単振動

物理問題集
単振動
No-1
M1 Cos θ ²、Sin θ ² を２θをつかって表せ。
単振動
解答 No-1
class
No.
Name
1 + cos 2θ
1 − cos 2θ
, sin2 θ =
M1　cos2 θ =
2
2
v、x
◎ P1　単振動基礎
角振動数ω [rad/s]、振幅 A、質量ｍで単振動している図のようなバネがある。
P1　ア）ｘ＝ Asin ωｔ　[m]　つり合いの位置を x 軸の原点にとり、下向きにｘ軸の正の向きとする。
ｖ＝ A ω Cos ωｔ [m/s]
重力加速度はｇとし、結果に単位をつけること。
ア）ｔ＝０で物体は原点を下向きに通過しようとしている。
イ）ｘ＝ Acos ωｔ　[m]
この時の物体の位置ｘと速度ｖの式とｘ－ｔ、ｖ－ｔグラフを
ｖ＝ -A ω sin ωｔ [m/s]
描け。
K=1/2・mv²
＝ 1/2・mA² ω ²(1-cos2 ω t)/2[J]
イ）ｔ＝０で物体は位置 A にあった。
U=1/2・kx²　エネルギー保存則より
位置ｘと速度ｖの式とｘ－ｔ、ｖ－ｔグラフを描け。
=1/2・mA² ω ²(1+cos2 ω t)/2　②
t
v、x
t
U、K
この時の運動エネルギー K と弾性力の位置エネルギー U の式
とグラフを描け。ただし、弾性エネルギーの伸びの基準はつり
t
U 弾性 E、K 運動 E
ウ）①②より　1/2・kx² ＝ 1/2・mx² ω ² よってｋ＝ｍω ²[N/m] ③
合いの位置をとり、力学的 E は保存されている。
ウ）
イ）の結果からこのバネのバネ定数ｋをｍ、ωで表せ。
エ）　x=0 では F=0[N] x=A では運動方程式から F=ma=-kA=-m ω ²A[N]
エ）物体がｘ＝０、
ｘ＝ A にある時の物体に働く合力 F を求めよ。
オ）ｘ＝０では合力０なので a=0[m/s²]、ｖは最大でｖ＝± A ω [m/s]
ｘ＝ A では a は上向きに最大で　a=-A ω ²[m/s²]　ｖ＝０[m/s]
オ）
物体がｘ＝０、ｘ＝ A にある時の物体の速度、加速度
を A, ωを用いて答えよ。
カ）物体がｘ (t) にある時の重力の仕事率を m,g, ω ,t,A で表せ。
カ）　P=F・v より -mgA ω sin ωｔ [W]
キ）つり合いの式から伸びｘの時、mg=kx　③より原点より上にあるから
x₀ ＝ -mg/k=g/ ω ²　キ）この物体の自然の長さの位置をｇ、ωで表せ。
ク）最下点からつり合いの位置に移動する時間をπ、ωで表せ。
☆公式・Point
ｋ＝ｍω ²　ｇ＝ω ²L
ク）周期 T の 1/4 だから T= ２π / ωから t =
T
1 2π
π
=
=
4
4 ω
2ω
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単振動
単振動
単振動
No-2
○◎ P1　単振動と単振り子の特徴
class
No.
Name
解答 No-2
P1　ア）バネ定数が半分になるので T= ２π√ m/k から√２倍　T'= √ 2・T
A.
イ）　振幅と周期は関係ないのでどちらも T
バネ定数のバネにｋ、質量ｍのおもりをつけた物体の周期 T について
ア）同じバネを２本直列に連結して質量ｍの重りをつけた時の T を求めよ。
イ）はじめにｘ縮めた時、２ｘ縮めた時の T をそれぞれ求めよ。
２
ウ）加速度 9.8m/s で上昇するエレベータ内での T を求めよ。
B.　振り子の長さ L、重りの質量ｍの単振り子の周期を T とする。
ウ）みかけの重力が２ｇになるが周期はｇに無関係なので T
B　ア）T= ２π√ L/g から　√２倍　T'= √２・T
イ）ふりこの周期は質量に無関係なので　T
ウ）みかけの重力が２ｇなので 1/ √２倍　T'=T/ √２
ア）ふりこの長さを 2 倍にした時の T を求めよ。
イ）重りの質量を２倍にした時の T を求めよ。
２
ウ）加速度 9.8m/s で上昇中のエレベーター内の T を求めよ。
P ２　ア）
単振動の式 ma=-kx
・・
Ｘ＝ーω２Ｘ　ω２＝ k/m
（バネ）
ω２＝ g/L( ふりこ )
x=Asin( ωｔ＋θ )　ｖ＝ω Acos( ωｔ＋θ )　a= －ω２Asin( ωｔ＋θ )
P2. 単振動という現象はバネだけではなく様々な場で見られる
次の公式を記せ。
イ）M= ρ V　ρは物体の密度　F= ρ V ｇ　ρは液体の密度
P ＝ F/S= ρ h ｇ　ｈは深さ
ア）単振動となる基本式　とその一般解　ウ）バネ U=1/2・ｋｘ２
イ）密度ρを用いて質量 M, 浮力 F, 圧力 P を表せ。　重力 U= ｍｇｈ＝ρ物体 V ｇｈ基準は原則最下点、上にいくほど＋　ｈは高さ
ウ）バネ、重力、浮力の位置エネルギーを示せ。
浮力 U ＝ρ液体 V ｇｈ　基準は液面、下にいくほど＋　ｈは深さ
エ）単振動、単振り子の周期
エ）周期バネ T= ２π√ (m/ ｋ ) 周期ふりこ T= ２π√ (L/g)
◎ P3. 単振動図のように摩擦のない角度θの斜面に質量ｍのおもりを置き、　バネ定数ｋ１とｋ２のバネをつける。はじめ物体は釣り合いの長さの　P3 ア）バネによる力は共に斜面上向きである。従って長さをｘ o とおくと
位置にあった。まさつはない。
ｍｇ sin θ＝（k1+k2)x0 から　x0 ＝ｍｇ sin θ /（k1+k2)
ア）自然の長さよりどれだけ下がって
イ）斜面をｘ軸にとり ma=mgSin θー (k1+k2)(x0+x) アの結果から
釣り合うか。
ma=-(k1+k2)x 単振動するから角速度ω＝√ ((k1+k2)/m)
ウ）初期条件からｔ＝０でｘ＝Ａである。従って
θ
つりあい位置を原点としてｘ軸を斜面左下を正にとる。
ｘ＝Ａ cos( √ ((k1+k2)/m) ｔ）
正方向に A だけずらして放す。
速さｖは微分してーｖ＝Ａ√ ((k1+k2)/m)・sin( √ ((k1+k2)/m) ｔ）
イ）運動方程式を示せ、何の式になるか。角速度ωを求めよ。
エ）ωから周期Ｔ＝ 2 π√ ( ｍ /（k1+k2)) もとめる時間は半周期だから
ウ）時刻ｔでのｘ、ｖを表す式を作れ。
ｔ＝π√ ( ｍ /（k1+k2))
エ）物体が最下点から最上点までにかかる時間を求めよ。
オ）正方向の速度、加速度の最大値とその位置を示せ。
☆公式・Point 周期バネ T= ２π√ (m/ ｋ ) 周期ふりこ T= ２π√ (L/g)
単振動の式 ma=-kx
・・
Ｘ＝ーω２Ｘ　ω２＝ k/m（バネ）　ω２＝ g/L( ふりこ )
x=Asin( ωｔ＋θ )　ｖ＝ω Acos( ωｔ＋θ )　a= －ω２Asin( ωｔ＋θ )
オ）速度最大はつりあいの位置でＶ＝ＡωからＶ＝Ａ√ ((k1+k2)/m)
加速度最大は最上点で a=A ω２から a= Ａ (k1+k2)/m
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単振動
単振動
No-3
◎ P1．　浮力による単振動　浮力の位置エネルギー
class
No.
Name
解答 No-3
P1 ア）圧力の式：浮力 P= ρｘ０ｇ＝ρ /4・L ｇ重力①よりｘ０＝Ｌ /4
断面積 S, 高さ L の円柱状の木片を水槽に入れる。水の密度はρ、木片の密
イ）鉛直下向きにｘだけ下げたとして運動方程式を立てる。
度はρ /4、重力加速度をｇとする。水の抵抗、粘性は考えない。
単振動の形にはまればあとは公式で周期も速さも位置も出る！
ア）図のように水面下ｘ０だけ沈み、静止した。ｘ０を求めよ。
ρ /4・ＳＬ a= ρ /4・SL ｇ－ρ S(x0+x)g ①から＝－ρ Sgx よって a ＝－ 4g/L・
ｘ０
イ）木片をわずかに下方に押し、放す。この時、木片は
これはω＝√ (4g/L) の単振動である。従って周期 T は T ＝２π / ω＝π√ L/ ｇ
ウ）単振動はバネの振動とみなしてバネ定数を出す。するとバネのエネルギーの公
どういう運動をするかを示し、周期 T も求めよ。
式が使えてしまう！ω＝√ k/ ｍ、さらにｍ＝ρ /4・SL バネ定数ｋ＝ρ gS のバ
以後この T を用いてよい。
ネとみなせる。エネルギー保存則は、のびｘは自然の長さを基準にするから　次に木片の上面が水面になるまで沈めて放した。
高さＨとし、1/2・ｋ・Ｌ２＝ｍｇＨから 1/2・ρ gS Ｌ２＝ρ /4・SLg Ｈ
ウ）
水面から飛び出し、
高さｈまで上がった。
ｈを求めよ。
＊弾性エネルギー、浮力の位置エネルギーの
H ＝２Ｌを得る。重心が中点にあることを考慮し　ｈ＝２ＬーＬ＝Ｌ
ｈ
両方で考えてみよ。
ｘ
3L/4
エ）この運動について木片の上面が水面にある時、ｘ軸
の原点を木片の下面にとり、上向きを正とする。　ｘ
ｘ
木片に働く合力Ｆとｘのグラフを描け。
L
ｘ
ｘ
つり合いの位置
L/4
ここまで単振動
振動の中心
エ）合力は上向の浮力と下向の重力である。浮力はｘの関数で上向きを正とし、
浮力ｆ = ρ S(L －ｘ ) ｇ　重力ｆ ’ ＝ーρ /4・SL ｇ　合力 F= ｆ＋ｆ ’ であるから
グラフは下図。この面積いいかえれば積分するとエネルギー保存則が得られる。
オ）原点から木片が最上点にいくまでに F のした仕事を
オ）面積は仕事なのでグラフの上の面積と下の面積の等しくなる位置 X では合力 F　求めよ。また浮力の仕事と重力の仕事が等しくなる
の仕事が０になる。つまりここが最上点である。グラフの面積からもＸ＝２Ｌ
位置 X を求めよ。
カ）力学的エネルギーは不変だからはじめか、最高点でのエネルギーを求めればよい。
カ）木片が最下点にある時を重力の位置エネルギーの基準、水面を浮力の位　はじめは浮力の位置 E のみで重心に作用する
置エネルギーの基準として物体の速さが最高速の半分になったところでの　U= ρ SLgL/2 ＝ρ V ｇ L/2 となる。
木片の力学的エネルギー U を求めよ。木片の体積を V として表せ。
これは最高点の位置エネルギー
ただし、物体は一様であるとする。
高さｈ＝２L と考えて
キ）物体を放してから木片が最高点に達するまでの時間を T、g、L で表せ。
ρ /4・SLg・２L と等しい。
ただし必要ならば次の値を参考にせよ
キ）下面が水面を出るまで浮力が働くので振幅 3L/4 で単
ArcTan1/2=27°
ArcTan 1/3=18°
ArcTan1/4 ＝ 14°　振動する。下面が原点より L/4 だけ上がると水面に出る
Ｆ
3 tSgL
4
1
- 4 tSgL
上の面積と下の面積の等
しい X=2L が最高点
Ｘ
Ｌ
3L
4
から右図のように T/4 と Sin θ＝ 1/3 を満たすθだけ回
☆公式・Point
浮力の位置エネルギー U= ρ V ｇｈ　はバネのｴﾈﾙｷﾞｰに置き換えられる。
単振動の時間は周期で考える。さらに難問は円運動と対比させる。
転する時間ｔを加えればよい。問題からθ =20°だから
L/ ４
ｘ
θ
３L/ ４
水から完全に出るまでは単振動で T/4+20T/360=11T/36
これに高さ L からの自由落下の時間を加えればよい。よって 11T/36+ √ (2L/g)
物理問題集
単振動
No-4
◎ P1　【浮力とバネの合成】
はじめに秤の上に容器と密度ρ [kg/m³] の液体をのせ、この重さがちょうど
単振動
解答 No-4
class
No.
Name
ア）物体の重力は 2 ρ Vg/3 だから指示値は 2 ρ SL ｇ / ３[N]
浮力がρ Vg なので力のつり合いから
０になるように調整した。次に断面積 S[m²], 高さ L, 密度 2 ρ /3[kg/m³] の円
kx ＋ 2 ρ SLg/3 ＝ρ SLg　ｘ＝ρ SLg/3k[m] ①
柱状の物体を図のように液体の中に全て沈むように質量の無視できるバネに接
イ）バネは自然の長さなので弾性力は無視できる。
液面から下の高さをｈとすると底面での圧力が等しいから
度はｇ [m/s²]、はじめ、水の抵抗は考えないとする。また秤は N( ニュートン )
ρｈ＝ 2 ρ /3・L　から　ｈ＝ 2L/3　計とする。容器の断面積は十分に広く、物体の浮き沈みによる液面の高さの変
よって液面に出ている高さは L/ ３[m] ②
ウ）液面の高さはかわらないとして、②より kx ＝ kL/3
必要な単位を明記すること。
つり合いの式から押す力ｆ＝ρ SLg-2 ρ SLg/3 ＋ kL /3
エ）浮力がρ S(L-x)g になる。自然の長さの位置が②より
x₀ ＝ L/ ３だからこの時のバネの縮みは L/3-x
イ）この時、物体が液面から出ている高さを求めよ。
上向きを正として運動方程式は
ρ SLg/3
[s] で単振動する。
x=L/3, 周期
軸の原点にとり、上向を正とする。物体の上面が位置ｘにあ
0
x
a
となる。これは振動の中心が
エ）次にこの押す力をとると、物体は上昇し始めた。水面をｘ
ることはなく、液体や、空気の抵抗は無視してよい。
kx
=(L/3-x)( ρ Sg+k) ③　よって
からおした。この押す力を求めよ。
あれば、周期を示すこと。ただし、物体の下面は水面をこえ
ρ S(L-x)g
2 ρ SL/3・a = ρ S(L-x)g+k(L/3-x)-2 ρ SLg/3
ウ）
イ）の状態から物体の上の面が水面と同じになるまで上
ｘ
重力：ρ SLg/3
さになるようにして、
この状態で秤のメモリを０にセットした。
る時の運動方程式を示し、どういう運動になるか記述せよ。
ｆ
kx
f=L/3・( ρ Sg+k )[N]
ア）この時のバネののびと秤の指示値を求めよ。
次にこの状態から液体を減らしていき、バネの長さが自然の長
重力：2 ρ SLg/3
kx
続し、他端を容器につけて秤にのせた。バネ定数はｋ [N/m] とし、重力加速
化は無視できる。また、物体の位置は物体の上面の位置で計測するとする。
浮力：ρ SLg
