制御数学6 Basic Mathematics for Control Engineers 信号のノルム Norm of signals 第6回信号のノルム 6.1 ノルムユークリッド距離 Euclidean distance （𝑥1 − 𝑥2 )2 + （𝑦1 − 𝑦2 )2 ユークリッドノルム Euclidean norm 𝒙 = 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 𝒙 ノルム 𝑇 Euclid = 𝑥12 + 𝑥22 + ⋯ + 𝑥𝑛2 𝑉をベクトル空間とし，𝑉から正の実数値への写像を𝜙とする．このとき，次の三つの条件を満たすなら𝜙は𝑉上のノルムと呼ばれる．（１）非不性 𝜙 𝜐 ≧ 0, （２）同次性 𝜙 𝑎𝜐 = 𝑎 𝜙 𝜐 （３）三角不等式 𝜙 𝜐+𝜔 ≦𝜙 𝜐 +𝜙 𝜔 , 𝜐∈𝑉 𝜐, 𝜔 ∈ 𝑉 第6回信号のノルム 6.2 持続的な信号の大きさ例）電気回路の交流電圧の大きさ交流電圧 𝑒 𝑡 = 𝐸𝑚 sin(2𝜋𝑓𝑡 + 𝜙) 𝐸𝑚 ：最大振幅 SW DC: 𝐸𝑑 AC: 𝑒(𝑡) 𝑅 𝜙：位相直流電流の場合に抵抗で消費される電力 𝐸𝑑2 𝑃𝑑 = 𝑅 交流電流の場合に抵抗で消費される電力 𝑒2 𝑝= 瞬時値 𝑅 １周期の平均値 1 𝑃= 𝑇 𝑇 0 𝑒2 d𝑡 𝑅 第6回信号のノルム 6.2 持続的な信号の大きさ交流電圧𝑒(𝑡)によって抵抗𝑅で消費される電力と等しくなるような直流電圧の大きさを，交流電圧の大きさ𝐸とする． SW 𝐸2 1 = 𝑅 𝑇 𝑇 0 𝑒2 d𝑡 𝑅 DC: 𝐸𝑑 交流電圧の大きさ 𝐸= 1 𝑇 𝑇 𝑒 2 (𝑡)d𝑡 0 𝐸：実効値（efficient value） AC: 𝑒(𝑡) 𝑅 第6回信号のノルム 6.2 持続的な信号の大きさ交流電源の実効値を計算してみよう 𝑒 𝑡 = 𝐸𝑚 sin 2𝜋𝑓𝑡 𝐸 = rms = 2 𝐸𝑚 2𝜋 = 𝐸𝑚 2𝜋 0 𝜃 = 2𝜋𝑓𝑡 sin2 𝜃d𝜃 = 𝐸𝑚 1 sin 2𝜃 𝜃− 4𝜋 2 2𝜋 = 0 家庭用電源100[V]は実効値 1 4𝜋 1 2 2𝜋 (1 − cos 2𝜃)d𝜃 0 𝐸𝑚 ≈ 0.707𝐸𝑚 最大振幅は141[V] 第6回信号のノルム 6.2 持続的な信号の大きさ交流電圧の平均値（av）の定義 1 av = 𝑇 𝑇 𝑒(𝑡) d𝑡 0 交流電源の平均値を計算してみよう 1 av = 𝑇 𝑇 0 𝐸𝑚 𝑒(𝑡) d𝑡 = 𝜋 av ≤ rms 𝜋 0 sin 𝜃d𝜃 ≈ 0.636𝐸𝑚 第6回信号のノルム 6.2 持続的な信号の大きさ (1)絶対平均値（average-absolute value）：定常状態の平均値 𝑥 𝑎𝑎 1 = lim 𝑇→∞ 𝑇 𝑇 𝑥(𝑡) d𝑡 0 (2) rms 平均パワー（average power） 1 lim 𝑇→∞ 𝑇 𝑇 𝑥 2 (𝑡)d𝑡 0 極限が存在する場合， 𝑥(𝑡)はパワー信号（power signal）と呼ばれる． 𝑥(𝑡)のrmsは 𝑥 rms = 1 lim 𝑇→∞ 𝑇 𝑇 0 𝑥 2 (𝑡)d𝑡 第6回信号のノルム 6.3 信号のノルム 𝓛𝟏 ノルム 𝓛𝟐 ノルム 𝓛∞ ノルム ∞ 𝑥 1 = 𝑥(𝑡) d𝑡 0 ∞ 𝑥 𝑥 2 ∞ 1は絶対値を意味する． = 𝑥(𝑡) 2 d𝑡 ユークリッド距離を意味する． 0 = sup 𝑥(𝑡) 𝑡≥0 ピークノルムとも呼ばれる．第6回信号のノルム 6.3 信号のノルムパワーとエネルギー信号𝑥(𝑡)を電流とし，それが1[Ω]の抵抗に流れている電気回路を考える． 𝑥 2 (𝑡)は時間𝑡におけるパワー（power）を表しそれを積分したものはエネルギー（energy）になる．すなわち，物理的にはℒ2 ノルムの２乗 𝑥 2 2 はエネルギーを表す量に対応する． supとmax, infとmin 有界：例えば，集合𝑋に属するすべての数𝑥がある数𝑎より大きく（小さく）ないときすなわち、𝑥 ≤ 𝑎 （ 𝑥 ≥ 𝑎 ）のとき𝑋は上方（下方）に有界であるといい 𝑎をその一つの上界（下界）という． sup: （supremum）最小上界上界のうちでもっとも小さいもの最大下界下界のうちでもっとも大きいもの inf: （infimum） max:（maximum） min:（minimum）最大値集合𝑋の上界𝑎が𝑎 ∈ 𝑋のとき，𝑎は𝑋の最大値最小値集合𝑋の下界𝑎が𝑎 ∈ 𝑋のとき，𝑎は𝑋の最小値