第1章微分方程式と近似解法

はじめに数値解析の考え方熱伝導問題
線形 2 階偏微分方程式の分類
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微分方程式の線形性 Poisson 問題有限差分法の考え方演習問題
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第 1 章微分方程式と近似解法
畔上秀幸
名古屋大学情報科学研究科複雑系科学専攻
May 22, 2015
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はじめに数値解析の考え方熱伝導問題
線形 2 階偏微分方程式の分類
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微分方程式の線形性 Poisson 問題有限差分法の考え方演習問題
§1.1 はじめに
(目標)
数値解析の考え方を理解する．
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はじめに数値解析の考え方熱伝導問題
線形 2 階偏微分方程式の分類
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微分方程式の線形性 Poisson 問題有限差分法の考え方演習問題
§1.2 数値解析の考え方
数値解析における問題処理のプロセスを図 1.2.1 に示す．
熱伝導
現象
有限差分方程式
近似関数による弱形式
(連立方程式)
熱伝導方程式
(偏微分方程式)
記述方程式
数理モデル化
数値解
近似方程式
離散化
(有限差分法,
有限要素法,
境界要素法,
有限体積法,
粒子法)
コンピュータ
による数値計算
図 1.2.1: 数値解析における問題処理のプロセス
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線形 2 階偏微分方程式の分類
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微分方程式の線形性 Poisson 問題有限差分法の考え方演習問題
§1.3 熱伝導問題
偏微分方程式の境界値問題の基本問題として Poisson 問題が使われる．
Poisson 問題は静的な釣合状態にある様々な場の現象を表す数理モデル
として用いられる．ここでは，熱伝導現象を例に挙げて，Poisson 問題
がその定常的な熱の釣合状態を表していることをみてみよう．最初に，
1 次元連続体の時間発展型熱伝導問題について考えてから，d ∈ {2, 3}
次元連続体の時間発展型熱伝導問題に拡張していくことにする．
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1 次元問題
微分方程式の線形性 Poisson 問題有限差分法の考え方演習問題
§1.3.1 1 次元問題
図 1.3.1 のような 1 次元連続体を考えよう．(0, tT ) を時間の領域，
(0, l) を 1 次元連続体の領域とする．a を断面積を表す正の実定数とす
る．b : (0, tT ) × (0, l) → R を単位時間, 単位体積当りに内部で発熱する
熱量，u : (0, tT ) × (0, l) → R を温度とする．このとき，b に対して，u
を求めるための熱伝導方程式を熱と温度の構成方程式と Fourier の熱伝
導法則を満たす熱の釣合から求めてみよう．
u,b
u(t,x)
b(t,x)
a
x=l
x=0
図 1.3.1: 1 次元熱伝導問題
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1 次元問題
微分方程式の線形性 Poisson 問題有限差分法の考え方演習問題
§1.3.1 1 次元問題 (cnt.)
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定義 1.3.1 (熱と温度の構成方程式)
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u (t, x) を (t, x) ∈ (0, tT ) × (0, l) における温度とする．熱が伝わる物体
の単位体積当りの熱量は
w (t, x) = cV (x) u (t, x)
(1.3.1)
で与えられる．ここで，cV : (0, l) → R は体積熱容量を表すは正値をと
る関数である．
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1 次元問題
微分方程式の線形性 Poisson 問題有限差分法の考え方演習問題
§1.3.1 1 次元問題 (cnt.)
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定義 1.3.2 (Fourier の熱伝導法則 (1 次元領域))
.
u を温度とする．熱が伝わる物体のある面に対して，単位時間，単位面
積当りに通過する熱量 (熱流束) は
q (t, x) = −λ (x)
∂u
(t, x)
∂x
(1.3.2)
で与えられる．ここで，λ : (0, l) → R は熱伝導率を表すは正値をとる
.関数である．
u
u(t,x)
q(t,x)
x
図 1.3.2: Fourier の熱伝導法則
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1 次元問題
微分方程式の線形性 Poisson 問題有限差分法の考え方演習問題
§1.3.1 1 次元問題 (cnt.)