オ）イに比べて浮力がρ Sg(L/3-x) だけ増加し、バネの弾性力が k(L/3-x)
だけ増えるので秤の指示値はこの分増加する。これは③より
カ）
2 ρ SL/3・a[N] に等しい。また、最速の位置は上面が L/3 で、
この時加速度は０だから③から指示値は０[N] になる。
オ）位置ｘでの加速度を a とする。この時の秤の指示値を a を
用いて答えよ。
最高速になるのは上面が L/3 で、自然の長さの位置だから③から浮力による振
また、物体の速さが最も速くなる位置に来た時の秤の指示
動との合成ω ² ＝３( ρ Sg ＋ｋ )/(2 ρ SL) とおける。振幅 A=L/3 だから単振
値を求めよ。
動の式から V=A ω＝
カ）物体の最高速の値 V を求めよ。以後この V を用いてよい。
キ）
キ）バネの下端は容器に固定されているが上端の物体への固定
をはずし、ウ）と同じ状態から、押す力を放すと物体は上昇
した。この時、物体の最高点の上面の位置を求めよ。V を用
いて答えること。
H
V
L(ρSg + k)
6ρS
[m/s]
図のように高さ H まで上がったとするとはじめは運動エ
ネルギーと浮力の位置エネルギー、おわりは全て位置エネ
L/3
ルギーになるから
1/2・2 ρ SL/3・V²+ ρ gS2/3・L・L/3=2 ρ SLgH/3
よって最高点の上面の位置は原点から
[m]
物理問題集
単振動
単振動
No-5
◎ P1．
【部分的な単振動】
class
解答 No-5
図のようにバネ定数ｋのバネの１端を固定し、
他端に質量ｍの物体をつける。
No.
Name
物体は単振動するから、単振動の式から
ア）
①
イ）単振動の式から t= ０で x= ５L だから
原点 O をつり合いの位置にとり、図右方向にｘ軸の正をとる。ｘ＝５L の
周期
点 P まで引き、物体を放した。放した時刻をｔ＝０とする。x=L の位置を R、
ウ）　エネルギー保存則から
ｘ＝５Lcos ωｔｖ＝ - ５L ω sin ω t　②
x=-3L の位置を Q とする。はじめは摩擦を考えない。
1/2・mv² ＋ 1/2・ｋ (3L)² ＝ 1/2・k(5L)²　よって v= √ (16kL²/m)
ア）この運動の周期 T を求めよ。また角速度ωを求めよ。以後この T, ωを用
①より向きを考えてｖ＝ー 4L ω　③
いてよい。
エ） ②、③より -4L ω＝ -5L ω sin ωｔ　sin ωｔ＝ 4/5 を満たすｔ
イ）時刻ｔでの位置ｘと速さｖを表せ。
（L, ω ,t) で表せ。
オ） PQ 間では距離 S= ８L だけ移動する。
ウ）位置 Q での物体の速度を求めよ。L とωで表せ。
摩擦力の仕事ｗ＝μ ’mgS だからエネルギー保存側は
エ）はじめに Q 点に達するまでの時間を求めよ。ω、sin を用いてよい。
1/2・ｋ (5L) ２=1/2・ｋ (3L) ２+ μ ’ ｍｇ 8L　よってμ ’ ＝ｋ L/(mg) ④
次に動摩擦係数μ ' の摩擦が物体と面に働く場合を考えよう。このとき物体
カ）
ma= μ ’ ｍｇーｋ x
は先と同じように P 点から出発し、Q 点で向きを変え、R 点で静止した。
これはＸ＝ｘ－Ｌで置き換えればＸ＝ーω２Ｘ⑥の単振動の式を満たすので
オ）μ ’ を求めよ。
区間限定で振動の中心をｘ＝ L とした単振動といえる。
カ）物体がはじめにＰからＱに向かう場合、位置ｘでの運動方程式を立てよ。
キ）
振動の中心はｘ－
L ＝０からｘ＝ L になる。よって振幅が A= ５L ー L ＝４L,
ただし、オ）の結果を利用し、どういう運動をするか説明せよ。
ω＝√ (k/m) の単振動。ｘ＝ L で速さ最大でｖ＝ A ωだからｖ＝４L ω
キ）上の区間で速さが最大になる位置とその速度を求めよ。
速度はωと L で表せ。
④より kL= μ ’mg から ma= ーｋ (x-L) ⑤
・・
よって①より向きを考えｖ＝ - ４L ω
a
ｋｘ
ク）単振動の周期で考えれば
ク）点Ｑで反転する時刻ｔを求めよ。ωを用いて答えよ。
ケ）次に物体がＱからＲに向かう時、位置ｘでの運動方程式を立てよ。
この時、摩擦力は反対向きになる。　正の向きは図右だから
ケ）
ただし、オ）の結果を利用し、どういう運動をするか説明せよ。
ma= ー kx ーμ ’mgL　④より　ma= ー k(x+L)
コ）上の区間で速さが最大になる位置とその速度を求めよ。
この式も区間限定の単振動である。
速度はωと L で表せ。
ただし、振動の中心はｘ＝ー L の位置になる。
サ）この運動のｘ－ｔグラフを描け。
シ）P 点を出発してからの物体の動いた道のりを S とする。R で静止する
S=12L までの物体に働く弾性力を F、動摩擦力を F’ として縦軸に F と F'
横軸に S をとったグラフを描け。ただし、力の正の向きは物体の速度ベク
トルと同じならば正、反対なら負とせよ。
（縦軸の目盛りは k,L で表せ）
ス）P 点から静止する R 点までの弾性力 F, 動摩擦力 F' のした仕事を求めよ。
ｘ
Q
O R
P
μ ’ ｍｇ
T/2 ＝ 1/2・２π√ (m/k)= π√ (m/k)= π / ω
a
ｋｘ
μ ’ ｍｇ
コ）速さが最大になるのは振動の中心だからｘ＝ー L。振幅は２L になる。
よってｖの最大はｖ＝ A ω＝２L √ (k/m) ＝２L ω
サ）ｘ
シ）
5L
3kL
L
-3L
F
5kL
T/2
T
斜め線が弾性力
横線が動摩擦力
ｔ
ス）
S
F-S グラフの面積から弾性力の仕事は
-kL
1/2・k(5L)²-1/2・kL² ＝ 12KL²
-3kL
動摩擦力の仕事も面積から明らかに -12kL²
5L
8L
12L
物理問題集
単振動
No-6
◎ P1　【単振動と秤１】
おもり固定
図のように質量、体積の無視できるバネ ( バネ定数ｋ ) に質量ｍ [kg]、
3
体積 V[m ] のおもりをつける。バネは秤 (kg 計 ) の上で安定して立つよう
単振動
ア）バネは自然の長さからどれだけ縮んでいるか。
Name
ｍ [kg]
ウ）運動方程式は必ず座標設定をし、正のｘのところで式を立てる。
この時位置ｘではバネは伸びているので下向きの F が働いている。
x
はじめ、おもりはバネから離れない。またバネの下端は秤につながれ、
できるとする。
No.
イ）バネの力 F の反作用だから結局 mg
ｘ 0 ＝ mg/ ｋ
に調整されている。重力加速度は g とする。単位をつけて答えること。
離れることはない。また秤は負の値（上に引き上げる力）もはかることが
class
解答 No-6
ア）kx0=mg ①より
mg
x ＝０
ma=-k(x-x0) ｰ mg　F
x
①より ma=-kx これは単振動の式
つり合いの位置
2x0
T=2 π√ (m/k) で単振動する。
振動の中心
はかりの目盛りははかりの上にある
上の解をｘ０[m] として、以下ではこの位置を原点に鉛直
物体の垂直抗力の反作用である。
上方にｘ軸をとる。
イ）静止している時、秤の指示値はどれだけか。
エ）この問題でははかりの上がバネなので垂直抗力はなく、変わってバネの弾
性力のみである。結局目盛りも F=kx に従い、単振動する。押される時が
さらに原点より２ｘ０[m] だけ下方に押して放す。この時を t=0 とする。
目盛りは正になるので、バネの F と向きが反対になる。
バネの弾性力 F は、はじめは 3x0 だけ縮
オ）目盛
ウ）位置ｘでのおもりの運動方程式を示し、周期 T を求めよ。
３ｍ
むので①より F= ３ｍｇ　目盛は㎏計な
エ）ｔ＝２T までの秤の目盛のグラフを示せ。( 縦軸の目盛はｍを用いること )
ｍ
ので３ｍである。つりあいの位置でｍに
オ）放してから秤の目盛が０になるまでの時間を T で表せ。
またその位置をｘ 0 を用いて表せ。
０
t
ーｍ
目盛が０になるのは自然の長さでさらに振動の中心のつ
カ）放してから時間にして t=2T までの秤の目盛のグラフを横軸Ｓを t=0 から
りあいから x0 だけ上がるので下図のように円運動に置
x0
動いた距離 S にとって示せ。
（縦軸はｍ、横軸はｘ 0 を用いて目盛をつけること）
120
カ）
運動方程式は合力０を原点に正の向きにｘずらして考える。
単振動の式 ma=-kx
２
・・
バネは x₀ だけ伸びるので秤は上に引っ張れる。目盛は
最下点で F= ー kx₀= ー mg からーｍになる。
よって時間は T/3[s], 位置ｘ＝ x₀[m]
目盛
フックの法則から F=kx のｘが単振動す
S
Ｘ＝ーω Ｘ　X=X-X0 X0 は定数でも可
ω ＝ g/L( ふりこ )
ω ＝ k/m（バネ）
☆公式・Point 単振動の式は ma=-k(x-x0) ｘ ₀ は定数であればよい。
2x0
き換えると 120°回転している。物体が最高点にくると
３ｍ
２
２
なる。
８ｘ０
16 ｘ０
ーｍ
れば F も単振動するが、これはｘをｔ
で表しているので F-t グラフである。
F-x グラフは 1 次関数である。
振幅 2x0、往復８x0 で単振動するので 2 周期では S=16x0 である。
原点が x₀ だけずれた単振動になる。F-t は単振動 F-x は直線
この間はフックの法則に従い F はｘに比例するので上図のように
単振動の時間は振幅を半径にして円運動で置き換える。
直線のグラフの繰り返しになる。
物理問題集
単振動
単振動
No-7
◎ P1【単振動と秤２】
おもり離脱
class
No.
Name
解答 No-7
P1　ア ) 釣合の式から mg=k ｘ０　ｘ０＝ mg/k ①　イ）明らかに m[kg]
図のように質量、体積の無視できるバネ ( バネ定数ｋ ) に質量ｍ [kg]、
ウ）N= ｋｘなので弾性力の無くなる自然の長さの時　ｘ＝ｘ０
3
体積 V[m ] のおもりを乗せた。バネは秤 (kg 計 ) の上で安定して立つよう
に調整されている。重力加速度は g とする。また、秤が計測の際に消費
するエネルギーは小さく、無視できる。単位をつけて答えること。　仕事率＝ Fv= ｰ mgv だから下の②からｰ mgv0= ｰ mg2 √ (3m/k)[w]
x
h
ア）バネは自然の長さからどれだけ縮んでいるか。
アの解をｘ０[m] として、以下ではこの位置を原点に鉛直
x0
x ＝０
2x0
上方にｘ軸をとる。
エオ）図のようにｘ＝ｘ０の自然の長さからは物体が離
れて投上げになる。それまで単振動なので振幅が
２ｘ０からｘ０になる時間は下図の円運動との対比か
ら 120 °
回転する時間に等しく
t1=T/ ３=2 π /3・√ (m/k) またこの時の速さｖ０は
単振動の式（又はエネルギー保存則）から
ｖ０=A ω Sin ωｔ =A ω SIn120°
＝ A ω・√３/ ２
イ）静止している時、秤の指示値はどれだけか。
A=2 ｘ０，ω＝√ k/m から v0=x0 √ (3k/m)
さらに原点より２ｘ０[m] だけ下方に押して放す。
x0
ウ）おもりがバネから離れる位置を求めよ。以下解に x0 は用いないこと
エ）この時の重力の仕事率を求めよ。
オ）
おもりの最高点の高さと放してからその高さに達するまでの時間を求めよ。
120
2x0
①から v0=g √ (3m/k) ②
よって最高点の高さはこの v0 を用いてエネルギー　保存側から mgh ＝ 1/2 ｍ v02、よってｈ＝ v02/2g
カ）おもりを原点から２ｘ０縮めて、はなしてからの秤の目盛のグラフを
②より原点を合わせて①から
1 周期 T 分だけ描け。縦軸の目盛りは自らつけること。
H ＝ｈ＋ x0 ＝３mg/2k ＋ mg/k=5mg/2k[m] ③
また、ｈだけ上がって最高点に達するので
②とｖ =v0 － gt から
t2 ＝√ (3m/k) よって時間ｔ＝ｔ１＋ｔ２
ｔ＝ ( √ 3 ＋ 2 π /3) √ (m/k) [s]
カ）この場合秤の目盛はバネと接しているからバネの弾性力に等しい。物体が
離れてからは F= ０である。エから周期の 1/3 まで単振動しているのでこの
時のｘは最下点を時刻０とするとｔ =0 で x ＝－ 2 ｘ０だから
ｘ =-2 ｘ０Cos ωｔ、この時 F= ーｋｘから F= ｋ・２ｘ０Cos √ k/ ｍ・ｔで
ある。x=0 においても釣合の式から下向きに mg の力が加わり自然の長さから
は x0 だけ下がっているので t=0 でバネの力は F' ＝３kx0 からスタートする。
秤の指示値は N ではなく kg なので
☆公式・Point
単振動の時間は振幅を半径にして円運動で置き換える。
目盛は 3kx0/g。ただし、x₀ ＝ mg/k
で置き換える。原点では指示値はｍ
T/3 以降は０になる。
指示値 [kg]
3m
m
T/3
答えは太線
点線は補助
T
t[s]
物理問題集
単振動
No-8
◎ P1【単振動と秤３】
浮力　抵抗なし
単振動
解答 No-8
P1
容器の底にバネ定数ｋの軽いバネを付けて密度ρ [kg/m3] の液体を満たし、
秤の上に置く。この時点で秤の目盛は 0kg を指すようにリセットした。その
kx0
後質量ｍ、体積 V のおもりをバネの上にのせた。全体は図のように液体中に
沈み、釣合った。はじめは液体の粘性、抵抗は無視できるとする。
ア）バネは自然の長さからどれだけ縮んでいるか。
ρ Vg
N
上の解をｘ０[m] として、以下ではこの位置を原点に鉛直
上方にｘ軸をとる。
mg
kx0
また、おもりの密度は少しだけ液体の密度より大きいとする。
また、おもりが液体に沈む条件を求めよ。
ρ Vg
Mg
液体に働く力
class
No.
Name
ア）物体についての釣合から kx0=mg ーρ Vg　ｘ 0 ＝ｇ ( ｍーρＶ )/ ｋ④　：ウラ式
条件は上の式からもｍ＞ρ V であれば沈む。
イ）液体からの重さはリセットされているのでバネの弾性力
が秤を押す。よって④より kx0 ＝ g( ｍーρ V)
