解説と演習」（内田老鶴圃） — 一番「普通」かも．
• 飯高茂監修「微積分と集合 そのまま使える答えの書き方」（講談社サイエンティフィック） — 題名は変だ
けど，馬鹿にはできない，なかなかの本．流石は飯高さん監修だけあるな．案外，おすすめ．
これ以外にもいくらでも出版されてるから，図書館や本屋さんで自分にあった（読みやすい，やる気になる）もの
を選べば良いでしょう．ただしその際，解答や解説のある程度詳しいものがよいと思います．なお，受験と違って
死ぬほどの問題量をこなす必要はありません1 — 自分が納得できるようにいくつか例題をやり，弱いところだけた
くさんやれば大抵は十分です．
（ついでに気がついた本）「共立ワンポイント数学双書」というシリーズの中に「イプシロン–デルタ」とか「テ
イラー展開」のものがあることに気づきました．小さな本ではあるけど，トピックごとにわかりやすく書かれてい
るから，ピンポイントでの勉強に適しています．
—————————————————-第４回レポートの解答 —————————————
風邪をひいてしまって非常にヤバいので，ちょっと簡単にいきます．
今回は概念的な部分のほかに，計算力の点で死んでしまった人が多かったようです．ついつい「せっかくレポー
トをやってもらうんだから」と凝った問題になるんですが，計算で討ち死にする人が多数出るのは本来の目的では
ありません．中間テストでは，ある程度，この辺り（計算力の問題）も考慮する予定です．
このような問題では 三角不等式
|a| − |b| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|
特に
|x − y| = |(x − a) − (y − a)| ≤ |x − a| + |y − a|
(1)
が非常に有効です．できるだけ早く，慣れるようにしよう．
問７．極限をとる中身を f (x) と書きます．
a) ある意味，これが概念的には一番難しかったかも．f (x) = x2 + xa + a2 だから，極限は 3a2 と予想されるので，
x3 − a3
− 3a2 = x2 + xa − 2a2 = (x − a)(x + 2a) = (x − a){(x − a) + 3a}
x−a
(2)
を ² より小さく押さえたい訳だ．以下，いくつかの方法を示す．
1. とにかくしゃにむに解く方法（あまり奨めない）．不等式
¯
¯
¯ (x − a){(x − a) + 3a} ¯ < ²
⇐⇒
−² < (x − a){(x − a) + 3a} < ²
(3)
を (x − a) について直接解いてみる — これは (x − a) の２次不等式だから解ける．結果は
√
√
µ
¶
−3a − 9a2 + 4²
−3a + 9a2 + 4²
<x−a<
2
2
√
√
µ
¶
−3a − 9a2 − 4²
−3a + 9a2 − 4²
かつ x − a <
または x − a >
2
2
となる（ただし，下の方の条件は 9a2 > 4² の時のみ意味をもつ）．これはもう少し簡単にすると
√
√
−3a − 9a2 + 4²
−3a − 9a2 − 4²
<x−a<
2
2
1 いや，受験だって，本当はそんなに量をこなさなくてもええのよ．浅い理解で問題を解こうとすると量でごまかすしかないけどね
(4)
2
または
√
9a2 − 4²
−3a + 9a2 + 4²
<x−a<
(5)
2
2
ということになる．このような x − a なら条件を満たしている訳だが，問題はこれらから |x − a| < δ のような区間
を引っ張りだせるかということだ．場合分けをせざるを得ない．
（場合１： 9a2 ≤ 4² の時）．このときは (4) または (5) の条件は
√
√
−3a − 9a2 + 4²
−3a + 9a2 + 4²
<x−a<
(6)
2
2
−3a +
√
と同じ事だから，特に区間
|x − a| <
−3a +
は条件 (6) を満たす．つまり，
δ(²) :=
−3a +
√
9a2 + 4²
2
(7)
√
9a2 + 4²
2
(8)
ととれば良いのだ．
（場合２： 9a2 > 4² の時）．実際には ²√をどんどん小さくするつもりだから，こちらの場合がより重要になる．