任意の (t, x) ∈ (0, tT ) × (0, l) に対して，微小な adxdt における熱量
の変化は，
(w (t + dt, x) − w (t, x)) adx = (b (t, x) dx − q (t, x + dx) + q (t, x)) adt
となる．dx → 0, dt → 0 のとき，
∂w
∂q
(t, x) = b (t, x) −
(t, x)
∂t
∂x
が成り立つ．さらに，(1.3.1) と (1.3.2) を用いれば，
(
)
∂
∂u
∂u
cV
−
λ
=b
∂t
∂x
∂x
が成り立つ．この方程式は熱伝導方程式とよばれる．
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1 次元問題
微分方程式の線形性 Poisson 問題有限差分法の考え方演習問題
§1.3.1 1 次元問題 (cnt.)
{q(t,x)adt
b(t,x)adxdt
a
q(t,x+dx)adt
dx
図 1.3.3: 熱量の釣合
熱伝導方程式は空間に関して 2 階，時間に関して 1 階の微分方程式で
ある．u を一意に決定するためには，2 つの境界条件と１つの初期条
件が必要となる．例えば，次のような条件が考えられる．
1.
uD : (0, tT ) → R を既知として，x = 0 において
u (t, 0) = uD (t)
が満たされているとする．このような u を指定する条件は基本境
界条件あるいは第 1 種境界条件，Dirichlet 条件とよばれる．
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1 次元問題
微分方程式の線形性 Poisson 問題有限差分法の考え方演習問題
§1.3.1 1 次元問題 (cnt.)
2.
pN : (0, tT ) → R を既知として，x = l において
λ
∂u
(t, l) = pN (t)
∂x
が満たされているとする．このような u の導関数を指定する条件
は自然境界条件あるいは第 2 種境界条件，Neumann 条件とよば
れる．
3.
u0 : (0, l) → R を既知として，t = 0 において
u (0, x) = u0 (x)
が満たされているとする．このようなある時刻における u を指定
する条件は初期条件とよばれる．
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1 次元問題
微分方程式の線形性 Poisson 問題有限差分法の考え方演習問題
§1.3.1 1 次元問題 (cnt.)
初期条件は時間領域の境界条件とみなすことができる．そこで，初期
条件も含めた境界条件と偏微分方程式が満たされるような u を求める
問題は偏微分方程式の境界値問題とよばれる．熱伝導方程式は線形 2 階
偏微分方程式に分類される．その中でも，熱伝導方程式は放物型偏微分
方程式に分類される (1.4 節)．定常状態のときは，b (t, x) = b (x) およ
び u (t, x) = u (x) となり，
(
)
d
du
−
λ
=b
(1.3.3)
dx
dx
となる．(1.3.3) は定常熱伝導方程式とよばれる．この定常熱伝導方程
式を d 次元領域に拡張したときは，後で示される (1.3.5) のような偏微
分方程式となる．これは楕円型偏微分方程式に分類されることになる
(1.4 節)．
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d 次元問題
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§1.3.2 d 次元問題
次に d ∈ {2, 3} 次元物体における熱伝導現象を考えよう．Ω を Rd 上
の区分的に滑らかな領域として，ΓD を Ω の境界 ∂Ω の部分集合とす
¯ D とおく．b : (0, tT ) × Ω → R を単位時間, 単位体積当
る．ΓN = ∂Ω \ Γ
りに内部で発熱する熱量，u : (0, tT ) × Ω → R を温度とする．このと
き，Fourier の熱伝導法則は次のようになる．
u,b
u(t,x)
uD
b(t,x)
ºp(t,x)
x2
x1
¡D
図 1.3.4: 2 次元熱伝導問題
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d 次元問題
微分方程式の線形性 Poisson 問題有限差分法の考え方演習問題
§1.3.2 d 次元問題 (cnt.)