液体はさらに浮力の反作用ρ Vg が働くので N=Mg ＋ρ Vg
液体の垂直抗力 N とバネの F の反作用の和が目盛りになる。
よって N ＋ kx₀ ＝ Mg+mg となるが、
液体の重さ Mg はリセッ
トされていて㎏計だから g を落として結局ｍ [kg] になる。
ウ）バネの力がなくなるところだから自然の長さでｘ＝ｘ０
イ）静止している時、秤の指示値はどれだけか。
エ）バネの基準は自然の長さだから
この時の液体に働く力を図示せよ。
ma=k(x0-x)-mg+ ρ Vg　④より　ma=-kx となり　液体の影響はなく
はじめと同じ周期で単振動する。
さらに原点より２ｘ０[m] だけ下方に押して放す。この時を t=0 とする。
オ）　ケからバネから離れる前の t1 ははじめと同じ、その後の運動方程式は
液体は十分に深く、
おもりは液体より上に出ることはない。
ウ）おもりがバネから離れる位置を求めよ。以下解に x0 は用いないこと
指示値は浮力の反作用のみだからρ Vg ＝ ma+mg g を取り、ma/g+m
エ）おもりがバネから離れる前の位置ｘでの運動方程式を示せ。
カ）②から Vo ＝ｘ 0 √ (3k/m) だが④から Vo ＝ｇ (1- ρ V/m)/ √ (3m/k)
できるかぎり簡単にすること。
ma=-mg+ ρ Vg　a= ー g(1- ρ V/m)　おもりがバネから離れると
となりｖ＝ vo+at から結局 t2 もはじめと同じことがわかる。
オ）おもりがバネから離れた後のおもりの加速度を求めよ。
キ）　よって最高点に達する時間も同じでｔ＝ ( √ 3 ＋ 2 π /3) √ (m/k) [s]
また、この加速度を a としてこの時のはかりの指示値を求めよ。
ク）最下点では秤にかかる（容器、水の重さ以外の）力はバネが 3x0 縮んで　カ）おもりがバネから離れた直後のおもりの速さを求めよ。
いるから N= ρ Vg+3k ｘ 0　④より N=3mg-2 ρ Vg　ｇをとり、3m-2 ρ V
キ）おもりの最高点の高さに達するまでの時間を求めよ。
からスタートし、T/4 時間がたち振動の中心であるつりあいの位置ではｍ
ク）おもりがはじめの最下点から最高点に達するまでの秤の目盛をグラフに
になり、T/3　たつと自然の長さになりここからは一定でρ V になる。
ρ Vg
指示値 [kg]
答えは太線
mg
3m-2 ρ V
点線は補助
m
t[s]
x0
自然の長さ
ρV
T
T/3
伸びの基準
2x0
表せ。縦の目盛にはρ、V、ｍを用いよ。横軸は周期 T を用いて
単振動した場合の 1 周期分は描くこと。
液体の抵抗を考慮しない場合、水
☆公式・Point
液体には浮力の反作用、抵抗の反作用が働く。
垂直抗力の反作用が秤の指示値を示す。
の重さと容器の重さ以外には図の
ρ Vg
浮力の反作用とバネの反作用しか
ｋｘ
ない。
物理問題集
単振動
単振動
No-9
P1.【単振動と秤４】
浮力　抵抗なし
class
No.
Name
解答 No-9
P1　ア）バネは伸びるので物体には図のように力が働く
図のように質量、体積の無視できるバネ ( バネ定数ｋ ) に密度ρ体積 V の
よってρ０Vg ーρ Vg ＝ｋｘ０　ｘ０=Vg( ρ０ーρ )/ ｋ①
おもりを乗せた。バネと重りを密度ρ０、体積Ｖ０の液体の中に完全に沈め、
浮力：ρ０Vg
軽い容器の中に入れている。容器全体は秤 (kg 計 ) の上にある。液体の抵抗
は無視する。はじめρ＜ρ０であり、バネと重りは接着している。
イ）水の重さと物体の重さだから単位を kg にするた
めにはｇで割ればよい。ρ０V ０＋ρ V ②
重力：ρ Vg
kx0
ウ）運動方程式はρ Va ＝ρ０Vg ーρ Vg ③だから
浮力：ρ０Vg
ア）バネは自然の長さからどれだけ伸びているか。
アの解をｘ０として、以下ではこの位置を原点に鉛直上方
重力：ρ Vg のように浮力の反作用が働く、この中の垂直抗
力　N の反作用が秤の指示値に相当するから③から
a
にｘ軸をとる。この時水面までは２ｘ０あったとする。
N
イ）静止している時、秤の指示値はどれだけか。
ウ）この状態から接着がとれた。加速度 a を求めよ。
a=( ρ０ーρ )g/ ρ　この時、液体に働く力は図
浮力：ρ０Vg
N= ρ 0V0g ＋ρ 0Vg ＝ρ 0V0g ＋ρ Vg ＋ρ Va
よって kg 単位ではρ 0V0 ＋ρ V ＋ρ Va/g
また、水面直前に達するまでの秤の指示値を a で表せ。
重力：ρ 0V0g
この時の容器全体の重さはアと比べてどうなるか。
エ）接着が切れると初速なく物体には浮力が上向き、重力が下向きに働くだけ
エ）水面直前での速さを求めよ。
である。エネルギー保存側を浮力の位置エネルギーの基準を水面、
上向きの加速度があると重くなる。
位置エネルギーの基準を原点にとれば 1/2mv2 ＋ mgh ＝ρ０V ｇｈ　ｍ＝ρ V、ｈ＝ 2x ０だから v>0 から v ＝ 2 √ {( ρ 0 ーρ )g・x0/ ρ }
次にρ＞ρ０とし、質量ｍの薄い板をバネに着け、その上に物体を置く。
kx ０
N
オ）バネは自然の長さからどれだけ縮んでいるか。
オ ) の解をｘ０として、改めてこの位置を原点に鉛直上方にｘ軸をとる。
次に原点より２ｘ０だけ下方に押して放す。以後解答に x0 を用いてもよい。
カ）物体と板が離れる前での運動方程式を立て、
どういう運動をするのか示せ。
浮力：ρ０Vg オ）バネは縮むので物体には図のように力が働く
重力：ρ Vg
N
mg
物体 ) ρ０Vg ＋ N ＝ρ Vg ④　板）N=kx0 － mg
よって x0 ＝ ( ρ V ーρ 0V+m)g/k ④
カ）最速は振動の中心でつりあいの位置である原点。
キ）物体が最も速くなる位置と放してからその位置に達する時間とその速さを
板と物体を一体として運動方程式は (m+ ρ V)a=-(m+ ρ V)g+ ρ 0Vg-k(x-x0）
求めよ。また、２．５ｘ０だけ押して放した時の最速になるまでの時間を
④より (m+ ρ V)a=-kx となるのでω＝√ k/(m+ ρ V）で単振動する。
求　めよ。
キ )T を周期として求める時間はｔ＝ T/4 ＝π / ２・√ {(m+ ρ V)/ ｋ }
ク）物体がバネから離れる位置を求めよ。この位置は自然の長さより短いか長
この値は振幅に関係ない。最高速は A ωだからｖ＝２ｘ０√ {k/(m+ ρ V)}
いか答えよ。
a
a
☆公式・Point
運動方程式の原点は合力が０位置（振動の中心）を選ぶ。
バネから物体が離れる位置は通常は自然の長さ。（液体中は注意）
N 浮力：ρ０Vg ク）N=0 が離れる時だから加速度を共に a とおいて
自然の長さより上にｘの位置での運動方程式は
重力：ρ Vg
物体 ) ρ Va= ρ 0Vg －ρ Vg 板）ma= ｰ k(x-x0)-mg
kx
a=g( ρ - ρ )/ ρを板の式に代入し、
0
N
mg
kx=kx0 -mg ρ 0/ ρとなり自然の長さより
だけ短い。板の質量が０なら同じ
t0 mg
x=
tk
物理問題集
単振動
単振動
No-10
P1　【単振動と秤 4 先問の続き】
浮力抵抗あり
class
No.
Name
解答 No-10
P1　ア）抵抗はおもりが静止している釣合の時にははたらかない。
秤の上にバネ定数ｋの軽いバネと液体だけにして一度秤の目盛をリセットす
ばねの力が今度は下向きにはたらくので
る。その後質量ｍ、
体積 V のおもりをいれる。おもりは軽く液体中を上昇する。
kx0+mg= ρＶｇ　ｘ０＝ ( ρＶ -m) ｇ / ｘ０　①ただし ρ V> ｍ
液体に速さと反対向きに cv( 速さがｖ、c は定数）の抵抗が働く場合を考える。
接着していた場合のバネの伸びを x0 とする。この場合の釣合の位置を原点に
して上方にｘ軸をとる。原点より２ｘ０[m] だけおもりを下方に押して放す。
運動方程式は座標設定をして、
ρ Vg
正方向にｘだけずらして式を作る。
mg
kx0
イ）　位置ｘでの速さをｖとすると
この時を t=0 とする。秤は㎏計である。液体の深さは十分あるとする。
ma= ーｋ (x ＋ x0)+ ρ Vg － mg ーｃｖ
ア）ｘ 0 を求めよ。
イ）位置ｘでのおもりの運動方程式を示せ。できるだけ簡単にすること。
①より ma=-kx-cv ②　ｘ軸正
＊これは単振動ではなく減衰振動する。微分表記では
cv
ただし、この時はまだバネから離れていない。
この時の速さを v としてよい。また、この運動はどういう運動か。
ウ）さらにこの時の秤の目盛を求めよ。この時の加速度 a、質量ｍを用いよ。
おもりはバネがいっぱいに伸びる前に接続が切れ放たれた。
k(x0+x)
原点
・・
・
mx=-kx-cx　この解は物理数学を参照せよ。
ρ Vg
つり合いの位置
mg x
x0
自然の長さ
エ）バネから離れた後、
やがて液中を物体は一定の速さ（終端速度）で上昇する。
この終端速度ｖ ’’ を求めよ。またこの時の秤の目盛を求めよ。
オ）容器は暗幕で覆い、秤の目盛りのみを観察できる。バネの長さや、バネ定
ウ）この時の秤の指示値は液体からは浮力の反作用ρ Vg が下向きに、
数、
おもりの質量は事前に計測しておく。また、おもりには加速度センサー
液体抵抗の反作用 cv が上向きに働く、さらにバネが伸びていいるの
をつけ、加速度の値はリアルタイムに知ることができる。
で上向きに k(x+x₀) の力が働くこの合計を N として
さて、この実験でバネからおもりが離れる位置は検出できるか、できるな
らばその方法を記せ。
秤は㎏計だから　目盛＝ ma/g+m
エ）運動方程式は ma= ρ Vg － mg-cv　a=0 としてｖ ’’ ＝ ( ρ V-m)g/ ｃ
N= ρ Vg-cv-k(x+x₀）ところが①②式から N=m(a+g) ④となるが
この時は静止と同じで m
cv
オ）ｘ ’ でバネから離れた時の速さ v' とし、この瞬間バネの伸びはすぐには変
わらない。よっておもりの運動方程式は ma= ρ Vg － mg-cv' ⑤　しかし
秤を押す合力 N'= ρ Vg-cv'-k(x'+x₀) ⑥　⑤より N'=m(a+g)-k(x'+x₀)
となり、⑤の値より小さい。しかし、すぐにバネは自然の長さに戻るので
☆公式・Point
⑥式にかわり N'= ρ Vg-cv' になる。この時⑤より N'=m(a+g) に増える。
a は知り得るからこの変化を観測する時刻を記録すれば検出可能である。
物理問題集
単振動
単振動
No-11
◎☆ P1.　円運動と相対速度、重心　ひも連結物体　2015 東大
解答 No-11
class
No.
Name
＊【頻出】重心系の円運動（単振動）と等速 ( 等加速 ) の複合運動
☆ P1
Ⅰ　1)
図のように高さｈをとるとｈ＝ Lsin θだから
エネルギー保存則は
し、重力加速度の大きさをｇとする。
ｈ
小球 A,B の大きさ、ｈもの質量、および、
空気抵抗は無視できるものとする。
以下の設問に答えよ。
A
mg
T
F
だから
2) 最下点では重力と遠心力が働くから
①より最下点の速さは
②だから
遠心力の大きさは F ＝
最下点はさらに重力が働くから T=F+mg=3mg
3) 向心加速度をαとすると最下点ではｍα =F-mg=2mg α＝ 2g 鉛直上向
＊ AB を一体化してみれば重力しか働かないので重心の加速度は常に
Ⅱ　1)
下向きにｇ
2)　下向きを正として図右向きにｘ軸の正をとる。t=0 では重心、B ともに鉛
直方向の初速は０である。しかし、①より重心ははじめ AB の中点で半径
が半分だから
③　の水平方向の速度を持つので①より
A の相対速度 VGA=VA-VG=
水平方向　⑤
B の相対速度 VGB=
水平方向　⑥
3)　＊重心系から見ると無重力で連結されたおもりを回転させていることに等
しい、よって半径が半分になり、下向きに遠心力が mg 働く。
B に働く力は右図のようになるから加速度をβとすると運動方程式は
4)　B
mg
T
ｍβ =mg+T=2mg
だからβ＝ 2ℊ　鉛直下向きになる。　⑦
重心の加速度は常に下向きにｇだから A の加速度は上向きに g ⑧
5)　＊重心系では単純に等速円運動をする。
⑤より円運動の角速度はｖ＝ｒωだから
求める時間は周期の 1/4 だから t =
π
1 2π
=
4 ω
2
となる。B
L
2g
A
＊ x 方向には力が働かないので等速運動をする。
6)　ｘ方向の外力はないので運動量保存則より重心は③が成り立つ。
また、重心系を原点に右にｘ軸を改めてとると x=
よって A の運動はこの合成で VAX
L
= sin
2
2g
t
L
+
gL
2
物理問題集
単振動
単振動
No-12
◎ P1.【台上の物体】単振動・運動量　1999 東大改
class
No.
解答 No-12
P1 ア）遠心力ｍ ₁v2/R が働くので x 方向には
図１のように水平な机の上に台が置かれ、半径Ｒの半円のレールがついてい
m1a1=-NSin θ＋ｍ ₁v2/R・Sin θ①
る。机の上の１点Ｏを原点として水平にｘ軸をとり、レールの中心Ｃのｘ座標
向心方向にはつりあいの式
が原点に一致するように台を置いた。はじめ台は机に固定しておく。質量ｍ１
N=m₁gCos θ＋ｍ ₁v2/R ②エネルギー保存則より
の小球を水平にＬだけ離れたレール上のＱ点に一旦静止させる。その後小球は
1/2m1v2=m₁gR(1-Cos θ ₀）, ｍ ₁v2=2m₁gR(Cos θ ₀-Cos θ）
レール上を摩擦なく運動する。レールを含んだ台の質量をｍ２とする。
②に代入し、N=m₁g(3Cos θ ₀-2Cos θ）θが小さいなら N= ｍ ₁ ｇ③
中心から物体の位置への直線と鉛直のなす角をθ、重力加速度はｇとする。
①に②を代入し、m1a1=-m₁gCos θ Sin θ　図から Sin θ≒ x/R とすると