−3a + 9a2 − 4²
この場合，(4) と (5) では x − a が
より小さいところ（の一部）を許さない．従って，|x − a| で
2
みると
n 3a − √9a2 − 4² −3a + √9a2 + 4² o
,
(9)
|x − a| < min
2
2
の範囲であれば (3) が満たされる（が，ここからはみ出すとヤバい）ことになる．従って，この場合は
n 3a − √9a2 − 4² −3a + √9a2 + 4² o
,
δ(²) := min
(10)
2
2
ととれば良い．
これで一応，できたのだが，じつは (11) はもう少し簡単になる．すなわち，上の min の中身のどちらが大きい
かというと，一般に（0 < b < a2 なら）
p
p
a2 + b + a2 − b − 2a < 0
p
つまり
a2 + b − a < a −
p
a2 − b
であることから（最初の式を証明するには，両辺を２乗せよ），min の中の後ろの項の方が小さいとわかる．従っ
て，この場合は
δ(²) :=
−3a +
√
9a2 + 4²
2
(11)
ととれば良い訳だ．
（２つの場合をまとめて）以上から，どちらの場合も，結局は
√
−3a + 9a2 + 4²
δ(²) :=
2
(12)
ととれば，|x − a| < δ(²) では |f (x) − 3a2 | < ² となることがわかった．以上，ガンガン計算したけども，その結果，
最も効率の良い δ(²) が得られた事にはなっている．
2. 上のやり方はちょっと野蛮なので，もう少し手を抜いてみる．このような評価の秘訣は，はじめから δ などの
大きさを制限して考えることだ．
（δ は正なら何でも良いから，制限して簡単になるならその方が良い．
）
δ を後から決めるつもりで |x − a| < δ ，かつ δ ≤ 1 と思って評価すると
¯
¯
¯ (x − a)(x + 2a) ¯ = |x − a| × |x − a + 3a| ≤ δ × (δ + 3|a|) ≤ δ(1 + 3|a|)
となる．最初の不等式は三角不等式．また，最後の不等式で，括弧の中の δ のみ，δ < 1 としたところがポイント．
このおかげで右辺が δ の一次式になり，非常に扱いやすくなった．
²
こいつを ² より小さくしたければ，δ ≤
ととればよい．
1 + 3|a|
3
δ < 1 を仮定していた事も思い出してやると，勝手な ² > 0 に対して
n
o
²
δ := min
,1
1 + 3|a|
(13)
ととると，|x − a| < δ ならば |f (x) − 3a2 | < ² とすることができる，とわかった．
（注）この問題では，δ が ² のみならず，a にもよるところが新しい．ここで混乱した人が多数見られたが，δ が
a によるのは，関数の極限を考える際には普通であり，δ(², a) と書くべきものになっている．
b) これは思ったより計算が難しかったかな．
f (x) = √
2
√
1+x+ 1−x
(14)
だから極限は 1 だろう．だから，
√
f (x) − 1 =
1+x−
√
1−x−x
x
√
√
2− 1+x− 1−x
√
= √
1+x+ 1−x
(15)
を ² より小さく押さえたい．このためには，f (x) − 1 を一生懸命押さえるしかない．一応，２通りのやり方を与える．
1. テイラー展開（マクローリン展開）をヒントにしてみるやりかた．教科書の p.15 の一番下などで，
√
1
1
1
1 + x = 1 + x − x2 + (1 + θx)−5/2 x3
2
8
16
(0 < θ < 1)
となっているから，|x| < 1/2 くらいでは
¯
³
´¯¯
¯√
¯ 1 + x − 1 + 1 x − 1 x2 ¯ ≤ x3
¯
¯
2
8
が成り立つ．従って，|x| < 1/2 では
¯√
¯
√
¯ 1 + x − 1 − x − x¯ ≤ 2x3
つまり (15) の真ん中から
|f (x) − 1| ≤ 2x2
p
²/2 となる．今は |x| < 1/2 だったことも思い出して，
nr ² 1 o
δ(²) = min