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定義 1.3.3 (Fourier の熱伝導法則 (d 次元領域))
.
u : (0, tT ) × Ω → R を温度とする．熱が伝わる物体のある面に対して，
単位時間，単位面積当りに通過する熱量 (熱流束) q : (0, tT ) × Ω → Rd
は
 

 ∂ 
q1
λ11 · · · λ1d
∂x1
 

..   ..  u = −Λ∇u
..
q =  ...  = −  ...


.
. 
.
qd
λd1
···
λdd
∂
∂xd
を満たす．ここで，Λ = (λij )ij : Ω → Rd×d は熱伝導率を表す正定値実
対称行列 (定義 2.4.5) 値をとる関数である．熱伝導率が等方的であれ
ば，正の実数値をとる関数 λ : Ω → R を用いて，Λ = λI (I は単位行
.列) とかくことができる．このとき，
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d 次元問題
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§1.3.2 d 次元問題 (cnt.)
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q = −λ∇u
(1.3.4)
.となる．
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d 次元問題
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§1.3.2 d 次元問題 (cnt.)
任意の (t, x) ∈ (0, tT ) × Ω に対して，微小な dx1 · · · dxd dt における
熱量の変化は，ei を xi 軸方向の単位ベクトルとして，
(w (t + dt, x) − w (t, x)) dx1 dx2 · · · dxd




∑
= b (t, x) −
(qi (t, x + ei dxi ) − qi (t, x)) dt


i∈{1,··· ,d}
となる．dx1 , · · · , dxd → 0, dt → 0 のとき，
∂w
=b−
∂t
∑
i∈{1,··· ,d}
∂qi
∂xi
が成り立つ．
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d 次元問題
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§1.3.2 d 次元問題 (cnt.)
q(t,x+e 3 dx 3 )dx 1 dx 2 dt
b(t,x)dx 1 dx 2 dx 3 dt
q(t,x+e 2 dx 2 )dx 1 dx 3 dt
dx 3
q(t,x+e 1 dx 1 )dx 2 dx 3 dt
{q(t,x)dx 2 dx 3 dt
{q(t,x)dx 1 dx 3 dt
dx 1
x3
x2
x1
dx 2
{q(t,x)dx 1 dx 2 dt
図 1.3.5: 3 次元の熱量の釣合
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d 次元問題
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§1.3.2 d 次元問題 (cnt.)
さらに，(1.3.1), (1.3.4) を用いて，

cV
∂u ( ∂
− ∂x1
∂t
= cV
···
∂
∂xd
λ11
)  .
 ..
λd1
···
..
.
···
  ∂ 
λ1d
∂x1
..   ..  u


.
. 
∂
∂x3
λdd
∂u
− ∇ · (Λ∇u) = b
∂t
が成り立つ．この方程式は d 次元の熱伝導方程式とよばれる．熱伝導率
が等方的であれば，
cV
∂u
− ∇ · (λ∇u) = b
∂t
となる．さらに，λ が実定数であれば，
cV
∂u
− λ∆u = b
∂t
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d 次元問題
微分方程式の線形性 Poisson 問題有限差分法の考え方演習問題
§1.3.2 d 次元問題 (cnt.)
となる．ただし，∆ = ∇ · ∇ は Laplace 作用素，調和作用素あるいは発
散作用素とよばれる．∆ は ∇2 とかかれることもあるが，本書では ∆
を用いることにする．
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d 次元問題
微分方程式の線形性 Poisson 問題有限差分法の考え方演習問題
§1.3.2 d 次元問題 (cnt.)
d 次元の熱伝導方程式を満たす u を一意に決定するためには次のよう
な境界条件が必要となる．
1. uD : (0, tT ) × ΓD → R を既知として，
u = uD
2.
on (0, tT ) × ΓD
が満たされているとする (基本境界条件)．
pN : (0, tT ) × ΓN → R を既知として，
ν · (Λ∇u) = pN
on (0, tT ) × ΓN
が満たされているとする (自然境界条件)．熱伝導率が等方的であ
れば，
λ∂ν u = pN
3.
on (0, tT ) × ΓN
となる．ただし，∂ν ( · ) は (∂( · )/∂x) · ν を表すものとする．
u0 : Ω → R を既知として，ある t0 ∈ (0, tT ) に対して
u (t0 , x) = u0 (x)
in x ∈ Ω
が満たされているとする (初期条件)．
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d 次元問題
微分方程式の線形性 Poisson 問題有限差分法の考え方演習問題
§1.3.2 d 次元問題 (cnt.)