H


机
N θ

台

x
イ）ｘ方向の運動量は保存されるから
m1v1+m2v2=0 ④両辺をｔで微分すると m1a1+m2a2=0




単振動の式 m1a1=-m₁g/R・ｘ ₁　となる。　T ＝ 2 π√ (R/g)
H
θ
台
Name

台

机
図１

  
ウ）ｘ方向の重心も保存されるので

図２
ア）小球をθ ₀ の位置ｘ ₀ から静かに放したら単振動をした。
ｘ方向の加速度を a1、
接線速度 v としてθの位置ｘでの運動方程式を立てよ。
また、ＬはＲに比べて十分小さく cos θ≒１、sin θ≒θを用いてよい。　(m1L+0)/(m1+m2)=(m1x1+m2x2)(m1+m2) から　m1L=m1x₁+m2x₂
エ）水平方向の重心は動かないので両方の振動の中心である。
はじめの重心の位置に等しく　xG ＝ m1L/(m1+m2)
θ'
エネルギー保存則が成り立つので小球の水平方向の
最大変位は L である。エから振幅 A=L-xG ＝ m2L/(m1+m2) ⑤
Ｒ
みかけの重力はふりこの長さ ( 角度θ ) が変化するので使えない。
この場合の周期 T を R とｇで、垂直抗力 N をｍとｇで表せ。
台から観測するとふりこの長さ（角度θ）は変わらない。
次に図 1 の状態に戻してから台を机上で摩擦なく自由に動けるようにした。
オ）台からみた系を台形とする。慣性力 m1a2 が働く