,
(16)
2 2
となっている．この 2x2 < ² とすれば良いから δ =
ととってやるとよい．
2. 頑張って計算するやりかた．(15) の右辺の分母がいつでも 1 よりは大きい事を用いて，
¯
¯
√
√
|f (x) − 1| ≤ ¯2 − 1 + x − 1 − x¯
が得られる．さて，g(x) =
√
1+x+
√
(17)
1 − x − 2 とおいて，こいつを調べよう．まず，これは x の偶関数なので，
x > 0 のみ考える．次に
g(0) = 0,
g 0 (x) =
o
1n
(1 + x)−1/2 − (1 − x)−1/2 < 0
2
であるから，x > 0 では g(x) < 0 である．さらに，h(x) = x + g(x) は
h(0) = 0,
h0 (x) = 1 +
o
1n
(1 + x)−1/2 − (1 − x)−1/2
2
であって，x < 1/2 では h0 (x) > 0 である．よって，0 < x < 1/2 では −x < g(x) < 0 であるわけだ．これと (17)
から
0 < x < 1/2 では
|f (x) − 1| ≤ |g(x)| < x
が結論できる．関数の偶奇を考えに入れると，δ(²) = ² ととればよいことがわかった．
c) どうもこいつが一番簡単だったみたいね．δ(²) = ²2 ととってやると良い．
(18)
4
問８．x がいくら小さくなってもゼロには行かないところがあるから，極限がないことが予想される．問題は，
「極
限がない」のがちょっととらえにくいことだが，以下のように背理法でのぞむのが良いだろう．極限 α があったと
仮定すると，
∀² > 0 ∃δ(²)
|x| < δ(²) =⇒ |f (x) − α| < ²
となっているはずだ．そこで，特に ² = 10−4 ととってみると，δ(²) より小さい すべての |x| で
（あ）
|f (x) − α| < 10−4
となっているはずである．これは特に，|x|, |y| < δ(²) では
|f (x) − f (y)| < |f (x) − α| + |f (y) − α| < 2 × 10−4
(19)
となっていることを意味する．ところが，δ(²) より小さい x = 10−k と x0 = 10−k /2 での f (x) の値は
f (x) = 0.001,
f (x0 ) = x0 = 10−k /2
(20)
となっていて，k ≥ 4 では，この差は 2 × 10−4 よりも大きい．これは (19) に矛盾する．
問９． 典型的な ²-δ の応用例なので，簡単に．
（この辺りは，ある程度は「慣れ」です．
）
仮定から，すべての ² > 0 に対して，δf (²) と δg (²) をみつけて，
|x − a| < δf (²)
=⇒
|f (x) − α| <
²
,
2
かつ
|x − a| < δg (²)
=⇒
|g(x) − β| <
²
2
とできるはずだ．そこで，|x − a| < δ(²) := min{δf (²), δg (²)} では，
|{f (x) + g(x)} − (α + β)| ≤ |f (x) − α| + |g(x) − β| <
²
²
+ =²
2 2
が成り立つ．つまり，
∀² > 0 ∃δ(²)
|x − a| < δ(²) =⇒ |{f (x) + g(x)} − (α + β)| < ²
といえた訳で，極限は α + β ．
（注）前回のレポートと同じく，f (x) と g(x) の収束の早さが異なるかもしれないから，δ(²) は f, g 別々にとっ
ておくべきだ．この点は今のように２つの関数だけを扱っている場合には重要ではないが，将来，無限個（！）の
関数を一度に扱う際に非常に重要になる．
問１０． 驚くべき事に，完全に近い解答をしてきた人が二人もいた．ううむ，なかなかやるな，という感じだが，
ほかにもチャレンジしたい人もいるかもしれないので，今日は解答はバラさず，中間テストの後に一つの答えを教
える事にする．それまでに他の人もチャレンジしてほしい！
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