定常状態のときは，b (t, x) = b (x) および u (t, x) = u (x) となり，
熱伝導方程式は
−∇ · (Λ∇u) = b
(1.3.5)
となる．また，∂Ω 全体で自然境界条件の場合は，定数分の不定性が残
る．u を一意に決定するためには，ΓD の大きさが零ではない必要が
ある．
以上をまとめると，熱伝導問題は次のように定義される．Ω を
¯ D とす
d ∈ {2, 3} 次元領域とする．また, ΓD ⊂ ∂Ω および ΓN = ∂Ω \ Γ
る．cV : Ω → R は正値をとる関数とする．Λ : Ω → Rd×d は正定値実対
称行列値をとる関数とする．
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d 次元問題
微分方程式の線形性 Poisson 問題有限差分法の考え方演習問題
§1.3.2 d 次元問題 (cnt.)
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問題 1.3.4 (熱伝導問題)
.
b : (0, tT ) × Ω → R, pN : (0, tT ) × ΓN → R, uD : (0, tT ) × ΓD → R,
u0 : Ω → R が与えられたとき，
∂u
− ∇ · (Λ∇u) = b in (0, tT ) × Ω,
∂t
ν · (Λ∇u) = pN on (0, tT ) × ΓN ,
u = uD on (0, tT ) × ΓD ,
cV
u = u0
in Ω at t = 0
を満たす
u : (0, tT ) × Ω → R を求めよ．
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d 次元問題
微分方程式の線形性 Poisson 問題有限差分法の考え方演習問題
§1.3.2 d 次元問題 (cnt.)
定常状態のとき，熱伝導問題は次のようになる．
.
問題 1.3.5 (定常熱伝導問題)
.
b : Ω → R, pN : ΓN → R, uD : ΓD → R が与えられたとき，
− ∇ · (Λ∇u) = b in Ω,
ν · (Λ∇u) = pN on ΓN ,
u = uD on ΓD
を満たす
u : Ω → R を求めよ．
.
問題 1.3.5 において，Λ = I とおけば，Poisson 問題となる．
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§1.4 線形 2 階偏微分方程式の分類
1.3 節でみたように，熱伝導問題は時間発展問題としてみたときに放
物型に分類され，定常問題としてみたときに楕円型に分類された．ここ
では，定数係数の 2 階偏微分方程式 (線形 2 階偏微分方程式) の標準形
に基づく分類法についてまとめておこう．
.
定義 1.4.1 (線形 2 階偏微分方程式の分類)
.
偏微分作用素 ∂/∂xi , i ∈ {1, · · · , d}, を ξi と表して，階数の和が最大の
項 (主要項) の特性方程式が f (ξ1 , ξ2 , · · · , ξd ) = 0 であるとする．この
とき，次のようにいう．
1.
2.
3.
.
特性方程式が (ξ1 , . . . , ξd ) = (0, . . . , 0) 以外の実数解をもたないと
き，楕円型偏微分方程式という．
特性方程式が (ξ1 , . . . , ξd ) ̸= (0, . . . , 0) に対して，常に２つの異な
る実数解をもつとき，双曲型偏微分方程式という．
特性方程式 f (ξ1 , ξ2 , · · · , ξd ) = 0 が ξ1 − f1 (ξ2 , · · · , ξd ) = 0 とかく
ことができて，f1 (ξ2 , · · · , ξd ) = 0 が (ξ2 , . . . , ξd ) = (0, . . . , 0) 以外
の実数解をもたないとき，放物型偏微分方程式という．
.
.
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§1.4 線形 2 階偏微分方程式の分類 (cnt.)