xG
a2
g’
N θ
はじめの最下点の位置を P とする。同じように小球を放したところ単振動
台系でｘ方向の運動方程式を立てる。
x2、
小球と台のｘ方向の加速度を a1,a2 とする。
した。小球と点 P の位置を x1、
この時、遠心力は無視できるので
イ）a1 と a2 の間に成り立つ関係式を導け。
m₁a’ ＝－ Nsin θー m1a2 また台については
ウ）x1 と x2 の間に成り立つ関係式を導け。
m₂a2=NSin θ　③から a₂=m₁gSin θ /m₂　Sin θ≒ x’/R として
エ）小球の単振動の中心位置のｘ座標、小球の単振動の振幅を求めよ。
・x’
よって m₁a’ ＝ー gx’/R( ｍ ₁+m1m₁/m₂) ＝ -gm₁( ｍ ₁ ＋ｍ ₂)/( ｍ ₂R）
オ）台から観測した時の周期 T1 と机から観測した周期 T2 を求めよ。
これは単振動の式だから T1=2 π√ {Rm2/(m1+m2)g} となる。小球と台は
また最下点での小球の運動エネルギーを示し、このエネルギーが小球の振
動のエネルギーになるかどうか説明せよ。
m1a2
台


振幅と向きは異なるが同じ単振動なので T1 ＝ T2 である。
運動エネルギーは P1=m1v1,P2=m2v2 とすると E1=P12/2m1 となる。この時台
も最速で E2=P22/2m2 である。④より P12=P22 なので運動エネルギーは質量
☆公式・Point
に反比例しているから小物体のみで単振動していると考えると
エネルギー保存則ははじめのエネルギーが m1gL・tan θだから
最下点での小物体の運動エネルギーが m1gL・tan θ m2/(m1+m2) になる

物理問題集
単振動
No-13
◎ P1.【台上の物体】前問の続き　単振動・運動量　1999 東大改
単振動
class
No.
Name
解答 No-13
1/2・k₁A² ＝ m1gL・tan θ・m2/(m1+m2)
P1　小球だけの振動エネルギー
オ）　次にｘ＝ R の水平位置 H から物体を静かに放す。小物体は往復運動をした。
tan θ≒ L/R として⑤を代入し、k1=2m1g(m1+m2)/(Rm2)
台から小物体を観測する系を台系と呼び、台の x 方向の加速度を a2 とする。
よって周期 T= ２π√ (m1/k1)=2 π√ {Rm2/2(m1+m2)g} ＝ T1/ √ 2 となる。
カ）台を固定している時、物体のｘ軸上の位置はどういう運動をしているか。
したがって最下点を過ぎてから台と小球との間にエネルギーのやりとりが
運動方程式を示せ。
あり、小球は台からエネルギーを得ていることになる。
以後台の固定を外し、自由に摩擦なく動けるようにする。
キ）小物体の振幅を求めよ。また、小物体が最下点にきた時の位置を求めよ。
P1　等速円運動であればその射影が単振動になる。
ク）小物体が最下点に来た時の小物体、台の速さを求めよ。
カ）　等速ではない円運動になり単振動ではないが往復運動する。
ケ）下図のように小物体がθの位置に来た時、接線方向の速さをｖθとする。
物体のｘ方向の運動方程式を立てよ。
加速度 a1,a2, 垂直抗力 N, θ , ｖθを用いよ。
コ）小物体が最下点に来た時の全体の力学的エネルギーと運動量の総和を求め
よ。
キ）x 方向の重心の位置は小物体が反対側の最高点にいってもかわないので
この時の台の重心の位置を X とすると物体の位置は X-R だから重心の式から
m1R=m2X+m1(X-R) X=2m1R/(m1+m2) 小物体が R だけ振れる間に X/2 だけ
進むので小物体の振幅は R-X/2=m2R/(m1+m2)　④
最下点の位置は X/2 で重心に位置に等しいから m1R/(m1+m2)

H

ク）エネルギー保存則より m1gR=1/2m1v12+1/2m2v22 オ）から運動エネルギー
は質量に反比例して分配されるから
θ
台
机
小物体：1/2m1v12 ＝ m1gRm2/(m1+m2)



図１


台
2
：1/2m2v2 ＝ m1gRm1/(m1+m2)
v1=m₂ √ {2gR/(m1+m2)m2}
v2=m1 √ {2gR/(m1+m2)m2}　⑤
台から観測した時、角度がθになる。
ケ）台からみた加速度は a1-a2、この時小物体には慣性力 F、遠心力が働く。
①の式から F= ー m1a2 ＝ m1 ２a1/m2
小物体ｘ方向）m1(a1-a2)=(-N ＋ mv θ２/R)Sin θー m1a2
a2