楕円型偏微分方程式の典型は Laplace 方程式
( 2
)
∂
∂2
u=0
∆u =
+
·
·
·
+
∂x21
∂x2d
である．実際，
f (ξ1 , · · · , ξd ) = ξ12 + · · · + ξd2 = 0
となり，(x1 , . . . , xd ) = (0, . . . , 0) 以外の実数解をもたない．Laplace 方
程式の他に Poisson 方程式 ∆u = b や Helmholz 方程式 ∆u + ω 2 u = 0
なども楕円型に分類される．ただし，b と ω は実数とする．これらの特
徴は
• 釣合い型であること
• 閉じた境界条件が必要であること
.
.
.
.
.
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§1.4 線形 2 階偏微分方程式の分類 (cnt.)
である．ただし，閉じた境界条件とは偏微分方程式が定義された領域の
境界上のすべての点において第 1 種境界条件 (Dirichlet 条件)，第 2 種境
界条件 (Neumann 条件) あるいは第 3 種境界条件 (Robin 条件) が与え
られていることを示す．例として，定常熱伝導 (温度)，静電場 (電位)，
静的線形弾性問題 (変位)，理想流体の流れ場 (ポテンシャル)， Stokes
流れ場 (流速と圧力) などが挙げられる．
一方，双曲型偏微分方程式の典型は波動方程式
( 2
)
∂2u
∂
∂2
∂2
2
2
u
¨ − c ∆u = 2 − c
+ 2+
u=0
∂t
∂x21
∂x2
∂x23
である．ただし，c は正の実数で波の速度とよばれる．実際，
)
(
f (ξ1 , · · · , ξd ) = ξ12 − c2 ξ22 + · · · + ξd2 = 0
となり，(x1 , . . . , xd ) ̸= (0, . . . , 0) に対して，常に２つの異なる実数解を
もつ．双曲型偏微分方程式の特徴は
• 時間発展型であること
.
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.
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§1.4 線形 2 階偏微分方程式の分類 (cnt.)
• 閉じた境界条件と 2 つの初期条件が必要であること
である．
さらに，放物型偏微分方程式の典型は拡散方程式
( 2
)
∂u
∂
∂2
∂2
u˙ − a∆u =
−a
+
+
u=0
∂t
∂x21
∂x22
∂x23
である．ただし，a は正の実数で拡散係数とよばれる．実際，
(
)
f (ξ1 , · · · , ξd ) = ξ1 − a ξ22 + · · · + ξd2 = 0
となる．放物型偏微分方程式の特徴は
• 時間発展型であること
• 閉じた境界条件と１つの初期条件が必要であること
である．
.
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微分方程式の線形性 Poisson 問題有限差分法の考え方演習問題
§1.5 微分方程式の線形性
.
定義 1.5.1 (線形性 )
.
d
n
d
1. 関数 u : R → R が，任意の α, β ∈ R, 任意の x, y ∈ R に対して
u (αx + βy) = αu (x) + βu (y)
を満たすとき，u を線形関数 (linear function) , あるいは線形作用
素 (linear operator) という．
2.
同様に，U , V をノルム空間として，写像 D : U → V が，任意の
α, β ∈ R, 任意の x, y ∈ U に対して
D (αx + βy) = αDx + βDy
.
を満たすとき，D を線形作用素 (linear operator) という．
(注)
作用素は，慣例で，D (x) ではなく， Dx とかく．
.
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線形 2 階偏微分方程式の分類
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§1.5 微分方程式の線形性 (cnt.)
微分作用素は線形であることを確認しよう．関数 u : R → R の微分は
du
u (x + ϵ) − u (x)
(x) = lim
ϵ→0
dx
ϵ
で定義される．任意の α, β ∈ R, 任意の関数 u, v に対して
d
αu (x + ϵ) + βv (x + ϵ) − αu (x) − βv (x)
(αu + βv) = lim
ϵ→0
dx
ϵ
βv (x + ϵ) − βv (x)
αu (x + ϵ) − αu (x)
+ lim
= lim
ϵ→0
ϵ→0
ϵ
ϵ
du
dv
=α
+β
dx
dx
が成り立つ．
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§1.5 微分方程式の線形性 (cnt.)
線形性の利点: 線形性が成立すれば微分方程式の解を解析的に得るこ
とができる．
（第３章）
非線形微分方程式の例
µ
mg
図 1.5.1: 単振り子
.
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§1.5 微分方程式の線形性 (cnt.)
図 1.5.1 のような単振り子の運動方程式は
l
d2 θ
+ g sin θ = 0
dt2
となる．sin θ は θ = 0 周りで
sin θ = θ −
θ3
θ5
+
+ ···
3!
5!
と展開できる．そこで， θ ≪ π のときには sin θ ≈ θ より，線形化で
きる．
.
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§1.5 微分方程式の線形性 (cnt.)
Van der Pol の運動方程式
(
) du
d2 u
− µ 1 − u2
=0
2
dt
dt
を満たす u は，図 1.5.2 のように，任意の初期条件に対して，あるリ
ミットサイクルに落ち込む．この現象は本質的に非線形であると考えら
れる．
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§1.5 微分方程式の線形性 (cnt.)
図 1.5.2: Van der Pol の運動方程式の解の軌跡
.
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§1.5 微分方程式の線形性 (cnt.)
運動方程式を非線形にする例をいくつか挙げてみる．
f(u)
f(u)
u
(a) 硬化ばね
f(u)
u
u
(b) 軟化ばね
(c) がた
図 1.5.3: 非線形ばね
.
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§1.5 微分方程式の線形性 (cnt.)
µ
l
l(1{cosµ)
mg
(a) 軟化ばね
(b) 硬化ばね
図 1.5.4: 大変形による剛性の非線形性
.
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§1.5 微分方程式の線形性 (cnt.)
f(u_)
f(u_)
u_
(a) Coulomb 摩擦
u_
(b) 動摩擦
図 1.5.5: 摩擦による減衰の非線形性
.
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§1.6 Poisson 問題
この教材では，次のような Poisson 問題を取り上げて，数値解析の原
理を考えていこう．
.
問題 1.6.1 (1 次元 Poisson 問題)
.
ある b : (0, 1) → R, uD ∈ R, pN ∈ R を固定する．このとき，
d2 u
= b in (0, 1) ,
dx2
u(0) = uD ,
du
(1) = pN
dx
−
を満たす
u : (0, 1) → R を求めよ．
.
.
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§1.6 Poisson 問題 (cnt.)
¯ D とする．
ΓD ⊂ ∂Ω および ΓN = ∂Ω \ Γ
.
問題 1.6.2 (d 次元 Poisson 問題)
.
Ω ⊂ Rd , d ∈ {2, 3}, ΓD ⊂ ∂Ω, b : Ω → R, pN : ΓN → R, uD : ΓD → R
を固定とする．このとき，
− ∆u = b in Ω,
∂u
= pN on ΓN ,
∂ν
u = uD on ΓD
.を満たす u : Ω → R を求めよ．
.
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§1.7 有限差分法の考え方
数値解法の典型として有限差分法の考え方をみておこう．
有限差分法では，問題 1.6.1 を次のように解く．
m ある自然数として，(0, 1) 上に節点 {x0 , x1 , x2 , · · · , xm }, x0 = 0,
xm = 1, を等間隔に配置する．節点間の長さを h = 1/m とする．近似
関数を uh : (0, 1) → R と表して，uh (xi ) = ui とかく．
ui{1
u1
um
ui
ui+1
u0=uD
um{1
h
x
x0=0
x1
xi{1
xi
xi+1
xm{1
xm=1
図 1.7.1: 近似関数 uh (x)
.
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§1.7 有限差分法の考え方 (cnt.)