＊θが大きいと単振動にはならない。

N θ
m1a2
台
☆公式・Point
机

円運動になるので a2 も一定ではない。
運動方程式から解くには大変である。


コ）力学的エネルギーの総和は変化していないので mgR
運動量の総和は⑤から m1v1-m2v2=0
物理問題集
単振動
単振動
No-14
◎ P1 バネ連結　運動量保存則・力積・エネルギー保存側
class
No.
Name
解答 No-14
P1. ア）運動方程式を考えることは力積の式をつくれば済む。
次のように質量ｍの物体 A にバネ定数ｋのバネがつけてある。これを同じ
物体に注目し力の図示をすると図のようになるからΔｔ秒後の速さをｖ ’ と
質量ｍの物体 B に初速ｖで衝突させた。バネの質量や摩擦は考えない。
すればΔＰ＝ＦΔｔより　Ｆ＝ｋｘであるから
ｖ
A
B
ア）接触してからの時間をΔｔ、この時
ｍ ( ｖ ’ ーｖ ) ＝ーｋΔｘ・Δｔ　a=(v'-v)/ Δｔだから
のバネの縮みをΔｘとして衝突する方
結局、運動方程式 ma=-k Δ x を得る。
の物体の運動方程式をたて、物体の加
これから a=-k Δｘ /m である。
速度 a を求めよ、この a は一定か。
これはｘに依存しているので一定ではない。
イ）衝突される側の力積の式をΔｔ秒後
イ）同様にしてはじめは静止しているから
の速さをｖ２’ として立てよ。
ｍ ( ｖ２’ －０) ＝ｋΔｘ・Δｔ　ｍｖ２’ ＝ｋΔｘ・Δｔ
ウ）Δｘの最大値を求めよ。
ウ）バネが最大に縮むのは物体の速さが等しい時だから運動量保存則から
エ）
接触している時の単振動の周期 T を求めよ。
ｍｖ＝２ｍｖ ’　ｖ ’ ＝ｖ /2 ①である。次にエネルギー保存側から
また、この結果をウの結果からも確かめよ。
1/2 ｍｖ２＝ 1/2 ｋΔｘ２＋ 1/2・２ｍ・ｖ ’ ２　①より
オ）その後物体 A,B は離れていく、図右向きを正として B が離れた直後の A,B
1/2 ｍｖ２＝ｋΔｘ２　Δｘ＝ｖ√ (m/2k)
の速度を求めよ。
エ）A,B の質量が等しいので重心系から見ればバネの中点は静止している。
カ）A と B が接触している時間を求めよ。(T を用いてよい）
（不動点という）
よってバネの長さが半分の単振動をすると考えられるので
バネ定数は 2 倍になる。よって T=2 π√ (m/2k)　ウからもΔ x=v Δ t から
◎ P2 バネ連結　質量が異なる場合
角速度をωとすると最大縮むまでの時間 t' はω t’= π /4 に注意し、ｖ max
次のように質量ｍの物体 A と質量 2m の物体 B をバネ定数ｋのバネで連結し、
滑らかな水平面で振動させた。この時の物体 A、B の周期をそれぞれ求めよ。
B
A
一般に質量ｍ、M の物体をバネ ( バネ定数ｋ )
で連結した時の周期と振幅はどうなるか
スターとで、sin( ω t’)=1 だから
x = v
m
=
2k
t
v cos(ωt)dt =
0
2π
v
よって T =
= 2π
ω
ω
m
2k
オ）弾性衝突をするので速度が入れ替わり、A が静止、B がｖになる。
カ）自然長から自然長までの時間は半周期だからｔ =T/2
P2　重心が浮動点になるので、ここでバネを分割する。
図のように A 側のバネは 2/3、B 側のバネは 1/3 なので
B バネ定数 k =3k/2, B 側は k =3K である。よって A,B の周期は
A
B
A
2
☆公式・Point
質量の等しい弾性衝突は速度の入れ替えがおきる
連結振動は不動点を考え、バネの長さを変化させ、単振動
1
ｘG
TA = 2π
2m
, TB = 2π
3k
2m
, 周期は同じ
3k
M'=mM/(m+M) を換算質量という、これを使うと周期は T= ２π√（M'/ ｋ）
で等しい。振幅は反対の比 M: ｍになる。
物理問題集
単振動
単振動
No-15
☆◎ P1.【バネの衝突と重心１】
同一質量の場合　1999 東大改
class
No.
解答 No-15
P1　ア）等速直線運動だからｔ＝ L/V[s]
図のように質量の無視できるバネ ( バネ定数ｋ ) に小さな質量ｍ [kg] の物体
イ）負の向きに注意して　ー２ｍ V[kgm/s]
A と B を両側につけて摩擦の無視できる面上を壁に向かって初速 V で滑らす。
ウ）エネルギー保存則から物体が２つあるので
自然の長さは L として全て衝突は弾性衝突であるとする。物体 B が壁から距
２・1/2・ｍ V ２＝ 1/2・ｋｘ２からｘ＝ｖ√ (2m/k)
離 L にある時刻を t=0 とする。壁を原点に左側にｘ軸をとる。
また、A と B とバネ全体の重心の位置を G とする。
V
Name
よってこの時のバネの長さは L- ｘだから L-V √ (2m/k)
外力がなければ重心速度は保存される。
エ）B が衝突直後は弾性衝突なので B の運動量は入れ替わり＋ｍ V になる。
L
L
しかしバネの長さにまだ変化が無いので A の運動量はーｍ V になる。
ｘ　A　G　B　０
よって衝突直後の全体の運動量は０である。以後再び B が壁に衝突す
ア）物体 B が壁にぶつかるまでの時間 t を求めよ。
よって０[kgm/s]
イ）物体 B が壁にぶつかる前の ABG の全体の運動量を求めよ。
バネ上に不動点をみつける。バネ定数はバネの長さに反比例
ウ）バネの長さが最小になった時のバネの長さを求めよ。
オ）A、B は単振動をそれぞれおこなう。全体の重心は B の運動量の入れ替え
エ）B が壁に衝突後から再び壁に衝突する間の ABG 全体の運動量を求めよ。
がおきたため、静止する。重心は中点なので単振動はバネの長さが半分に
オ）B が壁に衝突後、再び壁に衝突する間に A,B,G はどういう運動をするか。
なったと考えればバネ定数ｋは２ｋになる。単振動の周期 T は A,B 共に
カ）B が壁に衝突後、再び衝突するまでの時間 T を求めよ。
T=2 π√ (m/2k) である。
キ）B が 2 回目の衝突後、ABG 全体の運動量を求めよ。
カ）半周期だから t= π√ (m/2k)
ク）B が 2 回目の衝突後、A,B,G はどういう運動をするか。
キ）B が 2 回目の衝突直前の速さは単振動で戻って来たときの速さなので V
ケ）以上をふまえて t=0 から t=T/2+2t までのｘ－ｔグラフを A,B,G それぞれ
である。衝突直前では A は単振動により正の向きに V になっているので
について描け。
コ）AGB 全体の衝突はどういう衝突をしているか。
るまでの間は水平方向に力をうけないのでこの運動量は保存される。　衝突直後になると B の運動量は反転され正の向きに V になる。よって
全体では正の向きに　２ｍ V[kgm/s]
ク）A も B も同じ向きに同じ速さになりバネも自然の長さに戻ったのでその後
のバネの長さの変化はおきない。よって全て正の向きに V の等速運動。
☆公式・Point
複数のおもりのあるバネは重心が動かない場合、重心で分断する。
バネが半分になったときのバネ定数は 2 倍の２ｋ
ケ） x
2L
A
3L/2
G
でこの間重心 G は静止している。
L
B
2 回の衝突以後は位相が揃い、AB
B が回衝突する間だけ A と B は位
相にしてπずれた単振動をするの
t
ｔ
ｔ＋ T/2
間は L で一定になる。全て始めと
同じ等速で向きが入れ替わる。
コ）衝突している時間は運動エネルギーがバネのエネルギーに変わり、内部に
蓄えられるが、その後全て運動エネルギーになる弾性衝突をしている。
物理問題集
単振動
単振動
No-16
☆◎ P1.【バネの衝突と重心２】質量が異なる場合　1999 東大改
class
No.
Name
解答 No-16
P1　ア）等速直線運動だからｔ＝ L/V[s] イ）負の向きだから　ー 5 ｍ V[kgm/s]
図のように質量の無視できるバネ ( バネ定数ｋ ) に大きさの無視できる質量
ウ）B が衝突直後は弾性衝突なので B の運動量は入れ替わり＋ 4mV になる。
ｍ [kg] の物体 A と質量 4m[kg] の物体 B を両側につけて摩擦の無視できる面
しかしバネの長さにまだ変化が無いので A の運動量はーｍ V になる。
上を壁に向かって初速 V で滑らす。自然の長さは L として全て衝突は弾性衝
よって衝突後の全体の運動量は 3mV である。３ｍ V[kgm/s]　重心速度は
突であるとする。壁を原点に左側にｘ軸をとし、B が衝突前 L の位置の時刻を
正の向きに 3V/5[m/s] 以後衝突がないので重心の速度は保存される。
t=0 とする。また、A と B とバネ全体の重心の位置を G として次に答えよ。
エ）重心速度が残るのでエネルギー保存則からイから 1/2・5mV ２＝ 1/2・kx ２
+1/2・5m(3V/5)2 x=4V √ (m/5k) 全体で L-x=L/2 だから L=8V √ (m/5k) ①
V
オ）換算質量の重心系で同じ単振動をおこなう。　全体の重心は質量が 1:4 な
L
L
ｘ　A　G　B　０
ので B から左に L/5 のところが重心で、ここが振動の中心となる。バネ定数
は長さに反比例するから A 側が kA=5k/4、B 側が kB=5k である。よって公式
と①から周期は等しく TA=TB ＝ 4 π√ (m/5k)= π L/2V[s]
ア）物体 B が壁にぶつかるまでの時間 t を求めよ。
A については重心速度の右に 3V/5 で運動している系から見て速さの最大が
イ）物体 B が壁にぶつかる前の ABG の全体の運動量を求めよ。
V+3V/5=8V/5 だからエネルギー保存則から１/2m(8V/5)2=1/2(5k/4)x2 ②
ウ）B が壁に衝突後の ABG 全体の運動量と重心の速度を求めよ。
x2 ＝ 4m・64V2/(25・5k) ①より x=XA=16V/5・√ (m/5k)=2L/5[m]
エ）
V を調整したらバネの長さが最小になった時のバネの長さが L/2 になった。
B の最大速度は V だから重心系からは V-3V/5=2V/5 となるのでエネルギー
L を V、ｍ、ｋで表せ。
オ）衝突後、A,B が単振動したとして周期 TA、TB と振幅 XA、XB 求めよ。
L を用いて表せ。
カ）t=L/V+ π L/V[s] 後の A の位置を求めよ。
L を用いて有効数字 2 桁で答えよ。
保存則は 2m(2V/5)2=1/2(5k)x2 ③
x=XB=4V/5・√ (m/5k)=L/10[m]
カ）オより衝突後 2 周期たっている。重心がｘ =3V/5・π L/V+L/5 にあるの
で A はこれよりさらに 4L/5 進んでいる。よって X=3/5・π L ＋ L=2.88L
有効数字 2 桁で 2.9L になる。
キ）全体では衝突後の速さが 3V/5
x キ）振幅は誇張してある。
になっているので非弾性衝突をし
理由と共に答えよ。
ている。運動エネルギーの減少分 6L/5
である 8/5mV2 は②③からバネの L
* ク）衝突後 A,B の位置を xA,xB とする。
それぞれの運動方程式を立てて、バネ全体の周期 T を求めよ。
エネルギーの和 1/2(kAXA2+kBXB2)
に等しく内部に蓄えられた。
これから一般的に A の質量が m1、B が m2 の時の周期 T を求めよ。
ク）衝突後 A,B の運動方程式は
・・
☆公式・Point 換算質量 (m1m2/(m1+m2)) で単振動
複数のおもりのあるバネは重心が動かない場合、重心で分断する。
バネが半分になったときのバネ定数は 2 倍の２ｋ
A）maA=mxA=-k(xA-xB-L)
・・
B) 4maB=4mxB=k(xA-xB-L)
・・
・・
・・
xA-xB-L=x とすると x=xA-xB
・・
・・
・・
4A-B より 4m(xA-xB)=4mx=-5kx
G
2L
キ）この衝突で ABG 全体はどういう衝突をしているか、エネルギーを示して
A,B,G それぞれについて x-t グラフを t=L/V+ π L/V[s] 後まで描け。
A
０
B
L/5
L/V
t
G の傾きは 3V/5。A は自然の長さから減
少するので -XASin ω t,　B は XBSin ω t の
グラフを G だけ傾けたものになる。
⑤は単振動を表し T=4 π√ (m/5k)[s]
①よりオの結果と一致しπ L/2V[s]
一般には２π√ {m1m2/（m1+m2）k}
物理問題集
単振動
単振動
No-17
☆◎ P1.【バネの衝突と重心３】バネ定数が異なる場合　1999 東大改
class
No.
解答 No-17
P1　ア）等速直線運動だからｔ＝ 2L/V[s]
図のように質量の無視できるバネ定数 kA、自然の長さ L とバネ定数 kB 自然
イ）負の向きに注意して　ー 2 ｍ V[kgm/s]
の長さ L のバネを連結し、大きさの無視できる質量ｍ [kg] の物体 A と物体 B
ウ）直列の合成だから K ＝ kAkB/(kA+kB) [N/m]
を両側につけて摩擦の無視できる面上を壁に向かって初速 V で滑らす。全て
エ）エネルギー保存則から 1/2・(m+m)V ２＝ 1/2・K ｘ２からｘ＝ V √ (2m/K)
衝突は弾性衝突であるとする。壁を原点に左側にｘ軸をとし、B が衝突前 2L
Name
よってこの時のバネの長さは 2L- ｘだから 2L-V √ (2m/K) ＝ L とすると
の位置の時刻を t=0 とする。また、A と B とバネ全体の衝突前の重心の位置を
L=V √ (2m/K)[m] ①　直列だから力は AB 同じであるから F=kx から縮み
G とし、
ここに目印 C をつける。はじめ全体 AB の長さは２L として次に答えよ。
はｋに反比例する①から xA=LkB/(kA+kB)=LK/kA,xB=LkA/(kA+kB)=LK/kB ②
A は L(1-kB(kA+kB))=LkA/(kA+kB)=LK/kB B は L(1-kA(kA+kB))=LkB/(kA+kB)=LK/kA
V
2L
ｘ A　C
オ）B が衝突直後は弾性衝突なので B の運動量は入れ替わり＋ mV になる。
2L
B　しかしバネの長さにまだ変化が無いので A の運動量はーｍ V になる。
０
よって次に衝突するまでは全体の運動量は０[kgm/s]、重心速度は０[m/s]
カ）②からのびはｋに反比例するので kA/(kA+kB)=K/kB だから
・・
・・
・・
・・
ア）物体 B が壁にぶつかるまでの時間 t を求めよ。
A）maA=mxA=-kA(xA-xB-2L) K/kA ③ A-B より m(xA-xB)=mx=-2Kx ⑤
イ）物体 B が壁にぶつかる前の ABG の全体の運動量を求めよ。
B) maB=mxB=kB(xA-xB-2L)K/kB　④ ⑤は単振動を表し T= ２π√ (m/ ２K)[s]
ウ）バネ A とバネ B の合成バネ定数 K を求めよ。以後この K を用いてよい。
xA-xB-2L=x とすると x=xA-xB
・・
・・
・・
・・
①より T= π L/V[s]
エ）V を調整したらバネの長さが最小になった時のバネの長さがちょうど L
キ）１回目の衝突後重心の位置は変化しないが C の位置は変化する。　になった。L を V、ｍ、K で表せ。また、この時の A と B それぞれの長さ
次の衝突までは A,B が別の単振動をしても重心の位置 xG=L が動かない。
を求めよ。(L,kA,kB を用いよ )
重心の公式から xG=L=(mxA+mxB)/2m=1/2・(xA+xB) よって xB=2L-xA ⑥
・・
オ）B が壁に 1 回目衝突後の ABG 全体の運動量と重心の速度を求めよ。
カ）B が１回目の衝突後バネはどういう運動をするか A の位置を xA,B の位置
を xB としてそれぞれに運動方程式を立てて示せ。全体の周期 T を求めよ。
③より mxA=-K(xA-xB-2L)=-K(2xA-4L)=-2K(xA-2L) よって 2L を中心に単振動
・・
④より mxB=K(xA-xB-2L)=-K(2xB) よって原点を中心に単振動をする。
周期は共に T に等しく TA=TB=T である。振幅は②より K を用いて
以後この T を用いてよい。
XA=LK/kA, XB=LK/kB　⑥となる。　キ）1 回目の衝突後、A,B が単振動したとして周期 TA、TB と振幅 XA、XB 求めよ。
ク）kA>kB だから A の振幅が B より小さいので C も変化する。重心 G は
L,V,K,kA,kB を用いて答えること。
変化しない。
ク）kA>kB とする。t=4L/V+T/2[s] 後までの A,B,C の x-t グラフを描け。
ケ）衝突中は運動エネルギーがバネのエネルギーに全て変化し、その後
ケ）この衝突全体ではどういう衝突をしているか。
☆公式・Point
全て運動エネルギーになる弾性衝突をしている。
x
L
A
4L
A
C
3L
2L/V ＋ T/2
C
時、A 側の縮が小さいので C 点は中心
t
2L/V
B
最大に縮んだ状態が上図である。この
B
2L
L
より右にずれる。
左図のようにこの時、
C と B の差は最小になる。
物理問題集
単振動
単振動
No-18
P1　力学　単振動　表読み取り　2014　東大　解答 No-18
class
No.
P1 1)　斜面方向のつりあいの式から　図に示すように，水平から角度。をなすなめらかな斜面の下端に，ばね定数
ｋ x₀ ＝ mgSin θ　x₀ ＝ mgSin θ / ｋ
ｋのばねの一端が固定されている。斜面は点 A で水平面と交わっており、ば
2) 単振動する場合、つり合いの位置が振動の中心になるから
ねの他端は自然長のとき点 A の位置にあるものとする。図示すように，質量
x>2X₀ であれば水平面に出る。　よってｘ＞ 2mgSin θ / ｋ
m の小球をばねに押し付け，斜面に沿って距離 x だけばねを縮めてから静か
3) 非常によく出る単振動の周期をつかう基本。時間は回転に対応させる。
に手を離す。その後の小球の運動について，以下の設問に答えよ。重力加速度
下図のようにバネを正面からとらえると 3x₀ だけ縮めた場合は単振動を回転
の大きさを g とする。また，小球の大きさとばねの質量は無視してよい。
に対応させると振幅の半分だけ上がる (30°) に対応し、全部で 120°分だけ
(1) x = xo のとき，手を離しでも小球は静止したままであった。
動く。1 周 360°
で周期 T だから t=T/3 である。
自然の長さ
単振動の式から周期 T として
このときのＸ ₀ を求めよ。
(2) 手を離したのち，小球が斜面から飛び出し、
水平面に投げ出されるための
2π
T=2 π√ m/k よって t=T/3= 3
Name
つりあい
m
k
A
x0
120
2x0
x の条件を .k. m. g. θを用いて表せ。
(3) x = 3 xo のとき，小球が動き出してから
点 A に達するまでの時間を求めよ。
4) 最下点を位置エネルギーの基準にとり、エネルギー保存則を立てると
次に .(2) の条件が成立し小球が投げ出されたあとの運動を考える。
1/2kx2 ＝ 1/2mv2+mgxSin θ　v=
小球は点 A から速さ U で投げ出されたのち，水平距離 S だけ離れたところ
かたや水平となす角θ初速ｖで
に落下する。点 A での速さが一定の場合はθ＝ 45°のとき落下までの水平
斜方投射した場合の最高点までの時間ｔは v=v0sin θ -gt=0 より　①となる。
k 2
x − 2gx sin θ
m
距離が最大になることが知られているが，今回の場合はθによってｖが変わ
t=vsin θ /g だから水平到達距離 S=vcos θ・2t ＝ v2sin(2 θ )/g ②　①より
るため s が最大となる条件は異なる可能性がある。以下の設問に答えよ。
v は sin θが大きくなると小さくなるのでθは 45°
より小さい。
なお，必要であれば，表 1 の三角関数表を計算に利用してよい。
(4) v を x. k. m. g. θを用いて表し x が一定のとき s が最大となるθは 45°より
5）①，②より S =
k
x sin 2θ
x − 2g sin θ
③　m
g
大きいか小さいか答えよ。
(5) s を x. k. m. g. θを用いて表せ。
6) x=2mg/k を③に代入すると S=4mg sin2 θ (1-sin θ )/k だから
(6) x =2mg/k のとき，表に示した
f( θ )=sin2 θ (1-sin θ）の 10°≦θ≦ 45°での最大値を表の範囲から探せば
角度の　中から s が最も大きく
よい。この範囲で最大値は 1 つしかないから変数変換し、微分を用いても
なるθを選んで答えよ。
よいが、データが少ないので代入して確かめたほうが早い。
(7) x を大きくしていくと s が最大
特に表が与えられている場合は代入法が有効である。　となるθは何度に近づくか。表に
例えばθ =20°
：f(20)=0.64 × (1-0.34)=0.42, θ =25°で f(25)=0.45, θ =30°
示した角度の中から選んで答えよ。
で f(30)=0.44 だから 25°
の場合である。
θ(°）
sinθ
cosθ
10 15 20 25 30 35 40 45
50 55 60 65 70
75 80
0.17 0.26 0.34 0.42 0.50 0.57 0.64 0.71 0.77 0.82 0.87 0.91 0.94 0.97 0.98
0.98 0.97 0.94 0.91 0.87 0.82 0.77 0.71 0.64 0.57 0.50 0.42 0.34 0.26 0.17
7) ③より x を大きくすれば（）の中はθに影響されなくなる。
よって S ≒ kx2 sin2 θ /mg となるのでθ＝ 45°
である。
物理問題集
単振動
単振動
No-19
☆◎ P1. 地球トンネル単振動と運動量保存則、万有引力　2013　京大改
class
No.
Name
解答 No-19
P1　物体の位置より内側の質量が中心に集中したと考える。
地球を半径 R の一様な密度で質量 M の球とする。万有引力定数は G として、
ア）半径 R の内、物体は位置ｒにある。この半径ｒで球を考えた時の体積は
自転の影響や、摩擦、空気抵抗は無視してよい。また、地球内にある物体との
体積比が半径の３乗に比例するから密度が一様であれば質量の比も半径の３
引力は物体より中心に近い部分の質量のみが地球の中心にあると考えてよい。
乗に比例する。よって半径ｒの球の質量 M'=M × (r/R)3 である。
ⅰ）図 1 のように地球の中心 O を通る直線状のトンネルを考える。トンネル
これが原点にあるとして万有引力の公式から F=GmM'/r2=GmMr/R3 ①
内の任意の１点 P(OP= ｒ ) に質量ｍの物体がある場合を考える。
・
・
イ）単振動であることを示すには a=x=- ω ² ｘを示せばよい。原点から外方向
ア）点 P でこの物体 A に働く重力を求めよ。
に x 軸をとると、①より位置ｘでは ma=-Gmx/R³　a=-GM/R³・x
イ）この後物体 A はどういう運動をするか、周期を求めること。
よってこれはω ² ＝ GM/R³ で単振動する。ω = √ (GM/R³) ②だから
ウ）地表ｒ＝ R から自由落下して戻る時間 T と地表で人工衛星になる速度
周期 T= ２π / ω＝２π√ (R³/GM)　地表から放しても同じ周期である。
で地球を一周してくる時間 T’ とどちらが大きいか。
ウ）遠心力とのつり合いから v= √ GM/R T'=2 π R/v=2 π√ (R³/GM) で等しい。
エ）万有引力を含むエネルギー保存則から原点の地球の質量 M があるとして、
R
R
ｒ
O
M
O
M
ー GM μ /(R+h)=1/2・μ V ０² ー GM μ /R　V ０² ＝２GM/R －２GM/(R+h)
ｍ
ｈ
B
μ
A
V ０>0 より V0 ＝
2GM
1 ③
1
−
R R+h
オ）万有引力は原点では使えない→地球内部で単振動の式を利用する。
トンネルの中に入れば単振動するから単振動のエネルギー保存則から
図１
図２
次に図２のように高さｈのところに質量μの物体 A を静かに置き、原点に質
量 B の物体を置く。その後、A は B と弾性衝突をして、B は地上に達した。
エ）A がトンネルの入る瞬間の速さ V ０を求めよ。
オ）A の衝突直前の速さ VA を求めよ。
カ）A、B の衝突直後の速さ V'A、V’B を求めよ。
キ）h=0 とした場合、B が無限遠方まで飛び去るためのμ /m の値を求めよ。
1/2・kx² ＝ 1/2・μω ²x² だから 1/2・μ V₀² ＋ 1/2・μω ²R²=1/2・μ VA²
1
GM
1
−
+ 3 R2
②、③より VA² ＝ V₀² ＋ω ²R² ＝ 2GM
R R+h
R
V'B
V'A
VB=0
2
3
VA>0 より VA= GM
−
R R+h
カ）運動量保存則からμ VA ＝μ VA’ ＋ｍ VB’　跳ね返りの式から 1 = −
VA
VA − VB
VA
よって V’A ＝ V'B － VA　V’B ＝ VA+V'A　を代入し、エ）の結果から
|µ − m|
V’A ＝
µ+m
2
2
3
2µ
3
V'
=
④
−
−
GM
GM
B
R R+h
µ+m
R R+h
キ）無限遠に達する時は運動エネルギーと位置エネルギーの和が０になる時
地表に達した時の速さを VB とすると単振動のエネルギー保存則から
☆公式・Point
1/2m ω ²R²+1/2mVB²=1/2mVB’² ②④から 1/2mVB²=mGM/(2R){(2u/(u+m))2-1} ⑤
万有引力のエネルギーは原点では使えない。
（０で割ることになる）
無限遠と地表でエネルギー保存則は 1/2mVB²-GmM/R= ０よって
バネのエネルギー U=1/2・kx² ＝ 1/2・ｍω ²x² で置き換わる。ｋ＝ m ω ²
mGM/(2R){(2u/(u+m))2-3}=0 (2u/(u+m))2=3 より u/m=3+2 √３⑤からこの比が
大きいほど B の運動エネルギーが大きくなる。よって u/m ≧３+ ２√３
物理問題集
単振動
No-20
☆◎ P1.【前問の続き】
次に図 3 のように地球の中心から R/2 だけ離れたところを通るトンネルを
単振動
class
No.
Name
解答 No-20
ア）OP を水平にしてみれば点 P の重力は前問のアと同じだから①より
F=GmMr/R3　これのｘ方向への成分を出せばよい。図から O'PO をθとして
掘る。中心からの距離が r'、トンネルの中心 O' からｘだけ離れた位置 P に質
Cos θ＝ x/r だから求める力は FCos θ＝ GmMx/R3 ⑤
量ｍの質点を置いた。先と同様に空気抵抗や摩擦は考えない。
イ）点 P でｘ方向の運動方程式は外向きをｘ軸の正として⑤より
ア）P 点にある質点に働く重力の x 方向の大きさを求
O’ｘ
R/2
O
R
r
P
R/2 m
R
O
M
図４
この場合半周期を求めればよい。T/2= π / ω＝π√ (R³/GM)
イ）地表で静止した状態から質点が反対方向の地表に
原点から離れれば位置エネルギーを用いた保存則が使える。
出るまでの時間を求めよ。
ウ）衝突直前の A の速さ VA はバネのエネルギー保存則より地表で x²=R²-R²/4
だから 1/2 μ VA² ＝ 1/2 μω ²(R² ｰ R²/4)　VA²= ω ²(R² ｰ R²/4)=3GM/(4R) ⑦
き、トンネルの中心 O' に静止している質量ｍの質点
運動量保存則と跳ね返りの式は前問のオと同じ。衝突直後の B の速さは　B に弾性衝突させる。
VB=2 μ VA/(m+ μ )。バネとみなしたエネルギー保存則から⑦より条件は
ウ）衝突後、質点 B が反対側の地表に達するための
単振動のエネルギーより運動エネルギーが大きければいいので
A
μの条件を求めよ。
1/2・m ω ²(R² ｰ R²/4) ≦ 1/2・mVB²　１≦ 4 μ ²/(m+ μ )²・１　μ≧ｍ
μ
エ）質点 B が地表から飛び出し、再び地表に戻って
エ）万有引力による位置エネルギーが運動エネルギーより大きくなればよい
くるためのμの条件を求めよ。
地表での B の速さを VB' とする。エネルギー保存則から
オ）質点 B が地表から飛び出す時の運動エネルギー
1/2mVB’²=1/2mVB² ー 1/2m ω ²(R² ｰ R²/4)=1/2m(4 μ ²/(m+ μ )²-1)3GM/(4R)
が GmM/R の半分になる場合を考える。
再び戻るためには GmM/R ≧ 1/2m・VB’²=1/2m(4 μ ²/(m+ μ )²-1)3GM/(4R)
図3
O'
めよ。
次に図４のように地表に質量μの質点 A を静かに置
M
B
ma=-GmM/R3・x だから前問と変わらずω = √ (GM/R³) ⑥だから
この時質点 B はどういう軌道を描いているか。
よって８/3 ＞ 4 μ ²/(m+ μ )² －１　12 μ ²=11(m+ μ )² を解き
また、質点 B が最も地球の中心 O から離れた地
μ ² ｰ 22m μー 11m²=0　μ＞０より　μ＜ (11 ＋ 2 √ 33)m
点での O からの距離を求めよ。
オ）改めて地表での速さ VB'=V、
求める距離をｒ、
その地点での速さを V' とする。
エネルギー保存則は 1/2mV2-GmM/R=1/2mV'2-GmM/r=-GmM/(2R) ⑧
面積速度が一定だから VRSin θ＝ V'r　図から Sin θ＝ 1/2 、V'=VR/(2r) ⑨
題意から V² ＝ GM/R ⑨を 2 乗して V'²=R²/4r²・V² ＝ GMR/4r²　⑧に代入し、
GMR/8r²-GM/r+GM/2R=0 R/8r²-1/r+1/2R=0 R²-8rR+4r²=0
r>0 より　r=(1+ √ 5/2）R
V
θ
R
R/2
☆公式・Point
天体のエネルギー保存則は 1/2・ｍ V² ー GmM/R 運動 E が勝てば双曲線
位置 E が勝てば楕円軌道。楕円は面積速度一定の法則に従う。
面積速度は外積　1/2・ｒ× V ＝ 1/2・ｒ ’ × V'
O'
ｒ
V’
図のような楕円軌道になる。
もし、運動エネルギーが万有引力の
エネルギーより大きければ
双曲線軌道になり、
地球に戻らない。
物理問題集
単振動
単振動
No-21
◎☆ P1 単振動と連結バネ物体の重心　2014　京大
解答 No-21
class
No.
Name
P1 内力のみならば運動量は保存され、重心は動かない。全体が等速で運動し
次の文章を読んで、[
ている時は重心系で考える。
] に適した式か数値を入れよ。また { } には適切なも
ものを選びその番号を答えよ。また，問 1，問 2 では，指示にしたがって，解
ア ) バネから受ける向きはどちらも同じ向きであることに注意し、
ma=2kl
答せよ。ここで，円照率はπとする。
イ）台車に注目すると共に反対向きにバネから力を受けるので　Ma=-2kl
図 1 のように質量 M の台車の上に大きさの無視できる質量ｍの小球が，2 本
kl
のばねによって取り付けられている。この 2 本のばねは，ばね定数ｋと自然
長が等しく、質量は無視できる。はじめ，2 本のばねは自然長の状態で、小球
-kl
-kl
kl
は台車の中央にある。台車は摩接なしに水平面上を動くことができ，台車と小
球の間の摩擦も常に無視できるものとする。x 軸は右方向を正とし、台車も小
ウエ）小球の速さｖ、台車の速さ V としてエネルギー保存則より
球も x 軸に平行な方向へのみ動き，ばねは常に x 軸に平行であるものとする。
(2k)x2 =
1
2
(1) はじめに，台車を動かさないように押さえながら，図 2 のように小球を台
車の中央からｌ ( エル ) だけ左方へ引っ張ったところで，小球と台車を同時
に離した。離した直後の小球の加速度は，2 本のばねから x 軸の正の方向へ
1 2 1
mv + MV 2 また運動量保存則から 0=mv+MV
2
2
が成り立つ。これから４kl²=m(-MV/m)²+MV²　V²(M+M²/m)=4kl²
よって、ウ、エは v =
2kM
,V =
m(m + M)
2km
M(m + M)
それぞれ kl の力を受けるので [ ア ] で与えられ、台車の加速度は２本のばね
オカ）式を立てる時は原則正の向きで立てる。問題によっては問題文の文字そ
からｘ軸の負の方向にそれぞれ kl の力を受けるため [ イ ] で与えられる。小
のものに負の符号を含む場合があるので問題をよく読むこと。
球が台車の中央を通過する時の小球の速さは [ ウ ]、台車の速さは [ エ ] となる。
台車には図のよに壁から右に N の垂直抗力を受ける
図１
図２
図３
ただし、d は負の値であることに注意する
Ma1=N-2k(-d)=N+2kd　オ）
-kl(-d)
-k(-d)
小球の運動方程式はイの図とかわりがないので
N
ma=2k(-d)=-2kd カ）
キ）単振動の公式は初期条件で決まる。原点から負に変位は -Sin
(2) 次に同じ台車と小球について，図 3 のように壁に台車の左端が接した状態
t=0 を原点に選び、負に変位していく。振幅 A が求まれば単振動の式から変
( 台車は壁に固定していな状態 ) にして，時刻 t= 0 のときに小球に壁の方向
位は簡単に求まる。振幅 A については単振動の最速 V=A ω、また、公式
へ初速 v0 を与えた。このとき，小球と台車の中心，および台車と小球を合
わせた系の重心は x=0 にあり、小球は台車の端までは届かないものとする。
ω＝√ (k/m) からバネ定数は 2k であることに注意し A=v0 √ (m/2k) よって
 