Taylor の公式より，
duh
h2 d2 uh
(xi ) +
(xi )
dx
2 dx2
( )
h3 d3 uh
(xi ) + O h4
+
3
6 dx
duh
h2 d2 uh
uh (xi−1 ) = uh (xi ) − h
(xi ) +
(xi )
dx
2 dx2
3 3
( )
h d uh
(xi ) + O h4
−
3
6 dx
uh (xi+1 ) = uh (xi ) + h
が成り立つ．2 式の和をとれば
uh (xi+1 ) + uh (xi−1 ) = 2uh (xi ) + h2
( )
d2 uh
(xi ) + O h4
dx2
( )
が成り立つ．両辺を h2 で割って，O h2 を省略すれば
−
d2 uh
uh (xi+1 ) − 2uh (xi ) + uh (xi−1 )
(xi ) = −
2
dx
h2
.
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§1.7 有限差分法の考え方 (cnt.)
が成り立つ．
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§1.7 有限差分法の考え方 (cnt.)
自然境界条件について，Taylor の公式より，
uh (xm−1 ) = uh (xm ) − h
( )
duh
(xm ) + O h2
dx
が成り立つ．両辺を h で割って，O (h) を省略すれば
duh
uh (xm ) − uh (xm−1 )
(xm ) =
dx
h
が成り立つ．
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§1.7 有限差分法の考え方 (cnt.)
したがって，uh (xi ) = ui , b (xi ) = bi とかけば，問題 1.6.1 に対して，
未知変数 u0 , u1 , u2 , · · · , um に対する m + 1 元連立 1 次方程式
u0 = uD ,
ui+1 − 2ui + ui−1
−
= bi
h2
um − um−1
= pN
h
i ∈ {1, 2, · · · , m − 1} ,
を得る．この連立 1 次方程式は一意に解ける．
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§1.7 有限差分法の考え方 (cnt.)
次に，問題 1.6.2 を有限差分法で解く手順をみてみよう．
m と n をある自然数として，Ω を含む領域 D 上に節点
{x00 , x01 , x02 , · · · , xmn } を等間隔に配置する．節点間の長さを
h = 1/m = 1/n とする．近似関数を uh : D → R と表して，
uh (xij ) = uij とかく．
xmn
D
xij
xi j+1
xi{1 j
xij
xi+1 j
¡D
h
x00
xi j{1
図 1.7.2: 2 次元問題に対する有限差分法の節点
.
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§1.7 有限差分法の考え方 (cnt.)
Taylor の公式より，
∂uh
h2 ∂ 2 uh
(xij ) +
∂x1
2 ∂x21
3 3
( )
h ∂ uh
+
(xij ) + O h4
3
6 ∂x1
∂uh
h2 ∂ 2 uh
uh (xi−1 j ) = uh (xij ) − h
(xij ) +
∂x1
2 ∂x21
( )
h3 ∂ 3 uh
−
(xij ) + O h4
3
6 ∂x1
∂uh
h2 ∂ 2 uh
uh (xi j+1 ) = uh (xij ) + h
(xij ) +
∂x2
2 ∂x22
( )
h3 ∂ 3 uh
(xij ) + O h4
+
3
6 ∂x2
∂uh
h2 ∂ 2 uh
uh (xi j−1 ) = uh (xij ) − h
(xij ) +
2
∂x2
2 ∂x
2
.
uh (xi+1 j ) = uh (xij ) + h
(xij )
(xij )
(xij )
(xij )
.
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§1.7 有限差分法の考え方 (cnt.)
−
( )
h3 ∂ 3 uh
(xij ) + O h4
3
6 ∂x2
( )
が成り立つ．4 式の和をとって，両辺を h2 で割って，O h2 を省略す
れば，
∂ 2 uh
∂ 2 uh
(x
)
+
(xij )
ij
∂x21
∂x22
uh (xi+1 j ) + uh (xi j+1 ) + uh (xi−1 j ) + uh (xi j−1 ) − 4uh (xij )
=−
h2
が成り立つ．
基本境界条件については，ΓD 近傍の節点 xij を選んで
uh (xij ) = uD (xij )
.
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§1.7 有限差分法の考え方 (cnt.)