 2k 
m
sin 
t
2k
m 
その後の台車と小球の動きを考える。台車はばねから壁の方向に力を受ける
ｄ＝ −v0
のでしばらく壁から離れない。その間の台車、小球の加速度を a1、a2 とし台
車が壁から受ける垂直抗力を N、小球の台車中央からの変位をｄとすると台車
ク）単振動の時間の問題は周期を基準にする。周期は振幅に依存しない。
の運動方程式は Ma1=[ オ ]、小球の運動方程式は ma2=[ カ ] となる。台車が壁
再び原点に戻り、自然の長さになると台車は壁から離れる。これは単振動の
に接している間の小球の変位 d は小球に初速を与えてからの経過時間 t および
丁度半周期である。バネ定数は 2k であることに注意して
v0,k,m を用いて d =[ キ ] となる。台車が壁から離れるまでの時間は [ ク ] となる。
単振動の公式から周期 T=2 π√ (m/2k)、よって t= π√ (m/2k)
物理問題集
単振動
単振動
No-22
◎☆ P1 前問の続き
class
Name
解答 No-22
・・ No.
P1 単振動の式は a=- ω ² ｘ　（ｘ＝－ω ² ｘ）を示す。
次に台車が壁から離れたあとの，台車と小球の動きを考える。
問１) 物体の位置をｘ、台車の重心の位置を X とする。ただし、ｘ座標は床
問 1. 台車が壁から離れたあと台車からみた小球の動きは単振動となることを
に固定する。台車運動方程式は　Ma 台 =2k(x-X) a 台 =2k(x-X) /M ①
導出の過程と共に示せ。また，そのときの角張動数ωを求めよ。
小球の運動方程式は ma 球 =-2k(x-X) ②
台車と小球を合わせた系の重心は { ケ : ①静止②等速直線運動　②単振動 }
台から見た小球の運動方程式は m(a 台球）=m(a 球 -a 台 ) だから①、②より
しているので，台車が壁から離れてからの経過時間を t₁ とすると、この系
の重心の位置は [ コ ] となる。これらから x 座標での台車の中心の位置は　t₁、v0、ω、m、M を用いると [ サ ] となり、台車の速度の最大値は [ シ ]、
最小値は [ ス ] となる。
m(a 台球）=-2k(x-X)-2mk(x-X) /M=-2k(x-X)(1+m/M) x-X=x' とすると
a 台球＝ -2k(M+m)/mM・x’　これは a=- ω ²x という単振動の式に対応し、
ω＝
X
2k(M + m)
③である。
mM
M
m
A
A
M
m
問２．以下の図４を解答欄に書き写し、時刻 t= 0 で、小球に初速を与えたあ
ケ）系に外力は働かないので②の
との，台車と小球を合わせた系の重心の x 座標の位置を破線で、台車の中心
等速直線運動をする。
の x 産標の位置を実線で，グラフを描け。
コ）運動量保存則から重心の速度ｖ G は mv₀ ＝ (m+M)vG vG=mv₀/(m+M) ④
また、台車が壁から離れたあと最初に台車の速度が最大値をとる点 A をグ
ラフ中に示し，その x 座標および時刻 t の式を記せ。
X G
よってこの速さで正の向きに等速運動をするから xG=mv₀t₁/(m+M) ⑤
サシス）重心から見れば台は単振動する。この振幅を A としてこれを求める
ことを考える。そのためにまずバネの最大縮 X を求める。(X=A ではない )
ｘ
台からみた小球の最速が v0 であるから単振動の最速が V= ｒωとなる公式を
利用し、v₀=X ωから X=v₀/ ωである。エネルギー保存則を立てても求まる。
バネが最も縮んだ時、小球は台車の上で静止し、速度は重心速度 vG である。
ｔ
０
図４
1
2
④から mv20 =
mv 2
1
1
0
(2k)X 2 + (m + M)
③から X=v₀/ ω⑤となる。
2
2
m+M
次に重心系から見た台車の振幅 A を求めると距離 X の中で上図のように
台車と重心の距離すなわち振幅は A=X・ｍ /(M+m) ⑥であることがわかる。
重心系からみれば台車は原点から負方向に振動し始めるから台車の位置は⑤
を加えて x =
mv0
1
t1 − sin(ωt1 ) ( サ ) また、重心系から見た最速は A
m+M
ω
ωだから④⑤⑥から最速は vmax=2vG=2mv₀/(m+M)( シ )　最小値は０( ス )
問２）⑤の直線を基準にー ASin ωｔの振動をする。
前問から最大で 2vG、最小で 0 の速さになる。
☆公式・Point
外力が働かないと重心速度は一定になる。
重心系から見れば重心を中心に振動する。
最初に最大になるの直線を横切るところでクの時
間＋半周期だから t’= π√ (m/2k)+ π / ωこの時
０
⑤から x’= π mv₀/( ω (m+M)) になる。
ｘ
ｘ’
ｔ
t’

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