で近似する．自然境界条件については，ΓD を横切る x1 方向と x2 方向
の節点間 (xij1 , xi+1 j 1 ), (xij1 , xi j+1 1 ) に対して Taylor の公式を適用
して
( )
∂uh
(xij ) + O h2
∂x1
( )
∂uh
(xij ) + O h2
uh (xi j+1 ) = uh (xij ) + h
∂x2
uh (xi+1 j ) = uh (xij ) + h
が成り立つ．両辺を h で割って，O (h) を省略すれば，
∂uh
uh (xi+1 j ) − uh (xij )
(xij ) =
∂x1
h
uh (xi j+1 ) − uh (xij )
∂uh
(xij ) =
∂x2
h
が成り立つ．
したがって，Ω 上と Ω に隣接する節点 xij に対して，uh (xij ) = uij ,
b (xij ) = bij , pN (xij ) = pNij , uD (xij ) = uD ij とかいて，さらに，境界
.
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§1.7 有限差分法の考え方 (cnt.)
付近の節点 xij における法線 νij の情報が与えられれば，問題 1.6.2 に
対して，未知変数 {uij }ij に対する未知変数個の連立 1 次方程式
uij = uD ij ,
ui+1 j + ui j+1 + ui−1 j + ui j−1 − 4uij
−
= bij ,
h2
ui+1 j − uij
ui j+1 − uij
νij1 +
νij2 = pNij
h
h
を得る．この連立 1 次方程式は一意に解ける．
.
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§1.7 有限差分法の考え方 (cnt.)
有限差分法について，次のことがいえる．
• 境界付近の節点 xij における法線 νij の評価は容易ではない．
• 一方，有限要素法は微分方程式の弱形式 (weak form) に基づく近似
解法で，このような問題は起こらない．また，誤差評価も数理的に
示すことができる．
.
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§1.8 演習問題
1.
2.
微分方程式で表させる現象を一つ挙げて，その微分方程式と境界条
件で構成された境界値問題 (初期値問題，初期値境界値問題も含
む) を示せ．また，その境界値問題は，線形 / 非線形，線形 2 階偏
微分方程式の場合は楕円型 / 双曲型 / 放物型のどれに分類されるの
かを示せ．
1 次元 2 階微分方程式の境界値問題
−
d2 u
+u=b
dx2
in (0, 1) ,
u(0) = uD ,
du
(1) = pN .
dx
に対して，有限差分法による連立 1 次方程式を示せ．ただし，
(0, 1) 上に節点 {x0 = 0, x1 , x2 , · · · , xm = 1} を等間隔に配置して，
節点間の長さを h = 1/m とする．近似関数を uh : (0, 1) → R と表
して，uh (xi ) = ui , b (xi ) = bi とかく．
.
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線形 2 階偏微分方程式の分類
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§1.9 まとめ
数値解析の考え方を概観した．
1.
2.
3.
4.
数値解析における問題処理のプロセスでは，現象を偏微分方程式な
どで数理的にモデル化し，差分方程式などで離散化し，コンピュー
タによる数値計算により連立 1 次方程式を解いて，数値解を得る．
熱伝導現象は，熱量と温度の関係式 (構成方程式)，Fourier の熱伝
導法則から，発熱と温度分布の関係を表す 2 階偏微分方程式の境界
値問題として数理モデル化される．
2 階偏微分方程式は，楕円型，双曲型，放物型に分類される．これ
らは線形微分方程式である．非線形微分方程式の例として，単振子
の運動方程式と Van der Pol の運動方程式をみた．
有限差分法によって 1 次元 2 階微分方程式の境界値問題と Poisson
問題の近似方程式が得られるプロセスをみた．
.
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参考文献
[1] 菊地文雄.
有限要素法概説 : 理工学における基礎と応用.
サイエンス社, 1980.
[2] 藤田宏, ほか.
数理物理に現われる偏微分方程式.
岩波書店, 1977.
[3] 草野尚.
境界値問題入門, 復刊.
朝倉書店, 2004.
[4] 広田良吾.
差分方程式講義 : 連続より離散へ.
サイエンス社, 2000.
.
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.
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